LIMIT SATU SISI

MATERI KULIAH MINGGU KE-3 NOVEMBER 2010
(Dosen Pengampu : Dwi Ertiningsih, M.Si.)
LIMIT SATU SISI
y = f (x)
L3
L2
L1
x1
x2
lim f ( x) = L3 tetapi lim f ( x) tidak ada.
x→ x
x→ x
2
1
Perhatikan bahwa :
lim f ( x) = L
2
x→ x +
1
dibaca : limit fungsi f ketika x mendekati x1 dari kanan
dan lim f ( x) = L1
x→ x −
1
dibaca : limit fungsi f ketika x mendekati x1 dari kiri
Definisi
1.
lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃δ > 0 sehingga ∀x ∈ D f dengan x ∈ (a − δ , a )
x →a −
berlaku : f ( x) − L < ε .
1
2.
lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃δ > 0 sehingga ∀x ∈ D f dengan x ∈ (a, a + δ )
x →a +
berlaku : f ( x) − L < ε .
Contoh :
1.
Diberikan fungsi f ( x) =
x−2
x−2
.
Tentukan nilai limit fungsi f untuk x → 2 dan x → 3
Jawab
⎧x−2
, x−2≥0
⎪
x − 2 ⎪⎪ x − 2
=⎨
f ( x) =
x − 2 ⎪ − ( x − 2)
, x−2<0
⎪
⎪⎩ x − 2
, x≥2
⎧1
f ( x) = ⎨
⎩− 1
, x<2
1
2
-1
a.
lim
x→2
f ( x) =
+
lim
x→2
tetapi
lim
x→2
b.
lim
x→3
dan
+
f ( x) =
−
x→3
−
1=1
f ( x) =
lim
x→2
lim
x→2
lim
+
+
f ( x) =
+
− 1 = −1
1=1
lim
x→2
+
1=1
2
lim
x =0
x→0+
2.
dan
lim
x tidak ada
x→0−
LATIHAN 1
⎧⎪ x − 1
Diberikan fungsi f ( x) = ⎨ 2
⎪⎩ x
, x≥3
+3 , x<3
Tentukan nilai limit fungsi f untuk x → 3
Dari Ketunggalan Limit diperoleh teorema berikut :
Teorema
lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim − f ( x) = L
x →a
x →a
x→a +
Akibat
Jika
lim f ( x) ≠ lim − f ( x) maka lim f ( x) tidak ada.
x→a
x→a
x →a +
Dari ketiga soal di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1.
lim f ( x) tidak ada sebab
x→2
lim f ( x) = 1 sebab
x→3
2.
3.
x→2
lim
x→3
lim f ( x) tidak ada sebab
x→3
lim
+
+
f ( x) =
f ( x) ≠
x→2
lim
x→3
lim
x→3
+
lim
f ( x) ≠
−
−
f ( x)
f ( x) = 1
lim
x→3
−
f ( x)
lim x tidak ada
x→0
3
KONTINUITAS
Definisi
Fungsi f dikatakan kontinu di titik x = a jika :
lim f ( x) = f ( a)
x→a
Dengan kata lain, fungsi f kontinu di titik x = a jika memenuhi syarat-syarat
berikut :
1.
f(a) ada
2.
lim f ( x) ada
x→a
3.
lim f ( x) = f ( a)
x→a
Selanjutnya, titik x = a disebut titik kontinuitas
Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, maka f dikatakan diskontinu di x = a .
Secara grafik, fungsi f kontinu di titik x = a jika grafik fungsi f pada suatu interval
yang memuat a tidak terpotong di titik (a, f ( a) )
y = f (x)
b
x
x
2
3
4
Fungsi f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam (a,b) kecuali di titik-titik x 2 ,
a
x
1
x
x , x .
3 4
1.
lim
x→x
f ( x) tidak ada
2
4
2.
lim f ( x) ≠ f (3)
x→x
3
3.
Nilai fungsi f (x 4 ) tidak ada
Contoh
f ( x) =
1.
2.
x2 −1
diskontinu di x = 0 sebab f (0) tidak terdefinisi
x
⎧0 , x < 0
⎩1 , x ≥ 0
Fungsi H ( x) = ⎨
diskontinu di x = 0 sebab lim H ( x) tidak ada
x→0
⎧x + 1
, x ≤ −1
⎪⎪
f ( x ) = ⎨2 x + 1 , − 1 < x < 1
⎪ 2
⎩⎪ x + 2 , x ≥ 1
3.
a. diskontinu di x = -1 sebab
lim f ( x) tidak ada
x → −1
b. kontinu di x = 1
Teorema
Jika fungsi f dan g kontinu di a, k sebarang konstanta real,
maka :
f ± g , kf , fg kontinu di a
i.
ii.
f/g kontinu di a dengan syarat g (a) ≠ 0 .
Teorema
Fungsi polynomial, fungsi pecah rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi
eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domain masing-masing.
Contoh
f ( x) = x 2 + x + 2 kontinu pada R
LATIHAN 2
Tentukan dimana fungsi f berikut kontinu
1.
f ( x) = x − 1
2.
f ( x) =
x3 + 4
x2 −1
5
DERIVATIF/ TURUNAN
Definisi
Diberikan fungsi f dengan domain Df dan a ∈ Df .
Derivatif fungsi f di a, ditulis f ′(a ) , didefinisikan sbb :
f ′(a ) = lim
h→0
f ( a + h) − f ( a )
, asalkan limitnya ada.
h
Contoh
Diberikan fungsi f ( x) = x , tentukan f ′(0)
Penyelesaian
f (0 + h) − f (0)
h
f ( h ) − f ( 0)
= lim
h
h→0
f ′(0) = lim
h→0
= lim
h→0
h −0
h
h
= lim
h→0 h
⎧h
⎪⎪ h
Karena
=⎨
h ⎪− h
⎪⎩ h
, h≥0
h
⇒
, h<0
⎧1
=⎨
h ⎩− 1
h
, h≥0
, h<0
Sehingga,
lim
h→0
h
+ h
=
lim
h→0
+
1=1
Tetapi,
lim
h→0
h
− h
=
lim
h→0
−
Karena limit kanan
( −1) = −1
≠ limit kiri, maka
f ′(0) tidak ada.
6
Latihan 3
Diberikan fungsi f ( x) = x 2 − 3 , tentukan f ′(2)
Fungsi Turunan
Dari definisi turunan, untuk a ∈ Df ,
f ′(a ) = lim
h→0
f ( a + h) − f ( a )
h
…..
(1)
Jika limit (1) ada, maka untuk D = {a ∈ Df f ′(a) ada} dapat dibentuk fungsi f ′
f ( x + h) − f ( x )
h
h→0
pada D, yang disebut fungsi turunan, yaitu : f ′( x) = lim
…..
(2)
Contoh
f ( x) = x , Df = {x ∈ R x ≥ 0} , f ′( x) = .....
Penyelesaian
f ′( x) = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x )
h
= lim
h→0
x+h − x
h
= lim
h→0
x+h − x x+h + x
.
h
x+h + x
( x + h) − x
= lim
h → 0 h( x + h + x )
1
= lim
h→0 x+h + x
1
, x>0
=
2 x
Jika pada (1) diambil x = a + h , maka didapat :
f ′(a ) = lim
x→a
f ( x) − f (a )
x−a
…..
(3)
7
Jika pada (2) diambil y = f (x) dan h = ∆x , maka didapat :
f ′( x) =
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆x
lim
∆x → 0
…..
(4)
Namakan ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) , didapat :
f ′( x) =
∆y
lim
∆x → 0 ∆x
Apabila nilai
∆y
ada, maka nilainya dapat ditulis dengan notasi Leibnitz
lim
∆x → 0 ∆x
dy
.
dx
Teorema
Jika fungsi f mempunyai turunan di titik x = a , maka fungsi f kontinu di titik
x=a.
Sebaliknya tidak berlaku,
Counter example :
f ( x) = x kontinu di titik x = 0 , tetapi f ′(0) tidak ada.
Rumus dasar dan sifat turunan
1.
f fungsi konstan, yaitu f ( x) = k .
f ′( x) =
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆x
k −k
= lim
=0
∆x → 0 ∆x
lim
∆x → 0
Jadi, f ′( x) = 0 .
2.
3.
f ( x) = x
n
dengan n bilangan bulat ⇒ f ′( x) = nx
n −1
jika u dan v masing-masing mempunyai turunan dan k sebarang
konstanta real, maka :
8
(iii ).
f ( x) = u ( x) ± v( x) ⇒ f ′( x) = u ′( x) ± v ′( x)
f ( x) = k .u ( x) ⇒ f ′( x) = k .u ′( x)
f ( x) = u ( x).v( x) ⇒ f ′( x) = u ′( x).v( x) + v ′( x).u ( x)
(iv).
f ( x) =
(i ).
(ii ).
u ( x)
u ′( x).v( x) − v ′( x).u ( x)
,
⇒ f ′( x) =
2
v( x)
[v( x)]
asalkan v( x) ≠ 0.
Aturan Rantai
1.
Diketahui y = f (u ) dengan u = g (x) maka :
∆y = f (u + ∆u ) − f (u ) ..... (i )
∆u = g ( x + ∆x) − g ( x) ..... (ii )
sehingga,
∆y ∆y ∆u
=
.
∆x ∆u ∆x
(ii )
∆x → 0 ⇒ ∆u → 0 sehingga diperoleh :
dy
∆y
= lim
dx ∆x → 0 ∆x
∆y ∆u
= lim
.
∆
∆x → 0 u ∆x
∆y
∆u
= lim
lim
∆x → 0 ∆u ∆x → 0 ∆x
dy du
=
.
du dx
Jadi,
dy dy du
=
.
dengan y = f (u ) dan u = g (x) .
dx du dx
2. Jika f dan g mempunyai turunan, maka f o g juga dapat mempunyai
turunan, yaitu :
( f o g ) ′( x) = [ f ( g ( x))]′ = f ′( g ( x)).g ′( x)
Contoh
f ( x) = x 3 + 1 ,
dy
= .....
dx
9
Penyelesaian
CARA I
y = x 3 + 1 , y dapat dipandang sebagai fungsi f dan g dengan f ( x) = g ( x) dan
g ( x) = x 3 + 1 , f dan g mempunyai turunan. y = f ( g ( x)) = ( f o g )( x) .
Sehingga :
dy
= y ′ = ( f o g ) ′( x) = f ′( g ( x)).g ′( x)
dx
dy
1
=
.3 x 2
dx 2 g ( x)
dy
=
dx
3x 2
2 x3 + 1
CARA II
Dengan notasi Leibnitz
y = x 3 + 1 , misal u = x 3 + 1 , didapat y = u
du
= 3x 2
dx
dy
1
=
du 2 u
Sehingga :
dy dy du
=
.
dx du dx
dy
1
.3 x 2
=
dx 2 u
dy
3x 2
=
dx
2 x3 + 1
Latihan 4
y = sin 2 (2 x 4 − 1) ,
dy
= ....
dx
.
10