handout persamaan kuadrat kelas x

Hand out_X_Persamaan kuadrat
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
ax 2  bx  c  0
dengan a, b, c bilangan riil
dan a  0
Dimana, a disebut sebagai koefisien dari x 2
b disebut sebagai koefisien dari x
c disebut sebagai konstanta
Hand out_X_Persamaan kuadrat
Contoh soal:
1. Dari bentuk persamaan kuadrat 2 x 2  3x  5  0 , tentukan nilai a , b dan
c.
Jawab:
a  2 , b  3 dan c  5
2. Dari bentuk persamaan kuadrat x 2  9 x  0 , tentukan nilai a , b dan c .
Jawab:
a  1 , b  9 dan c  0
3. Dari bentuk 3x 2  x  3x  5 , tentukan nilai a , b dan c .
Jawab:
Bentuk 3x 2  x  3x  5 harus diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat
terlebih dahulu.
3x 2  x  3x  5
3x 2  x  3x  5  0
3x 2  2 x  5  0
Sehingga didapatkan a  3 , b  2 dan c  5
Hand out_X_Persamaan kuadrat
2) MENYELESAIKAN PERSAMAAN
KUADRAT/
MENENTUKAN
AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Menyelesaikan atau menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat,
dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu:
1) Pemfaktoran
Bentuk ax 2  bx  c dapat difaktorkan menjadi
1
ax  max  n  dengan
a
syarat m  n  b dan m  n  a  c
Sehingga dengan cara pemfaktoran akan didapatkan bentuk sebagai
berikut:
ax 2  bx  c  0
1
ax  m ax  n   0
a
ax  m  0 atau ax  n  0
m
n
x
atau x  
a
a
Sehingga penyelesaian dari persamaan kuadrat atau akar-akar dari
persamaan kuadrat diatas adalah x1  
m
n
atau x 2  
a
a
Cara pemfaktoran diatas dapat dinyatakan ke dalam bentuk skema
sederhana seperti dibawah ini:
ax 2  bx  c
ac
m
a
n
a
dengan m  n  b dan m  n  a  c
Hand out_X_Persamaan kuadrat
Sehingga penyelesaian dari persamaan kuadrat atau akar-akar dari
persamaan kuadrat diatas adalah x1  
m
n
atau x 2  
a
a
Contoh soal:
a. Dengan cara pemfaktoran, tentukan penyelesaian atau akar-akar
persamaan kuadrat 2 x 2  3x  5  0 .
Jawab:
Dengan cara mencoba, kita harus menenukan nilai m dan n yang
memenuhi syarat m  n  3 dan m  n  10 .
Nilai m dan n yang memenuhi kedua syarat tersebut adalah m  2 dan
n  5 .
Sehingga persamaan kuadrat dapat kita ubah menjadi
1
2 x  22 x  5  0
2
2 x  2  0 atau 2 x  5  0
5
x  1 atau x 
2
Jadi penyelesaian dari persamaan kuadrat atau akar-akar dari
persamaan kuadrat x1  1 atau x 2 
5
2
b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat
menggunakan skema.
Jawab:
x 2  7 x  12  0 dengan
Hand out_X_Persamaan kuadrat
x 2  7 x  12  0
12
3
4
1
1
Jadi penyelesaian akar-akar dari persamaan kuadrat x1  3 atau
x2  4
2) Melengkapkan kuadrat sempurna
Tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara
pemfaktoran sehingga berikut disajikan cara lain untuk menyelesaikan
persamaan kuadrat yaitu dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.
Untuk dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara ini, kita harus
mengubah bentuk persamaan kuadrat semula menjadi bentuk kuadrat
sempurna dengan melakukan manipulasi aljabar.
Adapun kuadrat sempurna yang dimaksud disini adalah bentuk x  a 
2
atau x  a  .
2
Contoh soal:
a. Carilah penyelesaian persamaan kuadrat 2 x 2  4 x  8  0 dengan cara
melengkapkan kuadrat sempurna.
Jawab:
Untuk dapat menyelesaikan suatu persamaan kuadrat dengan cara
melengkapkan kuadrat sempurna, syarat utama yang harus dipenuhi
adalah koefisien x 2 harus sama dengan 1.
Hand out_X_Persamaan kuadrat
2x 2  4x  8  0
Kedua ruas harus dibagi dengan 2 supaya
koefisien x 2 sama dengan 1
x 2  2x  4  0
Langkah selanjutnya, kita pindahkan konstanta
ke ruas kanan
x 2  2x  4
2
1 
Kedua ruas kita tambahkan dengan  b  , dari
2 
2
bentuk x  2 x  4  0 , didapat nilai b  2 ,
2
1 
2
maka  b    1  12
2 
x 2  2 x  12  4  12
Langkah selanjutnya, kita ubah ruas kiri ke
dalam bentuk kuadrat sempurna, ingat:
2
1 
1 

x  bx   b    x  b 
2 
2 

2
2
x  12  5
Untuk menghilangkan kuadrat, maka kedua ruas
harus kita akar kuadratkan
x 1   5
x  1 5
Jadi didapatkan hasil penyelesaian x1  1  5 atau x2  1  5
3) Rumus abc
Penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 dengan
a, b, c bilangan riil dan a  0 adalah
Hand out_X_Persamaan kuadrat
x1, 2
 b  b 2  4ac

2a
Contoh:
a. Carilah akar dari x 2  4 x  2  0 dengan menggunakan rumus abc.
Jawab:
Dari persamaan diperoleh a  1 , b  4 dan c  2 , sehingga
x1, 2 
  4 
 42  4 1  2
2 1

4 8 42 2

 2 2
2
2
Sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat
x1  2  2
atau
x2  2  2
3) MENENTUKAN JENIS PERSAMAAN KUADRAT
1. Bilangan imajiner
Bilangan imajiner atau disebut juga bilangan khayal adalah merupakan
akar kuadrat dari bilangan negatif, misalnya
Bilangan imajiner satuan yaitu
3.
 1 dilambangkan dengan i .
Setiap bilangan imajiner dapat dituliskan secara sederhana menggunakan
bilangan imajiner satuan.
Contoh:
 5   1 5   1  5  i 5
a.
 9   1  9   1  9  i  3  3i
b.
Hand out_X_Persamaan kuadrat
2. Menentukan jenis persamaan kuadrat dengan menggunakan nilai
diskriminan
Diskriminan berfungsi untuk menentukan jenis suatu persamaan kuadrat.
Diskriminan dilambangkan dengan D , dimana D  b 2  4ac .
Adapun jenis akar-akar persamaan kuarat dilihat dari nilai diskriminannya
adalah sebagai berikut:
a. Jika D  0 , maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar riil yang
berlainan
b. Jika D  0 , maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar riil kembar
c. Jika D  0 , maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil atau
kedua akarnya tidak riil/khayal.
Contoh:
a. Tanpa menyelesaikan terlebih dahulu, tentukan jenis persamaan
kuadrat x 2  4 x  8  0
Jawab:
D  4 2  4  1   8  16  32  48
D  48 maka D  0
Jadi, persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil yang
berlainan
b. Tanpa menyelesaikan terlebih dahulu, tentukan jenis persamaan
kuadrat 4 x 2  12 x  9  0
Jawab:
2
D   12  4  4  9  144  144  0
D0
Jadi, persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil kembar
c. Tentukan nilai m agar persamaan x 2  4 x  2  m  0 mempunyai dua
akar riil berlainan.
Jawab:
Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil berlainan
D0
Hand out_X_Persamaan kuadrat
a  1 , b  4 dan c  2  m
 42  4 1 2  m  0
16  8  4m  0
8  4m  0
4m  8
m  2
Jadi nilai m yang memenuhi adalah m  2
4) RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN
KUADRAT
Dari hasil akar persamaan kuadrat yang diperoleh dengan menggunakan
rumus abc, di dapatkan persamaan sebagai berikut:
1) Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat
x1  x 2 
b
a
2) Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
x1  x 2 
c
a
Contoh:
1. Tanpa menyelesaikan terlebih dahulu, hitunglah jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan x 2  3x  15  0
Jawab:
a  1 , b  3 dan c  15
  3
3
 Jumlah akar-akar persamaan kuadrat: x1  x 2 
1
Hand out_X_Persamaan kuadrat

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: x1  x 2 
 15  15
1
2. Misalkan x1 dan x 2 adalah akar-akar dari x  2 x  1  0 , tanpa
menyelesaikan terlebih dahulu hitunglah:
1
1
a.
 .
x1 x 2
2
b. x1  x2
2
2
c. x1  x2
Jawab:
a  1 , b  2 dan c  1
x  x1  2 1  2
1
1

 2


 2
a.
x1 x 2
x1  x 2
11
1
3
3
b. x1  x2  x1  x2   2 x1 x2   2  21  2
2
c.
2
2
2
x1  x2  x1  x2   3x1 x2 x1  x2    2  31 2  2
3
3
3
3
3. Salah satu akar persamaan kuadrat 3x 2  ( p  2) x  12  0 merupakan
lawan dari akar yang lain (akar-akarnya berlawanan). Hitunglah nilai p
dan akar-akar tersebut!
Jawab:
Karena akar-akarnya berlawanan, maka
x1   x 2
   p  2
3
p2
 x2  x2 
3
p2
0
3
0 p2
Dengan rumus jumlah akar diperoleh, x1  x 2 
p2
Hand out_X_Persamaan kuadrat
Karena p  2 , maka 3x 2  12  0
3 x 2  12
x2  4
x  2
Jadi nilai p  2 dan akar-akarnya adalah x1  2 atau x 2  2
5. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT
1) Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui
Misal x1 dan x 2 adalah akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, maka
persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara:
x 2  x1  x2 x  x1  x2  0
Contoh:
a. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 5
menggunakan cara perkalian faktor dan rumus jumlah serta hasil kali
akar-akar.
Jawab:
x1  x 2  1  5  4
x1  x 2  1  5  5
Sehingga, x 2  4 x   5  0
x 2  4x  5  0
Jadi, persamaan kuadratnya adalah x 2  4 x  5  0
Hand out_X_Persamaan kuadrat
b. Diketahui x1 dan x 2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
x 2  3x  4  0 . Susunlah persamaan kuadrat baru dengan akar-akar
x1  2 dan x 2  2 .
Jawab:
x1  x 2  3
x1  x 2  4
x1  x1  2
x2  x2  2
x 2   x1  x 2 x  x1  x 2  0
x 2   x1  2  x 2  2 x   x1  2  x 2  2   0
x 2   x1  x 2  4 x   x1 x 2  2 x1  2 x 2  4   0
x 2   3  4 x   4  2 x1  x 2   4   0
x 2  7 x  2 4   0
x2  7x  8  0