Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi

Disarikan dari Malatuni 2007
Topik Bahasan
Penggunaan Konsep Limit Fungsi
1
Amati arah terbang dua ekor burung menuju
sangkar dari arah yang berbeda.
y = f(x)
Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis
(kalkulus) maka:
L
X
x=c
Tiang sangkar sebagai garis x = c;
Jejak terbang burung identik dengan grafik
fungsi y = f(x);
Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke
sangkar atau mendekati c;
Ketinggian burung pada saat tiba dalam
sangkar misalkan L;
Ditulis: lim f ( x ) = L
x →c
2
Y
f(x)
lim f ( x ) = L
x →c
L
Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x
dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x)
dekat ke L.
Seberapa dekat?
0
X
c
Untuk memperjelas permasalahan ini
perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah
kiri.
Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari
kanan maka f(x) akan semakin mendekati L.
Jadi, kita peroleh:
lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = L dan lim+ f ( x ) = L
x →c
x →c
x →c
3
Grafik fungsi f ( x ) =
x2 + 9
x−3
Contoh 2:
Y
x2 + 9
x→3 x − 3
Tentukan nilai dari lim
Penyelesaian:
x2 + 9
tidak terdefinisi pada
x−3
x = 3, karena diperoleh bentuk 00 (tak tentu).
40
Fungsi f ( x ) =
20
Lakukan pendekatan seperti pada contoh 1.
0
2
4
X
x mendekati 3 dari kiri
x
2
2,99
↓ x mendekati 3 dari kanan
2,999 ... 3 ... 3,001
3,01
4
f(x) −13 −1794,01 −17994 ... ? ... 18006 1806,01 25
-20
f(x) mendekati bilangan
negatif yang sangat kecil
↑
f(x) mendekati bilangan
positif yang sangat besar
-40
x=3
Asimtot Tegak
Grafik fungsi f ( x ) =
Dari gambar grafik nampak bahwa jika x
mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan
mendekati bilangan negatif tak hingga.
x2 + 9
x−3
Y
lim−
x →3
40
20
0
2
4
-20
X
x2 + 9
= −∞
x−3
Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan
maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak
hingga.
x2 + 9
= +∞
lim+
x→3 x − 3
Karena
lim−
x→3
x2 + 9
x2 + 9
≠ lim+
x→3 x − 3
x−3
maka nilai dari:
-40
x=3
Asimtot Tegak
x2 + 9
tidak ada
x→3 x − 3
lim
4
Y
Contoh 3:
Bagaimana dengan lim
1
x →∞ x
?
Penyelesaian:
-∞
0
X
+∞
Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas
(+∞) dan negatif tanpa batas (-∞). Lihat tabel
dan grafik.
Kita peroleh nilai:
1
lim = 0
x →∞ x
x mendekati bilangan negatif yang sangat besar
x -∞
f(x) 0
x mendekati bilangan positif yang sangat besar
... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
... -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001
f(x) semakin mendekati nol (0)
Flowchart untuk menghitung nilai: lim
x →∞
f( x )
Tidak
Ya
Bagi dengan
pangkat tertinggi
Hasil
+∞
0
f(x) semakin mendekati nol (0)
Start
Rasional?
...
...
Rasionalkan/
kalikan akar sekawan
kemudian bagi
pangkat tertinggi
Flowchart untuk menghitung
nilai:
Start
lim f ( x )
x →c
Substitusi x = c
Bentuk
tak
tentu?
Tidak
Ya
Lakukan pemfaktoran
atau rasionalkan
bentuk akar
Lanjutkan Hitung
Stop
Hasil
Stop
5
3 x 2 + 4 x − 1 adalah fungsi rasional.
2
x → ∞ 2 x − x + 3 Mengapa?
Rasionalkan dengan cara kalikan akar
sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi.
Karena fungsi rasional maka langsung
bagi pangkat tertinggi ( x 2 )
x →∞
c) lim
2
3x + 4x − 1
3 x + 4 x −1
x2
x2 x2
=
lim
lim
2
2
x → ∞ 2 x2 − x2 + 32
x →∞ 2 x − x + 3
2
x
=
=
x
x
3 + 4x − x12
lim
x → ∞ 2 − 1x + 32
x
3+ 0−0 3
=
2− 0 + 0 2
3x 2 + 4 x −1 3
=
2
x →∞ 2x − x + 3
2
∴ lim
d) lim ( x − x 2 + 4 x ) bukan fungsi rasional.
Mengapa?
x →∞
lim ( x − x 2 + 4 x ) = L
= lim ( x − x 2 + 4 x ) ×
x →∞
Kalikan akar
sekawan
x + x 2 + 4x
x + x 2 + 4x
− 4x
x2 − ( x2 + 4x )
= lim
2
x →∞ x + x + 4 x
x →∞ x + x 2 + 4 x
= lim
= lim
x →∞ x
x
=
− 4xx
+
x2
2
x
+ 42x
x
−4
x →∞ 1 + 1 + 4
x
= lim
−4
= −2
1+ 1+ 0
∴ lim ( x − x 2 + 4 x ) = −2
x →∞
6
Andaikan n bilangan bulat positif, k
konstanta, f dan g adalah fungsi yang
mempunyai limit di c, maka:
t
u
dimana:
n
; utk n genap
o
p
Kita lihat contoh penerapannya!
q
r
s
Contoh 5:
Tentukan nilai dari:
a) lim (7 x − 4 )
x →1
⎛ x 2 + 3x − 2 ⎞
⎟⎟
b) lim ⎜⎜
x → 2⎝
2x 2 + 1 ⎠
lim (f ( x ) ± g ( x ) ) = lim f ( x ) ± lim g( x )
x →c
Penyelesaian:
a) lim (7 x − 4 ) = lim 7 x − lim 4
x →1
x →1
x →c
x →c
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x →c
x →c
x →1
= 7 lim x − lim 4
x →1
x →1
= 7(1) − 4
=3
7
( x 2 + 3 x − 2)
⎛ x 2 + 3 x − 2 ⎞ xlim
→2
⎟⎟ =
b) lim ⎜⎜
x → 2⎝
lim 2 x 2 + 1
2x 2 + 1 ⎠
x →2
2
Teorema s lim ⎛⎜ f ( x ) ⎞⎟ =
x →c ⎝ g ( x ) ⎠
lim f ( x )
x →c
lim g( x )
x →c
; lim g( x ) ≠ 0
x →c
Teorema p lim (f ( x ) ± g( x ) ) = lim f ( x ) ± lim g ( x )
lim x + lim 3 x − lim 2
x →c
x →c
x →c
→
→
→
x 2
x 2
=x 2
n
Teorema u lim f ( x ) = n lim f ( x )
lim ( 2 x 2 + 1)
x →c
x →c
x →2
lim x 2 + lim 3 x − lim 2
x →2
x →2
= x →2
2
lim 2 x + lim 1
x →2
=
x →2
22 + 3( 2) − 2
2( 2)2 + 1
4+6−2
8 +1
8
=
3
=
“Klik pada tombol untuk memilih soal”
8
1.
−2
−1
0
2
∞
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
2.
3
4
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
9
3.
−4
x 2 − 16
x 2 − 16
x−4
= lim
×
x →4 x − 4
x →4 x − 4
x−4
lim
Rasionalkan
bentuk akar
−3
0
3
4
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
4.
Kalikan akar
sekawan
−3
−2
= lim
x →0
1+ x − 1− x 1+ x + 1− x
×
x
1+ x + 1− x
−1
0
1
= lim
x →0 x (
2x
+
1 x + 1− x )
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
10
5. lim
h→ 0
x +h− x
= ....
h
lim
h→ 0
x +h− x
= ....
Kalikan akar
h
sekawan
+
−
x h
x
x +h+ x
= lim
×
h→0
h
x +h+ x
( x + h) − x
= lim
h→0 h( x + h + x )
h
+
x h+ x)
1
= lim
→
h 0 x +h+ x
= lim
h→0 h(
1
1
1
=
=
x+0+ x
x+ x 2 x
=
x +h− x
1
=
h
2 x
∴ lim
h→ 0
1. lim ( x 2 + 3 x − x ) = ....
x →∞
2
3
3
2
4
3
7
3
7
4
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
lim ( x 2 + 3 x − x ) = ....
x →∞
= lim ( x 2 + 3 x − x ) ×
x →∞
x 2 + 3x − x 2
x →∞ x 2 + 3 x + x
3x
= lim
x →∞ x 2 + 3 x + x
Kalikan akar
sekawan
2
x + 3x + x
x 2 + 3x + x
= lim
= lim
x →∞
= lim
x →∞
=
3x
x
x2 + 3x
x2 x2
+ xx
3
1 + 3x + 1
3
3
=
1 + 0 +1 2
∴ lim ( x 2 + 3 x − x ) =
x →∞
Bagi pangkat
tertinggi
3
2
11
2. lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) = ....
lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) = ....
x →∞
x →∞
−6
−4
x 2 − 4 x + x 2 + 2x
x 2 − 4 x + x 2 + 2x
= lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) ×
x →∞
−3
−2
−1
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
Kalikan akar sekawan
( x 2 − 4 x ) − ( x 2 + 2x )
= lim
x →∞ x 2 − 4 x + x 2 + 2 x
− 6x
= lim
x →∞ x 2 − 4 x + x 2 + 2 x
= lim
x →∞
−6 x
x
2
4
x
− 2 + x2
x
x
x
x2
2
+ 22x
x
Bagi pangkat
tertinggi
−6
= lim
x →∞ 1 − 4 + 1 + 2
x
x
−6
−6
=
=
= −3
1− 0 + 1+ 0 2
∴ lim ( x 2 − 4 x − x 2 + 2 x ) = −3
x →∞
3. lim x ( x 2 + 1 − x ) = ....
x →∞
lim x ( x 2 + 1 − x ) = ....
x →∞
0
1
4
1
3
1
2
2
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
= lim x ( x 2 + 1 − x ) ×
x →∞
Kalikan akar sekawan
2
x +1 + x
x 2 +1 + x
x( x 2 +1 − x 2 )
x →∞
x 2 +1 + x
x
= lim
x →∞ x 2 + 1 + x
= lim
= lim
x →∞
= lim
x →∞
x
x
x2
x2
+
1
x2
+ xx
1
1 + 12 + 1
x
1
1
=
=
1 + 0 +1 2
∴ lim x ( x 2 + 1 − x ) =
x →∞
Bagi pangkat
tertinggi
1
2
12
⎛ 3 x − 2x ⎞ =
4. lim ⎜
⎟ ....
→
∞
⎝ x −1 x +1 ⎠
x
1
2
3
9
∞
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
⎛ 3 x − 2x ⎞ =
lim ⎜
⎟ ....
x −1 x +1 ⎠
3 x ( x + 1) − 2x ( x − 1)
= lim
x →∞
( x − 1)( x + 1)
2
3 x + 3 x − 2x 2 + 2x
= lim
x →∞
x 2 −1
x 2 + 5x
= lim 2
x →∞ x − 1
x2 + 5x
2
2
pangkat
= lim x 2 x Bagi
tertinggi
x → ∞ x 2 − 12
x →∞ ⎝
x
x
1 + 5x 1 + 0
= lim
=
=1
x → ∞ 1 − 12 1 − 0
x
3x
2x ⎞
∴ lim ⎛⎜
−
⎟ =1
→
∞
⎝ x −1 x + 1 ⎠
x
3 x 4 − 2x 3 + 6
= ....
3
2
x →∞ x + x − x + 2
5. lim
−3
−2
3 x 4 − 2x 3 + 6
= ....
3
2
x →∞ x + x − x + 2
lim
= lim
x →∞
−1
0
∞
Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih
jawaban
3x4
x4
x3
4
x
= lim
+
3
− 2 x4 +
x2
4
x
−
6
x4
x + 2
x4 x4
Bagi pangkat
tertinggi
3 − 2x + x64
x → ∞ 1x + 12
x
=
x
−
1
x3
+
2
x4
3−0+ 0
+
0 0−0+0
3
= =∞
0
3 x 4 − 2x 3 + 6
(tidak ada)
3
2
x →∞ x + x − x + 2
∴ lim
13
1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
⎛ 2 − 2x + 3 ⎞
a. lim ⎜
⎟
x → 2⎝ 3 x + 1
x ⎠
⎛ 2 − 2x + 3 ⎞ =
1a. lim ⎜
⎟ ....
→
x 2⎝ 3 x + 1
x ⎠
2 ⎞
⎛ 2x + 3 ⎞
= lim ⎛⎜
⎟ − lim ⎜
⎟
x → 2⎝ 3 x + 1 ⎠ x →2⎝
x ⎠
b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )
x →5
=
2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1
x →c
x →c
lim 2 x + 3
− x →2
lim 3 x + 1
lim x
lim 2
x →2
x →2
buktikan dengan teorema limit bahwa:
x →2
2
2( 2) + 3
−
3( 2) + 1
2
a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10
=
b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3
2 7
45
= − =−
7 2
14
x →c
x →c
c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6
x →c
1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
⎛ 2 − 2x + 3 ⎞
a. lim ⎜
⎟
x → 2⎝ 3 x + 1
x ⎠
2
2x + 3 ⎞
45
∴ lim ⎛⎜
−
⎟=−
x →2⎝ 3 x + 1
x ⎠
14
1b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 ) = ....
x →5
= lim ( x + 4 ) ⋅ lim ( 2 x − 5 )
x →5
b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )
x →5
x →5
= ( lim x + lim 4 ) ⋅ ( lim 2 x − lim 5 )
x →5
2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1
buktikan dengan teorema limit bahwa:
2
a. lim f ( x ) + g ( x ) = 10
= 45
x →c
x →c
c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6
x →5
= 9⋅ 5
2
b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3
x →5
= (5 + 4 ) ⋅ ( 2 ⋅ 5 − 5 )
x →c
x →c
x →5
∴ lim ( x + 4 )( 2x − 5 ) = 45
x →5
x →c
14
1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
⎛ 2 − 2x + 3 ⎞
a. lim ⎜
⎟
x → 2⎝ 3 x + 1
x ⎠
Bukti:
2a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = ....
x →c
b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )
= lim f 2 ( x ) + lim g 2 ( x )
x →5
x →c
2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1
x →c
x →c
= [ lim f ( x )]2 + [ lim g ( x )]2
x →c
x →c
buktikan dengan teorema limit bahwa:
x →c
= 3 2 + [ − 1] 2
a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10
x →c
= 9 +1
b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3
= 10
x →c
(terbukti)
c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6
x →c
∴ lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10
x →c
1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
⎛ 2 − 2x + 3 ⎞
a. lim ⎜
⎟
x → 2⎝ 3 x + 1
x ⎠
Bukti:
2b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = ....
x →c
b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )
= lim f ( x ) + lim ( x − c ) ⋅ lim g( x )
x →5
x →c
x →c
buktikan dengan teorema limit bahwa:
= 3 + 0 ⋅ ( −1 )
a. lim f 2 ( x ) + g 2 ( x ) = 10
=3
x →c
b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3
x →c
x →c
= 3 + ( c − c ) ⋅ ( −1)
2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1
x →c
x →c
(terbukti)
∴ lim [f ( x ) + ( x − c )g ( x )] = 3
x →c
c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6
x →c
15
1. Dengan menggunakan teorema limit
hitunglah nilai dari:
⎛ 2 − 2x + 3 ⎞
a. lim ⎜
⎟
x → 2⎝ 3 x + 1
x ⎠
Bukti:
2c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = ....
x →c
b. lim ( x + 4 )( 2 x − 5 )
= lim 3 g ( x ) ⋅ lim [f ( x ) + 3]
x →5
x →c
= 3 lim g ( x ) ⋅ ⎡ lim f ( x ) + lim 3⎤
⎣⎢ x →c
⎦
x →c
x →c ⎥
2. Jika lim f ( x ) = 3 dan lim g( x ) = −1
x →c
x →c
buktikan dengan teorema limit bahwa:
2
= 3 − 1 ⋅ [3 + 3]
2
a. lim f ( x ) + g ( x ) = 10
= −1 ⋅ [6]
x →c
b. lim [f ( x ) + ( x − c )g( x )] = 3
= −6
x →c
c. lim 3 g( x )[f ( x ) + 3] = −6
x →c
x →c
(terbukti)
∴ lim 3 g ( x )[f ( x ) + 3] = −6
x →c
1. Sebuah benda bergerak selama t detik
menempuh jarak s meter, ditentukan
dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan
kecepatan sesaat pada t = 4.
2. Sebuah perusahaan semen dalam waktu t
tahun memperoleh keuntungan total
sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju
keuntungan sesaat (keuntungan marjinal)
saat t = 5?
3. Berat (dalam gram) dari suatu benda uji
pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t
diukur dalam minggu. Berapa laju
pertambahan berat benda uji jika t = 10
minggu?
16
17
ƒ Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2, Departemen
Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994.
ƒ Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White, CliffsQuickReviewTM
Calculus, Pakar Raya, Bandung, 2004.
ƒ B.K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 2A,
Erlangga, Jakarta, 2004.
ƒ Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis,
Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990.
ƒ http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function.
ƒ http://www.garizhdizain.com.
Fungsi dari setiap menu dan ikon
yang digunakan dalam slide
Tampilkan pilihan materi
Tampilkan evaluasi
Tampilkan referensi
Awal presentasi
Tampilkan bantuan
Ke slide sebelum
Lihat jawaban (optional)
Jalankan animasi
(optional)
Play/Pause Musik
Ke slide
selanjutnya
Ke slide yang
aktif terakhir
Ke slide terakhir
Akhiri presentasi
18
Anda yakin ingin keluar?
Terima kasih!
19