Geometri - lenterakediri
advertisement
GEOMETRI TERJEMAHAN BUKU “THE CONCEPTUAL ROOTS OF MATHEMATIC” CHAPTER 2 GEOMETRY Oleh : DWI WINARNI (S851202016) HAFIDH JAUHARI (S851202025) SRI UTOMO BUDI (S851202046) WAHYU ASTUTI BUDI (S851202054) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 Geometri 2.1 Euclid 2.2 Kelima Postulat 2.3 Geometri Non-Euclide 2.4 Geometry Formal dan Geometri Fisika 2.5 Kendala Konseptual 2.6 Geometri yang mana? 2.7 Teori Grup 2.8 Geometri Pythagoras mempunyai metrik yang lebih baik 2.9 Desargues 2.10 Kesimpulan 2.1 Euclid Jika bukan Logisme, lalu apa ? Seratus tahun terakhir lubang dalam Geometri Euclide. Hilbert menemukan sejumlah kegagalan secara eksplisit dalam asumsi Euclid . Formulasi utuh dari aksioma yang diperlukan dalam pengembangan yang ketat dari geometri Euclidean sekarang tersedia,yang jauh lebih rumit, dan jauh lebih sedikit dimengerti, dibanding dengan Euclid presentasi, dan kita harus bertanya kepada diri sendiri apa sebenarnya yang dimaksud dengan aksioma titik .Titik dalam aksioma Euclid merupakan tingkatan tertinggi yang digunakan dalam asumsi pembuktian teorema geometris, tetapi sebagian mengambil asumsi keteraturan dan kontinuitas-begitu saja. Tidak biasanya kita mempertanyakan asumsi, meskipun tidak diragukan lagi hal itu dapat dipertanyakan. Sedang Hibert membuat asumsi secara eksplisit,dan memberlakukan bukti dan urutan.Tapi kita cenderung pada nilai/harga. Sedangkan presentasi Euclid mudah dimengerti dibanding Hilbert, kecuali bagi orang yang sudah tahu geometry backword yang tidak memiliki daya tarik bagi masyarakat luas. Sementara di antara filsuf matematika memaklumi hal ini,dan menganggap Hilbert telah melakukan pekerjaan yang tepat yang membantu ketidak sempurnaan Euclid. Tapi ini dengan mengasumsikan sudut pandang formalis terbuka untuk dipertanyakan. Tanpa mencela pekerjaan Hilbert dari sudut pandang formalis, kita mungkin bertanya-tanya apakah ini adalah hal yang Euclid lakukan ? Di luar logika formal, pendekatan aksiomatik semangat Euclid jauh lebih dalam dibanding Hilbert. Fisikawan sering menggunakan dalam mekanika Newton, Teori Relativitas Khusus Teori Relativitas Umum, atau mekanika kuantum, dalam hal aksioma, yang terpenting asumsi teori yang bersangkutan, tetapi mengambil banyak lagi untuk diberikan. Ini adalah prosedur yang sempurna tidak hanya untuk memperkenalkan subjek untukanak sekolah, tetapi juga untuk mengidentifikasi bagi para profesional. Untuk sebagian besar, dalam mengidentifikasi atau menjelaskan geometri Euclidean kebutuhan kita adalah membedakan ciri khas dari geometri yang dari orang lain cukup mungkin digunakan sebagai gantinya. Bahwa mendefinisikan setiap baris perintah dan kontinu tidak normal dipertanyakan, dan hanya mengacaukan komunikasi untuk mengantisipasi pertanyaan sehingga tidak ada lagi pertanyaan yang muncul. Singkatnya tidak hanya cerdas, namun perlunya komunikasi. Sejumlah penjelasan sering tidak beralasan, tetapi obfuscatory. Euclid tidak harus dikritik karena kurangnya ketelitian, tapi dipuji karena rasa relevansinya. 2.2 Kelima Postulat Program Plato adalah prematur. Tapi geometri axiomatized,adalah program yang sedang dilakukan oleh Eudoxus dan Euclid, sehingga berhasil menurunkan semua dari lima aksioma atau postulat yang dalam bahasa Yunani (aitemata), bersama dengan beberapa pengertian umum,(Koinai ennoiai), murni yang bersifat logis, misalnya bahwa jika a sama dengan b dan c adalah sama dengan b, maka a sama dengan c. Lima postulat Euclid adalah sebagai berikut: 1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang ) titik sampai sembarang titik lainnya. 2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus 3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda. 4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.. 5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis. Ini umumnya diambil untuk mengekspresikan kebenaran. Hal ini agak mengejutkan, dalam tiga postulat yang pertama tidak benar-benar proposisi sama sekali, tapi instruksi yang diwujudkan dalam infinitif, dan terakhir terlalu kompleks menjadi jelas-tidak ada manusia yang terbatas bisa melihat hal itu benar,karena tidak ada manusia yang terbatas dapat melihat jauh tanpa batas untuk memastikan bahwa dua baris sebenarnya tidak memenuhi dalam setiap kasus. Banyak formulasi lain yang telah ditunjukkan dalam kelima postulat , baik dalam dunia modern maupun kuno. dengan harapan mereka menjadi jelas lebih mandiri. Di antara mereka kita harus perhatikan: a) Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan Playfair b) Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan dua sudut siku-siku c) Mengingat angka, angka lain adalah mungkin yang mirip dengan angka yang diberikan dan setiap ukuran apa pun. (Wallis) d) Ada dua segitiga yang tidak sama dengan sudut yang sama. (Saccheri dan mungkin juga Plato) e) Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat di dua sisi lainnya. (Pythagoras) Hal ini jelas bahwa proposisi-proposisi adalah ekuivalen. Playfair 's adalah yang paling dekat untuk Euclid, dan dapat dianggap sebagai versi modern, secara eksplisit menyebutkan garis paralel, dan disebut sebagai "postulat paralel". Properti segitiga, bahwa jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut yang tepat, yang cukup mudah membuktikannya. Jauh lebih signifikan adalah aksioma tentang segitiga serupa, dikemukakan dalam bentuk yang lebih jelas oleh JohnWallis, seorang Lulusan Oxford dari abad ketujuhbelas, dan Geralamo Saccheri, seorang imam Yesuit pada abad XVIII. Aksioma Wallis '(c), kita dapat membuktikan bahwa jumlah dari sudut segitiga sama dengan dua sudut yang lain, seperti pada Gambar 2.2.1. Argumen lain, ditampilkan pada Gambar 2.2.2, menunjukkan bahwa Teorema 'Pythagoras dibuktikan melalui segitiga serupa. Kita mungkin bertanya, atas nama generasi anak sekolah yang memiliki temuan dengan "kincir angin" bukti Euclid dari proposisi-nya 1.47, mengapa Euclid lebih banyak disukai karena banyak bukti nya lebih rumit. Jawabannya terletak pada asumsi terakhir dalam bukti diberikan pada Gambar 2.2.2, dan akibat adanya besaran dapat dibandingkan kesulitan hal itu sebagai konsekuensi dari teorema Pythagoras. Argumen Meno menunjukkan bahwa diagonal persegi memiliki panjang √2. √2 adalah salah satu penemuan pengikut Pythagoras A F E B D C Gambar 2.2.1menunjukkan Bukti dari Wallis: Perhatikan segitiga ABC βAFE ≈βABC dan setengah ukuran linier. Selanjutnya π΄πΉ π΄πΈ πΉπΈ 1 = = = π΄π΅ π΄πΆ π΅πΆ 2 Sehingga : AF = FB dan AE = EC. BD = DC, dan karena FE = BD = DC. Kemudian (argumen beberapa ditinggalkan di sini) βCED ≈ βCAB, sehingga ED = (1/2) AB = FB. Jadi dalam βEFD dan βBDF ,EF = BD, DE = FB, dan FD adalah umum. Jadi βEFD = βBDF, dan βDEF = βFBD. Tapi οBCA ο½ οFEA dan οCBA ο½ οCEA . danο ABC ο½ οFBD Jadi οABC ο« οBCA ο« οCBA ο½180 0 , tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua nilai , dengan pendekatan segitiga serupa, dinyatakan bahwa perbandingan sisi dalam segitiga adalah sama. Euclid , dalam teorinya tentang proporsi, hampir diantisipasi oleh Dedekind 's definisi bilangan real, tapi dalam eksposisi geometris nya secara teknis lebih rumit tetapi secara konseptual kurang pendekatan segitiga. Sebuah pernyataan dalam Gorgias menunjukkan bahwa Plato memikirkan tentang segitiga serupa dalam dasar geometri. Dalam Gorgias 508a5-7 ia membedakan "Geometris" dari kesetaraan "aritmetika", yang pertama secara proporsional, sedangkan yang terakhir adalah kesetaraan yang ketat. Aristoteles mengambil perbedaan dalam Nicomachean Ethics, dan Politik, dan membuat dasar penafsiran tentang distributif B A C D Gambar 2.2.2 Bukti Pythagoras dengan Segitiga serupa: Lihat βABC siku-siku di B. Tarik garis tegak lurus dari B keAC pada D. Kemudian βADB ≈βABC dan βBDC≈ βABC. Jadi π΄π· π΄π΅ = π΄π΅ π΄πΆ (AD + DC) AC =. AB2 + BC2. π·πΆ π΅πΆ = π΅πΆ π΄πΆ AC2 = AB2 + BC2 Jadi (AD + DC) AC = AB2 + BC2 dan AC2 = AB2 + BC2 π΄π· (Kami mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam β = 180 °, dan π΄π΅ ) Plato dan Aristoteles melihat bahwa ada universilitas tentang konsep keadilan.dan keadilan memerlukan perlakuan yang sama,serta menghindari implikasi. Plato menganjurkan untuk memperlakukan perlakuan yang sama,namun juga memperlakukan kasus yang berbeda.Geometri Kesetaraan dimunculkan oleh Plato dan Aristoteles untuk menyatukan prinsip dasar dimana harus ada kesamaan dari semua perbedaan yang ada,dengan membenahi dari keadaan yang sebenarnya . Setiap orang harus diberikan bagian mereka, kata Aristoteles, tapi harus adil dan sebanding dengan kondisi yang ada(Axia)dengan jasa mereka, dan ini tergantung pada keadaan. Inilah perbedaan dari argumen egalitarian fifthcentury Athena, dan memiliki konsekuensi penting bagi politik berpikir dalam dunia kuno. Bukti dari teorema Pythagoras adalah puncak dari buku pertama Euclid , dan kami telah menunjukkan bagaimana hal itu dapat dibuktikan bukan hanya dari kelima postulat Euclid sendiri tetapi dari proposisi Wallis tentang segitiga serupa. Itu wajar untuk dipertanyakan apakah itu pada gilirannya dapat dibuktikan dari teorema Pythagoras 'diambil sebagai kebenaran. Bahkan itu bisa. Hal ini paling mudah untuk menunjukkan aksioma Saccheri itu (d), bahwa, diberikan Proposisi Pythagoras, harus ada dua segitiga yang samabentuk tetapi ukuran yang berbeda. D B A C Gambar 2.2.3 Bukti Saccheri dari Pythagoras: ο ABC π πππ’ π πππ’ πππ π΅π΄ = πΆπ΅, π· ππππ ππππππππππππ πΆπ΅ π πβπππππ π΅π· = πΆπ΅ . Selanjutnya βABC = βABD, maka AD = AC dan ο BDA ο½ ο BCA , dan, βABC = βDBA, ο BAC ο½ ο ADB . Menurut Pythagoras : AC2 = BA2 + CB2 = 2CB2 AD2 = BA2 + BD2 = 2BD2 = 2CB2 AC2 + AD2 = 4CB2 = CD2. Jadi ο CAD adalah sudut yang siku-siku, dan βABC≈βCAD 2.3 Geometri Non-Euclid Geometri hiperbolik pertama kali ditemukan oleh Bolyai, seorang Hungaria, dan juga oleh Lobachevsky sendiri, seorang Rusia, pada awal abad 19. Alih-alih dari titik yang tidak berada di sebuah garis yang sudah ada dan hanya satu garis yang dapat ditarik berjajar pada garis tersebut seperti dalil Playfair, mereka berdalil bahwa dari sebuah titik tanpa garis lebih dari satu yang tak terbatas jumlahnya, garis-garis dapat ditarik secara parallel pada garis yang sudah ada. Kemudian di abad 19, Riemann mengubah dalil kesejajaran tersebut dengan cara yang berbeda, bahwa tidak hanya satu garis paralel yang dapat ditarik. Hal ini tentunya memerlukan beberapa modifikasi aksioma lain, akan tapi modifikasi tersebut menghasilkan geometri non-euclid lain yang konsisten yaitu geometri ‘eliptik.’ Geometri Non-Euclid cukup asing, tapi terkesan mudah, kita sudah lebih akrab dibandingkan dengan saat pertama kali Saccheri menghadapinya. Sangat mudah menggambarkan geometri eliptik Non-Euclid dengan memikirkan permukaan bentuk bola seperti bumi atau buah jeruk. Mudah pula untuk melihat bahwa jika lingkaran-lingkaran besar dibuat menjadi ‘garis-garis’, garis-garis parallel geometri eliptik tidak akan ada. Bila dua lingkaran besar bertemu, mereka tidak hanya akan bertemu sekali tapi dua kali karena meridian garis bujur bertemu pada kedua kutub; kutub utara dan kutub selatan. (Sesuai tafsiran tersebut, kesejajaran garis bujur sebenarnya tidak sejajar/parallel sama sekali sebab bukan merupakan garis lurus tapi lebih kepada lingkaran). Jika kita menganggap oktan jeruk atau lingkar segitiga permukaan bumi ditandai dengan garis meridian Greenwich, Ekuator dan Garis bujur barat 90°, maka akan terlihat mempunyai sudut yang tepat di tiap puncak, sehingga jumlah sudutnya bertambah menjadi tiga sudut yang tepat 270° alih-alih hanya dua sudut yang tepat 180°. Segitiga yang lebih kecil akan memiliki jumlah sudut mendekati 180° yang akan terpelihara saat segitiganya mengecil. Jika kita tahu seberapa besar sudut-sudutnya, tentu saja kita dapat mengetahui sisi-sisi pastinya. Hanya segitiga-segitiga lingkar (poligon) yang tiap sudutnya 90° lah yang sisi-sisinya seperempat dari keliling lingkaran besar. Hal ini menjelaskan tesis WallisSaccheri bahwa dalam Geometri Non-Euclid tidak ada segitiga yang sama dengan ukuran yang berbeda. Terlihat dengan mudah pada kasus oktan tersebut bahwa dalil Pythagoras jauh dari benar, dalam hal ini h = a = b. Dengan cara yang sama, keliling lingkaran yang ditarik pada permukaan bola kurang dari 2πr. Jika Kutub Utara diambil sebagai pusat dan beradius seperempat lingkaran besar, Equator yang panjangnya bukan 2π × ((1/4) × (lingkaran besar)) tapi hanya (lingkaran besar) harus ditarik, dan rasio keliling pada jari-jari lingkaran ini bukan 2 π tapi 4. Permukaan bola mempunyai lengkungan positif, jadi jika dua bidang ortogonal memotong satu sama lain di sepanjang garis yang tegak lurus terhadap permukaan, tiap bidang memotong permukaan dalam kurva yang sisi cekungnya berada dalam arah yang sama seperti yang lainnya. Sehingga hasil yang menegaskan lengkungan permukaan tersebut adalah positif dimana pun sisi cekung menghadap. Geometri eliptik Riemann Tidak ada kesejajaran (disimbolkan E0) lebih dari 180° (disimbolkan >) β2 > π2 + π 2 (disimbolkan P<) Keliling < 2ππ 2 (disimbolkan O<) Permukaan bidang bola Kurva/lengkungan positif (disimbolkan C+) Tabel 2.3.1 Permukaan dengan lengkungan negatif lebih sulit untuk digambarkan. Permukaan pelana atau puncak pegunungan adalah contohnya. Pada permukaan seperti itu, keliling lingkaran lebih dari 2 π kali jari-jari, sehubungan dengan kuadrat sisi miring yang lebih besar daripada jumlah kuadrat dua sisi lainnya. Cukup sulit untuk melihat bahwa jumlah sudut pada sebuah segitiga kurang dari 180°, tapi bila kita mempertimbangkan betapa sangat kecilnya perbedaan pada jalan setapak di puncak gunung dapat membawa ke tujuan yang berbeda-beda, kita dapat memahami bahwa segitiga dapat mempunyai sudut-sudut bertambah kurang dari 180°. Jika bentuk segitiga ini dibawa ke batasnya akan muncul area minimum sebuah segitiga. Hal ini sekali lagi menunjukkan betapa dalil WallisSaccheri gagal untuk geometri Non-Euclid. Hal ini juga menarik perhatian kita ke bentuk lain geometri Non-Euclid. Baik geometri hiperbolik maupun eliptik memiliki ‘kesatuan dasar’ tersendiri. Pada geometri hiperbolik terdapat sebuah area minimum yang dapat dimiliki sebuah segitiga dan pada geometri eliptik terdapat panjang maksimum yang dapat dimiliki sebuah garis. (Ini lah sebabnya geometri eliptik membutuhkan modifikasi tidak hanya pada dalil kelima Euclid tapi juga yang kedua, yang menganggap pasti bahwa garis lurus dapat diperluas tak terbatas jauhnya) Gambar 2.3.1 Pelana yang menunjukkan segitiga dengan sudut-sudut mendekati nol, tapi masih mencakup area penting Geometri Non-Euclid masih tetap asing. Kita dapat memahami dan menggambarkannya pada tingkat tertentu, tapi ada hal-hal yang tidak lazim dan mungkin tidak ramah bahkan setelah bersentuhan sekian lamanya. Tapi, bukan berarti geometri ini tidak konsisten, bahkan fakta menunjukkan kekonsistenannya. Memang mudah mengatakan sebuah geometri itu konsisten, tapi sulit untuk membuktikannya. Saccheri menyimpulkan bahwa sistem yang ia telaah sangat tidak masuk akal untuk menjadi tidak konsisten, dan siapa yang membuktikan ia salah? Felix Klein akhirnya membuktikannya dengan alat ‘bukti relativitas konsistensi’ yang mana telah menjadi hal penting dalam dasar-dasar matematika. Klein membuat model geometri hiperbolik dalam geometri Euclid. Ia mempertimbangkan bagian dari bidang Euclidean yaitu bagian dalam lingkaran yang diberikan dan menggambarkan kembali bagian dalam lingkaran tersebut dengan cara tertentu. Ia menunjukkan bahwa aksioma geometri hiperbolik sangat meyakinkan dalam deskripsi baru tersebut. Klein kemudian berkata bahwa jika memang tidak konsisten maka akan ada inkonsistensi yang saling berhubungan pada bidang Euclid dan geometrinya akan menjadi tidak konsisten juga. Jadi kenyataan berbalik, geometri hiperbolik adalah konsisten sehubungan dengan geometri Euclid. Pembuktian Klein terlalu rumit. Kita dapat mengerti tujuan argumennya jika kita memikirkan bukti relativitas konsistensi dengan model yang baru saja diberikan. Aksioma geometri eliptik dua dimensi diyakinkan pada permukaan bola dengan titik-titik geometri eliptik yang diwakili oleh titik-titik pada permukaan bola dan garis-garisnya diwakili oleh lingkaran besar pada permukaan bola. Bila aksioma geometri eliptik tidak konsisten, maka dapat dibuat urutan bukti seperti ditunjukkan Tabel 2.3.3 yang mana tiap garis telah dirumuskan dengan baik dengan geometri eliptik (ditunjukkan oleh sisi kiri tabel), dan salah satunya adalah sebuah aksioma atau yang mengikuti dari satu atau lebih garisgaris sebelumnya dari simpulan. Sehingga garis terakhir membentuk A Λ ¬A. Sekarang mari kita pikirkan urutan-bukti ini bukan sebagai rangkaian perumusan yang seimbang tentang titik dan garis dalam geometri eliptik, tapi sebagai perumusan imbang tentang titik-titik dan lingkaran besar dalam sub ruang dua dimensi dari geometri tiga dimensi Euclid (ditunjukkan oleh sisi kanan tabel). Apa yang sebelumnya adalah aksioma dalam interpretasi eliptik sekarang menjadi dalil sebenarnya dan dapat dibuktikan dari aksioma geometri tiga dimensi Euclid yang (ditunjukkan oleh garis-garis tambahan di atas rangkaian-bukti pada sisi kanan). Sehingga, kita dapat memenuhi urutan-bukti tersebut untuk membuktikannya dari aksioma geometri tiga dimensi Euclid Geometri hiperbolik Bolyai, Lobachevsky Lebih dari satu kesejajaran/paralel (disimbolkan E+) kurang dari 180° (disimbolkan <) β2 > π2 + π 2 (disimbolkan P>) Keliling > 2πr 2 (disimbolkan O>) Permukaan pelana atau puncak pegunungan Kurva/lengkungan negatif (disimbolkan Cο) Tabel 2.3.2 Bila bukti dalam geometri eliptik berakhir pada perumusan A Λ ¬A, bukti dalam geometri tiga dimensi Euclid akan berakhir pada perumusan A’ Λ ¬A’, yang sebenarnya A Λ ¬A juga, sehingga geometri tiga dimensi Euclid akan menjadi tidak konsisten juga. Jadi, bila geometri tiga dimensi Euclid tidak konsisten maka geometri eliptik juga tidak konsisten, sebaliknya jika geometri tiga dimensi Euclid konsisten maka geometri eliptik juga konsisten. Geometri bidang Geometri Euclid 3- eliptik dimensi ……extra ……extra ……extra A Λ ¬A Diterjemahkan ……….. Diterjemahkan ……….. Diterjemahkan ……….. Diterjemahkan ……….. Diterjemahkan A’ Λ ¬A’ Tabel 2.3.3 Geometri Non-Euclid telah mempertahankan kekonsistenannya. Dan dengan ketiadaan inkonsitensi mutlak, para ahli matematika telah dibuat bekerja keras untuk memberikan alasan/dasar, dan mengeluarkan mereka dari alasanalasan. 2.4 Geometri Formal dan Geometri Fisika Geometri Euclid turun tahta, menghadapi gangguan besar. Pondasi/dasar kebenarannya diguncang secara keseluruhan dan Tuhan seperti sudah tidak ada di Surganya lagi karena geometri ini tidak lagi benar. Cara berfikirnya yang tidak mapan sama seperti teori relativitas Einstein pada permulaan abad 20. Para filsuf dipaksa untuk memikirkan kembali status geometri. Mereka menyimpulkan bahwa geometri dapat dilihat dengan dua cara. Geometri dapat dipandang secara formal, yang dalam hal ini adalah sebuah sistem formal yang konsisten dimana simpulan-simpulannya diikuti dengan aksioma yang telah ada. Geometri juga dapat dilihat pada hakekatnya/substansinya, yang membuat pernyataan tegas tentang substansi dunia ruang dan materi. Dalam hal ini, geometri menjadi terbuka terhadap pemalsuan sama seperti teori ilmu pengetahuan lainnya, sama halnya pula dengan yang telah dilakukan Protagoras. Kedua alternatif ini akan diuraikan bergantian. Bila bukan Pembuktian Sendiri, lalu apa? Mungkin saja Formalisme Bila kita menganggap geometri hanya sebagai sebuah sistem formal yang simpulan-simpulannya mengikuti premis-premis atau aksioma-aksioma, kita tidak akan terlalu khawatir tentang arti kata atau interpretasi istilah-istilah geometri. Yang dipikirkan hanyalah hal-hal yang bersifat sintaksis yang diberikan melalui aturan-aturan penyimpulan dan aksioma. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa aksioma Euclid teorema Pyhtagoras yang telah diberikan seperti berikut ini; Euclid β Pythagoras Ini hanyalah turunan formal dalam logika urutan-pertama dan dapat dengan setara dinyatakan oleh teorema deduksi β Euclid Pythagoras yang mana akan menjadi teorema logika urutan-pertama dalam sistem yang dibatasi dengan simbol-simbol tambahan tanpa aksioma tambahan. Tidak ada hal yang khusus tentang aksioma pada analisis formal. Kita memiliki kebebasan penuh untuk memilih aksioma yang diinginkan. Hal ini merupakan berita baik untuk para pelajar yang sedang melakukan penelitian; dengan begitu daripada dikungkung Geometri Euclid, mereka mempunyai akses lengkap terhadap geometri lain yang sudah diteliti atau ditulis. Paling tidak, kita sudah menambah persediaan topik dengan faktor yang ketiga. Dan bila dalil Euclid selain yang kelima mulai diubah maka persediaan topiknya akan bertambah banyak sekali. Akan tetapi hal ini kerugiannya. Kebebasan formal didapatkan dengan harga dari sebuah kekosongan substansial. Saat rancang bangun Euclid ditinggalkan lebih jauh, geometri menjadi lebih aneh dan kurang nyata serta terkesan hanya seperti lamunan dengan tanda-tanda/angka-angka di lembaran-lembaran kertas dan kurang dapat mengetahui hal-hal yang berarti atau benar. Aturan-aturan dalam klub makan siang adalah contohnya. (1) Klub melaksanakan acara makan siang secara berkala dan dihadiri hanya oleh anggota (2) Setiap anggota klub harus bertemu dengan setiap anggota paling sedikit satu kali dan tidak boleh lebih dari sekali pada satu acara makan siang klub (3) Daftar anggota klub yang dipilih oleh Sekretaris untuk menghadiri dua acara makan siang tidak pernah seluruhnya berbeda, paling tidak satu anggota berada di keduanya. (4) Ketua, Bendahara dan Sekretaris adalah anggota klub yang hadir di makan siang yang pertama kali dan paling sedikit tiga anggota klub hadir pada makan siang selanjutnya. Aturan-aturan tersebut terlihat jelas tapi pada pengujian lebih lanjut terkesan mencurigakan, terutama dalam konteks pembahasan geometri, dan memang begitu adanya. Ada aksioma sudut yang luas dari geometri proyektif yang dapat dihitung dengan ‘anggota’ yang melakukan tugas sebagai sebuah titik, ‘makan siang’ untuk sebuah garis serta ‘menghadiri’ untuk kejadian suatu bentuk. Secara formal, jika kita berkonsentrasi pada stuktur sintaksis dari sistim yang secara implisit ditegaskan dengan aksioma-aksioma ini dan tidak mempertimbangkan interpretasinya atau isi substansinya, maka tidak akan ada bedanya antara aksioma geometri proyektif tersebut dan aturan klub makan siang. Dengan begitu, studi ini dapat disebut geometri sistim formal, tentu saja dengan cara yang sama dapat disebut lunchologi (ilmu makan siang), dan dengan mengingat kritik Plato bilakah lunchologi adalah ilmu yang cukup berharga untuk dipelajari oleh orang dewasa. Karakteristik geometri formal telah gagal untuk menangkap apa sebenarnya geometri itu. Klub makan siang tidak ada kaitannya dengan (geometrein) yaitu pengukuran bumi/alam/bentuk. Jika bukan Formalisme, lalu apa? Mungkin Empirisme Formal (atau Protagoreanisme) Pandangan modern telah memisahkan pendekatan murni sintaksis formal dari semantik/arti kata yang lebih mengacu pada Protagoras. Euclid tidak hanya mempertimbangkan aksioma geometri tapi juga aksioma yang berhubungan dengan interpretasi fisika. Interpretasi fisika standar ini seperti sinar tipis (garis tipis yang memanjang dari sebuah titik yang tak terbatas dalam satu arah) yang dinyatakan sebagai sebagai garis lurus. Alih-alih mengutarakan dalil aksioma geometri Euclid, kita harus memikirkan hubungan aksioma-aksioma tersebut dengan interpretasi fisika and menanyakan apakah kenyataannya benar. Riemann menanyakan pertanyaan ini dan bukannya mempertimbangkan usulan Pythagoras, yang disingkat Pyth, tapi ββapakah sudut-sudut segitiganya bertambah hingga 180°. Ia mengukur sudutsudut tersebut di puncak tiga pegunungan yang jauh terpisah, serta menemukan bahwa menurut batasan-batasan ketepatan pengamatan, sudut-sudut tersebut ada. Dengan ini, geometri dapat dianggap sebagai ilmu pengetahuan empiris dan dapat diuji dengan cara yang sama dengan setiap teori fisika yang ada, sejauh ini sudah benar. Protagoras diberlakukan kembali. Poincare mengembangkan argumen ini untuk mendapatkan kesimpulan yang berlawanan. Karena tesis yang diperlakukan untuk pengujian empiris ini bukan hanya kumpulan aksioma Euclid tapi juga hubungan aksioma tersebut dengan interpretasi fisika tertentu, kita dapat selalu berpegang pada aksioma Euclid, sehingga kita dapat membuat penyesuaian yang cocok terhadap interpretasinya. Garis-garis tipis yang memanjang dari sebuah titik yang sudah ada diperbolehkan untuk tidak menyatakan garis-garis lurus. Bahkan jika kemudian sudut segitiga yang sudah diukur itu tidak bertambah hingga 180°, kebenaran geometri Euclid diragukan. Penggunaan kata ‘konvensi’ oleh Poincare sungguh disayangkan walaupun ia mengutarakan poin penting yang memang masih perlu dipikirkan dengan serius. Konvensi/persetujuan yang sebenarnya adalah bila tidak ada sama sekali yang bisa dipilih diantara dua hal. Sebagai contoh adalah mau menyetir di sebelah kanan atau kiri jalan, atau memandang perkalian, yang tanda kurung dihilangkan, lebih atau kurang menarik daripada penjumlahan. Sehingga, kita memerlukan aturan untuk dapat memahami satu sama lain dan melakukan tindakan yang diperlukan. Pilihan yang ada pada geometri tidak seperti itu. Mungkin ada banyak alasan empiris bahkan bukan empiris yang bagus untuk memilih antara satu geometri dan lainnya. Hempel menegaskan bahwa alasan/dasar tersebut ada. Ia berpendapat bahwa kita harus mempertimbangkan tidak hanya pada kesederhanaan geometri tapi juga gabungan geometri dan interpretasi fisikanya. Jika ada dua interpretasi fisika PhysInt1 and PhysInt2, maka kadang Euclid + PhysInt1 lebih rumit daripada Riemann + PhysInt2, sehingga kita memiliki alasan rasional untuk kebelakangnya, walaupun yang sebelumnya mungkin lebih konsisten dengan fakta observasinya. Hempel menyarankan agar kita memilih kombinasi yang paling baik, yaitu yang paling sederhana, dari gabungan aksioma geometris dan interpretasi fisika. Apabila kita berfikir tentang interpretasi fisika yang berbeda PhysInt1, PhysInt2, PhysInt3, interpretasi semantik aksioma dan teorema geometri yang berbeda harus digunakan, yang dinyatakan dengan I=. Jadi kita punya PhysInt1 β Pyth dimana Pyth adalah usulan/dalil Pythagoras, tapi PhysInt2 β ¬ Pyth dan PhysInt3 β ¬ Pyth, sehingga walaupun ada interpretasi, katakan saja PhysInt1, yang mana Pyth adalah benar, namun demikian kita lebih memikirkan interpretasi yang lain, contohnya PhysInt2, yang mana Pyth adalah salah. Jika misalnya PhysInt2 adalah satu bahwa garis lurus dianggap menjadi garis tipis yang memanjang dari sebuah titik, maka meskipun percobaan Riemann memperkuat tesis =, bahwa sudut- sudut segitiga bertambah jadi 180° dengan batasan ketepatan yang tersedia pada zamannya. Teori yang telah diperkuat oleh observasi sekarang telah ada, berdasarkan pada segitiga-segitiga, ditetapkan dengan garis-garis tipis pada titik, yang mempunyai sudut-sudut yang bertambah hingga lebih dari 180°. Jadi PhysInt2 β ¬ =, dan, dengan cara yang sama, PhysInt3 β ¬Pyth. Walaupun kita dapat bertahan dengan coûte que coûte geometri Euclid, tidak masuk akal untuk melakukannya. Gabungan geometri eliptik dan teori umum Einstein lebih dipercaya daripada geometri Euclid dan sejumlah besar uraian fisika rumit yang menafsirkan garis-garis dengan cara —PhysInt1—bahwa PhysInt1 β Pyth tapi harus membayar harga atas seluruh hipotesis ad hoc dan sejumlah asumsi yang tak masuk akal. 2.5 Kendala Konseptual Ekposisi Hempel jelas indah, argumennya memiliki banyak hal yang menyakinkan, dan kesimpulannya telah diterima secara luas, sehingga merupakan ortodoksi saat ini. Meskipun demikian argumennya terbuka terhadap kritik. Meskipun ia sepenuhnya benar dalam bersikeras, sebagaimana terhadap Poincaré, bahwa kita perlu mempertimbangkan bukan hanya geometri secara sendiri tetapi kombinasi geometri dengan interpretasi, yang berkonsentrasi terlalu eksklusif pada interpretasi fisik, dan tidak mempertimbangkan kendala lain yang beroperasi. Pertama terdapat perbedaan yang nyata antara geometri dan fisika yang menimbulkan beberapa tekanan konseptual yang harus diakui. Kedua, ada hubungan antara beberapa konsep dasar geometri dan konsep-konsep lain di luar geometri yang sangat membatasi berbagai kemungkinan interpretasi. Ada pembagian kerja antara geometri dan fisika. Fisika terkait dengan sebab dan akibat, dan berusaha untuk memberikan penjelasan fenomena dalam hal hukum alam. Tidak ada bagian dari fungsi geometri untuk melakukan ini, tapi untuk memberikan skema acuan dan deskripsi yang memungkinkan proposisi tentang dunia yang akan dirumuskan dan dibahas, dan untuk menemukan hubungan antara perbedaan proposisi semacam ini. Memang seperti fungsi, geometri tunduk pada berbagai persyaratan. Jadi inefficacy penyebab ruang dan waktu berikut dari yang geometri tidak sendiri terlibat dalam memberikan penjelasan kausal, dan pada gilirannya memaksakan kondisi homogenitas dan isotropi yang konsekuensi geometris. Geometri itu bagai kain yang dapat dibuat model sesuai selera ,kalau fisika terkait dengan hukum hukum alam. Namun antara geometri dan fisika sulit untuk dipisahkan. Sebagai contoh adalah materi geometrodinamika yaitu materi yang harus melibatkan konsep konsep dasar geometri dan fisika. Jadi materi geometrodinamika bertujuan menyatukan geometri dan fisika.Jika program ini berhasil maka tidak akan ada perbedaan antara geometri dan fisika Selama ini kita bicara tentang, materi itu geometri atau bukan, fisika atau bukan yang merupakan kendala yang konseptual. Titik dan garis tidak hanya sekedar implisit didefinisikan oleh aksioma namun juga ada definisi lain yang terkait. Mari kita amati secara sistematis. - Pertama. beberapa perbedaan mereological dan kategoris: i. sebuah titik tidak memiliki bagian (Pythagoras) ii. sebuah titik memiliki posisi tapi bukan besaran, sedangkan iii. Sebuah garis lurus memiliki bagian a) garis lurus memiliki posisi dan arah b) garis lurus memiliki panjang namun tidak mimiliki luas - Kedua, memiliki perbedaan topologi antara titik dan garis (tidak selalu lurus): i. sebuah titik tidak dapat memiliki batas, namun dapat sebagai batas ii. sebuah garis dapat memiliki titik sebagai batas, dan dapat menjadi batas permukaan iii. permukaan dapat memiliki garis sebagai batas, dan dapat menjadi batas dari volume. Lebih umum, ada sejumlah definisi yang mungkin dari garis lurus. - Ketiga. Sebuah garis lurus: i. adalah jarak terpendek antara dua titik ii. adalah panjang tak berluas iii. adalah bagian dari sinar cahaya iv. terlihat lurus v. tidak memiliki belokan vi. terletak merata pada dirinya sendiri vii. adalah sumbu rotasi pada dimensi 3 viii. adalah persimpangan dari dua bangun datar ix. adalah bahwa yang tengah akhir sampul Jadi titik tidak memilki bagian, tidak memiliki besaran, memiliki posisi lain halnya dengan garis yang memiliki posisi, arah dan besaran. Hal ini dibahas dalam Topologi antara lain pemahaman tentang garis lurus. Garis lurus memiliki beberapa pemahaman /konsep: Menurut ilmu geodesi dan teori relativitas garis lurus adalah jarak terpendek antara dua titik. Dua garis benar benar lurus jika keduanya akan cocok pas bersama sama dalam satu posisi. Ini sesuai definisi Euclid. Dalam bahasa modern garis lurus adalah yang memiliki simetri translasi bersama, sebagai sumbu rotasi. Dari beberapa pemahaman kiranya masuk akal dalam mendefinisiskan garis lurus tetap konseptual pada kurva satu dimensi yang kontinu, tak terbatas, simetri dan rotasinya tak terbatas. 2.6. Geometri Yang Mana? Jika penjelasan murni formalis dan empiris geometri ditolak, kita dihadapkan sekali lagi dengan pertanyaan "geometri mana yang sebaiknya kita pilih?". Sebagai formalis, kita tidak bisa mengatakan bahwa semua geometri setara, sehingga selama semua geometri konsisten ataupun tidak, kita tetap harus membuat pilihan. Kita harus mengakui bahwa sebagai kaum formalis, kita bebas untuk membuat pilihan yang kita inginkan, dan bahwa kebanyakan yang dapat dipelajari dari studi, geometri dianggap semata-mata sebagai suatu sistem formal. Seperti yang empirisis lakukan, kita tidak bisa membiarkan seluruh pengalaman indrawi memutuskan antara formal yang berbeda sistem, meskipun putusan pengalaman indrawi memberikan geometri plus interpretasi adalah berat, dan tanpa modifikasi kita tidak bisa terus mempertahankan geometri bersama dengan interpretasi yang berkembang dalam menghadapi bukti-bukti empiris. Oleh karena itu, kita harus bertanya pada diri kita sendiri, bagaimana kita harus memilih geometri, dengan mempertimbangkan bahwa ada banyak geometri yang konsisten untuk dipilih. Mari kita tabulasi mereka dengan fitur-fitur khusus mereka dalam rangka untuk membuat pilihan informasi antara mereka seperti dalam majalah konsumen ': Tak satu pun dari geometri ini yang meyakinkan dan tidak satupun dari mereka yang tidak konsisten. Namun, dimungkinkan bahwa salah satu dari mereka mungkin yang paling cocok untuk beberapa tujuan tertentu. Akan tetapi, kita dapat memberikan bimbingan rasional untuk pengguna umum pada kekuatan dari beberapa fitur yang tercantum dalam tabel, dan menyimpulkan bahwa Geometri Euclidean adalah Best Buy (Yang Bagus Dibeli) dan ini untuk beberapa alasan. Keunggulan pertama, geometri Euclidean lebih spesifik dan lebih fleksibel daripada pesaingnya. Dengan geometri elips kita harus bertanya apa unit panjangnya adalah panjang-lingkaran yang besar. Geometri tersebut tidak akan tersedia untuk panjang yang lebih besar daripada yang maksimum. Dalam memilih geometri itu, kebebasan kita dalam memahami berkurang. Meskipun jika panjang sangat besar, kita tidak mungkin untuk sampai menentang bukti empiris, kita mungkin selalu ingin mempertimbangkan, jika hanya hipotetis, panjang yang lebih besar, dan itu adalah pembatasan kebebasan kita berpikir untuk aturan itu keluar sebelumnya. Fleksibilitas dari geometri Euclidean ditampilkan lebih jelas dalam perumusan Saccheri-Wallis, yang pada dasarnya memberi geometri Euclidean memiliki dua kemungkinan gambaran bentuk yang sama tetapi ukuran yang berbeda. Dalam geometri eliptik, seperti yang kita lihat dengan oktan sebuah bola, bentuk menentukan ukuran, dan sama berlakunya pada geometri hiperbolik. Tidak ada kemungkinan pada mereka geometri model skala, dan bukannya mampu mencirikan suatu objek dan gambaran lainnya dengan mengacu pada bentuk dan ukuran mereka secara mandiri, kita harus hanya memiliki satu cara link dari karakteristik mereka. Geometri Euclidean memiliki derajat kebebasan lebih, dan karena itu lebih cocok untuk fungsinya kembali menghadapi fenomena fisik yang dapat dijelaskan dan teori fisika yang dirumuskan dan diuji. Untuk teori ilmiah, seperti fisika, fleksibilitas mungkin suatu kesalahan. Sedangkan untuk geometri, dengan tujuan yang berbeda, fleksibilitas bukan kelemahan tetapi kekuatan. Hal ini meningkatkan potensi deskriptif geometri, yang adalah apa yang kita inginkan, dan fakta bahwa bukan fungsi dari geometri untuk menawarkan prediksi difalsifikasi atau penjelasan. Ini mungkin tampak paradoks yang kita klaim atas nama geometri Euclidean baik yang lebih spesifik dan bahwa itu adalah lebih fleksibel dan umumnya tersedia. Tapi ada paradoks yang berkata bahwa geometri adalah Euclidean, kita katakan semua yang perlu kita katakan untuk mengkarakterisasi sepenuhnya, dengan mengatakan bahwa itu adalah hiperbolik atau elliptik , kita tidak mencirikan sama sekali, dan kita perlu mengatakan lebih lanjut apa itu kelengkungan, kita perlu juga untuk mengatakan apa daerah minimum dari sebuah segitiga atau panjang maksimum dari garis lurus. Hanya ada satu geometri Euclidean, sementara seluruh famili geometri hiperbolik dan eliptik, masing-masing berbeda dari yang lain, dan masing-masing memiliki kekhasan kelengkungan, jumlah sudut segitiga, dan rasio keliling lingkaran dengan diameter nya tersendiri, yang menghalangi aplikasi yang mudah untuk beberapa kasus dibayangkan. Dalam setiap segitiga geometri Euclidean menambahkan hingga yang sama, rasio keliling dengan diameter selalu sama, kelengkungan selalu sama. Tetapi, geometri Euclidean adalah satu-satunya geometri yang ditetapkan tersedia dalam berbagai kasus sehingga lebih multitujuan. Pertimbangan yang sama berlaku dengan jumlah paralel. Geometri Euclidean memiliki tepat satu atau lebih spesifik daripada geometri hiperbolik, yang memiliki tak terhingga banyaknya, meskipun dalam kasus ini tidak lebih spesifik daripada geometri elliptik yang telah ada. Tetapi yang terakhir terdapat kecacatan ketika digunakan untuk membangun sistem referensi. Di permukaan bumi, garis bujur berpotongan di kutub: 10 ° E dan 90° N adalah sama dengan 10 ° W dan 90°N.. Kami ingin ada sebuah korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam ruang dan set koordinat. Jika ini menjadi begitu, kita perlu "paralelisme topologi", adalah bahwa garis-garis (tidak selalu lurus) didefinisikan oleh semua koordinat kecuali satu yang konstan harus selalu ada dan tidak pernah berpotongan. Sejauh argumen kita ini berjalan, ini tidak harus garis lurus, kita dapat memiliki koordinat lengkung dan tidak menuntut paralelisme geometris. Tetapi penggunaan garis lurus dalam geometri eliptik dikesampingkan, dan penggunaan garis lurus paralel Euclidean sangat disarankan. 2.7 Teori Grup Plato berargumentasi terhadap segala bentuk operasionalisme dan konstruktivisme dalam matematika, karena matematika harus mengubah pikiran menuju kontemplasi abstrak realitas abadi. Dia mengakui bahwa dalam praktek linguistik yang sebenarnya, geometers akan menyarankan sebaliknya, tapi ia dan Aristoteles (setelah dia), melihatnya sebagai suatu kelemahan, bukan petunjuk untuk memahami apa yang sebenarnya terjadi. Sangat disayangkan bahwa Plato dan pengaruh Aristoteles begitu besar, bahwa meskipun bahasa operasi tetap menjadi bagian dari kosakata standar geometers. Tiga rumusan Euclid yang pertama adalah instruksi, ditulis dalam infinitif, bukan dari proposisi primitif ditulis dalam indikasi. Hal itu tidak ditanggapi serius, sampai Felix Klein mengemukakan Program Erlangennya, dimana ia menyarankan geometri yang harus didekati bukan aksiomatik tetapi melalui grup-grup operasi yang meninggalkan fitur geometris Topologi invariant. Topologi harus dilihat sebagai studi tentang apa yang tersisa atau tidak berubah di grup dari semua transformasi terus menerus. Geometri hiperbolik, dan dengan geometri elliptik agak lebih sulit, juga dapat diberikan karakterisasi grup-teoritis. Geometri Euclidean ternyata geometri yang tidak terpengaruh oleh grup translasi, rotasi dan refleksi, yang karena itu disebut grup Euclidean. Grup Euclidean menuntun kita bahwa geometri Euclidean pada satu presentasi, bersama grup Lorentz membawa kita ke Teori Khusus Relativity. Sebuah skeptis tentang keutamaan geometri Euclidean mungkin mengizinkan kewajaran pendekatan grup teoritis, tetapi muncul pertanyaan penting: “Apa yang begitu baik tentang Grup Euclidean?” Satu jawaban parsial adalah salah satu abstrak murni yang dihasilkan oleh grup operasi refleksi adalah grup non-trivial sederhana, sedangkan grup rotasi adalah grup paradigma siklik berkelanjutan dan grup translasi adalah grup paradigma serial berkelanjutan. Grup Euclidean sesuai kepentingannya. Jawaban lain yang parsial adalah karena Helmholtz. Grup Euclidean mempertahankan gerakan rigid, dan gerakan rigid yang diandaikan oleh filosofi pengukuran kami, dan jelas penting jika kita ingin memanipulasi benda-benda di dunia sekitar kita. Ini adalah pertimbangan praktis. Ada juga "komunikasi argumen". Geometri didefinisikan oleh grup yang secara alami mengasumsikan pentingnya komunikator terbatas yang tidak bisa berada di tempat yang sama dalam waktu yang sama. Argumen ini telah dimentahkan oleh TG Mc Gonigle, yang menunjukkan bahwa gerakan rigid yang mungkin dalam setiap ruang kelengkungan. Pada pandangan pertama tampaknya ada inkonsistensi antara klaim bahwa geometri Euclidean ditandai oleh grup Euclidean dan klaim bahwa gerakan rigid yang mungkin dalam ruang di mana fitur geometris tidak invarian dalam grup Euclidean. Jika kita mempertimbangkan permukaan jeruk, jelas bahwa bulat segitiga dan bentuk lainnya dapat meluncur di sekitar permukaan tanpa distorsi, dan itu akan tampak, karena mereka sedang ditranslasi dan dirotasi. Tapi ketika kita mempertimbangkan lebih dalam, kita melihat bahwa translasitranslasi jelas tidak nyata, karena ketika iterasi cukup mereka datang kembali ke tempat mereka mulai. Mereka sebenarnya bukan translasi, tapi rotasi sekitar yang agak jauh dari pusat rotasi. Disamping memiliki sekelompok rotasi sederhana bersama dengan translasi, kami memiliki sekelompok rotasi lebih rumit dengan radius rotasi yang berbeda. Grup tersebut memang akan melestarikan gerakan rigid, dan dalam batas tertentu akan dibedakan dari grup Euclidean. Walaupun hanya ada satu jenis operator rotasi di sekitar beberapa pusat rotasi-itu adalah salah satu variabel parameter radius rotasi sedangkan grup Euclidean, meskipun memiliki dua macam operator berkelanjutan, tidak memiliki parameter lebih lanjut untuk menentukan. Ada jarak antara satu jenis kesederhanaan dan lainnya, tapi kita bisa berpendapat baik secara abstrak bahwa grup Euclidean adalah grup paling sederhana yang melindungi gerakan rigid, dan sebagai masalah praktek bahwa dalam hal translasi dan rotasi sederhana yang menafsirkan gerakan bahan benda di sekitar kita. Kita bisa salah. Bisa jadi bahwa apa yang kita anggap sebagai translasi yang benar-benar rotasi sekitar pusat rotasi sangat jauh. Tapi kami menganggap mereka, tentu cukup, seperti translasi, dan sekali lagi kita membedakan translasi dari rotasi, kami berkomitmen untuk grup Euclidean, dan sehingga juga berlaku untuk geometri Euclidean. 2.8. Geometri Pythagoras mempunyai Metrik yang lebih baik Dalil Pythagoras, kita perhatikan, dapat mengambil sebagai aksioma bukan sebuah Teorema yang harus dibuktikan, dan dalam banyak hal adalah lebihkarakteristik fitur dari geometri yang dihasilkan dari rumit Euclidpostulat paralel. Dan kita bisa berdebat untuk geometri Pythagoraspada nilai proposisi karakteristiknya, P =, menjadi lebih baik dari proposisi karakteristik, P< dan P>, dari hiperbolikberbentuk bulat panjang dan geometri masing-masing. Untuk P = adalah masuk akalsederhana aturan untuk menentukan ukuran keseluruhan untuk pemisahan mencakuplebih dari satu dimensi. Kita perlu pertama yang menjelaskan mengapa geometri harus pedulidengan langkah langkah menetapkan, dan kedua untuk membenarkan klaim bahwa aturan Pythagoras adalah yang paling sederhana yang masuk akal untuk mengadopsi.sebagaiMengenai pertanyaan pertama, kita mungkinkonten untuk membuat etimologistitik bahwa geometri harus peduli dengan menetapkan metrik.Meskipun geometri berkembang sejak Mesir menggunakannya untukmengukur bidang tanah sepanjang Sungai Nil, dan telah lebihbersangkutan dengan bentuk dibandingkan dengan ukuran absolut, hanya diPythagoras geometri bahwa keduanya berbeda, dan di dalamnyaukuran relatif tetap penting. Beberapa geometri geometri-proyektif,misalnya-tidak memperhitungkan ukuran, tapi kebanyakan, dan sejauh sebagai geometri diterapkan, seperti dalam menata lapangan tenis, itu Adalah penting bahwa nomor harus dialihkan ke segmen lurus garis dan kurva. Hebat matematika sering mendefinisikan metrik pada ruang sebagai fungsi d dari produk Cartesian ruang dengan dirinya menjadi nonnegatif yang bilangan real. tunduk pada empat kondisi: (i) d (x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y (ii) d (x, y)> 0 (iii) d (x, y) = d (y, x) (iv) d (x, z) ≥ d (x, y) + d (y, z). Kita secara alami mungkin bertanya mengapa kondisi ini harus dikenakan pada fungsi metrik. (i) mengungkapkan pikiran bahwa titik tidak memiliki panjang (besar) 20 dan bahwa setiap dua titik berbeda mendefinisikan lurus garis dan ruas garis itu memiliki panjang. (ii) mengungkapkan berpikir bahwa titik adalah batas minimal dari line.21 (iii) menyatakan mengira bahwa panjang adalah isotropik. (iv) adalah segitiga yang disebut ketidakadilan, dan menetapkan bahwa jarak antara dua titik tidak bisa lebih dari jumlah jarak antara masing-masing dan beberapa titik ketiga, tetapi mungkin kurang. Ini menetapkan sebuah batas atas untuk besaran komposit, dan mengekspresikan prinsip kuno bahwa keseluruhan mungkin tidak lebih dari jumlah bagian-bagiannya. Jika kita menerima kondisi ini sebagai sebagian merupakan apa artinya menjadi ukuran jarak, kita dituntun untuk melihat ke fungsi tertentu sebagai fungsi ukuran yang masuk akal. (I) menunjukkan bahwa d (x, y) harus fungsi dari x - y, (ii) dan (iii) menyatakan bahwa ia harus merupakan fungsi dari (x - y) 2 atau (x - y) 4, atau (x - y) 6, dll ..., dan jika kita ingin mengambil kasus n-dimensi, maka aditif yang paling alami, selalu non-negatif, fungsi simetris adalah d = ο(x1 - y1) 2 + (x2 - y2) 2 + ... + (xn - yn) 2. Dari tiga geometri yang ditawarkan, karena itu kita harus memilih salah satu yang memiliki P =, yaitu geometri Euclid, di mana saja teorema Pythagoras berlaku, dan menghasilkan sebuah persamaan yang tepat antara persegi pada sisi miring dan jumlah dari kuadrat pada dua sisi lain dari sebuah segitiga siku-siku. Sudut yang tepat bukan hanya sudut tertentu, tetapi mengekspresikan kemerdekaan dari dimensi yang berbeda. Bahasa Yunani untuk 'persegi panjang' adalah (orthogonios), dari mana 'ortogonal' kata datang. Orthogonality sering menyatakan kemerdekaan, terutama dalam analisis Fourier, dimana komponen periodik dari fungsi yang berbeda yang diwakili oleh berbeda dimensi, dan teorema Parseval menyatakan di Hilbert spasi analog dekat teorema Pythagoras. Dalam mekanika kuantum, seperti yang kita bergerak dari mekanika gelombang Schrödinger untuk itu Heisenberg representasi matriks, kami menetapkan toko besar dengan matriks diagonal pada yang produk dari dua vektor keluar sebagai jumlah kuadrat, sehingga lagi membayar upeti kepada eminensia pra-dari Pythagoras memerintah. (Tapi kita harus mencatat bahwa analogi ini tidak tepat. Dalam kuantum mekanik kita berurusan dengan matriks Hermitian, yang beroperasi pada kompleks vektor dan konjugasi mereka, namun analogi ini dekat cukup untuk menjadi sugestif.) Dengan cara yang sedikit berbeda, geometri Euclidean memfasilitasi penggunaan aturan jajaran genjang untuk peracikan perpindahan di berbeda arah, dan karenanya, kecepatan percepatan dan gaya juga. Namun, jika dalam geometri eliptik saya mulai karena berada di Kutub Utara, pergi 1/4 x (lingkaran besar) Selatan, putar 90 ° dan pergi 1/4 × (a lingkaran besar) Timur, putar 90 ° dan pergi 1/4 x (lingkaran besar) Utara, putar 90 ° dan pergi 1/4 x (lingkaran besar) Selatan, aku tidak akan berakhir di mana Saya mulai. Urutan di mana saya melakukan perpindahan tidak komutatif, sehingga aturan jajaran genjang tidak lagi alami untuk peracikan pemindahan, dan tidak tersedia sama sekali untuk peracikan kecepatan, percepatan, atau kekuatan. Jelas bahwa argumen ini, seperti yang dari dua sebelumnya bagian, bukan deduktif. Tidak ada inkonsistensi dalam seandainya bahwa fungsi jarak diberikan oleh atau oleh atau ..., atau dalam memiliki bentuk tergantung pada ukuran, maupun dalam tidak memiliki topologi paralel. Jelas juga bahwa argumen ini tidak induktif. Sama, mereka tidak hanya menyebarkan sebuah sewenang-wenang konvensi. Mereka adalah argumen rasional, meskipun tidak deduktif bukan yang induktif. Hal ini rasional untuk mencari kesederhanaan yang lebih besar, lebih besar umum dan penyatuan yang lebih besar, dan ini argumen menarik pertimbanganpertimbangan. 2.9 Desargues Kami telah menemukan sejumlah cara yang berbeda di mana aksioma geometri yang dapat dibenarkan. Ada satu satu lebih lanjut yang tidak bisa disebut bantuan dari aksioma Euclid, tetapi tersedia untuk pesawat projective geometri, dan sangat penting di tempat lain dalam matematika. Dalam pesawat, yang dua dimensi, geometri proyektif "Desargues ' Teorema "bukan sebuah teorema tetapi harus didalilkan sebagai tambahan aksioma. Desargues 'Teorema menyatakan bahwa jika dua segitiga yang terpusat perspektif, mereka secara aksial perspektif, yaitu, jika AA ', BB', 'CC yang bersamaan (di O), maka jika D adalah pada SM dan 'B'C, dan E adalah pada CA dan C'A ', dan F adalah pada BA dan B'A', D, E dan F adalah collinear. Teorema Desargues 'bukan teorema dalam dua dimensi. Sana adalah non- Desarguian dua dimensi geometri, meskipun mereka cukup indah. Dalam standar dua dimensi geometri proyektif maka perlu dalil teorema Desargues 'sebagai kebenaran. Tapi dalam tiga, atau lebih, dimensi itu adalah teorema, dan dapat dibuktikan cukup mudah. Karena kita dapat membuktikan bahwa DEF adalah garis lurus dalam tiga dimensi geometri jika persimpangan dua pesawat. Dan yang mudah terbukti dengan memperhatikan pesawat yang berbeda pada baris yang bersangkutan harus masuk Teorema Desargues 'demikian menawarkan suatu kriteria lebih lanjut dari matematika kebenaran. Jika kita menganggap bahwa yang lain aksioma pesawat proyektif geometri adalah P1, P2, P3, P4, dan teorema Desargues 'adalah D5, kemudian P1, P2, P3, P4¬β D5 tapi P1, P2, P3, P4, P6, P7, P8? D5 dimana P1, P2, P3, P4, P6, P7, P8 adalah generalisasi alamiah dari P1, P2, P3, P4. Gambar 2.9.1 Teorema Desargue, jika AA, BB', CC 'adalah konkuren (di O), maka jika D adalah pada SM dan 'B'C, dan E adalah pada CA dan C'A ', dan F adalah pada BA dan B'A', D, E dan F adalah collinear. Tidak semua generalisasi adalah generalisasi alam, tapi jelas 3-dimensi geometri proyektif adalah generalisasi alami 2-dimensi projective geometri, dan fakta bahwa 'Desargues Teorema adalah teorema dalam ruang bagian berdimensi dua dari tiga dimensi projective geometri adalah alasan berat untuk memegang itu benar bahkan jika tidak dapat dideduksi dari aksioma lain dua dimensi geometri proyektif saja. 2.10 Kesimpulan Yang kami? survei geometri menghasilkan gambaran yang lebih kompleks dari baik formalis atau empiris telah seharusnya. Kamipilihan geometri dan interpretas i geometris istilah tidak sewenang-wenang, tetapi dipandu oleh enam berbagai jenis pertimbangan: 1. Ada hubungan konseptual antara geometris dan lainnya konsep yang membatasi penerapan istilah-istilah seperti 'titik', 'line', atau 'pesawat, dan membawa kita untuk mengadopsi beberapa proposisisebagai benar dan untuk menolak orang lain sebagai palsu. 2. Sebagai antara satu geometri dan lain, lebih rasional untuk memilih yang pertama adalah yang lebih spesifik. Geometri Euclid adalah lebih spesifik dari baik geometri hiperbolik atau elips karena 2.9.2 Gambar Teorema Desargue dalam tiga dimensi ternyata sepenuhnya pada persimpangan dari berbagai bidang: karena 'BB dan 'CC berpotongan di O, garis-garis BB'O dan CC'O adalah coplanar, dan titik B, B ', O, C, C' semua coplanar, dan sehingga BB 'dan CC' harus berpotongan, di D. Lalu D adalah coplanar dengan B, B ', C, C', dan begitu juga di setiap pesawat yang mencakup SM, dan sebagainya di ABC, dan ada di setiap pesawat yang mencakup 'B'C, dan sehingga dalam A'B'C '. Dengan alasan yang sama persis, karena 'CC dan 'AA berpotongan di O, garis-garis CC'O dan AA'O adalah co-planar, sehingga titik C, C ', O, A, A' semua co-planar, dan CC ' dan 'AA harus berpotongan, di E, katakanlah. Kemudian E adalah co-planar dengan C, C ', A, A' dan begitu juga di setiap pesawat yang mencakup CA, sehingga dalam ABC, dan ada di setiap pesawat yang mencakup 'C'A, sehingga dalam A'B'C '. Sekali lagi, dengan penalaran persis sama, karena AA 'dan 'BB berpotongan di O, garis-garis AA'O dan BB'O adalah co-planar, sehingga titik A, A ', O, B, B' semua co-planar, dan jadi 'AA dan 'BB harus berpotongan, di F, katakanlah. Maka F adalah co-planar dengan A, A ', B, B' dan begitu juga di setiap pesawat yang mencakup BA, sehingga dalam ABC, dan ada di setiap pesawat yang mencakup A'B ', sehingga dalam A'B'C '. Jadi D, E dan F adalah semua baik ABC dan 'A'B'C dan sehingga di garis umum untuk dua pesawat. (a) kelengkungan adalah persis nol, sedangkan mereka adalah baik setiap konstan negatif nomor (hiperbolik) atau positif konstan nomor (elips); (b) sudut segitiga dalam geometri Euclidean menambahkan hingga persis 180 ° sedangkan dalam geometri hiperbolik itu hanyalah kurang dari, dan dalam geometri elips itu hanyalah lebih dari 180 °. (C) persegi pada sisi miring adalah persis sama dengan jumlah dari kotak pada dua sisi lain dari sebuah segitiga siku-siku, sedangkan pada geometri lain, sekali lagi, hanya ada sebuah pertidaksamaan, tidak kesetaraan sebuah; (D) rasio dari keliling lingkaran adalah persis di 2p Geometri Euclidean, tetapi hanya 2p> di hiperbolik, dan <2p di berbentuk bulat panjang, geometri. 3. Sebaliknya, geometri Euclid adalah lebih fleksibel daripada hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang, dalam ukuran angka tidak ditentukan dengan bentuk mereka, dan tidak ada unit tetap panjang atau daerah dalam Euclidean geometri. Geometri Euclid adalah skala-invarian dan metrically amorf. Dalam memilih geometri Euclidean, kita tidak melakukan diri pilihan lain, yang dengan demikian dibiarkan terbuka. Geometri Euclidean dengan demikian menyediakan cocok back-kain untuk fisika atau skema jelas lain, dalam hal ini tidak menduduki lebih dulu jawaban yang mereka dapat berikan kepada pertanyaan lebih lanjut. Jika kita ingin geometri memiliki profil rendah, mampu mengakomodasi berbagai schemata jelas lain, maka geometri Euclidean adalah yang menonjol setidaknya kita dapat memiliki. Tetapi untuk menerima pilihan ini adalah memilih peran tertentu untuk geometri, dan bukan diajukan di geometrodynamics, di mana skema penjelasan tunggal yang terintegrasi adalah sought.23 4. Kita bisa melihat geometri tidak axiomatically tetapi kelompok-secara teoritis; dalam hal bahwa kelompok Euclidean dipilih sebagai yang paling dasar, sebanyak seperti yang dihasilkan oleh non-sepele yang paling sederhana diskrit kelompok, kelompok siklik sederhana terus menerus dan berkesinambungan sederhana seri kelompok. Ada alasan epistemologis dan praktis baik mengapa berkomunikasi agen yang menempati lokasi yang berbeda dalam ruang pada satu waktu harus melampirkan pentingnya untuk fitur yang invarian dalam kelompok Euclidean transformasi. 5. Sebuah kebutuhan metrik untuk memenuhi beberapa kondisi jika ingin menjadi koheren. Jika ada lebih dari satu dimensi, beberapa simetris fungsi yang dibutuhkan untuk menambahkan jarak dalam arah yang independen. Aturan Pythagoras adalah yang paling sederhana yang memenuhi kondisi. 6. Sebuah geometri, atau bahkan setiap teori matematika, mungkin tertanam dalam teori lain yang merupakan generalisasi alami dan aksioma-aksioma teori lebih kecil maka mungkin muncul sebagai teorema dari yang lebih besar. Secara khusus, sebuah geometri n-dimensi mungkin tertanam dalam, (n + 1) dimensi satu atau n-dimensi satu dalam satu dengan jumlah tak terbatas dimensi (ruang Hilbert, untuk misalnya). Teori yang lebih umum, hanya karena itu adalah lebih umum teori, membenarkan aksioma teori lebih spesifik, yang terlihat tidak hanya kasus khusus dari suatu kebenaran yang lebih mendasar. Pertimbangan ini tidak, tentu saja, bukti deduktif. Mereka yang, lebih tepatnya, apa Mill digambarkan sebagai "pertimbangan ... mampu menentukan kecerdasan baik untuk memberi atau tidak memberi persetujuan ".24 Mereka bisa dipungkiri tanpa inkonsistensi. Namun seringkali konsekuensi menyangkal mereka akan canggung, dan akan memerlukan penjelasan sendiri, yang kita mungkin menemukan sulit untuk memberikan. Ada prima facie, meskipun tidak konklusif, argumen yang menguntungkan mereka. Mereka berlaku tidak hanya untuk geometri, tetapi untuk aksiomatis lain sistem juga, seperti teori himpunan dan Peano Arithmetic.25 Set teori bukan hanya sebuah sistem formal di mana kita dapat memilih aksioma yang kita sukai, tetapi, juga, dibatasi oleh link konseptual dengan rentang lain dari wacana. Î tidak bisa menjadi relasi yang refleksif; aksioma dasar yang menegaskan doktrin anti-Anselmian dari akhir urelemen yang benar-benar minim. Sebuah teori yang diatur dengan Hipotesis Continuum Generalised lebih tepat dari satu tanpa, dalam sebanyak itu menetapkan bahwa tidak ada kardinal antara kardinal transfinite dan kardinal kekuatannya ditetapkan, sedangkan tanpa seperti aksioma ada tak tentu berbagai situasi mungkin. Lebih baik turun pasti mendukung discreteness (atau, untuk itu kepadatan, materi) daripada meninggalkan pertanyaan terbuka. Dengan cara yang agak berbeda Aksioma Pilihan dapat dipertahankan sebagai generalisasi alami prinsip pilihan terbatas yang perlu dipertanyakan lagi kebenaran. Kelompokteoritis pendekatan untuk geometri dapat disejajarkan dengan yang sama sekali baru pendekatan untuk menetapkan teori dari sudut pandang mengenai teori kategori atau teori permainan, yang dapat menghasilkan sesuatu yang sama sekali baru ke dalamnya, dan mungkin membuat beberapa aksioma tampak jelas benar (atau jelas palsu).