MODEL ARMA (AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE)

MODEL ARMA (AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE)
UNTUK PREDIKSI CURAH HUJAN
DI KABUPATEN SEMARANG – JAWA TENGAH - INDONESIA
Adi Nugroho1, Bistok Hasiholan Simanjuntak2
1
Staf pengajar di Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana
Salatiga, Jawa Tengah, Indonesia
[email protected]
2
Staf pengajar di Fakultas Pertanian dan Bisnis - Universitas Kristen Satya Wacana
Salatiga, Jawa Tengah, Indonesia
[email protected]
ABSTRAK
Air merupakan faktor utama dalam menentukan keberhasilan aktifitas pertanian tanaman pangan,
hortikultura maupun perkebunan. Sumber utama air untuk kegiatan pertanian dan perkebunan adalah air
yang berasal dari curah hujan. Kondisi ini juga terjadi untuk aktivitas pertanian dan perkebunan di
Kabupaten Semarang, Indonesia. Oleh karena itu prediksi curah hujan akan memegang peranan penting
dalam keberhasilan pertanian dan perkebunan. Model runtun waktu univariat ARMA (Autoregressive
Moving Average) dapat digunakan untuk melakukan prediksi curah hujan di masa yang akan datang. Data
yang digunakan pada penelitian adalah data curah hujan yang diambil secara bulanan pada kurun waktu
2001-2013. Hasil prediksi menunjukkan bahwa metoda ARMA
memprediksi curah hujan di daerah penelitian.
Kata kunci: Prediksi Curah Hujan, ARMA, Runtun Waktu Univariat
ini cukup akurat digunakan untuk
Gambar 1
Peta Daerah Penelitian
I
PENDAHULUAN
Indonesia merupakan negara yang berada di daerah tropis dan memiliki curah hujan yang cukup
tinggi karena kepulauannya dikelilingi oleh lautan yang sangat luas, memiliki temperatur harian yang
cukup tinggi, serta memiliki kelembaban udara yang cukup tinggi (http://www.bmkg.go.id). Saat ini, ada
sekitar
40,6
juta
hektar
wilayah
pertanian
dan/atau
perkebunan
di
Indonesia
(http://indonesia.go.id/en/potential/natural-resources) yang sebagian besar mengandalkan ketersediaan
airnya pada curah hujan. Dalam kaitan dengan hal ini, wilayah Indonesia bagian barat dan timur laut
memiliki kondisi geologi yang baik dan tanah yang subur yang berasal dari kegiatan vulkanik, yang
memungkinkan pertanian/perkebunan hampir selalu bisa dilakukan asalkan ada air yang berasal dari
curah hujan dalam jumlah yang cukup (http://bbsdlp.litbang.deptan.go.id/tamp_komoditas.php).
Kabupaten Semarang di Jawa Tengah di Indonesia (area penelitian) terletak di pulau Jawa yang
secara geografis berada di Indonesia bagian barat. Area penelitian berada pada posisi geografis 6º, 5’ – 7º,
10’ Lintang Selatan (LS) dan 110º, 34’ - 110º, 35’ Bujur Timur (BT) dengan luas wilayah mencapai
37.366.838
hektar
atau
sekitar
373,7
pandang/kondisi-umum/geografi-topografi.html.)
km2
(http://www.semarangkab.go.id/utama/selayang-
Sektor pertanian serta perkebunan merupakan sektor
utama yang mendukung perekonomian. S ecara umum, curah hujan di Kabupaten Semarang mengikuti
pola 2 musim, yaitu musim panas (April – September) dan musim hujan (Oktober – Maret)
(http://www.bmkg.go.id). Penelitian yang dilakukan mencoba melakukan prediksi curah hujan bulanan
dalam 1 tahun ke depan (tahun 2014) berdasarkan data curah hujan bulanan yang diambil sepanjang
rentang waktu 13 tahun sebelumnya (2001-2013). Prediksi curah hujan yang bersifat musiman serta
peluang kejadiannya berulang ini, karena datanya bersifat stasioner, dilakukan menggunakan metoda
ARMA (Autoregressive Moving Average).
II
TEKNIK PREDIKSI MENGGUNAKAN METODA ARMA
Runtun waktu (time series) pada dasarnya merupakan data pengukuran yang diambil secara
kronologis dalam kurun waktu tertentu (Lutkepohl, 2005). Dalam penelitian yang dilakukan, sesuai
dengan karakteristik runtun waktunya masing-masing yang bersifat stasioner (memiliki nilai mean dan
varians yang konstan serta covarian yang tidak bergantung di lag mana perhitungannya dilakukan)
(Gujarati, 2006). kami menggunakan metoda ARMA (Autoregressive Moving Average). Metoda ARMA
ini juga sering disebut sebagai metoda Box-Jenkins karena dikembangkan oleh George Box dan Gwilym
Jenkins pada tahun 1976 (Lutkepohl, 2005).
Model ARMA ini sendiri bisa dipecah menjadi model AR (Autoregressive) dan model MA
(Moving Average). Model AR bisa dituliskan sebagai berikut (Sadeq, 2008).
… (1)
Sementara model MA bisa dituliskan sebagai berikut (Sadeq, 2008).
… (2)
Dimana:
merupakan nilai runtunan yang bersifat stasioner.
merupakan nilai lampau runtunan.
…,
merupakan residual.
merupakan konstanta dan koefisien model MA.
merupakan konstanta dan koefisien model AR.
Seperti tadi telah diungkapkan, model ARMA mensyaratkan stasionaritas runtunan. Stasionaritas
ini dapat diuji menggunakan perhitungan uji ADF (Augmented Dickey Fuller) yang rumusnya adalah
sebagai berikut (Joshua, 2007; Cowpertwait, 2009).
… (3)
Dimana :
yt adalah nilai runtun waktu pada waktu ke-t.
θ adalah konstanta bernilai
yang digunakan untuk menentukan ada-
tidaknya akar-akar unit (unit root) dengan hipotesis sebagai berikut.
H0 : θ = 1 (data mengandung akar-akar unit) (tidak stasioner).
H1 : θ < 1 (data tidak mengandung akar-akar unit) (stasioner).
adalah koefisien trend pada data runtun waktu yang nilainya adalah sebesar
p adalah lag pada proses autoregresif.
ԑ adalah besaran galat (error) atau sering juga disebut sebagai white noise yang diasumsikan
berdistribusi normal, mandiri terhadap yt-1 dan varians konstan sebesar σ2 atau sama dengan 0
(Gujarati, 2006).
Tabel 1. Pola Plotting ACF dan PACF Serta ARMA Tentatif (Sadeq, 2008)
ACF
Menuju nol setelah lag q.
PACF
Menurun secara
ARIMA (p, 0, q)
ARIMA (0, 0, q)
bertahap/bergelombang.
Menurun secara
Menuju nol setelah lag q.
ARIMA (p, 0, 0)
Menurun secara
Menurun secara
ARIMA (p, 0, q)
bertahap/bergelombang.
bertahap/bergelombang.
bertahap/bergelombang.
Pada prakteknya, perhitungan ARMA seringkali diperlakukan sebagai model ARIMA
(Autoregressive Integrated Moving Average) dengan tidak diperlukannya proses pembedaan
(differencing) karena datanya sudah stasioner. Dengan kata lain, model ARMA dapat dituliskan sebagai
model ARIMA (p, d, q) yang lebih umum dimana p adalah orde pada proses Autoregressive, q adalah
orde pada proses Moving Average, dan d adalah proses pembedaan yang dalam kasus ARMA bernilai 0,
sehingga model ARMA sering dituliskan sebagai model ARIMA (p, 0, q).
Dalam hal ini, nilai-nilai p dan q dapat diduga menggunakan penggambaran (plot) nilai-nilai ACF
(Autocorrelation Factor) serta PACF (Partial Autocorrelation Factor) seperti yang diperlihatkan melalui
Tabel 1. ACF serta PACF ini perhitungannya didefinisikan sebagai berikut (Shumway, 2011).
… (4)
Dimana yk adalah nilai observasi,
y nilai rata-rata (mean), k adalah banyaknya parameter, dan n
merupakan jumlah banyaknya observasi.
Sementara itu, persamaan PACF didefinisikan sebagai berikut (Chatfield, 2000).
)
… (5) dan
... (6)
dimana Pt,k(X) merupakan proyeksi X pada ruang yang diberikan oleh Zt+1, …, Zt+k-1.
Suatu prediksi harus diuji dan dievaluasi untuk menilai kelayakannya. Dalam tulisan ini, untuk
menilai kelayakan model prediksi, digunakan perhitungan AIC (Aikake’s Information Criterion) yang
didefinisikan menggunakan persamaan sebagai berikut (Shumway, 2011).
... (7)
Dimana
dengan SSE =
Dimana yk adalah nilai observasi, y nilai rata-rata (mean), k adalah banyaknya parameter, dan n
merupakan jumlah banyaknya observasi. Dalam hal ini, dapat dinyatakan bahwa semakin kecil nilai
perhitungan AIC, berarti model yang diambil adalah model yang terbaik (Shumway, 2011).
Setelah kita mendapatkan nilai p dan q yang optimal, selanjutnya dengan melakukan regresi linier
(OLS-Ordinary Least Square) kita bisa mendapatkan nilai-nilai a dan b pada persamaan (1) dan (2).
Selanjutnya, setelah bisa menemukan model ARMA yang bisa mewakili runtun waktu hasil observasi,
dengan fungsi yang didapatkan, kita bisa melakukan peramalan. Meski demikian, peramalan itu juga
harus diuji akurasinya. Cara yang paling langsung untuk mengevaluasi akurasi peramalan (forecast)
adalah dengan menggambarkan grafik nilai-nilai hasil observasi dengan nilai-nilai hasil peramalan atau,
secara matematis, model juga dapat dievaluasi dengan menggunakan persamaan matematika berikut ini
(Gujarati, 2006; Schumway, 2011).
Menghitung MAE (Mean Absolute Error).
… (8)
Menghitung MAPE (Mean Absolute Percentage Error).
… (9)
Dimana
mean di titik ke-t dan model yang baik akan memiliki nilai MAE dan MAPE sekecil
mungkin (lebih kecil atau sama dengan 10%).
Gambar 2
Plot Data Curah Hujan di Kabupaten Semarang
III
PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Plot curah hujan yang diperlihatkan dalam Gambar 1 adalah plot data asli curah hujan di
Kabupaten Semarang yang memperlihatkan data yang relatif stasioner dimana simpangannya relatif sama
di sepanjang runtunan. Hal ini diperkuat dengan perhitungan nilai ADF θ sebesar -7.3585, dimana nilai
ini menunjukkan bahwa runtun waktu curah hujan di Kabupaten Semarang tidak memiliki akar-akar unit
(unit root) sehingga dapat disimpulkan bersifat stasioner. Dalam hal ini, karena datanya bersifat stasioner
maka model ARIMA (p, 0, q) dapat digunakan. Langkah selanjutnya adalah bagaimana caranya
menentukan nilai p dan q dimana hal ini bisa didekati dengan memperhatikan plot ACF dan PACF
dengan mempertimbangkan nilai AIC-nya.
Gambar 3
ACF
Gambar 4
PACF
Tabel 2. Perhitungan AIC Untuk Kombinasi ARIMA (p, d, q)
Model
AIC
ARIMA (5, 0, 4)
ARIMA (6, 0, 4)
ARIMA (7, 0, 4)
ARIMA (6, 0, 2)
ARIMA (6, 0, 3)
1870.01
1855.49
1871.17
1858.11
1853.44
Plot ACF dan PACF pada Gambar 2 dan Gambar 3, berdasarkan Tabel 1, menunjukkan
kemungkinan bahwa model ARIMA (6, 0, 3) merupakan model terbaik karena nilai p bisa didekati
dengan plot PACF yang memotong garis horisontal pada lag ke-6 dan nilai q bisa didekati dengan plot
ACF yang memotong garis horisontal pada lag ke-3. Meski demikian, untuk memastikannya, kita perlu
melakukan perhitungan AIC untuk model-model terdekat. Perhitungan AIC itu diperlihatkan dalam tabel
2 di atas, dimana perhitungan ini (nilai yang diarsir) konsisten dengan plot ACF dan PACF yang
memberikan sinyal bahwa model ARIMA (6, 0, 3) merupakan model yang terbaik.
Berdasarkan model ARIMA (6, 0, 3), dengan perhitungan regresi linier (OLS-Ordinary Least
Square), didapatkan fungsi ARMA sebagai berikut.
Tabel 3. Nilai Prediksi Curah Hujan Untuk Tahun 2014
Jan
Feb
Maret
April
Mei
416.6
384.5
370.3
295.60 189.89
Juni
Juli
Agust
Sept
Okt
Nov
Des
93.72
48.6
58.2
112.8
195.1
285.2
359.6
Selanjutnya, menggunakan fungsi ARMA di atas, kita bisa melakukan peramalan nilai-nilai
curah hujan di tahun 2014 yang hasilnya seperti diperlihatkan pada Tabel 3. Sebagai catatan, nilai-nilai
prediksi itu memiliki nilai MAE= 19.45714 dan MAPE= 9.581951%, sehingga dapat dikatakan bahwa
model ARIMA (6, 0, 3) memiliki akurasi yang cukup baik (MAE yang relatif kecil serta MAPE yang
lebih kecil dari 10%). Secara umum, peramalan curah hujan di wilayah penelitian juga sesuai dengan pola
2 musim yang dikenali, yaitu musim panas (April – September) dan musim hujan (Oktober – Maret).
IV
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian maka dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. Atas dasar pola curah hujan bulanan tahun 2001 – 2013, pengamatan secara visual terhadap plot
ACF dan PACF serta perhitungan AIC-nya, maka curah hujan di Kabupaten Semarang memiliki
model ARIMA (6, 0, 3)
2. Berdasarkan metoda Box-Jenkins ARMA, maka menggunakan data curah hujan bulanan tahun
2001 – 2013 di Kabupaten Semarang dapat dilakukan prediksi curah hujan bulanan untuk wilayah
yang bersangkutan pada tahun 2014.
3. Didasarkan pada fungsi ARMA yang terbentuk dan nilai MAE serta MAPE yang cukup baik
maka model ARMA memiliki akurasi yang cukup baik untuk prediksi curah hujan tahun
berikutnya (tahun 2014).
4. Hasil peramalan menggunakan model ARMA akan sangat bermanfaat untuk perencanaan
pertanian dan/atau perkebunan di Kabupaten Semarang yang secara garis besar mengandalkan
kebutuhan airnya pada air yang berasal dari curah hujan yang turun di wilayah yang
bersangkutan.
DAFTAR PUSTAKA
Cowpertwait, Paul S.P., Andrew V. Metcalfe, 2009. Introductory Time Series with R. Springer
Science+Business Media, Inc., New York.
Gujarati, Damodar N., 2006. Essential of Econometrics. McGraw-Hill Co., New York.
Joshua, 2007. Analisis Vector Autoregression (VAR) Terhadap Interrelationship Antara Pertumbuhan
PDB dan Pertumbuhan Kesempatan Kerja (Studi Kasus: Indonesia Tahun 1977-2006). Universitas
Indonesia, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Departemen Matematika.
Lutkepohl, Helmut, 2005. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer Science+Business
Media, Inc., Berlin.
Schumway, Robert H., David S. Stoffer, 2011. Time Series Analysis and Its Application. Springer
Science+Business Media, Inc., New York.
Kondisi
geografi,
topografi,
serta
geologi
Kabupaten
Semarang.
http://www.semarangkab.go.id/utama/selayang-pandang/kondisi-umum/geografi-topografi.html.
Diakses 10 Juli 2013.
Musim kemarau dan musim hujan di Indonesia. http://www.bmkg.go.id. Diakses 11 Juli 2013.
Situs
Penelitian
dan
Pengembangan
Komoditas
Pertanian
–
Departemen
Pertanian.
http://bbsdlp.litbang.deptan.go.id/tamp_komoditas.php. Diakses 20 Juli 2013.
Luas area pertanian dan perkebunan di Indonesia. http://indonesia.go.id/en/potential/natural-resources.
Diakses 25 Juli 2013.
BIOGRAFI
Adi Nugroho mendapatkan gelar Sarjana Teknik (ST) dari Teknik Geologi – Institut Teknologi Bandung di
Indonesia pada tahun 1993. Dia juga mendapatkan gelar Magister Manajemen Sistem Informasi dari Universitas
Gunadarma di Jakarta di Indonesia pada tahun 2002. Saat ini dia sedang berusaha menyelesaikan studi doktoralnya
di Program S3 Ilmu Komputer di Universitas Gadjah Mada di Indonesia serta berkarier sebagai staf pengajar di
Fakultas Teknologi Informasi – Universitas Kristen Satya Wacana di Salatiga, Jawa Tengah, Indonesia.
Bistok Hasiholan Simanjuntak mendapatkan gelar Sarjana Teknik (Ir) dari Fakultas Pertanian - Universitas Kristen
Satya Wacana di Salatiga, Indonesia, pada tahun 1989. Gelar masternya (Magister Sains) di bidang Ilmu Tanah
diperoleh dari Institut Pertanian Bogor di Indonesia (1997) dan gelar Doktor
juga di bidang Ilmu Tanah
diperolehnya dari Universitas Brawijaya di Malang, Indonesia (2007). Saat ini dia merupakan staf pengajar di
Fakultas Pertanian dan Bisnis – Universitas Kristen Satya Wacana di Salatiga, Jawa Tengah, Indonesia. Bidang
keahlian dan bidang risetnya adalah dalam bidang Manajemen Lahan dan Air.