Aljabar Linier Ruang null, ruang kolom, transformasi linier

Aljabar Linier
Ruang null, ruang kolom, transformasi linier
khozin mu’tamar
2 Oktober 2014
Pertemuan-3
Pertemuan ke-3 memuat
1. Pemetaan, transformasi linier
2. Ruang null atau kernel
3. Range atau image
4. Ruang null dan range dari matriks transformasi linier
1
definisi : pemetaan (transformasi)
definisi 1. Pemetaan T dari A ke B, dinotasikan sebagai T : A → B,
didefinisikan sebagai
x1 = x2 =⇒ T (x1) = T (x2), x1, x2 ∈ A
definisi 2. Suatu pemetaan T : A → B dikatakan 1-1, jika
T (x1) = T (x2) =⇒ x1 = x2, x1, x2 ∈ A
definisi 3. Suatu pemetaan T : A → B dikatakan pada, jika
∀b ∈ B terdapat x ∈ A sehingga b = T (x)
definisi 4. Pemetaan T : A → B dikatakan isomorfis jika T pada dan
1-1.
2
definisi : transformasi linier
definisi 5. Linier transformasi,T, dari ruang vektor V pada ruang vektor
W , dituliskan sebagai T : V → W adalah pemetaan yang bersifat
T (x + y) = T (x) + T (y),
T (cx) = cT (x),
∀x,y ∈ V
(1)
∀x ∈ V dan c ∈ R
(2)
definisi 6. Jika diberikan V dan W adalah ruang vektor. Transformasi
linier V pada W , dituliskan sebagai T : V → W jika dan hanya jika
T (cx + y) = cT (x) + T (y),
∀x,y ∈ V dan c ∈ R
(3)
sifat 1. Diketahui bahwa V dan W adalah ruang vektor dan misalkan
T : V → W adalah pemetaan linier maka berlaku
1. T (0V ) = 0W
3
2. Jika v1, v2, · · · , vn ∈ V dan a1, a2, · · · , an ∈ R maka
T (a1v1 + · · · + anvn) = a1T (v1) + · · · + anT (vn)
Bukti.
1. Ambil sembarang v ∈ V .
T (0V ) = T (0 · v)
= 0 · T (v) = 0W
2. Ambil v1, · · · , vn ∈ V dan a1, a2, · · · , an ∈ R
T (a1v1 + · · · + anvn) = T (a1v1) + · · · + T (anvn)
= a1T (v1) + · · · + anT (vn)
contoh: transformasi linier
Misalkan diberikan

T



x x + y 
 = 

y
x−y



Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi linier dari R2 → R2.
4




v 
u 
solusi. Misalkan u =  1 dan v =  1
v2
u2


u1 + v1

u2 + v2


 (u + v1 ) + (u2 + v2 ) 

=  1

(u1 + v1) − (u2 + v2)


 (u + u2 ) + (v1 + v2 ) 

=  1

(u1 − u2) + (v1 − v2)




 u + u2 
 v + v2 
 +  1

=  1



u1 − u2
v1 − v2




u 
v 
= T  1 + T  1
v2
u2
= T (u) + T (v)
T (u+v) = T



Selanjutnya, misalkan c ∈ R.


cu1

cu2


 cu + cu2 

=  1

cu2 − cu2


 u + u2 

= c  1

u2 − u2
= cT (u)
T (cu) = T



Kesimpulannya, T adalah transformasi linier.
contoh: Transformasi linier
Misalkan diberikan

T



x x + 2y 
 = 

y
x−y



Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi linier dari R2 → R2.




u 
v 
solusi. Misalkan u =  1, v =  1 dan a ∈ R.
u2
v2
5


au1 + v1

au2 + v2


(au + v1 ) + 2(au2 + v2 )

=  1

(au1 + v1) − (au2 + v2)


(au + 2au2 ) + (v1 + 2v2 )

=  1

(au1 − au2) + (v1 − v2)




v + 2v2 
au + 2au2 

 +  1
=  1



v1 − v2
au1 − au2




u 
v 
= aT  1 + T  1
v2
u2
= aT (u) + T (v)
T (au+v) = T



Kesimpulannya, T adalah transformasi linier.
definisi : ruang null (kernel) dan range
definisi 7. Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas R. Misalkan
T adalah transformasi linier dari V ke W , dimana T : V → W . Ruang
null didefinisikan sebagai
N (T ) = {x ∈ V |T (x) = 0}
(4)
dan range atau image dari T didefinisikan sebagai
I(T ) = {w ∈ W |w = T (x), x ∈ V }
(5)
teorema 1. Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas R serta T
adalah transformasi linier dari V pada W , T : V → W maka
1. N (T ) adalah subruang di V
2. I(T ) adalah subruang di W
6
Bukti. 1. Misalkan v1 dan v2 anggota N (T ) sehingga T (v1) = 0 dan
T (v2) = 0. Misalkan α, β ∈ R maka akan diperoleh
αT (v1) + βT (v2) = 0
berdasarkan sifat transformasi linier
αT (v1) + βT (v2) = T (αv1 + βv2) = 0
jadi αv1 + βv2 ∈ N (T ). Berdasarkan definisi subruang, maka
N (T ) adalah subruang vektor dari V .
2. Misalkan w1 dan w2 adalah anggota dari I(T ). Maka terdapat
v1 dan v2 sedemikian sehingga T (v1) = w1 dan T (v2) = w2.
Misalkan α, β ∈ R, kita dapatkan
T (αv1 + βv2) = αw1 + βw2
dimana αw1 + βw2 ∈ I(T )
definisi : Ruang null dan range (kolom) dari matriks
definisi 8. Ruang null dari matriks Am×n, yang dinotasikan sebagai
N ull(A) adalah himpunan seluruh solusi dari persamaan homogen Ax =
0.
N ull(A) = {x ∈ Rn|Ax = 0}
teorema 2. N ull(Am×n) merupakan subruang dari Rn
definisi 9. Ruang kolom dari matriks Am×n, dinotasikan sebagai col(A),
adalah himpunan seluruh kombinasi linier dari kolom matriks A. Misalkan A = [a1 · · · an]
col(A) = span{a1, · · · , vn}
atau
col(A) = {b|b = Ax, ∀x ∈ Rn}
teorema 3. col(Am×n) merupakan subruang dari Rm
7
contoh: Matriks transformasi linier
Misalkan H adalah himpunan vektor pada R4 yang koordinat di R4
memenuhi persamaan a − 2b + 5c = d dan c − a = b. Tunjukkan bahwa
H adalah subruang dari R4.
solusi. Sederhanakan kedua persamaan
a − 2b + 5c − d = 0
c−a−b=0
Akan didapatkan bentuk Ax = 0 yaitu






 
a 0

 
b  0
 =  
c  0

 
d
0











1 −2 5 −1
−1 −1 1 0
yang dapat disimpulkan bahwa H = N ull(A). sesuai dengan teorema,
maka H adalah subspace dari R4
8