Metode Numerik

INTEGRAL NUMERIK
Merupakan limit suatu jumlah luas sampai diperoleh
suatu ketelitian yang diijinkan.
Contoh :
Evaluasi suatu integral dari suatu fungsi f(x)
kontinue dalam x sepanjang suatu selang berhingga
a dan b tertentu dimana a ≤ x ≤ b.
b
I =
∫
a
f ( x ). dx
1. Metode Trapesium .
Metode tarpesium merupakan metode NewtonCotes order pertama. Dalam metode ini kurva
lengkung dari fungsi f(x) digantikan oleh garis
lurus.
Jika I = luas daerah di
bawah kurva, maka dapat
dihampiri dengan luas
trapesium yang teletak di
bawah kurva f(x).
f(b)
f (a)
x
a
b
Maka :
f (a ) + f (b)
I≈
(b − a )
2
Jika interval nilai a < x < b di bagi menjadi n
bagian dengan interval nilai h dimana :
b−a
h=
n
Sehingga didapat gambar berikut :
f(b)
f (a)
x
a
h
b
Agar hasil yang diperoleh mendekati nilai
sebenarnya, maka Luas di bawah kurva di hampiri
dengan membagi interval menjadi beberapa
bagian sehingga nilai h semakin kecil ≈ 0.
Memakai pendekatan interpolasi linear untuk
subselang (Xi,Xi+1), dimana :
a = X0 , x = Xi dan b = Xn
didapat :
f ( x i +1 ) − f ( x i )
f1 ( x ) = f ( x i ) +
( x − xi )
h
Sehingga :
x i +1
I i1 =
∫
f i 1 ( x ). dx
xi
x i +1
=
∫
xi
f ( x i +1 ) − f ( x i )


( x − x i )  .dx
 f ( xi ) +
h


Untuk memudahkan pengintegrasian, dimisalkan :
x − xi
u=
h
maka
dx
du =
h
jika xi = 0 dan xi+1 = 1, diperoleh :
1
I i1 = h ∫ [ f ( x i ) +
( f ( x i +1 ) −
f ( x i ) ).u ].du
0
1


= h  f ( x i ) + ( f ( x i + 1 ) − f ( x i ) )
2


h
= ( f ( x i ) + f ( x i +1 ) )
2
Karena f(x) mempunyai selang [x0 , xn], diperoleh :
I =
n −1
∑
Ii =
i=0
h
2
[ f (X 0 ) +
+ 2 f (X
h 
f (X
I =

2 
Kesalahan
0
)+
f (X
2 f (X 1 ) + 2 f (X
n−2
)+
2 f (X
n −1
n
)+ 2 ∑
i =1
pemotongan
n −1
)+
2
) + ...
f (X
n
)]

f ( X i )

adalah
h2
( x n − x 0 )M
E ≤
12
dimana : M = maks f 11 ( ξ ) , untuk
:
x0 ≤ ξ ≤ xn
2. Metode Simpson
Disini pendekatan fungsi f(x) diperoleh dari
interpolasi polinom derajad dua (parabola) yang
melalui tiga ordinat
dari dua selang yang
F(x)
F(x)
F2 (x)
berdampingan. Jadi
metode ini tepat
untuk fungsi derajat
dua
X
F2(xi ) F2(xi + 1) F2(xi + 2)
Metode ini membagi daerah yang dicari dalam n
subselang, dengan n genap, sehingga :
( n 2 ) −1 x 2 i + 2
b
I =
∫
a
f ( x ). dx =
∑ ∫
i=0
f ( x ). dx
x2i
Memakai pendekatan f(x) dari interpolasi
derajat dua dalam (x2i,x2i-2), yaitu :
( x − x 2 i +1 ) + ( x − x 2 i + 2 )
f2 (x) =
f ( x2i )
( x 2 i − x 2 i + 1 )( x 2 i − x 2 i + 2 )
'
+
( x − x2i ) + ( x − x2i+ 2 )
f ( x 2 i +1 )
( x 2 i + 1 − x 2 i )( x 2 i + 1 − x 2 i + 2 )
( x − x 2 i ) + ( x − x 2 i +1 )
f ( x2i+ 2 )
+
( x 2 i + 2 − x 2 i )( x 2 i + 2 − x 2 i + 1 )
Jika :
h = x 2i + 1
x − x2i
– x 2i , u =
dan
h
dx
du =
h
Batas integrasi dalam u menjadi (0,2). Substitusi
ke persamaan intepolasi derajad 2, didapat :
I
1
i
1
=
2h
2
∫ [( u
2
− u )( f ( x 2 i ) − f ( x 2 i + 2 )
0
+ ( u − 1 )( − 2 ) f ( x 2 i ) + ( 2 u ) f ( x 2 i + 1 ) ]. dx
I
1
i
h
=
( f ( x 2 i ) + 4 f ( x 2 i + 1 ) + f ( x 2 i + 2 ))
3
Karena f(x) mempunyai selang [x2i , x2i+2], maka :
( n 2 ) −1
I =
∑
i=0
h
I i = [ f (X
3
0
)+
4 f (X 1 ) + 2 f (X
+ 2 f (X
n−2
)+
4 f (X
n −1
2
)+
4 f (X
3
) + ...
) + f ( X n )]
Persamaan diatas disebut dengan Metode Simpson 1/3.
Dengan cara yang sama untuk Metode Simpson 3/8
didapat dari interpolasi derajat tiga (melalui empat titik),
sehingga :
3h
I = [ f ( X 3i ) + 3 f ( X 3i ) + 3 f ( X 3i + 2 ) + f ( X 3i +3 )]
8
1
atau :
3h
I =
8
[ f (X 0 ) +
+ 3 f
3 f
(X 4 ) +
(X 1 ) +
...
3 f
+ 3 f
(X 2 ) +
(X
n −1
Kesalahan pemotongan :
h4
(xn − x0 )M
E≤180
dimana : M = maks f '''' (ξ ) , untuk x0 ≤ ξ ≤ xn
)+
2 f
(X 3 )
f
( X n )]
Contoh :
Evaluasi I = ∫ 1/x2 dx ,
untuk selang [1,2] dan h = 1; 0.5; 0,25 memakai
metode trapesium dan simpson dalam 6 angka
dibelakang koma.
Aturan Trapisium
n −1
h 

I =  f ( X 0 ) + f ( X n ) + 2 ∑ f ( X i )
2
i =1

Aturan Simpson 1/3
h
I = [ f ( X0 ) + 4 f ( X1) + 2 f ( X2 ) + 4 f ( X3 ) +...+ 2 f ( Xn−2 ) + 4 f ( Xn−1) + f ( Xn )
3
Aturan Simpson 3/8
I =
3h
8
[ f (X 0 ) + 3 f (X 1 ) + 3 f (X 2 ) +
+ 3 f (X
4
) + ...
+ 3 f (X
n −1
2 f (X
)+
f (X
3
n
)
)]
]
Nilai sebenarnya = 0.25.
Untuk f(x0) = 1 dan f(xn) = 0.25, didapat :
h
n
1
1
0.5
2
0.25
4
F(x1)
F(x2)
F(x3)
-
0.444444
-
0.640000
0.444444
0.326530
Trapisium
0.625000
0,534722
0.508993
Simpson 1/3
0.416666
0.504629
0.500418
Simpson 3/8
0.468750
0.484375
0.366224