Penerapan Matriks dalam Analisis Sektor Perekonomian Indonesia

Penerapan Matriks dalam
Analisis Sektor Perekonomian Indonesia
Scarletta Julia Yapfrine (13514074)
Program Studi Informatika
Sekolah Teknik Elektro dan Informatika
Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
[email protected]
Abstrak—Indonesia merupakan negara berkembang yang
sedang mengusahakan pertumbuhan ekonomi untuk
meningkatkan kesejahteraan rakyat. Dalam mengusahakan
pertumbuhan ekonomi ini, pemerintah tentunya perlu
menganalisis keadaan sektor perekonomian Indonesia. Salah
satunya adalah dengan menganalisis hubungan antar
industri di sektor tersebut. Analisis hubungan antar industri
ini dapat dilakukan dengan tabel masukan-keluaran yang
menggunakan data produksi dan permintaan suatu industri.
Analisis ini diimplementasikan dengan menggunakan teori
matriks. Makalah ini membahas penerapan matriks dalam
analisis sektor perekonomian Indonesia.
Kata kunci—ekonomi, matriks, permintaan, produksi,
tabel masukan-keluaran
I. PENDAHULUAN
Perekonomian merupakan sebuah sektor penting dalam
suatu negara. Pertumbuhan ekonomi secara keseluruhan
banyak membawa dampak positif bagi suatu negara. Hal
ini disebabkan karena ekonomi yang bertumbuh
menyebabkan semakin banyak lapangan kerja yang dibuka
sehingga bisa mengurangi jumlah pengangguran di suatu
negara dan ekonomi yang bertumbuh juga menyebabkan
semakin banyak komoditi yang diproduksi oleh suatu
negara sehingga bisa mencukupi kebutuhan penduduknya.
Pertumbuhan ekonomi juga penting agar suatu negara
tidak tertinggal dari negara yang lain. Pertumbuhan
ekonomi yang baik meningkatkan nilai saing suatu negara
di kancah internasional.
Indonesia merupakan negara berkembang yang
kesejahteraan rakyatnya masih relatif rendah. Menurut
survei dari Bank Dunia dan Badan Pusat Statistik (BPS),
angka kemiskinan relatif Indonesia pada tahun 2014
mencapai 11% dari populasi, sementara angka kemiskinan
absolut Indonesia pada tahun yang sama mencapai 28 juta
penduduk[1].
Angka tersebut memang relatif tidak tinggi. Namun,
pemerintah Indonesia menggunakan standar yang relatif
rendah dalam menentukan angka kemiskinan, yaitu
penduduk yang pendapatan perbulannya kurang dari Rp
312328. Jumlah tersebut adalah setara dengan USD $25,
yang berarti standar hidup yang sangat rendah, bahkan
dalam pengertian orang Indonesia sendiri.
Cara untuk memberantas kemiskinan di Indonesia
adalah dengan meningkatkan pertumbuhan ekonomi.
Namun, untuk meningkatkan pertumbuhan ekonomi,
pemerintah perlu membuat kebijakan-kebijakan ekonomi
yang tepat. Agar pemerintah bisa membuat kebijakan
ekonomi yang tepat, maka diperlukan analisis terlebih
dahulu terhadap sektor perekonomian Indonesia. Analisis
hubungan antar industri bisa dijadikan salah satu dasar
pembuatan kebijakan. Analisis hubungan antar industri ini
menggunakan
tabel
masukan-keluaran
yang
memanfaatkan teori matriks.
Dalam makalah ini, penulis akan menunjukkan
penerapan matriks dalam bentuk tabel masukan-keluaran
untuk menganalisis hubungan antar industri pada sektor
perekonomian Indonesia.
II. DASAR TEORI
2.1. Matriks
2.1.1. Definisi Matriks
Matriks merupakan kumpulan angka / bilangan
dalam bentuk segi empat yang terdiri dari baris dan
kolom. Notasi suatu matriks biasanya ditulis
sebagai berikut
aij merupakan unsur / elemen matriks yang
terletak pada baris i dan kolom j. Ukuran (orde)
suatu matriks merupakan jumlah baris dikali jumlah
kolom. Misalkan A dan B adalah matriks berukuran
sama, maka A dan B sama jika unsur-unsur matriks
yang seletak pada kedua matriks tersebut adalah
sama.
2.1.2. Jenis-Jenis Matriks
2.1.3.1. Matriks Bujur Sangkar (Persegi)
Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
Matriks bujur sangkar merupakan matriks yang
jumlah kolom dan jumlah barisnya sama. Berikut
adalah contoh matriks bujur sangkar
2.1.3.2. Matriks Diagonal
Matriks diagonal merupakan matriks bujur
sangkar yang unsur selain unsur diagonalnya
adalah 0. Unsur diagonal merupakan semua
unsur yang baris dan kolomnya sama. Berikut
adalah contoh matriks diagonal
2.1.3.6. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri
dari satu baris. Berikut adalah contoh matriks
baris
2.1.3.7. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya
terdiri dari satu kolom. Berikut adalah contoh
matriks kolom
2.1.3.3. Matriks Identitas
Matriks identitas (matriks satuan) merupakan
matriks diagonal yang setiap unsur diagonalnya
adalah 1. Berikut adalah matriks satuan
2.1.3.8. Matriks Simetri
Matriks A merupakan matriks simetri jika
matriks A merupakan matriks bujur sangkar dan
memenuhi hubungan A = At. Berikut adalah
contoh matriks simetri
2.1.3.4. Matriks Segitiga
Matriks segitiga terbagi menjadi dua jenis,
yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga
bawah. Matriks segitiga atas merupakan matriks
bujur sangkar yang semua unsur di bawah unsur
diagonalnya bernilai 0. Berikut adalah contoh
matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah merupakan matriks
bujur sangkar yang semua unsur di atas unsur
diagonalnya bernilai 0. Berikut adalah contoh
matriks segitiga bawah
2.1.3. Operasi pada Matriks
2.1.3.1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua buah matriks bisa dijumlahkan atau
dikurangkan jika dan hanya jika dua buah
matriks tersebut mempunyai jumlah baris dan
jumlah kolom yang sama (ukuran sama). Untuk
membuat matriks hasil penjumlahan atau
pengurangan, berlaku
(A + B)ij = Aij + Bij
(A - B)ij = Aij - Bij
+
2.1.3.5. Matriks Transpos
Matriks transpos At merupakan matriks yang
diperoleh dengan mengubah baris pada matriks A
menjadi kolom dan sebaliknya. Berikut adalah
contoh matriks transpos dan matriks awalnya
-
Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
=
=
2.1.3.2. Perkalian Matriks dengan Konstanta
Perkalian sebuah matriks M dengan konstanta
menghasilkan matriks baru yang setiap
elemennya merupakan hasil perkalian elemen
matriks M dengan konstanta tersebut.
=
2.1.3.3. Transpos Matriks
Transpos matriks M dilakukan dengan cara
mengubah baris pada matriks M menjadi kolom
dan sebaliknya (lihat upabab 2.1.3.5)..
2.1.3.4. Perkalian Dua Matriks
Misalkan dua buah matriks yang ingin
dikalikan adalah Aij dan Bkl. A x B bisa dilakukan
jika j = k. B x A bisa dilakukan jika l = i. Sifat
komutatif tidak berlaku pada perkalian dua
matriks.
2.1.3.5. Invers Matriks
Untuk matriks 2x2, invers matriks dapat dicari
dengan
Untuk matriks yang berukuran selain 2x2,
mencari invers matriks dapat menggunakan OBE
(Operasi Baris Elementer) yang akan dijelaskan
di upabab 2.1.4.
2.1.4. Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer merupakan operasi
aritmetika (penjumlahan dan perkalian) yang
dikenakan pada setiap unsur dalam suatu baris pada
sebuah matriks.Operasi baris elementer meliputi
tiga jenis, yaitu pertukaran baris, perkalian suatu
baris dengan konstanta tak nol, dan penjumlahan
hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
dengan baris yang lain. Berikut adalah contoh
operasi baris elementer
Pada contoh di atas, baris pertama dikalikan
dengan -2 lalu ditambahkan dengan baris ketiga.
Ada beberapa istilah yang ada dalam operasi baris
elementer
Bilangan 1 pada baris pertama kolom pertama
matriks di atas merupakan satu utama. Bilangan 2
pada baris kedua kolom ketiga merupakan unsur
pertama tak nol pada baris kedua. Baris pertama
dan kedua merupakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Baris
ketiga dinamakan baris nol, karena setiap unsur
pada baris ketiga adalah nol.
OBE dilakukan pada suatu matriks dengan tujuan
menghasilkan matriks yang memenuhi beberapa
sifat, yaitu pada baris tak nol maka unsur tak nol
pertama adalah 1 (satu utama), pada baris yang
berurutan, baris yang lebih rendah memuat satu
utama yang lebih kanan, jika ada baris nol, maka
diletakkan paling bawah. Jika syarat-syarat ini
terpenuhi, maka matriks hasil OBE berbentuk
eselon (prosesnya dinamakan eliminasi Gauss).
Sementara jika matriks hasil OBE memiliki satu
sifat lagi, yaitu pada kolom yang memuat unsur
satu utama, maka unsur yang lainnya adalah nol,
maka matriks tersebut dinamakan berbentuk eselon
tereduksi (prosesnya dinamakan eliminasi GaussJordan).
OBE dapat digunakan untuk menentukan matriks
invers dengan menggunakan cara (A | I) ~ (I | A-1).
Berikut adalah contohnya
Matriks A tersebut dibuat di sebelah matriks
identitas. Lalu, OBE diterapkan pada keduanya
sehingga matriks identitas menjadi invers matriks A
dan matriks A menjadi matriks identitas.
Pada contoh tersebut, baris pertama (b1) ditukar
dengan baris kedua (b2). Berikut adalah contoh lain
Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
internal dan eksternal. Hal ini dicari dengan menggunakan
persamaan
Total produksi = total permintaan.
Variabel yang kita cari adalah
x1 = total produksi (dalam satuan) sektor 1 (batubara)
x2 = total produksi (dalam satuan) sektor 2 (listrik)
Total produksi sektor 1 = total permintaan untuk sektor 1
= permintaan sektor 1 dari sektor 1 + permintaan sektor
1 dari sektor 2 + permintaan eksternal
x1 = 7500 x1 + 3750 x2 + 105000000
Jadi, matriks invers dari A adalah
Total produksi sektor 1 = total permintaan untuk sektor 1
= permintaan sektor 1 dari sektor 1 + permintaan sektor
1 dari sektor 2 + permintaan eksternal
x2 = 1500 x1 + 3750 x2 + 210000000
2.2. Sektor Perekonomian Indonesia
Perekonomian Indonesia terdiri dari banyak
sektor yang saling menunjang satu sama lain. Sektor
yang satu membutuhkan bahan baku yang
diproduksi oleh sektor yang lain. Sektor-sektor
perekonomian di Indonesia secara garis besar antara
lain sektor pertanian dan peternakan, sektor
pertambangan dan penggalian, sektor industri
pengolahan (manufaktur), sektor perdagangan, hotel,
dan restoran, sektor pengangkutan dan komunikasi,
sektor jasa, sektor listrik, gas, dan air bersih, sektor
konstruksi, serta sektor keuangan, real estat, dan
jada perusahaan. Sektor-sektor besar ini terbagi lagi
menjadi industri-industri kecil.
III. MODEL MASUKAN-KELUARAN
Model ini dikembangkan oleh Wassily Leontief (19601990) untuk menganalisis ekonomi nasional dan regional
dengan melhat bagaimana sektor-sektor ekonomi saling
berhubungan.
Sektor ekonomi yang satu membutuhkan bahan baku
yang dihasilkan dari sektor ekonomi yang lain, contohnya
industri pertambangan batubara dan sektor listrik. Kedua
sektor tersebut menghasilkan komoditi, pertambangan
batubara menghasilkan batubara dan sektor listrik
menghasilkan listrik. Komoditi ini diberi nilai dengan
rupiah. Untuk menghasilkan satu unit (senilai Rp 15000)
batubara, misalnya diperlukan listrik senilai Rp 1500 dan
batubara senilai Rp 7500. Untuk menghasilkan satu unit
(senilai Rp 15000) listrik, misalnya diperlukan batubara
senilai Rp 3750 dan listrik senilai Rp 3750. Ini adalah
penggunaan internal. Dalam hal ini, diasumsikan juga ada
permintaan eksternal (dari sektor ekonomi yang lain) yaitu
7000 unit (senilai Rp 105000000) batubara dan 14000
unit (senilai Rp 210000000) listrik dalam waktu satu
tahun. Yang dicari adalah berapa banyak masing-masing
sektor ini memproduksi agar bisa memenuhi permintaan
Persamaan tersebut kemudian dibuat dalam bentuk
matriks
=
X = AX + D , dengan
X = matriks produksi =
D = permintaan eksternal =
A = matriks teknologi =
Matriks teknologi berisi a11 = unit dari sektor 1 yang
dibutuhkan untuk memproduksi satu unit komoditi sektor
1, a12 = unit dari sektor 1 yang dibutuhkan untuk
memproduksi satu unit komoditi sektor 2, a21 = unit dari
sektor 2 yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit
komoditi sektor 1, a22 = unit dari sektor 2 yang
dibutuhkan untuk memproduksi satu unit komoditi sektor
2.
Untuk menyelesaikan persamaan di atas
X = AX + D
X – AX = D
IX – AX = D
(I – A)X = D

Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
X = (I – A)-1 D
IV. PENERAPAN MATRIKS DALAM
ANALISIS SEKTOR PEREKONOMIAN INDONESIA
Untuk membuat suatu kebijakan ekonomi, baik
menyangkut ekonomi dalam negeri maupun ekonomi ke
luar negeri, pemerintah perlu melihat hubungan antar
sektor. Hal ini disebabkan jika jumlah permintaan di suatu
sektor berkurang, dapat merugikan sektor yang lain juga
karena antar sektor menggunakan bahan baku yang
diproduksi oleh sektor lainnya. Berikut adalah tabel
masukan-keluaran ekonomi Indonesia pada tahun 2011
(karena sektor ekonomi Indonesia dibagi menjadi industriindustri yang sangat banyak, maka penulis hanya
menyertakan beberapa industri saja, bagian import juga
tidak dimasukkan karena menghabiskan banyak tempat).
1
2
3
4
5
6
1
9904
12
3158
42
1093
0
2
0
15488
53
0
32
0
3
123
212
336
790
44
33
4
545
561
682 1319 258
238
5
148
13
42
33
372
1
6
1506
231
152
917
259 8380
Tabel 4.1 Tabel Masukan-Keluaran Indonesia tahun 2011
dalam jutaan dolar AS.
Keterangan :
1 = pertanian, perburuan, kehutanan, dan perikanan
2 = perminyakan dan pertambangan
3 = hotel dan restoran
4 = real estat
5 = manufaktur
6 = telekomunikasi
Produksi masing-masing sektor secara total (dalam jutaan
dolar) :
1 = 162478
2 = 140221
3 = 40179
4 = 39753
5 = 11723
6 = 41728
Sumber :
http://www.wiod.org/protected3/data/update_sep12/niot/
Pada tabel masukan-keluaran di atas, baris menyatakan
sektor yang memberi bahan baku, sementara kolom
menyatakan sektor yang menggunakan bahan baku.
Misalnya, baris 4 kolom 3 berarti sektor real estat
memproduksi bahan baku untuk sektor hotel dan restoran
senilai 682 juta dolar. Dengan melihat tabel tersebut,
maka pemerintah bisa mengetahui sektor mana yang jika
hasil produksinya (permintaannya) berkurang juga
membawa dampak negatif bagi sektor yang lain. Namun,
melihat dari tabel tersebut saja belum cukup. Ada
perhitungan yang harus dilakukan. Dari tabel tersebut
terlihat bahwa sektor pertanian, perburuan, kehutanan, dan
perikanan tidak menggunakan bahan baku yang dihasilkan
dari sektor perminyakan dan pertambangan, sehingga jika
permintaan terhadap sektor 1 berkurang, tidak akan
mempengaruhi permintaan terhadap sektor 2. Hal ini
belum tentu benar. Jika tabel tersebut disederhanakan
terhadap kedua sektor itu saja, maka menjadi
1
2
1
9904
12
2
0
15488
Produksi Total
162478
140221
Tabel 4.2 Penyederhanaan Tabel 4.1 terhadap Dua Sektor
Dari tabel di atas, bisa dibuat matriks teknologinya
A=
=
(I-A) =
(I-A)-1 =
Dari matriks tersebut, masih terlihat bahwa jika
permintaan pada sektor 1 berkurang tidak akan
mempengaruhi permintaan sektor 2. Hal ini salah karena
tabel masukan-keluaran tidak bisa diperkecil menjadi dua
sektor saja. Berkurangnya permintaan pada sektor 1
mungkin tidak berdampak langsung pada sektor 2, namun
berkurangnya permintaan pada sektor 1 berdampak pada
sektor 3, dan berkurangnya permintaan pada sektor 3
menyebabkan berkurangnya permintaan pada sektor 2.
Untuk melihat seberapa besar berkurangnya, maka harus
dicari matriks teknologi dari tabel masukan-keluaran.
Matriks teknologi dari tabel masukan-keluaran adalah
Dari matriks tersebut, terlihat bahwa berkurangnya
permintaan pada sektor 1 sebanyak 1 juta dolar akan
menyebabkan permintaan pada sektor 2 sebanyak
0.000004 juta dolar (baris 2 kolom 1). Namun, matriks
teknologi ini masih belum sepenuhnya benar karena
penulis tidak memasukkan semua sektor pada tabel
masukan-keluaran. Untuk tabel masukan-keluaran yang
lengkap
dapat
diunduh
di
http://www.wiod.org/protected3/data/update_sep12/niot/N
IOT_row_sep12.zip.
V. KESIMPULAN
Matriks dapat digunakan untuk menganalisis sektor
perekonomian di Indonesia. Hal ini diterapkan dalam
tabel masukan-keluaran, yaitu tabel yang memuat nilai
bahan baku dari suatu sektor yang digunakan oleh sektor
yang lain.
Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016
Metode ini dapat diterapkan pemerintah saat
mengambil kebijakan ekonomi. Dari metode ini, terlihat
berapa banyak permintaan ‘demand’ suatu sektor
berkurang jika terjadi pengurangan permintaan di sektor
yang lain.
VI. UCAPAN TERIMA KASIH
Pertama-tama, penulis ingin menyampaikan puji syukur
kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan berkatNya
sehingga penulis bisa menyelesaikan makalah ini. Penulis
juga ingin menyampaikan terima kasih kepada Dr. Rinaldi
Munir S.T. dan Drs. Judhi Santoso sebagai Dosen Mata
Kuliah Aljabar Geometri yang telah membimbing penulis.
REFERENCES
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Adiwijaya. Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor. 2014. Yogyakarta
: Graha Ilmu.
http://www.indonesia-investments.com/id/keuangan/angkaekonomi-makro/kemiskinan/item301, diakses pada 14 Desember
2015
https://sanwindayani.wordpress.com/2014/04/04/sektor-sektorperekonomian-indonesia/, diakses pada 15 Desember 2015
http://www.wiod.org/protected3/data/update_sep12/niot/, diakses
pada 13 Desember 2015
Warner, Stefan, Steven R. Costenoble. Finite Mathematics. 2007.
Boston : Brooks/Cole.
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya
tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau
terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi.
Bandung, 16 Desember 2015
Scarletta Julia Yapfrine - 13514074
Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB –Semester I Tahun 2015/2016