Catatan Kuliah Matematika Keuangan

Catatan Kuliah
Matematika Keuangan
(preliminary draft, comments welcome)
M. Syamsuddin
Daftar Isi
Pendahuluan
v
1 Model Binomial untuk Harga Saham
1.1 Model untuk satu periode . . . . . .
1.1.1 Pergerakan harga saham . . .
1.1.2 Harga opsi Eropa . . . . . . .
1.2 Model untuk dua periode . . . . . .
1.2.1 Pergerakan harga saham . . .
1.2.2 Notasi formal . . . . . . . . .
1.2.3 Harga opsi Eropa . . . . . . .
1.3 Model untuk n periode . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
3
6
6
7
8
11
-aljabar
13
2.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Aljabar dan -aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
-aljabar Borel B (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Ukuran dan Integral Lebesque
17
3.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Ukuran Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Integral Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Ruang Probabilitas
4.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . .
4.2 Ruang probabilitas . . . . . . . .
4.3 Variabel acak . . . . . . . . . . .
4.4 Integral pada ruang probabilitas
4.5 Aproksimasi variabel acak . . . .
4.6 Kebebasan . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Kebebasan -aljabar . . .
4.6.2 Kebabasan variabel acak .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
21
22
25
28
32
32
33
5 Ekspektasi Bersyarat
35
5.1 Peluang bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Ekspektasi bersyarat terhadap kejadian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ii
DAFTAR ISI
5.3
5.4
5.5
iii
Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret . . . . . . . . . . . .
Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sifat-sifat ekspektasi bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Martingales
37
41
42
43
7 Teorema Radon-Nikodym
45
7.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2 Teorema Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3 Eksistensi ekspektsi bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8 Integral Ito
8.1 Symmetric random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Sifat-sifat dari symmetric random walk fMk g1
k=0
8.2 Scaled symmetric random walk . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Kovariansi dari Brownian motion . . . . . . . . .
8.3 Quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Konstruksi Integral Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Integral Ito untuk fungsi sederhana . . . . . . . . . . . .
8.6 Integral Ito untuk fungsi yang umum . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
48
49
49
51
51
53
54
55
9 Rumus Ito
57
9.1 Rumus Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2 Geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Teorema Girsanov
60
10.1 Teorema Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.2 Risk-Neutral measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11 Teorema Representasi Martingale
66
12 Rumus Black-Scholes
12.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . .
12.2 Cara pertama . . . . . . . . . . . . .
12.3 Cara kedua . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Brownian Motion . . . . . . .
12.3.2 Ito’s Lemma . . . . . . . . .
12.3.3 Geometric Brownion Motion
12.3.4 Financial portfolio . . . . . .
12.3.5 Value of an option . . . . . .
12.3.6 Replicating Portfolio . . . . .
12.3.7 Solusi . . . . . . . . . . . . .
12.4 Cara ketiga . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Cara keempat . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Cox-Ross-Rubinstein Model .
68
68
68
70
70
71
71
71
72
72
72
81
83
86
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iv
DAFTAR ISI
13 Proses Gauss
92
13.1 De…nisi proses Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
14 Obligasi
94
14.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.2 Pemodelan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.3 Model Hull-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Daftar Pustaka
Indeks
99
100
Pendahuluan
Catatan Kuliah ini dirancang untuk dipergunakan oleh mahasiswa tingkat sarjana maupun
pasca sarjana serta para peneliti yang akan mempelajari matematika keuangan melalui
teori peluang dengan konsep ukuran. Karena itu pembicaraan konsep ukuran (measure) akan dipakai sebagai materi pembuka. Pembahasan akan dimulai dengan konsep
-aljabar dan secara berturut-turut akan dilanjutkan dengan pembahasan tentang fungsi
terukur, variabel acak (random variable), integral, ekspektasi bersyarat (conditional expectation) dan martingales.
Yang paling utama sebagai titik tolak dalam pembahasan teori peluang adalah pende…nisian integral
Z
X dP
(1)
sebagai ekspektasi dari suatu variabel acak X: Untuk itu mula-mula akan dikonstruksi
integral Lebesque. Setelah itu melalui cara pekonstruksian yang serupa akan dilanjutkan
dengan pende…nisian integral di ruang probabilitas.
Sekalipun materi yang akan dicakup pada Catatan ini disesuaikan dengan kebutuhan
seseorang yang akan mempelajari matematika keuangan pada tingkat lanjut, namun
Catatan ini dapat pula digunakan oleh seseorang yang akan mempelajari teori peluang melalui konsep ukuran untuk keperluan lain. Prasyarat yang diperlukan seseorang
yang akan mempelajari Catatan ini adalah penguasaan teori peluang yang setara dengan
materi di buku Hogg & Craig [5].
Contoh-contoh soal yang akan dipergunakan untuk membantu pemahaman teori
peluang akan disesuaikan dengan permasalahan sederhana yang ada di dalam matematika keuangan. Pada banyak kesempatan akan disajikan contoh dari hasil eksperimen
Bernoulli yang berupa pelantunan sebuah koin untuk pemodelan dinamika pergerakan
harga saham. Model demikian akan diberi nama model Binomial untuk penentuan harga
saham dan akan dibahas pada kesempatan pertama.
v
Kuliah ke 1
Model Binomial untuk Harga
Saham
1.1
1.1.1
Model untuk satu periode
Pergerakan harga saham
Pergerakan harga suatu saham pada suatu selang waktu tertentu adalah suatu proses
stokastik yang rumit untuk dimodelkan. Karena itu pemodelan dinamika pergerakan
harga saham akan membutuhkan matematika yang rumit pula. Namun pada kesempatan
kali ini pergerakan harga saham tersebut akan dimodelkan melalui cara yang paling
sederhana sehingga matematika yang akan dipergunakan juga relatif sederhana. Untuk
keperluan itu akan diasumsikan pergerakan harga sebuah saham pada suatu periode
waktu hanya akan menempati salah satu dari dua keadaan yang mungkin, yaitu naik
atau turun.
Dimisalkan kenaikkan atau penurunan harga sebuah saham S pada setiap periode
akan ditentukan oleh hasil eksperimen acak Bernoulli yang berupa pelantunan sebuah
koin. Bila pelantunan koin tersebut menghasilkan muka (M ) maka harga saham akan
naik dengan faktor a dan dengan peluang
P (M ) = p:
(1.1)
Sedangkan bila pelantunan koin menghasilkan belakang (B) maka harga saham akan
turun dengan faktor b dan dengan peluang
P (B) = 1
p
= q:
(1.2)
(1.3)
Bila harga saham mula-mula dimisalkan sebesar S0 maka sebagai hasil dari pelantunan
koin yang pertama, harga saham pada akhir periode pertama adalah
S1 (M ) = aS0
S1 (B) = bS0 :
1
(1.4)
2
Kuliah ke 1. Model Binomial untuk Harga Saham
Di lain pihak, pada pasar uang berlaku suku bunga deposito bank per periode sebesar
r dan diasumsikan akan berlaku hubungan berikut
b < 1 + r < a:
(1.5)
Bila persyaratan ini dipenuhi maka seseorang akan mempunyai dua pilihan untuk investasi, yaitu tabungan dalam bentuk deposito di bank atau pembelian saham. Bila kondisi
(1:5) tidak dipenuhi, misalnya
b > 1 + r;
(1.6)
maka orang tidak akan pernah menabung di bank. Penjelasannya adalah sebagai berikut.
Bila (1:6) dipenuhi maka lebih baik seseorang membeli saham karena dipastikan keuntungan yang akan diperolehnya selalu lebih besar dari pada keuntungan dari tabungan
di bank sekalipun saham sedang dalam kondisi terburuk. Hal ini diperlihatkan oleh
prosentase perubahan harga saham bila saham berada di keadaan terburuk
S1 (B)
S0
S0
bS0 S0
S0
S0 (b 1)
=
S0
= b 1 > r:
=
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Hasil (1:9) memperlihatkan bahwa prosentase perubahan dari harga saham selalu lebih
besar dari prosentase perubahan dari nilai tabungan di bank sekalipun sedang berada
dalam keadaan terburuk.
Demikian pula bila
1+r >a
(1.10)
maka orang tidak akan pernah membeli saham. Dalam keadaan ini lebih baik baginya
menabung di bank yang selalu akan menghasilkan keuntungan yang lebih besar sekalipun
harga saham sedang dalam kondisi terbaik. Hal ini bisa diperlihatkan oleh prosentase
perubahan harga saham berikut
S1 (M )
S0
S0
aS0 S0
S0
S0 (a 1)
=
S0
= a 1 < r:
=
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Hasil (1:13) memperlihatkan bahwa prosentasi perubahan harga saham selalu lebih kecil
dari prosentase perubahan nilai tabungan di bank.
Karena itu pada model untuk dinamika pergerakan harga saham perlu dipenuhi
ungkapan (1:5) sehingga orang masih mungkin mempunyai dua buah pilihan investasi
yang berupa tabungan di bank atau pemilikan saham. Bila kondisi (1:5) dilanggar maka
dua keadaan ekstrim akan terjadi, orang hanya akan menabung di bank dalam bentuk
deposito saja atau orang hanya akan memiliki saham saja.
1.1. Model untuk satu periode
1.1.2
3
Harga opsi Eropa
Suatu opsi call Eropa (European call option) adalah suatu kontrak keuangan yang memberi hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu saham pada saat jatuh tempo T
(exercise date) dengan harga tertentu K (exercise/strike price)1 . Untuk T = 1 dan bila
perekonomian sedang bagus sehingga S1 > K maka pemegang opsi call akan menggunakan haknya untuk membeli saham dengan harga K dan menjualnya di pasar dengan
harga S1 sehingga ia mendapat penghasilan sebesar S1 K: Sebaliknya bila perekonomian sedang lesu sehingga S1 < K maka pemegang opsi call tidak akan menggunakan
haknya untuk membeli saham seharga K sehingga ia tidak bisa mendapat tambahan
penghasilan.
Dengan perkataan lain, nilai opsi pada saat 1 adalah V1 = S1 K bila S1 K > 0
atau V1 = 0 bila S1 K 0 atau
(
S1 K bila S1 > K
V1 =
(1.14)
0
bila S1 K:
Nilai V1 pada (1:14) akan disebut nilai intrinsik (intrinsict value) dari opsi call. Ungkapan
(1:14) dapat dinyatakan pula menjadi salah satu dari ungkapan berikut
V1 = [S1
K]+
(1.15)
atau
V1 = maks fS1
K; 0g :
(1.16)
Nilai S1 akan tergantung pada hasil pelantunan koin yang bisa meberikan hasil M
atau B sehingga nilai V1 pun akan tergantung pada hasil tersebut. Dengan demikian
berbagai nilai V1 yang mungkin adalah
(
V1 (M ) = maks faS0 K; 0g
V1 =
(1.17)
V1 (B) = maks fbS0 K; 0g
Persamaan (1:17) memperlihatkan besar dana yang menjadi hak bagi pemegang opsi call
untuk berbagai keadaan. Pada saat yang sama persamaan (1:17) merupakan kewajiban
bagi penerbit opsi call untuk menyediakan dana sebesar V1 (M ) atau V1 (B) di akhir
periode 1: Karena hal ini berupa kewajiban bagi penerbit maka ia harus mengusahakan
agar memperoleh dana sebesar itu di akhir periode 1: Cara yang akan ditempuh oleh
penerbit adalah dengan pembentukan portfolio replikasi (replicating portfolio), yaitu suatu protfolio yang nilainya di akhir periode akan sama persis dengan kewajiban penerbit
di akhir periode 1; yaitu V1 (M ) atau V1 (B) :
Portfolio replikasi tersebut akan dibentuk dengan cara sebagai berikut. Misalkan
pihak penerbit menjual opsi call di awal periode 1 seharga V0 (kelak akan ditentukan
nilai V0 ini). Agar penerbit mempunyai dana yang cukup untuk menutup kewajiban
1
Ada jenis opsi Eropa yang lain, yaitu opsi put Eropa (European put option) yang merupakan suatu
kontrak keuangan yang memberi hak kepada pemegang kontrak tersbut untuk mejual suatu saham pada
saat jatuh tempo T yang disebut exercise date dan dengan harga tertentu K yang disebut exercise/strike
price.
4
Kuliah ke 1. Model Binomial untuk Harga Saham
membayar dana sebesar (1:17) maka sejak awal periode 1 penerbit akan membuat suatu
portfolio keuangan yang terdiri dari saham sebanyak 0 lembar (nilai V0 dan 0 akan
ditentukan kemudian). Kepemilikan saham tersebut diambil dari penjualan call seharga
V0 . Bila dana sebesar V0 tidak mencukupi bagi penerbit opsi call untuk membeli 0 lembar saham maka penerbit berhutang dengan bunga r per periode untuk mencukupinya.
Sebaliknya bila ada kelebihan dana maka sisanya ditabung dengan suku bunga r per periode. Nilai portfolio ini pada awal periode 1 adalah X0 = V0 yang berupa 0 S0 dalam
bentuk saham dan (V0
0 S0 ) dalam bentuk tabungan (atau hutang)
X0 =
0 S0
+ (V0
0 S0 )
(1.18)
= V0 :
(1.19)
Pada akhir periode ke 1, nilai portfolio akan menjadi X1 yang terdiri dari 0 S1 dalam
bentuk saham dan yang dalam bentuk tabungan (atau hutang) akan tumbuh menjadi
(1 + r) (V0
0 S0 )
X1 = 0 S1 + (1 + r) (V0
(1.20)
0 S0 ) :
Nilai portfolio sebesar X1 di akhir periode 1 diharapkan sama dengan nilai opsi call V1
di (1:17)
X 1 = V1 :
(1.21)
Jadi tugas penerbit adalah menentukan nilai V0 dan 0 agar (1:21) terpenuhi.
Namun karena nilai S1 tergantung dari hasil pelantunan koin maka nilai portfolio
X1 di (1:20) juga akan tergantung dari hasil pelantunan koin sehingga nilai X1 yang
mungkin adalah X1 (M ) dan X1 (B)
V1 = X 1 =
=
=
(
(
(
X1 (M ) =
X1 (B) =
X1 (M ) =
X1 (B) =
0 S1 (M )
+ (1 + r) (X0
0 S1 (B) + (1 + r) (X0
0 aS0
+ (1 + r) (X0
bS
+
(1 + r) (X0
0 0
X1 (M ) = (a
X1 (B) = (b
(1 + r))
(1 + r))
0 S0 )
0 S0 )
0 S0
+ (1 + r)X0
0 S0 + (1 + r)X0
0 S0 )
0 S0 )
(1.22)
(1.23)
(1.24)
Pemilihan 0 dan V0 yang tepat akan menghasilkan nilai portfolio X1 pada akhir periode 1 di persamaan (1:24) sama persis dengan nilai opsi call V1 pada akhir periode
1 di persamaan (1:17) agar pihak penerbit opsi call bisa memagari risiko yang muncul
berkaitan dengan kewajibannya membayar sejumlah dana di akhir periode 1: Dari kedua
persamaan di (1:22) didapat nilai 0 yang dimaksud, yaitu
0
X1 (M )
S1 (M )
X1 (M )
=
aS0
X1 (M )
=
S0 (a
=
X1 (B)
V1 (M )
=
S1 (B)
S1 (M )
X1 (B)
bS0
X1 (B)
:
b)
V1 (B)
S1 (B)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
1.1. Model untuk satu periode
5
Bila 0 dari (1:27) disubstitusikan lagi ke persamaan pertama dari (1:24) maka akan
didapat
X1 (M ) = (a
=
(a
(1 + r))
X1 (M )
(a
X1 (B)
+ (1 + r)X0
b)
(a (1 + r))
X1 (B) + (1 + r)X0
a b
(1 + r))
X1 (M )
a b
(1.28)
(1.29)
atau
1
(1 + r) b
a (1 + r)
X1 (M ) +
X1 (B)
1+r
a b
a b
1
[e
pX1 (M ) + qeX1 (B)]
=
1+r
X0 =
atau
V0 =
1
[e
pV1 (M ) + qeV1 (B)]
1+r
(1.30)
(1.31)
(1.32)
V0 ini adalah arbitrage price untuk opsi call dengan payo¤ sebesar V1 pada akhir
periode 1. Sedangkan pe dan qe adalah risk-neutral probabilities. Persamaan (1:30) dan
(1:32) memperlihatkan bahwa expected rate of return di bawah (e
p; qe) dari aset yang
berisiko seperti opsi call dan portfolio adalah r; yang tidak lain adalah rate of return
dari asset yang tidak berisiko yang berupa tabungan di bank.
Hasil menarik lainnya dapat diperoleh darii persamaan pertama di (1.22) dan (1.32)
V1 (M ) =
0 S1 (M )
+ (1 + r)((V0
0 S0 )
(1.33)
=
0 (S1 (M )
(1 + r)S0 ) + (1 + r)V0
(1.34)
=
0 (S1 (M )
(1 + r)S0 ) + [e
pV1 (M ) + qeV1 (B)] :
(1.35)
dan penyederhanaan lebih lanjut akan menghasilkan
0 (S1 (M )
V1 (M )
S1 (M )
(1 + r)S0 ) + [( 1 + pe)V1 (M ) + qeV1 (B)] = 0
V1 (B)
(S1 (M ) (1 + r)S0 ) + [ qeV1 (M ) + qeV1 (B)] = 0
S1 (B)
(S1 (M ) (1 + r)S0 )
qe [V1 (M ) V1 (B)] = 0
[V1 (M ) V1 (B)]
S1 (M ) S1 (B)
(S1 (M ) (1 + r)S0 )
[V1 (M ) V1 (B)]
qe = 0:
S1 (M ) S1 (B)
(1.36)
(1.37)
(1.38)
(1.39)
Agar persamaan terakhir berlaku untuk semua state ! (yaitu state M atau B), maka
persyaratan berikut harus dipenuhi
(S1 (M ) (1 + r)S0 )
S1 (M ) S1 (B)
dan dengan sedikit uraian akan diperoleh
S0 =
qe = 0
1
[e
pS1 (M ) + qeS1 (B)] :
1+r
(1.40)
6
Kuliah ke 1. Model Binomial untuk Harga Saham
Persamaan (1:40) memperlihatkan bahwa expected rate of return di bawah (e
p; qe) dari
harga saham adalah r: Interpretasi hasil ini serupa dengan interpretasi hasil dari persamaan (1:32) sehingga bisa disimpulkan bahwa di bawah (e
p; qe) expected return dari
seluruh aset keuangan yang berisiko adalah r dan ini sama dengan expected return dari
aset yang tidak berisiko. Karena itulah (e
p; qe) disebut risk-neutral probabilities.
Contoh 1.1 Misal S0 = 4; a = 2; b = 1=2; r = 10%: Akan ditentukan harga opsi call
yang jatuh tempo pada akhir periode 1 dan dengan strike price K = 5: Untuk itu akan
ditentukan dulu nilai S1 dan V1
(
S1 (M ) = aS0 = (2) (4) = 8
S1 =
(1.41)
S1 (B) = bS0 = 21 (4) = 2
(
V1 (M ) = maks fS1 (M ) K; 0g = 3
V1 =
(1.42)
V1 (B) = maks fS1 (B) K; 0g = 0
setelah itu akan dihitung p~ dan q~ dari (1:24) dan (1:66)
(1 + r) b
a b
(1 + 0:1) 1=2
=
2 1=2
p~ =
(1.43)
(1.44)
= 0:4
(1.45)
(1 + r)
a b
2 (1 + 0:1)
=
2 1=2
q~ =
a
(1.46)
(1.47)
= 0:6
(1.48)
Nilai opsi call dapat diperoleh dari (1:32)
1
[e
pV1 (M ) + qeV1 (B)]
1+r
1
=
(0:34 3 + 0:66
1 + 0:1
V0 =
= 0:92727:
1.2
1.2.1
(1.49)
0)
(1.50)
(1.51)
Model untuk dua periode
Pergerakan harga saham
Sebagai hasil dari pelantunan koin sebanyak dua kali, harga saham pada akhir periode
kedua adalah
S2 (M M ) = aS1 (M ) = a2 S0
(1.52)
S2 (M B) = bS1 (M ) = baS0
(1.53)
S2 (BM ) = aS1 (B) = abS0
(1.54)
2
S2 (BB) = bS1 (B) = b S0 :
(1.55)
1.2. Model untuk dua periode
7
Pergerakan harga saham dalam dua periode ini digambarkan oleh pohon Binomial pada
Gambar 1 dengan S0 = 4; a = 2; b = 1=2
Gambar 1 Pohon Binomial
1.2.2
Notasi formal
Secara formal, seluruh kemungkinan hasil eksperimen dari pelantunan sebuah koin sebanyak dua kali akan dinyatakan dalam suatu ruang sampel
= fM M; M B; BM; BBg :
(1.56)
Setiap unsur dari akan dinyatakan dengan !: Variabel acak S1 dan S2 berturut-turut
akan diungkapkan dengan
S1 (!) =
dan
(
8 bila ! 2 fM M; M Bg
2 bila ! 2 fBM; BBg
8
>
< 16 bila ! = fM M g
S2 (!) =
4 bila ! = fM B; BM g
>
: 1 bila ! = fBBg :
(1.57)
(1.58)
Bila dide…nisikan X sebagai variabel acak yang menyatakan jumlah muka M di dalam
pelantunan sebuah koin sebanyak dua kali maka distribusi dari X adalah Binomial b(2; p)
dengan p adalah peluang muka M akan keluar dari setiap kali pelantunan koin, lihat
(1:1) : Dengan mudah bisa dipahami bahwa sekalipun X dan S2 adalah dua buah variabel
8
Kuliah ke 1. Model Binomial untuk Harga Saham
acak yang berbeda namun keduanya memiliki distribusi yang sama
!
2
P (X = 2) = P (S2 = 16) =
p 2 q 2 2 = p2
2
!
2
P (X = 1) = P (S2 = 4) =
p1 q 2 1 = 2pq
1
!
2
P (X = 0) = P (S2 = 1) =
p0 q 2 0 = q 2 :
0
1.2.3
(1.59)
(1.60)
(1.61)
Harga opsi Eropa
Kali ini akan dibahas opsi call Eropa yang akan jatuh tempo di akhir periode 2 dengan
strike price K: Nilai intrinsik dari opsi call ini adalah
V2 = maks fS2
K; 0g
yang bisa diurai lebih rinci dengan
8
>
V2 (M M ) = maks fS2 (M M ) K; 0g
>
>
< V (M B) = maks fS (M B) K; 0g
2
2
V2 =
>
V2 (BM ) = maks fS2 (M B) K; 0g
>
>
:
V2 (BB) = maks fS2 (BB) K; 0g :
(1.62)
(1.63)
Nilai V2 ini merupakan hak bagi pemegang opsi call dan sekaligus kewajiban bagi penerbit
opsi call pada berbagai keadaan.
Agar penerbit bisa memagari dirinya dari risiko yang muncul berkaitan dengan kewajibannya untuk menyediakan dana sebesar V2 di akhir periode 2 maka ia akan menyusun
portfolio replikasi. Portfolio ini disusun dari penjualan opsi call seharga V0 dan dialokasikan untuk pembelian saham sebanyak 0 sisanya (atau kekurangannya) ditabung
(hutang) ke bank dengan suku bunga r per periode. Jadi pada awal periode 1 nilai
protfolionya adalah
X 0 = V0 :
(1.64)
Tujuan dari pembentukan portfolio ini adalah untuk mendapatkan nilai portfolio di akhir
periode 2 sebesar X2 yang sama persis dengan nilai opsi call di akhir periode 2
X 2 = V2
(1.65)
melalui pemilihan komposisi portfolio pada tiap awal periode 1 dan 2: Dengan kata lain
akan dipilih komposisi portfolio yang terdiri dari sejumlah saham dan tabungan (hutang)
di bank dengan 0 lembar saham pada awal periode 1 dan 1 lembar saham pada awal
periode 2 yang memungkinkan persamaan (1:65) terpenuhi.
Pada akhir periode 1 nilai portfolionya adalah X1 ; serupa dengan (1:22)
(
X1 (M ) = 0 S1 (M ) + (1 + r) (X0
0 S0 )
X1 =
(1.66)
X1 (B) = 0 S1 (B) + (1 + r) (X0
0 S0 ) :
1.2. Model untuk dua periode
9
Posisi portfolio pada akhir periode 1 ini akan di ubah pada awal periode 2 melalui
perubahan komposisi kepemilikan saham dari semula sebanyak 0 lembar menjadi 1
lembar. Kelebihan (kekurangan) dana akan disimpan (hutang) di bank sebesar X1
1 S1 : Nilai portfolio pada akhir periode 2 akan menjadi X2
8
>
1 (M )S1 (M )g
> X2 (M M ) = 1 (M )S2 (M M ) + (1 + r)fX1 (M )
>
< X (M B) =
2
1 (M )S2 (M B) + (1 + r)fX1 (M )
1 (M )S1 (M )g
X2 =
(1.67)
>
X
(BM
)
=
(B)S
(BM
)
+
(1
+
r)fX
(B)
(B)S
2
1
2
1
1
1 (B)g
>
>
:
X2 (BB) = 1 (B)S2 (BB) + (1 + r)fX1 (B)
1 (B)S1 (B)g:
Dengan demikian telah diperoleh 6 buah persamaan yang terdiri dari (1:66) dan
(1:67) : Dari keenam persamaan ini akan dicari 6 buah nilai yang masing-masing untuk
0 ; X0 ; 1 (M ) ; 1 (B) ; X1 (M ) dan X1 (B) agar persamaan (1:65) terpenuhi.
Dari keempat persamaan di (1:67) ini akan didapat komposisi jumlah kepemilikan
saham pada awal periode 2 sebesar 1
X2 (M M )
S2 (M M )
V2 (M M )
=
S2 (M M )
X2 (BM )
1 (B) =
S1 (BM )
V2 (BM )
=
S1 (BM )
1 (M )
=
X2 (M B)
S2 (M B)
V2 (M B)
S2 (M B)
X2 (BB)
S1 (BB)
V2 (BB)
:
S1 (BB)
(1.68)
(1.69)
(1.70)
(1.71)
Perubahan dari persamaan (1:68) ke persamaan (1:69) dan dari persamaan (1:70) ke
persamaan (1:71) telah mulai digunakan pembatas (1:65) sehingga nilai 1 (M ) dan
1 (B) yang diperoleh telah menjamin bahwa (1:65) terpenuhi.
Setelah 1 (M ) dan 1 (B) diperoleh maka dari keempat persamaan (1:67) ini pula
akan didapat X1 sebagai nilai portfolio pada akhir periode 1
(
1
[e
pX2 (M M ) + qeX2 (M B)]
X1 (M ) = 1+r
(1.72)
X1 =
1
X1 (B) = 1+r
[e
pX2 (BM ) + qeX2 (BB)] :
Perolehan X1 (M ) dan X1 (B) di (1:72) telah melibatkan penggunaan 1 (M ) dan 1 (B)
sehingga nilai yang diperoleh turut menjamin bahwa (1:65) terpenuhi.
Dari nilai X1 ini bisa diperoleh komposisi kemilikan saham pada awal periode 1
sebanyak 0 lembar sesuai dengan (1:27)
0
=
X1 (M )
S1 (M )
X1 (B)
S1 (B)
(1.73)
dan nilai opsi call pada awal periode 1 melalui persamaan (1:31)
V0 = X 0
1
[e
pX1 (M ) + qeX1 (B)] :
=
1+r
(1.74)
(1.75)
Jadi penyusunan potfolio replikasi pada awal periode 1 dan disesuaikan komposisinya
pada awal periode 2 menghasilkan 6 buah persamaan, yaitu 2 buah persamaan di (1:66)
10
Kuliah ke 1. Model Binomial untuk Harga Saham
dan 4 buah persamaan di (1:67) sehingga bisa diperoleh 6 buah nilai yang masing-masing
untuk 0 ; X0 ; 1 (M ) ; 1 (B) ; X1 (M ) dan X1 (B) : Melalui pemilihan komposisi portfolio replikasi ini akan dijamin (1:65) terpenuhi sehingga penerbit opsi call bisa memagari
dirinya dari risiko yang muncul oleh penerbitan opsi tersebut.
Dengan prosedur yang serupa dengan pembahasan sebelumnya akan diperoleh pula
1
[e
pS1 (M ) + qeS1 (B)]
1+r
1
S1 (M ) =
[e
pS2 (M M ) + qeS2 (M B)]
1+r
1
S1 (B) =
[e
pS2 (BM ) + qeS2 (BB)] :
1+r
S0 =
(1.76)
(1.77)
(1.78)
Seluruh hasil ini memperlihatkan bahwa aset keuangan yang berisiko atau tidak berisiko
akan menghasilkan expected return yang sama di bahwa risk-neutral world seperti kesimpulan yang dicapai pada model untuk satu periode.
Contoh 1.2 Misal S0 = 4; a = 2; b = 1=2; r = 10%: Akan ditentukan harga opsi call
yang jatuh tempo pada akhir periode 2 dan dengan strike price K = 5: Untuk itu akan
ditentukan dulu nilai S2
S2 (M M ) = aS1 (M ) = a2 S0 = 22 4 = 16
1
S2 (M B) = bS1 (M ) = baS0 =
2 4=4
2
1
S2 (BM ) = aS1 (B) = abS0 = 2
4=4
2
1 2
2
S2 (BB) = bS1 (B) = b S0 =
4 = 1:
2
dan X2 = V2 dari (1:63)
8
>
X2 (M M ) = maks fS2 (M M ) K; 0g = maks f16 5; 0g = 11
>
>
< X (M B) = maks fS (M B) K; 0g = maks f4 5; 0g = 0
2
2
X 2 = V2 =
>
X
(BM
)
=
maks
fS
K; 0g = maks f4 5; 0g = 0
2
2 (M B)
>
>
:
X2 (BB) = maks fS2 (BB) K; 0g = maks f1 5; 0g = 0:
(1.79)
(1.80)
(1.81)
(1.82)
(1.83)
Dengan p~ = 0:4 dan q~ = 0:6 seperti yang diperoleh dari Contoh 1.1; akan didapat nilai
X1 dari (1:72)
1
[e
pX2 (M M ) + qeX2 (M B)]
1+r
1
=
(0:4 11 + 0:6 0)
1 + 0:1
X1 (M ) =
=4
1
[e
pX2 (BM ) + qeX2 (BB)]
1+r
1
=
(0:4 0 + 0:6 0)
1 + 0:1
X1 (B) =
= 0:
(1.84)
(1.85)
(1.86)
(1.87)
(1.88)
(1.89)
1.3. Model untuk n periode
11
Akhirnya nilai opsi call dapat diperoleh dari (1:75)
1
[e
pX1 (M ) + qeX1 (B)]
1+r
1
(0:4 4 + 0:6
=
1 + 0:1
V0 =
(1.90)
0)
(1.91)
= 1:4545:
1.3
(1.92)
Model untuk n periode
Bila Sn menyatakan harga saham pada periode ke n dan harga ini tergantung dari hasil
pelantunan koin sebanyak n kali !1 ; !2 ;
; !n maka hubungan antara Sn dan Sn 1
dinyatakan oleh
Sn (!1 ; !2 ;
; !n
Sn (!1 ; !2 ;
; !n
1; M )
= aSn
1 (!1 ; !2 ;
; !n
1)
(1.93)
1 ; B)
= bSn
1 (!1 ; !2 ;
; !n
1)
(1.94)
dengan a adalah faktor kenaikkan harga saham dan b adalah faktor penurunan harga
saham. Nilai opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode n dan dengan exercise price
K adalah
Vn (!1 ; !2 ;
; !n ) = maks fSn (!1 ; !2 ;
; !n ) K; 0g :
(1.95)
Portfolio replikasi yang akan dibentuk oleh penerbit opsi call akan memenuhi pembatas
Xn (!1 ; !2 ;
; !n ) = Vn (!1 ; !2 ;
Sedangkan hubungan antara nilai portfolio Xn dan Xn
Xn
1 (!1 ; !2 ;
; !n
1; M )
=
1
[e
pXn (!1 ; !2 ;
1+r
; !n
; !n ) :
1
(1.96)
dinyatakan oleh
1; M )
+ qeXn (!1 ; !2 ;
; !n
1 ; B)]
(1.97)
dengan r adalah suku bunga tabungan di bank per periode sedangkan pe dan qe adalah
risk-neutral probabilities
(1 + r) b
b a
a (1 + r)
q~ =
:
b a
p~ =
(1.98)
(1.99)
Secara rekursif dari hubungan (1:97) akhirnya akan diperoleh harga opsi call sekarang
V0 = X 0 =
1
[e
pX1 (M ) + qeX1 (B)] :
1+r
(1.100)
Tentu saja pemodelan pergerakan harga saham dan penentuan harga opsi dengan
cara demikian kelihatannya sangat naif. Namun ternyata pemodelan ini cukup ampuh
dan akan menghasilkan alat yang sering dipakai di dalam matematika keuangan. Model
inilah yang melatarbelakangi sebagian besar contoh soal yang akan menjelaskan teori
peluang dengan ukuran.
12
Kuliah ke 1. Model Binomial untuk Harga Saham
Untuk panjang periode yang sangat pendek t ! 0 model Binomial ini akan menghasilkan rumus Black-Scholes yang semula diturunkan dari suatu persamaan diferensial
stokastik. Dengan demikian model Binomial ini dapat dipandang sebagai aproksimasi
terhadap suatu model untuk pergerakan harga saham yang diungkapkan melalui persamaan diferensial stokastik. Tentu saja model yang terkahir tersebut lebih canggih dari
pada model Binomial. Namun akan ditunda dulu pembicaraan ke arah sana dan sekarang
dimulai saja pembicaraan tentang ukuran dan yang pertama kali akan dibahas adalah
konsep -aljabar yang menggambarkan tentang informasi hasil eksperiman percobaan
acak.
Kuliah ke 2
-aljabar
2.1
Pendahuluan
Pada pelajaran kali ini akan dijelaskan kosep -aljabar yang akan dipergunakan sebagai
bahan bangunan bagi teori peluang. Di dalam teori peluang, -aljabar ini akan diartikan
sebagai informasi tentang hasil eksperimen acak. Setelah itu akan diperkenalkan konsep
kejadian (event), -aljabar yang dibangkitkan oleh suatu kejadian, dan -aljabar Borel
B (R) :
2.2
Aljabar dan -aljabar
De…nisi 2.1 (aljabar) Misal
adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi subhimpunan dari : Suatu aljabar pada
adalah koleksi himpunan F dengan tiga buah
sifat berikut
1.
2F
2. Bila A 2 F maka Ac 2 F
3. Bila A; B 2 F maka A [ B 2 F:
Catatan 2.2 Bila A; B 2 F maka A \ B = (Ac [ B c )c 2 F sehingga aljabar pada
adalah keluarga sub-himpunan dari
yang tertutup oleh sejumlah operasi himpunan [
dan/atau \ yang terhingga ( …nite).
De…nisi 2.3 ( -aljabar) Misal
adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi subhimpunan dari : Koleksi himpunan F disebut -aljabar pada
bila F adalah aljabar
1
S
dan bila A1 ; A2 ;
adalah barisan di F maka
Ak 2 F:
k=1
Catatan 2.4 Sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yang
terhingga ( …nite) sedangkan sebuah -aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi
himpunan yang terhitung ( countable).
13
14
Kuliah ke 2. -aljabar
De…nisi 2.5 (kejadian) Misal adalah suatu ruang sample (sample space), yaitu himpunan dari seluruh hasil yang mungkin dari suatu eksperimen acak. Bila F adalah himpunan kuasa dari
(ditulis F = kuasa( )) maka setiap anggota dari F akan disebut
sebuah kejadian ( event).
Berikut ini akan di bahas sebuah contoh soal tentang ruang sampel dan -aljabar.
Contoh soal ini akan sering dirujuk pada berbagai pembahasan topik yang akan datang.
Contoh 2.6 Misalkan ada sebuah eksperimen acak yang berupa pelantunan sebuah koin
sebanyak dua kali. Seluruh hasil yang mungkin dari eksperimen ini akan disebut ruang
sampel ( sample space)
= fM M; M B; BM; BBg
(2.1)
dengan M menyatakan lantunan dengan hasil muka dengan peluang
P (M ) = p
(2.2)
dan B menyatakan lantunan dengan hasil belakang dengan peluang
P (B) = 1
p
= q:
(2.3)
(2.4)
Lihat kembali Kuliah ke 1.
Tiap unsur ! 2
disebut titik sampel ( sample point). Dalam contoh ini ! terdiri dari dua komponen. Komponen ke k dari ! akan dinyatakan dengan !k : Sebagai
ilustrasi, ! = M B adalah titik sampel yang menyatakan bahwa lantunan koin yang pertama menghasilkan !1 = M dan lantunan yang kedua menghasilkan !2 = B, kadang !
dituliskan dengan ! = (!1 ; !2 ) :
Sebuah -aljabar yang paling sederhana yang bisa dibangun pada adalah F0
F0 = f ; ?g :
(2.5)
Sedangkan -aljabar yang paling kompleks yang bisa dibangun pada
adalah F yang
berupa keluarga seluruh sub-himpunan dari atau disebut himpunan kuasa dari
F = kuasa ( )
(2.6)
= f ; ?; fM M g ; fM Bg ; fBM g ; fBBg ;
fM M; M Bg ; fM M; BM g ; fM M; BBg ; fM B; BM g ; fM B; BBg ;
fBM; BBg ; fM M; M B; BM g ; fM M; M B; BBg ; fM B; BM; BBgg :
(2.7)
(2.8)
Koleksi himpunan F ini adalah sebuah -aljabar yang berisi seluruh informasi tentang
hasil eksperimen acak dari pelantunan koin sebanyak dua kali. Setiap unsur di F akan
disebut sebagai kejadian ( event). Sebagai ilustrasi, kejadian yang menyatakan bahwa
lantunan pertama menghasilkan muka adalah
AM = fM M; M Bg
(2.9)
2.2. Aljabar dan -aljabar
15
Sedangkan kejadian yang menyatakan bahwa lantunan pertama menghasilkan belakang
adalah
AB = fBM; BBg :
(2.10)
Bisa diperlihatkan dari de…nisi -aljabar bahwa koleksi himpunan F1 berikut
F1 = f ; ?; fM M; M Bg ; fBM; BBgg
(2.11)
= f ; ?; AM ; AB g
(2.12)
adalah suatu -aljabar yang memuat seluruh informasi tentang hasil eksperimen acak
dari pelantunan koin sebanyak satu kali. Demikian pula bisa diperlihatkan bahwa koleksi
himpunan F2 dan F3 berikut adalah sebuah -aljabar
F2 = f ; ?; fM M g ; fM Bg ; fM M; M Bg ; fBM; BBg ;
=
fM B; BM; BBg ; fM M; BM; BBgg
; ?; fM M g ; fM Bg ; AM ; AB ; fM B; BM; BBg ; fM M; BM; BBg
F3 = f ; ?; fM M g ; fBM g ; fM M; BM g ; fM B; BBg ;
fM M; M B; BBg ; fM B; BM; BBgg:
Dari contoh ini bisa dilihat bahwa F0
F1
F2
F.
Catatan 2.7 Setiap -aljabar memuat informasi. Pada Contoh 2.6, -aljabar F1 berisi
informasi tentang hasil pelantunan koin yang pertama sedangkan F sendiri berisi informasi tentang hasil pelantunan koin sampai yang kedua kali.
De…nisi 2.8 Bila F1 ; F2 ;
adalah keluarga sub- -aljabar dari F dengan sifat F1
maka keluarga tersebut dinamakan …ltrasi (…ltration).
F2
Latihan 2.9 Dari Contoh 2.6 dapat disimpulkan bahwa F0 ; F1 ; F2 ; F adalah suatu …ltrasi. Apakah F0 ; F1 ; F2 ; F3 ; F juga suatu …ltrasi?
De…nisi 2.10 ( (C) ; -aljabar yang dibangitkan oleh C) Misal C adalah kelas dari
sub-himpunan dari : Pengertian -aljabar yang dibangkitkan oleh C dan dinyatakan
dengan (C) adalah -aljabar terkecil pada dengan C
(C) :
Contoh 2.11 Dari Contoh 2.6 dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut
1. Bila C = AM = fM M; M Bg maka
terkecil pada dan C F 1 :
(C) = F1 karena F1 merupakan
-aljabar
2. Tentu saja F2 bukan -aljabar yang dibangkitkan oleh C karena F2 bukan -aljabar
terkecil sekalipun C F 2
3. F juga bukan -aljabar yang dibangkitkan oleh C sekalipun C
-aljabar terkecil pada dengan C F:
4. Misal C = ffM M g ; fM Bgg maka
terkecil pada dan C F 2 :
F karena F bukan
(C) = F2 karena F2 merupakan
-aljabar
F
16
2.3
Kuliah ke 2. -aljabar
-aljabar Borel B (R)
De…nisi 2.12 ( -aljabar Borel B (R)) Misal R adalah himpunan seluruh bilangan riil.
Pengertian -aljabar Borel pada R adalah -aljabar yang dibangkitkan oleh famili selang
terbuka pada R dan dinyatakan dengan B (R) atau
B (R) =
(selang-selang buka di R) :
(2.13)
Catatan 2.13 Setiap himpunan yang merupakan unsur dari B(R) akan disebut himpunan Borel.
Konsep -aljabar Borel B(R) kadang agak sulit dimengerti oleh seseorang. Berikut
ini ada cara lain yang bisa memudahkan untuk menggambarkan konsep -aljabar Borel.
Mula-mula diperkenalkan dulu (R) dengan
(R) = f( 1; x] : x 2 Rg
dan bisa diperlihatkan bahwa
dibangkitkan oleh (R)
-aljabar Borel B(R) tidak lain adalah
B(R) =
(2.14)
-aljabar yang
( (R)) :
(2.15)
Dari de…nisi B(R) terlihat bahwa setiap selang (a; b) dengan a; b 2 R adalah himpunan
Borel sehingga gabungan selang-selang tersebut akan merupakan himpunan Borel pula.
Hal ini disebabkan karena B(R) adalah suatu -aljabar. Sebagai contoh selang (a; 1)
dan ( 1; a) akan merupakan himpunan Borel karena
1
[
(a; 1) =
(a; a + n)
(2.16)
(a
(2.17)
n=1
dan
( 1; a) =
1
[
n; a) :
n=1
Selang tutup [a; b] dengan a; b 2 R akan merupakan himpunan Borel pula karena
[a; b] = (( 1; a) [ (b; 1))c
(2.18)
demikian pula fag akan merupakan himpunan Borel karena
fag =
1
\
a
n=1
1
1
;a +
n
n
(2.19)
sehingga setiap himpunan dengan jumlah unsur terhingga dari bilangan riil adalah himpunan Borel, yaitu bila A = fa1 ; a2 ;
; an g maka
A=
n
[
k=1
fak g :
(2.20)
Kuliah ke 3
Ukuran dan Integral Lebesque
3.1
Pendahuluan
Setelah diperkenalkan konsep -aljabar, akan diperkenalkan konsep ukuran dan integral.
Berturut-turut akan diperkenalkan konsep ruang terukur, ukuran, ruang ukuran, ukuran
Lebesque beserta integral Lebesque. Pembicaraan akan ditutup oleh dua buah teorema
yang sangat penting untuk integral Lebesque. Semua konsep ini akan dipergunakan di
dalam teori peluang untuk pembangunan ruang probabilitas, pende…nisian variabel acak
dan ekspektasi.
3.2
Ukuran Lebesque
De…nisi 3.1 (ruang terukur) ( ; F) disebut ruang terukur ( measurable space) bila
adalah suatu himpunan dan F adalah -aljabar pada : Unsur F disebut sub-himpunan
dari yang F-terukur (F-measurable).
Contoh 3.2 Pada Contoh 2.6 kejadian AM = fM M; M Bg adalah F1 -terukur dan AM
juga F2 -terukur akan tetapi kejadian AM tidak F3 -terukur karena AM 2 F1 dan AM 2 F2
akan tetapi AM 62 F3 :
De…nisi 3.3 (fungsi himpunan yang aditif ) Misal
adalah suatu himpunan dan
F adalah suatu aljabar pada
serta
adalah fungsi himpunan ( set function) yang
nonnegatif
: F ! (0; 1] :
(3.1)
Fungsi
1.
disebut aditif ( additive) bila memenuhi sifat berikut
(?) = 0
2. Bila A1 ; A2 2 F dan A1 \ A2 = ? maka
(A1 [ A2 ) =
(A1 ) + (A2 ) :
De…nisi 3.4 (fungsi himpuanan aditif yang terhitung) Fungsi
terhitung ( countably additive) bila memiliki sifat-sifat berikut
1.
(?) = 0
17
disebut aditif yang
18
Kuliah ke 3. Ukuran dan Integral Lebesque
2. Bila A1 ; A2 ;
maka
1
S
adalah barisan di F dengan Ai \Aj = ? untuk i 6= j dan
Ak
=
k
1
P
(Ak ) :
1
S
k
Ak 2 F
k
De…nisi 3.5 (ukuran, ruang ukuran) Misal ( ; F) adalah suatu ruang terukur: Fungsi
yang dide…nisikan dengan
: F ! [0; 1)
(3.2)
disebut ukuran (measure) pada ( ; F) bila adalah aditif yang terhitung dan ( ; F; )
akan disebut ruang ukuran (measure space).
Salah satu ukuran yang penting dan terde…nisi pada ruang terukur (R;B (R)) adalah
ukuran Lebesque.
De…nisi 3.6 (ukuran Lebesque) Misal (R;B (R)) adalah suatu ruang terukur dan A =
(a; b) 2 B (R) : Ukuran Lebesque 0 dide…nisikan dengan 0 (A) = b a:
Catatan 3.7 Tentu saja bisa dimaklumi bahwa
Contoh 3.8
0 (R)
= 1:
1. Telah diperlihatkan bahwa
fag
1
1
;a +
n
n
a
(3.3)
sehingga
0
0 fag
0
a
= lim
0
1
1
;a +
n
n
=
2
:
n
(3.4)
Bila n ! 1 maka
0 fag
n!1
a
1
1
;a +
n
n
2
n!1 n
= 0:
= lim
(3.5)
(3.6)
(3.7)
2. Bila
A = fa1 ; a2 ; a3 ; :::g
(3.8)
himpunan dengan unsur yang terhitung maka
0 (A)
=
1
X
k=1
0 fak g
= 0:
(3.9)
Dengan kata lain setiap himpunan bilangan riil dengan unsur yang terhitung maka
ukuran Lebesque-nya adalah nol.
3.3. Integral Lebesque
3.3
19
Integral Lebesque
Pada pende…nisian berikut mula-mula akan dide…nisikan integral Lebesque untuk fungsi
indikator, kemudian berturut-turut akan dide…nisikan integral Lebesque untuk fungsi
sederhana, fungsi non-negatif dan akhirnya untuk fungsi yang umum.
De…nisi 3.9
1. Misal g : R ! R adalah fungsi indikator (indicator function)
(
1 bila x 2 A
g (x) =
:
(3.10)
0 bila x 2 A
Himpunan A yang dide…nisikan oleh fungsi g ditulis dengan
A = fx 2 R; g (x) = 1g :
Integral Lebesque untuk fungsi g dide…nisikan dengan
Z
g d 0 = 0 (A) :
(3.11)
(3.12)
R
2. Misal h : R ! R adalah fungsi sederhana (simple function), yaitu fungsi yang dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator
h (x) =
n
X
ck gk (x)
(3.13)
k=1
dengan
gk (x) =
(
1 bila x 2 Ak
0 bila x 2
= Ak
ck bilangan riil. Integral Lebesque untuk fungsi h dide…nisikan dengan
Z
Z X
n
hd 0 =
ck gk d 0
R
=
=
R k=1
Z
n
X
ck
k=1
n
X
gk d
0
(3.14)
(3.15)
(3.16)
R
ck
0 (Ak )
(3.17)
k=1
3. Misal f : R ! R adalah fungsi non-negatif, integral Lebesque untuk fungsi f
dide…nisikan dengan
Z
Z
f d 0 = sup
hd 0 : h fungsi sederhana dan h (x) f (x) ; 8x 2 R
R
R
(3.18)
4. Misal f : R ! R adalah fungsi yang umum dan akan dide…nisikan dulu
f + (x) = maks ff (x) ; 0g
f (x) = maks f f (x) ; 0g :
(3.19)
(3.20)
20
Kuliah ke 3. Ukuran dan Integral Lebesque
Integral Lebesque untuk fungsi f dide…nisikan dengan
Z
Z
Z
f d
f +d 0
fd 0 =
5. Misal A
R, pende…nisian integral
Z
fd
R
A fd 0
0
=
A
dengan
IA (x) =
Catatan 3.10 Bila
tegralkan.
R
R fd 0
(3.21)
0
R
R
R
Z
adalah sebagi berikut
f:IA d
0
(3.22)
R
(
1 bila x 2 A
0 bila x 2
=A
(3.23)
< 1 maka f akan disebut sebagai fungsi yang dapat diin-
Dua buah teorema yang sangat penting di dalam konsep integral Lebesque adalah
teorema monotone convergence dan dominated convergence. Teorema ini memudahkan
penghitungan integral untuk fungsi f yang umum bila ia diaproksimasi oleh barisan
fungsi fn yang sederhana dan konvergen ke f:
Teorema 3.11 (monotone convergence) Misal fn ; n = 1; 2;
yang konvergen ke fungsi f . Bila
0
maka
f1 (x)
Z
f d
f2 (x)
0
R
= lim
; 8x 2 R
Z
n!1 R
fn d
0:
adalah barisan fungsi
(3.24)
(3.25)
Teorema 3.12 (dominated convergence) Misal fn ; n = 1; 2;
adalah barisan fungsi
yang konvergen ke f: Bila ada fungsi non-negatif g yang dapat diintegralkan (yaitu
R
R g d 0 < 1) sehingga
jfn (x)j
maka
Z
R
f d
g (x) 8x 2 R; 8n 2 N
0
= lim
Z
n!1 R
fn d
0:
(3.26)
(3.27)
Kuliah ke 4
Ruang Probabilitas
4.1
Pendahuluan
Pada Kuliah kali ini akan dibangun ruang probabilitas sebagai tempat untuk pende…nisan
variabel acak. Setelah itu akan dide…nisikan integral pada ruang probabilitas yang sekaligus merupakan pende…nisian dari ekspektasi.E (X) : Dua buah teorema yang berlaku untuk integral Lebesque akan dipergunakan disini untuk penghitungan integral (ekspektasi)
melalui aproksimasi variabel acak.
4.2
Ruang probabilitas
De…nisi 4.1 Ukuran P disebut ukuran probabilitas (probability measure) bila P adalah
suatu ukuran pada ruang terukur ( ; F) dan P ( ) = 1:
Catatan 4.2 Dengan kata lain, P adalah suatu ukuran probabilitas pada ( ; F) yang
mempunyai sifat
1. P ( ) = 1
2. Untuk barisan A1 ; A2 ; A3 ;
ada di F dengan Ai \ Aj = ? untuk 8i 6= j akan
1
1
S
P
berlaku P
Ak =
P [Ak ] :
k=1
n
k=1
De…nisi 4.3 (ruang probabilitas) Suatu ruang probabilitas ( probability space) ( ; F; P )
terdiri dari 3 obyek
1. suatu ruang sample ( sample space)
2. suatu -aljabar F = kuasa( )
3. suatu ukuran probabilitas P di suatu ruang terukur ( ; F) ; yaitu P (A) terde…nisi
8A 2 F:
De…nisi 4.4 (hampir pasti) Suatu kejadian A dikatakan akan terjadi hampir pasti
( almost surely) bila
P (A) = 1:
(4.1)
21
22
Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas
4.3
Variabel acak
De…nisi 4.5 (Borel-terukur) Misal f adalah suatu fungsi dari R ke R: Dikatakan
bahwa f adalah Borel-terukur (Borel-measurable) bila f 1 (A) = fx : f (x) 2 Ag 2 B(R)
untuk 8A 2 B(R):
De…nisi 4.6 (fungsi F-terukur) Misal ( ; F) adalah suatu ruang ukuran. Suatu
fungsi f : ! R disebut F-terukur (F-measurable) bila f 1 : B(R) ! F atau f 1 (B) =
f! : f (!) 2 Bg 2 F; untuk tiap himpunan Borel B. Fungsi f ini dapat digambarkan
dengan
f
! R
F
f
(4.2)
1
B (R) :
(4.3)
De…nisi 4.7 (variabel acak) Misal ( ; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas. Suatu
fungsi X : ! R akan disebut sebagai variabel acak (random variabel) jika dan hanya
jika X 1 (B) = f! : X (!) 2 Bg 2 F untuk tiap himpunan Borel B:
Catatan 4.8 Ada beberapa ungkapan lain yang ekivalen untuk pende…nisian variabel
acak, yaitu
1. X :
! R adalah suatu variabel acak jika dan hanya jika X adalah F-terukur.
2. X : ! R adalah suatu variabel acak jika dan hanya jika X
B(R) ke F
X 1 : B(R) ! F:
1
adalah fungsi dari
(4.4)
De…nisi 4.9 ( (X) : -aljabar dibangkitkan oleh X ) Misal X adalah suatu variabel acak di ( ; F; P ) : Istilah -aljabar yang dibangkitkan oleh X (ditulis (X)) dide…nisikan dengan koleksi dari semua himpunan yang berbentuk f! 2: X (!) 2 Ag ; 8A R:
Dengan kata lain
(X) = X 1 (B) : B 2 B(R) :
(4.5)
Catatan 4.10
pada X:
(X) adalah -aljabar yang memuat seluruh informasi yang terkandung
De…nisi 4.11 Misal X adalah suatu variabel acak di ( ; F) dan G adalah sub- -aljabar
dari F: Dikatakan X adalah G-terukur bila setiap himpunan di (X) ada pula di G:
De…nisi 4.12 Misal X adalah variabel acak diskret yang terhingga. Atom dari
dide…nisikan sebagai koleksi dari himpunan
X
1
(X (!)) j ! 2
(X)
(4.6)
(X) terdiri dari atom-atom beserta komplemennya dan hasil operasi himpunan
padanya.
4.3. Variabel acak
23
De…nisi 4.13 Variabel acak X disebut sederhana (simple) bila ia dapat dinyatakan dengan
m
X
X(!) =
ai IAi (!) untuk 8ai 0
(4.7)
i=1
dengan
IA1 (!) =
Contoh 4.14 Misal
(
1 bila ! 2 Ai
0 bila ! 62 Ai :
(4.8)
ruang sampel yang dide…nisikan pada Contoh 2.6 di halaman 14
= fM M; M B; BM; BBg:
(4.9)
Misal variabel acak S1 menyatakan nilai saham pada akhir periode pertama
(
8 bila ! 2 fM M; M Bg
S1 (!) =
2 bila ! 2 fBM; BBg
dan variabel acak S2 menyatakan nilai
1)
8
>
< 16
S2 (!) =
4
>
: 1
(4.10)
saham pada akhir periode kedua (lihat Kuliah ke
bila ! 2 fM M g
bila ! 2 fM B; BM g :
bila ! 2 fBBg :
1. Tentukan
(S1 ) melalui atom-atomnya.
2. Tentukan
(S1 ) melalui atom-atomnya.
3. Tentukan
(S1 ; S2 ) melalui atom-atomnya.
(4.11)
Solusi
1. Atom-atom dari
(S1 ) terdiri dari
S1 1 (8) = f! : S1 (!) = 8g = fM M; M Bg
S1 1 (2)
= f! : S1 (!) = 2g = fBM; BBg
sehingga -aljabar yang dibangkitkan oleh S1 ; yaitu
operasi himpunan terhadap atom-atom ini
(4.13)
(S1 ) ; dapat dibentuk melalui
(S1 ) = f?; ; fM M; M Bg ; fBM; BBgg :
2. Atom-atom dari
(4.12)
(4.14)
(S2 ) terdiri dari
S2 1 (16) = f! : S2 (!) = 16g = fM M g
1
S2 (4)
1
= f! : S2 (!) = 4g = fM B; BM g
S2 (1) = f! : S2 (!) = 1g = fBBg
sehingga -aljabar yang dibankitkan
terhadap atom-atom ini
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(S2 ) dapat dibentuk melalui operasi himpunan
(S2 ) = f?; ; fM M g ; fM B; BM g ; fBBg ; fM M; M B; BM g ;
fM B; BM; BBg ; fM M; BBgg:
24
Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas
3. Sedangkan -aljabar yang dibangkitkan oleh S1 dan S2 dibangun dari gabungan
atom-atom dari S1 dan atom-atom dari S2 dan dilanjutkan dengan operasi himpunan pada koleksi himpunan atom-atom tersebut
(S1 ; S2 ) = f;; ; fM M; M Bg ; fBM; BBg ; fM M g ; fM B; BM g ;
fBBg ; fM B; BM; BBg; fM M; M B; BM g ; fM M; BBg ;
fBM; BB; M M g ; fM M; M B; BBgg:
Contoh 4.15 Kelanjutan Contoh 4.14. Tentukan pra-peta di bawah S2 dari selang
[3; 30] :dan [0; 1] :
Solusi
Pra-peta di bawah S2 dari selang [3; 30] dide…nisikan dengan
S2 1 ([3; 30]) = f! 2
= f! 2
: S2 (!) 2 [3; 30]g
:3
S2
30g
= fM M; M B; BM g :
(4.18)
(4.19)
(4.20)
Demikian pula pra-peta di bawah S2 dari selang [0; 1] adalah
S2 1 ([0; 1]) = f! 2
= f! 2
: S2 (!) 2 [0; 1]g
:0
S2
= fM M g :
1g
(4.21)
(4.22)
(4.23)
Pra-peta untuk selang lainnya dapat diperoleh dengan cara yang sama. Sehingga untuk
hal yang lebih umum, pra-peta di bawah S2 untuk seluruh selang buka di R adalah
f;; ; fM M g ; fM B; BM g ; fBBg ; fM M; M B; BM g ; fM M; BBg ; fM B; BM; BBgg
Ini tidak lain adalah -aljabar yang dibangkitkan oleh S2 ; yaitu (S2 ) Kandungan informasi yang ada di dalam (S2 ) sama persis dengan informasi yang didapat dengan
pengamatan terhadap S2 : Namun kandungan informasi di dalam (S2 ) tidaklah sekaya
dengan informasi yang ada di dalam F = power( ) : Di dalam F dapat dibedakan antara
kejadian fM Bg dan kejadian fBM g ; sedangkan di dalam (S2 ) tidak bisa dibedakan
antara kejadian fM Bg dan kejadian fBM g :
Contoh 4.16 Kelanjutan Contoh 4.14. Tuliskan
1. S1 sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator
2. S2 sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator.
Solusi
1. Agar cocok dengan notasi di (4:7) ; dimisalkan
A1 = fM M; M Bg
A2 = fBM; BBg
(4.24)
(4.25)
4.4. Integral pada ruang probabilitas
25
sehingga
Ai \ Aj = ?; untuk i 6= j
[
Ai = :
(4.26)
a1 = 8
(4.28)
a2 = 2
(4.29)
(4.27)
i
Misalkan pula
sehingga S1 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator
S1 =
2
X
ai IAi
(4.30)
i=1
= 8:IfM M;M Bg (!) + 2:IfBM;BBg (!) :
(4.31)
2. Agar cocok dengan notasi di (4:7) ; dimisalkan
C1 = fM M g
(4.32)
C2 = fM B; BM g
(4.33)
Ci \ Cj = ?; untuk i 6= j
[
Ci = :
(4.35)
c1 = 16
(4.37)
c2 = 4
(4.38)
c3 = 1
(4.39)
C3 = fBBg
(4.34)
sehingga
(4.36)
i
Misalkan pula
sehingga S2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator
S2 =
3
X
ci ICi
(4.40)
i=1
= 16:IfM M g (!) + 4:IfM B;BM g (!) _1:IfBBg (!) :
4.4
(4.41)
Integral pada ruang probabilitas
Konstruksi integral pada suatu ruang probabilitas ( ; F; P ) mengikuti langkah-langkah
sebagaimana konstruksi integral Lebesque di halaman 19. Mula-mula akan dide…nisikan
integral untuk variabel acak X sebagai fungsi indikator, kemudian berturut-turut akan
dide…nisikan integral untuk X sederhana, X non-negatif dan X yang umum. Pende…nisan integral ini akan sekaligus merupakan pende…nisian ekspektasi E (X) :
26
Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas
De…nisi 4.17 (integral di ( ; F; P )) Misal ( ; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas
dan misal X adalah suatu variabel acak di ( ; F; P )
1. Misal X adalah suatu variabel acak diskret yang berupa fungsi indikator, yaitu
untuk A 2 F: Integral
R
X (!) = IA (!)
(
1 bila ! 2 A
=
0 bila ! 2
=A
(4.42)
(4.43)
X dP akan dide…nisikan dengan
Z
X dP = P (A) :
E (X) =
(4.44)
2. Misal X suatu variabel acak diskret yang berupa suatu fungsi sederhana, yaitu
X (!) =
n
X
ck IAk (!) :
k=1
dengan ck adalah bilangan riil dan Ak 2 F: Integral
dengan
Z
X dP
E (X) =
=
Z X
n
(4.45)
R
X dP akan dide…nisikan
(4.46)
ck IAk (!) dP
(4.47)
Z
(4.48)
k=1
=
=
n
X
k=1
n
X
ck
IAk (!) dP
ck P (Ak ) :
(4.49)
k=1
R
0 adalah variabel acak. Integral
X dP akan dide…nisikan dengan
Z
E (X) =
X dP
(4.50)
Z
Y dP : Y sederhana dan Y (!) X (!) ; a:s: 8! 2
:
= sup
3. Misal X
(4.51)
4. Misal X adalah variabel acak yang umum. De…nisikan X + dan X
X + (w) = max fX (!) ; 0g
dengan
(4.52)
X (w) = max f X (!) ; 0g :
(4.53)
R
Misal
X + dP < 1 dan
X dP < 1 (dengan kata lain X + dan X dapat
R
diintegralkan). Integral
X dP akan dide…nisikan dengan
Z
E (X) =
X dP
(4.54)
Z
Z
=
X + dP
X dP
(4.55)
R
4.4. Integral pada ruang probabilitas
27
5. Untuk A 2 F dan X adalah suatu variabel acak, integral
isikan dengan
Z
E (X:IA ) =
X dP
ZA
=
X:IA dP
dengan
IA (!) =
(
R
AX
1 bila ! 2 A
0 bila ! 62 A
dP akan dide…n-
(4.56)
(4.57)
(4.58)
Ekspektasi E (X:IA ) dapat dipandang sebagai rata-rata parsial ( partial average)
dari X terhadap himpunan A:
Teorema 4.18 (monotone convergence theorem) Misal Xn ; n = 1; 2;
adalah
barisan variabel acak yang konvergen hampir pasti (almost surely (a.s.)) ke variabel acak
X dan misalkan 0 X1 X2 X3
a:s: maka
Z
Z
X dP = lim
Xn dP
(4.59)
n!1
atau dituliskan dengan
E (X) = lim E (Xn )
(4.60)
n!1
Teorema 4.19 (dominated convergence theorem) Misal Xn ; n = 1; 2;
adalah
barisan variabel acak yang konvergen hampir pasti (almost surely (a.s.)) ke variabel acak
X dan misalkan jXn j
Y a:s: 8n maka
Z
Z
X dP = lim
Xn dP
(4.61)
n!1
atau dituliskan dengan
E (X) = lim E (Xn )
(4.62)
n!1
R
Kedua buah teorema ini sangat membantu untuk penghitungan integral
X dP bila
R
X adalah variabel acak yang umum karena penghitungan integral
Xn dP lebih mudah
R
dilakukan dari pada penghitungan integral
X dP langsung dari de…nisinya. Melalui
konsep aproksimasi variabel acak yang non-negatif kelak akan diperlihatkan bahwa selalu
bisa dibuat suatu barisan fungsi sederhana Xn ; n = 1; 2; 3;
dengan sifat
0
X1 (!)
X2 (!)
X3 (!)
a:s: 8! 2
(4.63)
dan X (!) sebagai limit dari barisan tersebut
X (!) = lim Xn (!) a:s:8! 2 :
n!1
(4.64)
Sifat barisan yang demikian memenuhi persyaratan yang dituntut oleh Teorema 4.18
maupun Teorema 4.19 sehingga dapat diperoleh hasil berikut
Z
Z
X dP = lim
Xn dP:
(4.65)
n!1
28
Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas
R
Jadi prosedur penghitungan integral
X dP untuk X yang bersifat umum akan lebih
R
mudah dilakukan melalui penghitungan integral
Xn dP untuk Xn yang sederhana
kemudian diambil limitnya Dengan kata lain untuk setiap variabel acak X selalu dapat
dikonstruksi integral
Z
X dP
(4.66)
sebagai ungkapan dari ekspektasi E (X) :
4.5
Aproksimasi variabel acak
Mula-mula akan diperkenalkan dulu aproksimasi untuk tiap variable acak kontinu dan
non-negatif X
0: Aproksimasi dari variabel acak X yang demikian adalah variabel
acak diskrit Xn yang dide…nisikan dengan
Xn =
n
n:2
X
i=0
i
I n
2n (i=2
X < (i+1)=2n ) :
(4.67)
Dari (4:67) dapat diperlihatkan bahwa aproksimasi tersebut menghasilkan barisan variabel acak diskret X1 ; X2 ; X3 ;
dengan sifat
0
X1 (!)
X2 (!)
X3 (!)
a:s 8! 2 :
Bahkan bila variabel acak X (!) terbatas nilainya untuk tiap ! 2
X1 (!)
X2 (!)
X3 (!)
X (!)
(4.68)
maka bisa diperoleh
a:s 8! 2 :
(4.69)
Sifat lain yang bisa diturunkan dari aproksimasi (4:67) adalah
jX (!)
Xn (!)j
2
n
a:s 8! 2 :
(4.70)
sehingga bisa disimpulkan bahwa Xn konvergen ke X
X (!) = lim Xn (!) a:s:8! 2 :
(4.71)
n!1
Dengan demikian sifat barisan variabel acak diskret X1 ; X2 ; X3 ;
persyaratan yang dikehendaki Teorema 4.18 atau Teorema 4.19.
Distribusi dari Xn dapat dikarakterisasikan oleh hasil berikut
P
Xn =
i
2n
i
i+1
< X < n ; i = 0; 1; 2;
; n:2n
2n
2
i
i+1
= P ! 2 : n < X (!) < n
; i = 0; 1; 2;
2
2
ini telah memenuhi
=P
=
iP
(!) ; i = 0; 1; 2;
; n:2n :
(4.72)
; n:2n
(4.73)
(4.74)
4.5. Aproksimasi variabel acak
29
Sehingga ekspektasi E [Xn ] adalah
Z
E [Xn ] =
Xn dP
=
=
=
=
n
n:2
X
i=0
n
n:2
X
i=0
n
n:2
X
i=0
n
n:2
X
i=0
(4.75)
i
E I(i=2n
2n
(4.76)
X < (i+1)=2n )
i
i+1
i
P n <X< n
n
2
2
2
(4.77)
i
P
2n
(4.78)
i
2n
!2
iP
:
i
i+1
< X (!) < n
n
2
2
(!)
(4.79)
dengan
iP
(!) = P
!2
:
i
i+1
< X (!) < n
n
2
2
;
i = 0; 1; 2;
; n:2n :
(4.80)
Sehingga dari Teorema 4.18 atau Teorema 4.19 diperoleh
E[X] = lim E[Xn ]
(4.81)
n!1
atau
Z
X dP = lim
n!1
= lim
n!1
Z
Xn dP
n
n:2
X
i=0
i
2n
iP
(4.82)
(!) :
(4.83)
Karena Xn nilainya naik bersamaan dengan kenaikkan n, maka limitnya bisa +1:
Untuk variabel acak yang lebih umum, yaitu 1 < X < 1; maka mula-mula X
diurai menjadi X = X + X dengan X + = max(X; 0) dan X = max( X; 0): Karena
X+
0; dan X
0 maka masing-masing dapat diaproksimasi dengan variabel acak
+
diskrit Xn dan Xn sehingga ekspektasinya E (X) adalah
Z
E [X] =
X dP
(4.84)
Z
Z
=
X + dP
X dP
(4.85)
Z
Z
+
= lim
Xn dP
lim
Xn dP:
(4.86)
n!1
n!1
Contoh 4.20 Kelanjutan Contoh 4.14 dan Contoh 4.16 Hitunglah ekspektasi berikut
1. E (S1 ) =
2. E (S2 ) =
R
R
S1 dp
S2 dp:
30
Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas
Solusi
Menurut De…nisi 4.17,
1. ekspektasi E (S1 ) adalah
E (S1 ) =
=
Z
S1 dp
2
X
(4.87)
ai P (Ai )
(4.88)
i=1
= 8:P (fM M; M Bg) + 2:P (fBM; BBg)
2
= 8 p + pq + 2 pq + q
(4.89)
2
(4.90)
= 8p2 + 3pq + q 2 :
(4.91)
2. ekspektasi E (S2 ) adalah
Z
E (S2 ) =
S2 dp
=
2
X
(4.92)
ci P (Ci )
(4.93)
i=1
= 16:P (fM M g) + 4:P (fM B; BM g) + 1:P (fBBg)
= 16p2 + 4:2pq + q 2
2
2
= 16p + 8pq + q :
(4.94)
(4.95)
(4.96)
Contoh 4.21 Misal X adalah variabel acak yang berdistribusi seragam U (0; 1): Aproksimasilah X dengan suatu barisan X1 ; X2 ; X3 ;
yang konvergen ke X dengan sifat
0
X1 (!)
X2 (!)
dan hitunglah integral
X3 (!)
Z
a:s 8! 2
(4.97)
XdP:
(4.98)
Solusi
Untuk n = 1 aproksimasi dari variabel acak X adalah
X1 =
2
X
i
I
21 (i=2
(4.99)
X < (i+1)=2)
i=0
= 0:I(0
X <
1
2
1
) + 2 I( 12
(4.100)
X < 1)
Sebagai ilustrasi
Bila X = 2=5 maka X1 = 0 dan jX
Bila X = 4=5 maka X1 = 1=2 dan jX
X1 j = 2=5 < 2
1
X1 j = 1=5 < 2
1
4.5. Aproksimasi variabel acak
31
Untuk n = 2 aproksimasi dari variabel acak X adalah
2
2:2
X
i
X2 =
I
22 (i=4
X < (i+1)=4)
i=0
0
= I(0
4
4
I
4 (4=4
1
+ I(1=4
4
5
5=4) + I(5=4
4
X < 1=4)
X <
2
+ I(2=4
4
6
6=4) + I(6=4
4
X < 2=4)
X <
3
+ I(3=4
4
7
7=4) + I(7=4
4
X < 4=4) +
X < 3=4)
X <
X < 8=4)
Sebagi ilustrasi
Bila X = 1=5 maka X2 = 0
dan jX
X2 j = 4=20 < 2
Bila X = 2=5 maka X2 = 1=4 dan jX
X2 j = 3=20 < 2
Bila X = 3=5 maka X2 = 2=4 dan jX
X2 j = 2=20 < 2
Bila X = 4=5 maka X2 = 3=4 dan jX
X2 j = 1=20 < 2
2
2
2
2
:
Ekspektasi E [X] bisa diperoleh dari (4:81)
E[X] = lim E[Xn ]
(4.101)
n!1
= lim
n!1
n
n:2
X
i=0
i
2n
iP
(!)
(4.102)
dengan
i P (!)
=P
=
=
Z
!:
i
2n
i+1
2n
X(!)
(4.103)
(i+1)=2n
i=2n
Z (i+1)=2n
fX (x)dx
(4.104)
dx
(4.105)
i=2n
i+1
2n
1
= n:
2
i
2n
=
Namun karena X
(4.106)
(4.107)
U (0; 1) maka
i P (!)
sehinga
i P (!) =
(
= 0 untuk i > 2n
1
2n
0
bila i
bila i
2n
2n + 1
(4.108)
(4.109)
32
Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas
dan (4:102) menjadi
E [X] = lim
n!1
= lim
n!1
n
n:2
X
i=0
2n
X
i=0
i
2n
iP
(!)
(4.110)
n
n:2
X i
i 1
+
lim
:0
n
n
n!1
2 2
2n
n
(4.111)
i=2 +1
n
2
1 X
= lim 2n
i
n!1 2
(4.112)
i=0
= lim
n!1
1
22n
1 n n
:2 : (2 + 1)
2
1
= :
2
4.6
4.6.1
(4.113)
(4.114)
Kebebasan
Kebebasan -aljabar
De…nisi 4.22 Misal G dan H adalah sub -aljabar dari F: Dikatakan G dan H saling
bebas bila
P (A1 \ A2 ) = P (A1 ) P (A2 ) 8A1 2 H dan 8A2 2 G
(4.115)
Contoh 4.23 Misal G adalah -aljabar yang ditentukan oleh hasil lantunan koin yang
pertama dan H adalah -aljabar yang ditentukan oleh hasil lantunan koin yang kedua.
G = f?; ; fM M; M Bg ; fBM; BBgg
H = f?; ; fM M; BM g ; fM B; BBgg
(4.116)
(4.117)
Misal P (M ) = p dan P (B) = q dan dimisalkan
A1 = fM M; M Bg
(4.118)
A2 = fM M; BM g
(4.119)
Maka diperoleh hasil berikut
P (A1 \ A2 ) = P fM M g = p2
2
P (A1 ) :P (A2 ) = p + pq
=p
2
p + pq
2
= P (A1 \ A2 )
(4.120)
(4.121)
(4.122)
(4.123)
Bisa diperlihatkan bahwa untuk setiap A1 2 G dan A2 2 H maka berlaku P (A1 \ A2 ) =
P (A1 ) :P (A2 ) sehingga dapat disimpulkan bahwa
aljabar G dan
aljabar H saling
bebas.
4.6. Kebebasan
4.6.2
33
Kebabasan variabel acak
De…nisi 4.24 (kebebasan variabel acak) Dua buah random variables X dan Y saling bebas bila (X) dan (Y ) adalah dua buah -aljabar yang saling bebas.
Contoh 4.25 Kelanjutan Contoh 4.14. Misal X = S1 ; Y = S2 =S1 dengan
X (!) = S1 (!) =
dan
(
8 bila ! 2 fM M; M Bg
2 bila ! 2 fBM; BBg
8
>
< 16 bila ! 2 fM M g
S2 (!) =
4 bila ! 2 fM B; BM g :
>
: 1 bila ! 2 fBBg :
(4.124)
(4.125)
Dapat diamati bahwa variabel acak Y hanya tergantung pada lantunan koin yang kedua
saja, yaitu
(
S2 (!)
2 bila ! 2 fM M; BM g
Y (!) =
=
:
(4.126)
1
S1 (!)
2 bila ! 2 fM B; BBg
Dari hasil di Contoh 4.14.telah diperoleh -aljabar
(X)
(S1 ) yang tidak lain adalah -aljabar
(X) = f?; ; fM M; M Bg ; fBM; BBgg
sedangak -aljabar
(4.127)
(Y ) dapat diperoleh dari atom-atomnya
(Y ) = f ; ?; fM M; BM g ; fM B; BBgg :
Dapat diperlihatkan secara langsung bahwa setiap A1 2
menghasilkan
(X) dan A2 2
(4.128)
(Y ) akan
P (A1 \ A2 ) = P (A1 ) :P (A2 ) :
(4.129)
A1 = fM M; M Bg
(4.130)
A2 = fM B; BBg
(4.131)
A1 \ A2 = fM Bg
(4.132)
P (A1 \ A2 ) = P (fM Bg)
(4.133)
Sebagai ilustrasi, misal
sehingga
dengan
= pq
(4.134)
34
Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas
dan
P (A1 ) = P (fM M; M Bg)
2
(4.135)
= p + pq
(4.136)
= p (p + q)
(4.137)
=p
(4.138)
p (A2 ) = P (fM B; BBg)
= pq + q
2
(4.139)
(4.140)
= q (p + q)
(4.141)
= q:
(4.142)
Ilustrasi ini memperlihatkan
P (A1 \ A2 ) = P (A1 ) :P (A2 )
(4.143)
dan dengan cara yang sama bisa diperlihatkan bahwa hasil (4:143) berlaku untuk setiap
A1 2 (X) dan A2 2 (Y ) :
Kuliah ke 5
Ekspektasi Bersyarat
Ekspektasi bersyarat merupakan alat yang sangat penting didalam matematika keuangan. Karena itu konsep ekspektasi bersyarat ini perlu dipelajari dengan baik agar pemahaman tentang matematika keuangan bisa dicapai dengan baik pula. Mula-mula akan
dipelajari ekspektasi bersyarat terhadap suatu himpunan kemudian akan dibahas ekspektasi bersyarat terhadap suatu varibel acak yang diskrit lalu akan dipelajari ekspektasi
bersyarat terhadap suatu varibel acak secara umum. Akhirnya akan dibicarakan ekspektasi bersyarat terhadap suatu sigma aljabar yang dibangkitkan oleh suatu variabel
acak.
5.1
Peluang bersyarat
De…nisi 5.1 (peluang bersyarat) Misal ( ; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas.
Misal pula A1 dan A2 adalah dua buah kejadian (artinya A1 ; A2 2 F) dengan P (A2 ) 6= 0:
Peluang bersyarat dari A1 bila diberikan A2 (ditulis P (A1 jA2 )) dide…nisikan dengan
P (A1 jA2 ) =
P (A1 \ A2 )
:
P (A2 )
(5.1)
Contoh 5.2 Misal ( ; F; P ) adalah ruang probabilitas yang dide…nisikan pada Contoh
2.6. Bila A1 = fM Bg dan A2 = fM B; BM g adalah dua buah kejadian, tentukan
P (A1 jA2 ) dan P (A2 jA1 ) :
Solusi
Menurut De…nisi 5.1 peluang bersyarat P (A2 jA1 ) diberikan oleh
P (A1 \ A2 )
P (A1 )
P (fM Bg)
=
P (fM Bg)
P (A2 jA1 ) =
= 1:
35
(5.2)
(5.3)
(5.4)
36
Kuliah ke 5. Ekspektasi Bersyarat
dan P (A1 jA2 ) diberikan oleh
P (A1 jA2 ) =
=
=
=
=
5.2
P (A1 \ A2 )
P (A2 )
P (fM B; BM g \ fM Bg)
P (fM B; BM g)
P (fM Bg)
P (fM B; BM g)
pq
2pq
1
:
2
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
Ekspektasi bersyarat terhadap kejadian
De…nisi 5.3 Misal ( ; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas. Untuk setiap variabel X
yang dapat diintegralkan dan setiap kejadian A 2 F sehingga P (A) 6= 0; ekspektasi
bersyarat X diberikan A (ditulis E (XjA)) dide…nisikan dengan
Z
1
XdP
(5.10)
E (XjA) =
P (A) A
Z
1
=
XIA dP:
(5.11)
P (A)
Contoh 5.4 Misal S2 adalah variabel acak yang dide…nisikan pada Contoh 4.14 yang
diungkapkan seperti pada Contoh 4.16
S2 =
3
X
ai IAi :
(5.12)
i=1
a1 = 16; a2 = 4; a3 = 1
(5.13)
A1 = fM M g; A2 = fM B; BM g; A3 = fBBg
(5.14)
A = fM M; BBg :
(5.15)
Misal
Tentukan E (S2 jA) :
Solusi
Menurut De…nsi 5.3 ekspektasi bersyarat E (S2 jA) dapat dinyatakan dengan
Z
1
E (S2 jA) =
S2 dP
P (A) A
Z
1
=
S2 IA dP:
P (A)
R
P (A) dan A S2 dP dinyatakan dengan
P (A) = P (fM M; BBg)
2
=p +q
2
(5.16)
(5.17)
(5.18)
(5.19)
5.3. Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret
37
dan
Z
S2 dP =
A
3
X
ai P (IAi :IA )
(5.20)
i=1
= 16:P (fM M g) + 4:P (?) + 1:P (fBBg)
= 16p2 + 0 + q 2
2
2
= 16p + q :
(5.21)
(5.22)
(5.23)
Sehingga ekspektasi bersyarat E (S2 jA) menjadi
E (S2 jA) =
5.3
p2
1
16p2 + q 2 :
+ q2
(5.24)
Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret
De…nisi 5.5 Misal X adalah varabel acak yang dapat diintegralkan dan Y adalah variabel acak diskret. Misalkan
Ai = f! : Y (!) = yi g ; i = 1; 2;
(5.25)
adalah atom-atom dari (Ai ) : Ekspektasi bersyarat dari X bila diberikan Y dide…nisikan
sebagai variabel acak E (XjY )
8
>
< E (XjA1 ) bila ! 2 A1
E (XjA2 ) bila ! 2 A2 :
E (XjY ) (!) =
>
..
..
..
:
.
.
.
(5.26)
Catatan 5.6 Ekspektasi bersyarat E (XjY ) (!) adalah variabel acak dengan nilai yang
akan konstan untuk setiap ! 2 Ai ; i = 1; 2;
:
Contoh 5.7 Misal S1 dan S2 adalah dua buah variabel acak yang dide…nisikan pada
Contoh 4.14. Tentukan
1. E (S2 jS1 )
R
2.
E (S2 jS1 ) dP
3. E (S1 jS2 )
R
4.
E (S1 jS2 ) dP:
Solusi
1. Menurut 4.14 atom-atom dari
(A1 ) adalah
C1 = S1 1 (8) = f! : S1 (!) = 8g = fM M; M Bg
1
C2 = S1 (2)
= f! : S1 (!) = 2g = fBM; BBg
(5.27)
(5.28)
38
Kuliah ke 5. Ekspektasi Bersyarat
dengan
P (C1 ) = P (fM M; M Bg) = p2 + pq = p (p + q) = p
(5.29)
P (C2 ) = P (fBM; BBg) = pq + q 2 = q (p + q) = q
(5.30)
Z
(5.31)
dan
S2 dp =
C1
3
X
ai P (IAi :IC1 )
i=1
= 16:P (fM M g) + 4:P (fM Bg) + 1:P (?)
(5.33)
ai P (IAi :IC2 )
(5.34)
= 16p + 4pq
Z
S2 dp =
C2
3
X
(5.32)
2
i=1
= 16:P (?) + 4:P (fM Bg) + 1:P (fBBg)
2
= 4pq + q :
(5.35)
(5.36)
sehingga
(
E (S2 jC1 ) bila ! 2 C1
E (S2 jC2 ) bila ! 2 C2
(
R
1
P (C1 ) RC1 S2 dp bila ! 2 C1
=
1
P (C2 ) C2 S2 dp bila ! 2 C2
(
1
2
bila ! 2 C1
p 16p + 4pq
=
1
2
bila ! 2 C2
q 4pq + q
(
(16p + 4q) bila ! 2 C1 = f! : S1 (!) = 8g
=
(4p + q)
bila ! 2 C2 = f! : S1 (!) = 2g
E (S2 jS1 ) (!) =
2. Integral
R
E (S2 jS1 ) dp adalah
Z
E (S2 jS1 ) dp = (16p + 4q) :P (C1 ) + (4p + q) P (C2 )
= (16p + 4q) p + (4p + q) q
2
(5.37)
(5.38)
(5.39)
(5.40)
(5.41)
(5.42)
2
= 16p + 8pq + q
(5.43)
R
hasil ini sesuai dengan (4:96) ; yaitu
S2 dP; sehingga dapat disimpulkan bahwa
Z
Z
E (S2 jS1 ) dp =
S2 dP:
(5.44)
3. Menurut 4.14 atom-atom dari
(A2 ) adalah
A1 = S2 1 (16) = f! : S2 (!) = 16g = fM M g
1
A2 = S2 (4)
1
A3 = S2 (1)
= f! : S2 (!) = 4g = fM B; BM g
= f! : S2 (!) = 1g = fBBg
(5.45)
(5.46)
(5.47)
5.3. Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret
39
dengan
P (A1 ) = P (fM M g) = p2
P (A2 ) = P (fM B; BM g) = 2pq
(5.48)
(5.49)
2
(5.50)
ci P (ICi :IA1 )
(5.51)
P (A3 ) = P (fBBg) = q
dan
Z
S1 dp =
A1
2
X
i=1
= 8:P (fM M g) + 2:P (f?g)
= 8p
Z
S1 dp =
A2
2
2
X
ci P (ICi :IA2 )
(5.54)
= 10pq
A3
(5.53)
i=1
= 8:P (fM Bg) + 2:P (fBM g)
Z
(5.52)
S1 dp =
2
X
ci P (ICi :IA3 )
(5.55)
(5.56)
(5.57)
i=1
= 8:P (f?g) + 2:P (fBBg)
(5.58)
= 2q 2
(5.59)
sehingga
8
>
< E (S1 jA1 ) bila
E (S1 jS2 ) (!) =
E (S1 jA2 ) bila
>
: E (S jA ) bila
1 3
8 1 R
>
< P (A1 ) RA1 S1 dp
1
=
P (A2 ) RA2 S1 dp
>
: 1
P (A3 ) A3 S1 dp
8 1
2
bila
>
< p2 8p
1
=
2pq (10pq) bila
>
: 1 2q 2
bila
q2
8
>
< 8 bila ! 2 A1
=
5 bila ! 2 A2
>
: 2 bila ! 2 A
3
! 2 A1
! 2 A2
! 2 A3
bila ! 2 A1
bila ! 2 A2
bila ! 2 A3
! 2 A1
! 2 A2
! 2 A3
= f! : S2 (!) = 16g
= f! : S2 (!) = 4g
= f! : S2 (!) = 1g
(5.60)
(5.61)
(5.62)
(5.63)
40
Kuliah ke 5. Ekspektasi Bersyarat
4. Integral
R
E (S1 jS2 ) dp adalah
Z
E (S1 jS2 ) dp = 8:P (A1 ) + 5P (A2 ) + 2:P (A3 )
= 8p2 + 5:2pq + 2q 2
= 8p2 + 10pq + 2q 2
2
(5.64)
(5.65)
(5.66)
2
(5.67)
= 8p (p + q) + 2q (p + q)
(5.68)
= 8p + 8pq + 2pq + 2q
= 8p + 2q:
(5.69)
R
Hasil ini sesuai dengan (4:91) ; yaitu
S2 dP; sehingga dapat disimpulkan bahwa
Z
Z
S1 dP:
(5.70)
E (S1 jS2 ) dp =
Catatan 5.8
1. Dari hasil di (5:40) terlihat bahwa ekspektasi bersyarat E (S2 jS1 ) (!)
adalah variabel acak dengan sumber keacakannya muncul dari S1 : Jadi E (S2 jS1 )
adalah variabel acak yang merupakan fungsi dari S1 : Nilai E (S2 jS1 ) akan konstan
untuk ! di tiap atom dari (S1 ) : Dengan kata lain E (S2 jS1 ) adalah variabel acak
R
yang (S1 )-terukur. Kesimpulan lain dari contoh ini adalah
E (S2 jS1 ) dp =
R
S2 dP:
2. Kesimpulan serupa bisa diperoleh dari hasil di (5:63) : Terlihat bahwa ekspektasi
bersyarat E (S1 jS2 ) (!) adalah variabel acak dengan keacakannya muncul dari S2 :
Jadi E (S1 jS2 ) adalah variabel acak yang merupakan fungsi dari S2 : Nilai E (S1 jS2 )
akan konstan untuk ! di tiap atom dari (S2 ) : Dengan kata lain E (S1 jS2 ) adalah
R
variabel acak yang (S2 )-terukur. Kesimpulan lain dari contoh ini adalah
E (S1 jS2 ) dp =
R
S1 dP:
Apa yang diamati dari contoh soal ini akan dinyatakan dalam suatu Proposisi berikut.
Proposisi 5.9 Bila X adalah variabel acak yang dapat diintegralkan dan Y adalah variabel acak diskret maka
1. E (XjY ) adalah
(Y )-terukur
2. Untuk tiap kejadian A 2
(Y ) akan berlaku
Z
Z
E (XjY ) dP =
Xdp:
A
(5.71)
A
Bukti
1. Misal atom-atom dari
(Y ) dinyatakan dengan
Ai = f! : Y (!) = yi g ; i = 1; 2;
dan
[
i=1
Ai = :
:
(5.72)
(5.73)
5.4. Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak
41
Sebagai pengingat kembali bahwa (Y ) adalah -aljabar yang dibangkitkan oleh
Ai ; i = 1; 2;
: Dari De…nisi 5.5 dan Catatan 5.6 telah diketahui bahwa ekspektasi
bersyarat E (XjY ) (!) adalah variabel acak dan akan bernilai konstan untuk tiap
! 2 Ai . Dengan demikian E (XjY ) (!) adalah (Y )-terukur
8
>
< E (XjA1 ) bila ! 2 A1
E (XjA2 ) bila ! 2 A2 :
E (XjY ) (!) =
(5.74)
>
..
..
..
:
.
.
.
2. Telah diketahui bahwa E (XjAi ) (!) bernilai konstan untuk ! 2 Ai maka hasil
berikut ini bisa dipahami
Z
Z
E (XjY ) dP =
E (XjAi ) dP
(5.75)
Ai
Ai
Z
dP
(5.76)
= E (XjAi )
Ai
= E (XjAi ) P (Ai )
Z
1
=
XdP
P (Ai ) Ai
Z
XdP:
=
(5.77)
P (Ai )
(5.78)
(5.79)
Ai
5.4
Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak
De…nisi 5.10 Misal X adalah suatu variabel acak dan Y adalah variabel acak yang
umum. Ekspektasi bersyarat X diberikan Y adalah variabel acak Z = E (XjY ) (boleh
dituliskan dengan Z = E (Xj (Y ))) sehingga
1. Z adalah
(Y )-terukur
2. Untuk tiap A 2
(Y )
Z
ZdP =
A
Z
XdP:
(5.80)
A
Apakah eksistensi variabel acak Z = E (XjY ) pada De…nisi 5.10 selalau terjamin?
Ternyata jawabnya ya. Hal ini dijamin oleh Teorema Radon-Nikodym berikut ini.
Teorema 5.11 (Teorema Radon-Nikodym) Misal ( ; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas dan G adalah sub- -aljabar dari F: Untuk setiap variabel acak X akan ada variabel acak Z yang G-terukur sehingga
Z
Z
XdP =
ZdP; 8A 2 G:
(5.81)
A
A
Apakah variabel acak Z ini unik? Lemma 5.12 dan Proposisi 5.9 berikut bisa dipakai
untuk memperlihatkan keunikan Z:
42
Kuliah ke 5. Ekspektasi Bersyarat
Lemma 5.12 Misal ( ; F; P ) adalah suatu ruang probabilitas dan misalkan G adalah
sub- -aljabar dari F: Bila X variabel acak yang G-terukur dan untuk setiap A 2 G
memenuhi
Z
XdP = 0
(5.82)
A
maka X = 0 a.s.
Proposisi berikut dapat dibuktikan dengan Teorema 5.11 dan Lemma 5.12.
Proposisi 5.13 Variabel acak Z = E (XjG) ada dan unik dalam arti bahwa X = X 0
a.s. jika dan hanya jika E (XjG) = E (X 0 jG) a.s.
5.5
Sifat-sifat ekspektasi bersyarat
Proposisi 5.14 Misal X dan Y adalah dua buah variabel acak yagn terde…nisi pada
suatu ruang probabilitas ( ; F; P ) ; a dan b adalah bilangan riil, dan G; H adalah dua
buah sub- -aljabar dari F: Ekspektasi bersyarat mempunyai sifat-sifat berikut
1. ( linearity) E (aX + bY jG) = E (XjG) + E (Y jG)
2. E (E (XjG)) = E (X)
3. Bila Y adalah G terukur maka E (XY jG) = Y E (Y jG)
4. Bila X dan G saling bebas maka E (XjG) = E (X)
5. ( tower property) Bila H
6. ( positivity) Bila X
G maka E (E (XjG) jH) = E (XjH)
0 maka E (XjG)
0:
Kuliah ke 6
Martingales
Pada Kuliah kali ini akan diasumsikan bahwa pembicaraan senantiasa berada di ruang
probabilitas ( ; F; P ) : Mula-mula akan dide…niskan suatu proses stokastik, kemudian
akan dikenali proses stokastik yang disebut martingales.
De…nisi 6.1 (proses stokastik) Proses stokastik adalah suatu keluarga variabel acak
fX (t)g dengan t 2 T dan T
R: Bila T = f1; 2; g maka fX (t)g adalah proses
stokastik dalam waktu diskret (atau fX (t)g adalah barisan bilangan acak). Bila T =
[0; 1) maka fX (t)g adalah proses stokastik dalam waktu kontinu.
De…nisi 6.2 (proses teradaptasi) Porses stokastik fX (t)g teradaptasi ( adapted) oleh
…ltrasi fF (t)g bila X (t) adalah F (t)-terukur untuk 8t 2 T:
De…nisi 6.3 (martingales) Proses stokastik fX (t)g disebut martingales bila memenuhi
sifat berikut
1. X (t) dapat diintegralkan 8t 2 T
2. fX (t)g teradaptasi oleh …ltrasi fF (t)g
3. E (X (t) jF (s)) = X (s) untuk s
t:
Catatan 6.4 Bila proses stokastik fX (t)g memenuh (1) dan (2) akan tetapi E (X (t) jF (s))
X (s) untuk s
t maka fX (t)g disebut supermartingales. Bila proses stokastik
fX (t)g memenuh (1) dan (2) akan tetapi E (X (t) jF (s))
X (s) untuk s
t maka
fX (t)g disebut submartingales.
Contoh 6.5 Misal X (1) ; X (2) ; X (3) ;
adalah barisan variabel acak yang saling bebas dengan
E [(X (i))] = 0; i = 1; 2; 3;
:
(6.1)
Misal
M (n) = X (1) + X (2) + X (3) +
+ X (n) :
(6.2)
Konstruksikan
F (n) =
(X (1) ; X (2) ; X (3) ;
43
)
(6.3)
44
Kuliah ke 6. Martingales
sebagai -aljabar yang dibangkitkan oleh X (1) ; X (2) ; X (3) ;
bahwa fM (n)g adalah martingales
1. Persyaratan (1) dipenuhi karena E [(X (i))] = 0; i = 1; 2; 3;
: Akan diperlihatkan
:
2. Persyaratan (2) dipenuhi karena konstruksi F (n) sebagai -aljabar yang dibangkitkan oleh X (1) ; X (2) ; X (3) ;
:
3. Persyaratan (3) dipenuhi karena X (n + 1) dan F (n) saling bebas sehingga
E [X (n + 1) jF (n)] = E [X (n + 1)]
(6.4)
dan
E [M (n + 1) jF (n)] = E [X (1) + X (2) + X (3) +
= X (1) + X (2) + X (3) +
= M (n) + E [X (n + 1)]
= M (n) :
X (n) jF (n)]
+ E [X (n + 1) jF (n)]
(6.5)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Kuliah ke 7
Teorema Radon-Nikodym
7.1
Pendahuluan
Pada pembahasan sebelumnya telah dilihat bahwa penghitungan harga suatu opsi diperlukan penghitungan ekspektasi di bawah ukuran probabilitas yang risk-neutral (riskneutral probability measure). Kali ini akan dipelajari hubungan antara ukuran probabilitas pasar (market probability measure) P dan ukuran probabilitas yang risk-neutral
P~ .
7.2
Teorema Radon-Nikodym
De…nisi 7.1 (P~ kontinu terhadap P ) Bila 8A 2 F dan P (A) = 0 sehingga P~ (A) =
0 maka dikatakan P~ kontinu terhadap P:
De…nisi 7.2 (P ekivalen dengan P~ ) Bila P kontinu terhadap P~ dan sekaligus P~ kontinu terhadap P maka dikatakan P ekivalen dengan P~ :
Teorema 7.3 (Radon-Nikodym) Misal P dan P~ adalah dua buah ukuran probabilitas
di ruang terukur ( ; F) : Bila P~ kontinu terhadap P maka ada suatu variabel acak Z
0 sehingga
Z
~
P (A) =
Z dP 8A 2 F
(7.1)
A
variabel acak Z disebut turunan Radon-Nikodym dari P~ terhadap P:
Catatan 7.4 Ungkapan bahwa Z disebut turunan Radon-Nikodym derivative dari P~
terhadap P dapat dinyatakan dengan notasi
Z=
dP~
dP
(7.2)
atau
dP~ = ZdP
45
(7.3)
46
Kuliah ke 7. Teorema Radon-Nikodym
sehingga
~ [X] =
E
=
Z
Z
XdP~
(7.4)
XZdP
(7.5)
= E [XZ] :
(7.6)
Dengan demikian kadang ungkapan yang menghubungkan antara P dan P~ pada (7:1)
Z
~
P (A) =
Z dP 8A 2 F
(7.7)
A
akan dinyatakan dengan (7:6)
~ [X] = E [XZ]
E
(7.8)
E [XZ] < 1:
(7.9)
asalkan
7.3
Eksistensi ekspektsi bersyarat
Misal
1. ( :F; Q) adalah suatu ruang probabilitas
2. G adalah suatu sub- -algebra dari F
3. X
0 adalah variabel acak dengan
R
X dQ = 1
Akan dikonstruksi EQ (X jG) ; yaitu ekspektasi bersyarat di bawah Q dari X bila
diberikan G: Pada G; de…nisikan dua buah ukuran probabilitas P dan P~ dengan
P (A) = Q (A) 8A 2 G
Z
~
P (A) =
XdQ 8A 2 G:
(7.10)
(7.11)
A
Mula-mula akan diperlihatkan bahwa bila Y adalah variabel yang G-terukur maka
Z
Z
Y dP =
Y dQ:
(7.12)
Hal ini dapat diperlihatkan dengan ilustrasi berikut, bila Y = IA untuk A 2 G maka
Z
Z
Y dP = IA dP = P (A)
(7.13)
Z
Z
Y dQ =
IA dQ = Q (A)
(7.14)
dan karena variabel acak Y dapat diaproksimasi dengan variabel acak sederhana maka
hasil di atas dapat diperluas dari Y = IA dengan sembarang variabel acak Y:
7.3. Eksistensi ekspektsi bersyarat
47
Dari (7:11) terlihat bahwa P~ kontinu terhadap P sehingga menurut teorema RadonNikodym ada suatu variabel acak Z yang G-measurable sehingga
Z
~
P (A) =
ZdP; 8A 2 G
(7.15)
A
di lain pihak de…nisi P~ (A) dari (7:11) adalah
Z
P~ (A) =
XdQ;
A
8A 2 G
sehingga dari (7:15) dan (7:16) dapat diperoleh
Z
Z
XdQ =
ZdP
A
A
Z
=
ZdQ; 8A 2 G
(7.16)
(7.17)
(7.18)
A
Dapat diklaim bahwa Z = EQ (X jG) karena
1. Z = EQ (X jG) adalah G-measurable
2. 8A 2 G berlaku sifat rataan parsial
Z
Z
ZdQ =
ZdP
A
ZA
=
XdQ
A
Z
=
E (XjG) dQ:
(7.19)
(7.20)
(7.21)
A
Dari hasil di atas dapat disimpulkan bahwa eksistensi ekspektasi bersyarat adalah
hasil dari teorema Radon-Nikodym.
Kuliah ke 8
Integral Ito
8.1
Symmetric random walk
Lantunkan sebuah koin berkali-kali dan nyatakan hasilnya dengan variabel acak Xj ;
j = 1; 2; 3;
(
1 bila !j = M
Xj (!j ) =
(8.1)
1 bila !j = B
Hasil lantunan koin yang satu saling bebas terhadap lantunan koin lainnya. Karena itu
X1 ; X 2 ; X 3 ;
dapat diasumsikan saling bebas. Asumsikan pula P (M ) = P (B) = 1=2:
Sifat-sifat Xj
1: 12 = 0
1. E [Xj ] = 1:P (M ) + ( 1) P (B) = 1: 21
2. var[Xj ] = 12 P (M ) + ( 1)2 P (B) = 1:
3. Moment generating function dari Xj adalah
'Xj (u) = E euXj
= eu P (M ) + e
1
1
= eu + e u :
2
2
(8.2)
u
P (B)
(8.3)
(8.4)
De…nisikan Mk dengan
M0 = 0
(8.5)
M1 = X 1
(8.6)
M2 = X 1 + X 2
(8.7)
M3 = X 1 + X 2 + X 3
..
.
(8.8)
Mk =
k
X
Xj
j=1
Proses fMk g1
k=0 akan disebut sebagai symmetric random walk.
48
(8.9)
(8.10)
8.2. Scaled symmetric random walk
8.1.1
49
Sifat-sifat dari symmetric random walk fMk g1
k=0
1. E [Mk ] = E
2. var[Mk ] =
"
k
P
#
Xj =
j=1
k
P
k
P
E [Xj ] = 0
j=1
var[Xj ] = k:
j=1
3. Increments dari Mk
M1
M0 = X 1
(8.11)
M2
M1 = X 2
..
.
(8.12)
Mk
Mk
1
(8.13)
= Xk
(8.14)
adalah saling bebas.
8.2
Scaled symmetric random walk
Misal n adalah bilangan bulat positif. Bila t =
metric random walk W (n) (t) dengan
k
n
atau k = tn, de…nisikan scaled sym-
1
W (n) (t) = p Mtn
n
1
= p Mk
n
(8.15)
(8.16)
Teorema 8.1 Untuk t
0 dan n ! 1; distribusi dari W (n) (t) akan konvergen ke
distribusi normal dengan mean 0 dan variansi t:
Bukti Moment generating function untuk W (n) (t) =
p1 Mnt
n
adalah 'k (u)
h
i
(n)
'k (u) = E euW (t)
h p1
i
M
u:
= E e n nt
2
3
nt
P
= E 4e
pu
n
Xj
j=1
=
(8.18)
5
h pu
pu X
X
= E e n 1 :e n 2 :
1 pun 1
e + e
2
2
(8.17)
pu
n
(8.19)
:e
nt
pu Xnt
n
i
(8.20)
(8.21)
50
Kuliah ke 8. Integral Ito
u
log 'k (u) = nt log
oleh
1 pn
2e
+ 12 e
pu
n
x!0
= t lim
x!0
= t lim
x!0
u ux
2e
= t lim
= t lim
u2 ux
2 e
x!0
2
+ u2 e
2
ux
maka diper-
(8.22)
(8.23)
u ux
2e
u
ux
2e
2x
x!0
p1
n
1 ux
2e
+ 12 e ux
x2
!
u ux
u
ux
e
e
1
2
2
:
1 ux
1
ux
2x
+ 2e
2e
!
1
lim
1 ux
+ 12 e ux x!0
2e
log
lim log 'k (u) = t lim
k!1
dan dengan mengasumsikan x =
u
ux
2e
2x
(8.24)
(8.25)
!
(8.26)
t
= u2
2
(8.27)
Jadi akan diperoleh
1
'k (u) = e 2 u
2t
(8.28)
dan ini adalah moment generating function dari variabel acak yang berdistribusi normal
dengan mean 0 dan variansi t:
Karena itu untuk n ! 1 proses W (n) (t) akan konvergen menjadi proses fW (t)g
dengan sifat-sifat
1. W (0) = 0
2. W (t) adalah fungsi kontinu di t
3. Bila 0 = t0 < t1 < t2 <
< tn dan dide…nisikan increments dari W (t) dengan
Y1 = W (t1 )
W (t0 )
(8.29)
Y2 = W (t2 )
..
.
W (t1 )
(8.30)
Yn = W (tn )
W (tn
(8.31)
1)
(8.32)
maka
(a) Y1 ; Y2; ` Yn saling bebas dan berdistribusi normal
(b) E (Yj ) = 0 8j
(c) var (Yj ) = tj
tj
1
8j
Proses stokastik fW (t)g yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut Brownian motion
atau Wiener process. Jadi dalam hal ini scaled symmetric random walk akan menghasilkan Brownian motion asalkan n ! 1:
8.3. Quadratic variation
8.2.1
51
Kovariansi dari Brownian motion
Misal 0 s t , dan telah diperoleh bahwa W (s) = W (s)
saling bebas sehingga diperoleh hasil-hasil berikut
W (0) dan W (t)
W (s)
E [W (s)] = 0; var [W (s)] = s
(8.33)
E [W (t)] = 0; var (W (t)) = t
(8.34)
E [W (s) :W (t)] = E fW (s) : [W (t)
= E fW (s) : [W (t)
W (s) + W (s)]g
(8.35)
W (s)]g + var (W (s))
(8.36)
= 0 + s = s ^ t:
(8.37)
Teorema 8.2 Brownian motion adalah suatu martingale
Bukti Misal 0 s t maka
Es [W (t)] = Es [W (t)
W (s) + W (s)]
(8.38)
= Es [W (t)
W (s)] + W (s)
(8.39)
= 0 + W (s)
8.3
(8.40)
Quadratic variation
De…nisi 8.3 Misal
= ft1 ; t2 ;
; tn g adalah suatu partisi dari [0; T ] dengan 0 = t0
t1
tn = T dan k k =
maks
(tk+1 tk ) : Quadratic variation dari fungsi
k=0;1;2;
;n 1
f adalah [f; f ] (T ) dan dide…nisikan dengan
[f; f ] (T ) = lim
k k!0
n
X1
k=0
jf (tk+1 )
f (tk )j2
(8.41)
Dengan penggunaan mean value theorem, suatu Quadratic variation dari suatu fungsi
f yang di¤ erentiable di selang [0; T ] adalah
[f; f ] (T ) = lim
k k!0
= lim
k k!0
n
X1
k=0
n
X1
k k!0
lim k k
0
f 0 tk+1
2
(tk+1
(8.42)
tk )2
(8.43)
k=0
lim k k
k k!0
f (tk )j2
jf (tk+1 )
n
X1
k=0
Z T
f 0 tk+1
f 0 (t)2 dt
2
(tk+1
tk )
(8.44)
(8.45)
0
(8.46)
Jadi untuk fungsi f yang di¤erentiable di selang [0; T ] maka quadratic variation-nya
adalah [f; f ] (T ) = 0: Dengan kata lain kalau ada fungsi f dengan quadratic variation
52
Kuliah ke 8. Integral Ito
tidak 0 maka fungsi tersebut tidak di¤erentiable, seperti yang terjadi pada Brownian
motion W (t) berikut ini.
Teorema 8.4 [W; W ] (T ) = T
Bukti Misal = ft1 ; t2 ;
; tn g adalah suatu partisi dari [0; T ] : Misal Dk = W (tk+1 )
nP1
nP1
W (tk ) dan de…nisikan Q =
Dk2 sehingga Q
T =
Dk2 (tk+1 tk ) : Akan
k=0
k=0
diperlihatkan bahwa
lim (Q
T ) = 0:
k k!0
(8.47)
Mula-mula perhatikan dulu hasil berikut
Dk2
E Dk2
(tk+1
(tk+1
tk ) = (W (tk+1 ) W (tk ))2 (tk+1 tk )
h
i
tk ) = E (W (tk+1 ) W (tk ))2 (tk+1 tk )
= (tk+1
tk )
(tk+1
tk )
= 0:
T) = E
n
X1
Dk2
(tk+1
(tk+1
tk )
tk )
k=0
Di samping itu
var [Q
T] =
=
=
=
=
n
X1
k=0
n
X1
k=0
n
X1
k=0
n
X1
k=0
n
X1
(8.49)
(8.50)
(8.51)
Sehingga
E (Q
(8.48)
var Dk2
E Dk2
(tk+1
h
E Dk4
2Dk2 (tk+1
3 (tk+1
tk )2
2 (tk+1
tk )2
tk )
!
= 0:
(8.52)
(8.53)
2
(8.54)
tk ) + (tk+1
2 (tk+1
tk )2
tk )2 + (tk+1
i
(8.55)
tk )2
(8.56)
(8.57)
k=0
k k
n
X1
2 (tk+1
tk )
(8.58)
k=0
2 k k :T
(8.59)
Jadi
lim var (Q
k k!0
T) = 0
(8.60)
Dari persamaan (8:52) dan (8:60) dapat disimpulkan bahwa
lim (Q
k k!0
T) = 0
(8.61)
8.4. Konstruksi Integral Ito
53
sehingga
[W; W ] (T ) = T:
(8.62)
Hasil ini memperlihatkan bahwa paths dari Brownian motion fW (t)g tidak di¤erentiable.
Catatan 8.5 Dari hasil di (8:51) dan (8:57) diperoleh
h
i
E fW (tk+1 ) W (tk )g2 (tk+1 tk ) = 0
h
i
var fW (tk+1 ) W (tk )g2 (tk+1 tk ) = 2 (tk+1
Bila (tk+1
(8.63)
tk )2 :
(8.64)
tk ) kecil sekali maka 2 (tk+1 tk )2 akan sangat kecil sehingga (8:64) menjadi
h
i
var fW (tk+1 ) W (tk )g2 tk+1 tk
0:
(8.65)
Dari (8:63) dan (8:65) dapat disimpulkan bahwa
fW (tk+1 )
W (tk )g2
tk+1
tk = 0
(8.66)
tk
(8.67)
atau
W (tk )g2 = tk+1
fW (tk+1 )
yang dapat dinyatakan dengan
dW (t) :dW (t) = dt:
8.4
(8.68)
Konstruksi Integral Ito
Integral Ito dibangun dengan unsur-unsur:
1. Integrator-nya adalah Brownian motion W (t) ; t
0 sehingga
0 dan …ltration-nya F (t) ; t
(a) W (t) adalah F (t)-measurable
(b) 8t; t < t1 < t2 <
W (t1 )
< tn
W (t) ; W (t2 )
W (t1 ) ;
; W (tn )
W (tn
saling bebas dari F (t) :
(c) untuk s
t berlaku F (s)
F (t)
2. Integrand-nya adalah fungsi (t) ;
(a)
0 dengan sifat
(t) adalah F (t)-measurable ( (t) adalah adapted to F (t))
hR
i
T
(b) E 0 2 (t) dt < 0
1)
(8.69)
54
Kuliah ke 8. Integral Ito
Akan dide…nisikan Integral Ito
I (t) =
Z
t
(u) dW (u) ; t
0
(8.70)
0
Catatan 8.6 Bila f fungsi yang di¤erentiable maka
Z
Z t
(u) df (u) =
(u) f 0 (u) du
(8.71)
0
Namun karena W (u) adalah tidak di¤erentiable maka kita bisa mendapatkan sesuatu
yang menyerupai persamaan (8:71) dengan W (u) sebagi integrator-nya: Untuk itu perlu
dibangun konsep integral dengan integratornya adalah W (u) ; yaitu Integral Ito.
8.5
Integral Ito untuk fungsi sederhana
Misal
= ft0 ; t1 ; t2 ;
; tn g adalah suatu partisi dari [0; T ] dengan 0 = t0
t1
tn = T . Misal (tk ) adalah suatu konstanta pada tiap selang [tk ; tk+1 ): Proses
f (t)g yang demikian disebut elementary process. Fungsi W (t) dan (t) dapat diartikan
sebagai berikut
1. W (t) sebagai harga saham
2. t0 ; t1 ; t2 ;
; tn sebagai tanggal jual beli saham
3.
(tk ) sebagai jumlah saham yang dimiliki pada saat tk sampai saat tk+1 :
Rt
Integral Ito I (t) = 0 (u) dW (u) dapat diinterpretasikan sebagai gain/loss yang
diperoleh dari jual beli saham pada saat t:
Z t
(u) dW (u)
(8.72)
I (t) =
0
= (t0 ) [W (t)
W (t0 )] bila 0
= (t0 ) [W (t1 )
=
I (t) =
Z
0
t1
W (t0 )] + (t) [W (t)
(t0 ) [W (t1 )
Umumnya bila tk
dengan
t
t
(8.73)
W (t1 )] bila t1
W (t0 )] + (t1 ) [W (t2 )
t
t2
(8.74)
W (t1 )] + (t) [W (t)
W (t2 )] bila t2
(8.75)
tk+1 ; Integral Ito I (t) untuk integrand elementer
t
(u) dW (u) =
k 1
X
(tj ) [W (tj+1 )
W (tj )] + (tk ) [W (t)
dide…nisikan
W (tk )] (8.76)
j=0
Sifat-sifat integral Ito:
Rt
1. I (t) = 0 (u) dW (u) adalah F (t)-measurable
Rt
2. I (t) = 0 (u) dW (u) adalah suatu martingale
Rt
Rt
3. Bila I (t) = 0 (u) dW (u) dan J (t) = 0 (u) dW (u) maka I (t)
Rt
( (u) + (u)) dW (u)
J (t) =
t
t3
8.6. Integral Ito untuk fungsi yang umum
8.6
Integral Ito untuk fungsi yang umum
Tentukan T . Misal
1.
55
adalah suatu proses (tidak harus elementary process) yang bersifat
(t) adalah F (t)-measurable 8t 2 [0; T ]
2. E
RT
0
2 (t) dt
<0
RT
Untuk pende…nisian integral 0 (t) dW (t) ; fungsi (t) akan diaproksimasi oleh
fungsi sederhana n (t) : Untuk n ! 1 proses n (t) akan konvergen ke (t) dalam arti
lim E
n!1
Untuk elementary process
Z
T
(
(t))2 dt = 0:
n (t)
(8.77)
0
n (t) ;
integral Ito dide…nisikan seperti pada (8:85)
Z
In (T ) =
T
n (t) dW
0
Kemudian de…nisikan integral Ito I (T ) ==
I (T ) =
Z
T
RT
0
(t) 8n:
(8.78)
(t) dW (t) dengan
(t) dW (t)
Z T
= lim
n (t) dW (t)
(8.79)
0
(8.80)
n!1 0
Sifat-sifat integral Ito I (T )
1. I (T ) =
2. I (T ) =
RT
(t) dW (t) adalah F (t)-measurable
0
RT
(t) dW (t) adalah suatu martingale
0
3. [I; I] (t) =
Rt
0
2 (u) du
Contoh 8.7 Perlihatkan bahwa
RT
0
W (u) dW (u) = 21 W (T )2
1
2 T;
T
0:
Bukti Integrand (t) = W (t) akan diaproksimasi oleh fungsi sederhana
dide…nisikan dengan
n (u)
Dari de…nisi
n (t)
=
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
: W
W (0)
W Tn
..
.
(n 1)T
n
bila
bila
..
.
T
n
0
bila
(n 1)T
n
u<
u<
..
.
T
n
2T
n
n (t)
yang
(8.81)
u < T:
terlihat bahwa persyaratan
lim E
n!1
Z
0
T
(
n (t)
W (t))2 dt = 0
(8.82)
56
Kuliah ke 8. Integral Ito
dipenuhi sehingga
Z
T
W (u) dW (u) = lim
Z
T
n!1 0
n
X1
0
= lim
n!1
= lim
n!1
n (u) dW
(u)
jT
n
W
W
j=0
n
X1
Wj [Wj+1
(8.83)
(j + 1) T
n
W
jT
n
Wj ]
(8.84)
(8.85)
j=0
dengan
Wj = W
jT
n
:
(8.86)
Integral (8:85) bisa dinyatakan dengan
Z
0
T
2
1
W (u) dW (u) = lim 4 Wn2
n!1 2
1
= W (T )2
2
1
= W (T )2
2
1
= W (T )2
2
1
2
n
X1
(Wj+1
j=0
n 1
1X
lim
(Wj+1
n!1 2
3
Wj )2 5
(8.87)
Wj )2
(8.88)
j=0
1
[W; W ] (T )
2
1
T:
2
(8.89)
(8.90)
Kuliah ke 9
Rumus Ito
9.1
Rumus Ito
Deret Taylor untuk nilai fungsi f di sekitar xk dapat diaproksimasi dengan
f (xk+1 ) = f (xk ) + f 0 (xk ) (xk
1
xk+1 ) + f 00 (xk ) (xk+1
2
xk )
(9.1)
W (tk ))] +
(9.2)
Bila xx = W (tk ) maka akan didapat
f (W (tk+1 )) = f (W (tk )) + f 0 (W (tk )) [W (tk+1
1 00
f (W (tk )) [W (tk+1 W (tk ))]2
2
(9.3)
atau
f (W (tk+1 ))
Misal
= ft0 ; t1 ;
f (W (tk )) = f 0 (W (tk )) [W (tk+1 W (tk ))] +
1 00
f (W (tk )) [W (tk+1 W (tk ))]2
2
f (W (0)) =
=
1
2
f (W (T ))
(9.5)
; tn g adalah partisi dari [0; t]
f (W (T ))
Untuk k k ! 0
(9.4)
Z
n
X1
k=0
n
X1
[f (W (tk+1 ))
f (W (tk ))]
f 0 (W (tk )) [W (tk+1
k=0
n
X1
f 00 (W (tk )) [W (tk+1
W (tk ))] +
(9.7)
W (tk ))]2
(9.8)
k=0
Z
1 t 00
f (W (u)) (dW (u))2
f (W (0)) =
f (W (u)) dW (u) +
2
0
0
Z t
Z t
1
=
f 0 (W (u)) dW (u) +
f 00 (W (u)) dt
2 0
0
t
(9.6)
0
57
(9.9)
(9.10)
58
Kuliah ke 9. Rumus Ito
Sehingga rumus Ito dalam bentuk integral dapat dinyatakan dengan
Z t
Z
1 t 00
0
f (W (u)) dW (u) +
f (W (t)) dt
f (W (T )) = f (W (0)) +
2 0
0
(9.11)
Sedangkan Ito’s formula dalam bentuk diferensial dapat dinyatakan dengan
1
df (W (t)) = f 0 (W (t)) dW (t) + f 00 (W (t)) dt
2
Berbagai variasi dari rumus Ito dapat dikenali dari bentuk fungsi f:
(9.12)
Bila fungsinya berbentuk f (t; W (t)) maka rumus Ito-nya adalah
1
df (t; W (t)) = ft dt + fW dW (t) + fW W dt
2
(9.13)
Bila fungsinya berbentuk f (t; X) dengan X mengikuti
dX = dt + dW
(9.14)
maka rumus Ito-nya adalah
1
df (t; X) = ft dt + fX dX + fXX dt
2
(9.15)
1
= ft dt + fX [ dt + dW ] + fXX dt
2
1
= ft + fX + fXX dt + fX dW
2
(9.16)
(9.17)
Bila fungsinya berbentuk f (t; W1 (t) ; W2 (t)) dengan dW1 (t) dW2 (t) = 0 maka
rumus Ito-nya adalah
df (t; W1 (t) ; W2 (t)) = ft dt + fW1 dW1 + fW2 dW2 +
(9.18)
1
[fW1 W1 dW1 dW1 + 2fW1 W2 dW1 dW2 + fW1 W2 dW1 dW2 ]
2
(9.19)
Bila fungsinya berbentuk f (t; X1 ; X2 ) dengan
dX1 =
1 dt
+
11 dW1
+
12 dW2
(9.20)
dX2 =
2 dt
+
21 dW1
+
22 dW2
(9.21)
maka rumus Ito-nya adalah
df (t; X1 ; X2 ) = ft dt + fX1 dX1 + fX2 dX2 +
1
[fX1 X1 dX1 dX1 + 2fX1 X2 dX1 dX2 + fX2 X2 dX2 dX2 ]
2
= ft dt + fX1 [ 1 dt + 11 dW1 + 12 dW2 ] +
fX2 [ 2 dt + 21 dW1 + 22 dW2 ] +
1h
fX1 X1 ( 1 dt + 11 dW1 + 12 dW2 )2 +
2
fX1 X2 ( 1 dt + 11 dW1 + 12 dW2 ) ( 2 dt +
i
fX2 X2 ( 2 dt + 21 dW1 + 22 dW2 )2
(9.22)
(9.23)
(9.24)
(9.25)
(9.26)
21 dW1
+
22 dW2 ) +
(9.27)
9.2. Geometric Brownian motion
9.2
59
Geometric Brownian motion
Harga saham pada saat t; yaitu S (t) ; dikatakan mengikuti geometric Brownian motion
bila dapat dinyatakan dengan
S (t) = S (0) : exp
1
2
W (t) +
2
t
(9.28)
dan adalah konstanta dengan > 0: Dengan penggunaan rumus Ito, maka geometric
Brownian motion dalam bentuk diferensial dapat dinyatakan dengan
d (S (t)) = S (t)
1
2
2
dt + S (t) dW (t) + S (t)
1
2
= S (t) dt + S (t) dW (t)
dt
(9.29)
(9.30)
Sedangkan geometric Browniam motion dalam bentuk integral adalah
Z t
Z t
S (u) du +
S (u) dW (u)
S (t) = S (0) +
0
2
(9.31)
0
Integral yang pertama adalah integral Riemann sedangkan integral yang kedua adalah
integral Ito. Quadratic variation dari S (t) hanya tergantung pada integral Ito-nya, yaitu
dS (t) dS (t) =
2
S (t)2 dt:
(9.32)
Kuliah ke 10
Teorema Girsanov
10.1
Teorema Girsanov
Teorema Girsanov sangat penting untuk digunakan agar bisa pindah dari suatu ukuran
probabilitas ke ukuran probabilitas lainnya.
Teorema 10.1 (Teorema Girsanov) Misal W (t), 0 t T adalah suatu Brownian
motion di suatu ruang probabilitas ( ; F; P) dan misalkan fF (t)g adalah …ltrasi yang
dibangkitkan oleh Brownian motion. Misalkan pula (t), 0 t T adalah suatu proses
~ (t) dengan
yang teradaptasi oleh …ltrasi fF (t)g. Untuk 0 t T de…nisikan W
Z t
~ (t) = W (t) +
W
(u) du
(10.1)
0
dan de…nisikan P~ melalui
P~ (A) =
Z
Z (T ) dP
(10.2)
A
dengan Z (t) dide…nisikan oleh
Z
Z (t) = exp
t
(u) dW (u)
0
~ (t) ; 0
Di bawah P~ , proses W
t
1
2
Z
t
(u)2 du :
(10.3)
0
T adalah suatu Brownian motion.
Catatan 10.2 Berikut ini beberapa sifat yang ditimbulkan oleh Z (t)
1. Z (t) adalah suatu martingale. Dengan rumus Ito akan didapat
dZ (t) =
=
(t) Z (t) dW (t) +
1
(t)2 Z (t) dt
2
1
(t)2 Z (t) dt
2
(t) Z (t) dW (t)
(10.4)
(10.5)
atau ditulis dalam bentuk integral Ito
Z (t)
Z
Z (0) =
t
(u) Z (u) dW (u)
(10.6)
0
Karena integral Ito adalah suatu martingale maka Z (t) adalah suatu martingale
pula.
60
10.1. Teorema Girsanov
61
2. P~ adalah suatu ukuran probabilitas
~ = E [Z (T ) :X] ; karena untuk X = IA 8A 2 F maka
3. EX
Z
~
IA dP~
EX =
(10.7)
= P~ (A)
Z
Z (T ) dP
=
ZA
Z (T ) :IA dP
=
(10.8)
(10.9)
(10.10)
= E [Z (T ) :X] ;
(10.11)
kemudian gunakan hasil bahwa setiap variabel acak dapat diaproksimasi dengan
suatu variabel acak sederhana.
4. Bila
konstan
Z (T ) = exp
W (T )
1
2
2
T
(10.12)
~ (T ) = T + W (T )
W
~ (T )
N (0; T ) ; sehingga W
Di bawah P; W (T )
(10.13)
N ( T; T ) :
~ (T )
5. Perubahan uuran probabilitas dari P ke P~ akan menghilangkan drift dari W
~ W
~ (T ) = E (Z (T ) ( T + W (T )))
E
1 2
= E f T + W (T )g exp
W (T )
T
2
Z 1
1 2
1
( T + w) exp
w
=p
T exp
2
2 T
1
(
)
Z 1
(w + T )2
1
( T + w) exp
=p
dw
2T
2 T
1
Z 1
y2
1
=p
y exp
dy
2T
2 T
1
= 0:
(10.14)
(10.15)
W2
2T
dw
(10.16)
(10.17)
(10.18)
~ (T )
Perubahan ukuran probabilitas dari P ke P~ telah menghilangkan drift dari W
~ (T ) N (0; T ) sedangkan di bawah P; W
~ (T ) N ( T; T ) :
sehingga di bawah P~ ; W
Lemma 10.3 Misal 0
t
T: Bila X adalah F (t)-measurable maka
~ (X) = E (X:Z (t))
E
(10.19)
Bukti
~ (X) = E [XZ (T )]
E
= E [E [XZ (T ) jF (t)]]
= E [XE [Z (T ) jF (t)]]
= E [XZ (t)]
(10.20)
(10.21)
(10.22)
(10.23)
62
Kuliah ke 10. Teorema Girsanov
Lemma 10.4 (aturan Bayes) Bila X adalah F (t)-measurable dan 0
maka
~ (XjF (s)) = 1 E (XZ (t) jF (s))
E
Z (s)
s
t
T
(10.24)
Bukti Z (s) adalah F (s)-measurable. Demikian pula E (XZ (t) jF (s)) adalah F (s)1
E (XZ (t) jF (s)) adalah F (s)-measurable pula.
measurable sehingga Z(s)
Untuk 8A 2 F (s) berlaku
Z
1
~ IA 1 E [XZ (t) jF (s)]
E (XZ (t) jF (s)) dP~ = E
(10.25)
Z (s)
A Z (s)
1
= E IA Z (s)
E [XZ (t) jF (s)]
(10.26)
Z (s)
= E [E [IA XZ (t) jF (s)]]
(10.27)
= E [IA XZ (t)]
~ [IA X]
=E
Z
=
XdP~
(10.28)
(10.29)
(10.30)
A
h
i
~ W
~ (t) jF (s) = W
~ (s)
Lemma 10.5 (sifat martingale) E
0
s
t
T
~ (t) Z (t) adalah suatu martingale di
Bukti Pertama-tama akan diperlihatkan bahwa W
bawah P dengan pemanfaatan hasil dari rumus Ito untuk multidimensi
~Z =W
~ dZ + ZdW
~ + dW
~ dZ
d W
(10.31)
~ (t) = (t) dt + dW (t) dan
Selanjutnya substitusikan (10:1) dalam bentuk di¤erential dW
(10:5) ke dalam (10:31)
~Z =
d W
~ ZdW + Z dt + ZdW
W
Zdt
= ( W Z + Z) dW
Persamaan ini bisa dituliskan dalam bentuk integral Ito
Z t
~
~ (u) (u) Z (u) + Z (u) dW (u)
W (t) Z (t) =
W
(10.32)
(10.33)
(10.34)
0
~ (t) Z (t) adalah suatu martingale karena integral
Sehingga dapat disimpulkan bahwa W
Ito adalah suatu martingale.
Sifat ini akan dipakai untuk memperlihatkan hasil berikut
h
i
h
i
~ W
~ (t) jF (s) = 1 E W
~ (t) Z (t) jF (s)
E
(10.35)
Z (s)
1 ~
=
W (s) Z (s)
(10.36)
Z (s)
~ (s)
=W
(10.37)
10.2. Risk-Neutral measure
63
Persamaan (10:2) dipakai untuk membangun ukuran probabilitas P~ bila diketahui
ukuran probabilitas P: Demikian pula sebaliknya, bila diketahui P~ maka bisa dibangun
ukuran probabilitas P dengan penggunaan hasil dari Lemma di atas bahwa bila X
~ = E [XZ (t)] : Bila A 2 F (t) maka X
~ = IA X adalah
adalah F (t)-measurable maka EX
F (t)-measurable sehingga
h
i
~X
~ = E XZ
~ (t)
E
~ [IA X] = E [IA XZ (t)]
E
Z
Z
XdP~ =
XZ (t) dP
A
Bila t = T dan X =
1
Z(T )
(10.38)
(10.39)
(10.40)
A
maka didapat
Z
A
Z
1
dP~ =
Z (T )
Jadi P bisa diperoleh dari P~
P (A) =
P~ (A) =
(10.41)
Z
1
dP~
Z (T )
(10.42)
Z
Z (T ) dP
(10.43)
A
demikian pula sebaliknya
dP = P (A)
A
A
10.2
Risk-Neutral measure
Misal W (t) ; 0
t
T adalah Brownian motion dan F (t) ; 0
t
T adalah …ltrasi
yang dibangkitkan oleh Brownian motion. Berikut ini beberapa proses yang akan dipakai
untuk membangun pengertian risk-neutral measure:
Stock price process
Stock price process S (t) memenuhi persamaan diferensial stokastik:
dS (t) =
(t) S (t) dt + (t) S (t) dW (t)
(10.44)
Dari persamaan (10:44) ini terlihat bahwa S (t) bukan martingale terhadap …ltrasi fF (t)g
karena ada faktor (t) S (t) dt:
Interest rate process
Interest rate process r (t) ; 0
fF (t)g :
Wealth process
t
T adalah suatu proses yang teradaptasi terhadap
64
Kuliah ke 10. Teorema Girsanov
Mulai dengan X (0) = x dan 4 (t) menyatakan jumlah saham yang dimiliki pada
saat t; wealth process X (t) dapat diungkapkan dengan
dX (t) = 4 (t) dS (t) + r (t) (X (t)
4 (t) S (t)) dt
(10.45)
Faktor pertama di ruas kanan menyatakan capital gain dari saham sedangkan faktor kedua menyatakan kenaikkan pendapatan dari bunga. Persamaan (10:45) memperlihatkan
bahwa X (t) bukanlah martingale terhadap …ltrasi fF (t)g :
Persamaan (10:45) dapat dituliskan dalam bentuk
dX (t) = r (t) X (t) dt + 4 (t) [dS (t)
r (t) S (t) dt]
(10.46)
= r (t) X (t) dt + 4 (t) [ (t) S (t) dt + (t) S (t) dW (t)
= r (t) X (t) dt + 4 (t) [( (t)
r (t) S (t) dt]
r (t)) S (t) dt + (t) S (t) dW (t)]
(t)
= r (t) X (t) dt + 4 (t) (t) S (t)
r (t)
(t)
dt + dW (t)
= r (t) X (t) dt + 4 (t) (t) S (t) [ (t) dt + dW (t)]
(10.47)
(10.48)
(10.49)
(10.50)
dengan (t) menyatakan market price of risk
(t) =
(t)
r (t)
(t)
(10.51)
Bila diasumsikan
dW (t) = (t) dt + dW (t)
(10.52)
maka persamaan (10:50) dapat dinyatakan dengan
dX (t) = r (t) X (t) dt + 4 (t) (t) S (t) dW (t)
(10.53)
sedangkan persamaan (10:44) dapat dinyatakan dengan
dS (t) =
=
(t) S (t) dt + (t) S (t) [dW (t)
(t) S (t) dt
= [ (t)
(t) dt]
(t) (t) S (t) dt + (t) S (t) dW (t)
(t) (t)] S (t) dt + (t) S (t) dW (t)
= r (t) S (t) dt + (t) S (t) dW (t)
(10.54)
(10.55)
(10.56)
(10.57)
Dari persamaan (10:53) dan (10:57) ternyata S (t) dan W (t) bukan pula martingale di
bawah P~ :
Jadi S (t) dan X (t) bukan martingale di bawah P maupun di bawah P~ : Uraian di
~ (t)
bawah akan memperlihatkan bahwa proses yang terdiskonto S (t) dan X
S (t)
S~ (t) =
(t)
X
~ (t) = (t)
X
(t)
adalah martingale di bawah P~ ; dengan
(10.58)
(10.59)
(t) menyatakan faktor akumulasi
Rt
(t) = e
0
r(u)du
(10.60)
10.2. Risk-Neutral measure
dan
(t)
1
65
= 1= (t) menyatakan faktor diskonto
(t)
Bentuk diferensial dari
1
Rt
1
=e
(t)
=
0
r(u)du
(10.61)
(t) adalah
d (t) =
sedangkan bentuk diferensial dari
(t)
1
1
=
d (t)
(t) r (t) dt
(10.62)
adalah
(t)
1
r (t) dt
(10.63)
Bentuk diferensial dari S~ (t) adalah
dS~ (t) = d
S (t)
(t)
(10.64)
=
(t)
1
=
(t)
1
[r (t) S (t) dt + (t) S (t) dW (t)] + S (t)
=
(t)
1
S (t) (t) dW (t)
=
dS (t) + S (t) d (t)
1
h
(t)
S (t)
(t) dW (t)
(t)
=
1
r (t) dt
i
(10.65)
(10.66)
(10.67)
(10.68)
(t) S (t) dW (t)
(10.69)
Karena (t) S~ (t) adalah adapted process to the …ltration F (t) maka dari persamaan
(10:69) dapat dilihat bahwa discounted stock price process S~ (t) = S (t) = (t) adalah
suatu martingale di bawah P~ :
~ (t) adalah
Bentuk diferensial dari discounted wealth process X
~ (t) = d
dX
X (t)
(t)
=
(t)
1
=
(t)
1
(t)
1
=
=
dX (t) + X (t) d (t)
(10.70)
1
[r (t) X (t) dt + 4 (t) (t) S (t) dW (t)] + X (t)
4 (t) (t) S (t) dW (t)
S (t)
4 (t) (t) dW (t)
(t)
= 4 (t) (t) S (t) dW (t)
h
(10.71)
i
(t) 1 r (t) dt
(10.72)
(10.73)
(10.74)
(10.75)
Karena 4 (t) (t) S (t) adalah adapted process to the …ltration F (t) maka dari per~ (t) = X (t) = (t) adalah
samaan (10:75) dapat dilihat bahwa discounted wealth process X
suatu martingale di bawah P~ :
Kuliah ke 11
Teorema Representasi Martingale
Pada bab ini akan dipelajari suau teorema yang akan berguna untuk memperlihatkan
eksistensi dari suatu heging portfolio.
Teorema 11.1 (Teorema representasi martingale) Misal W (t) ; 0 t T adalah
sutau Brownian motion di ( ; F; P ) : Misal X (t) ; 0 t T adalah suatu martingale
(di bawah P ) relatif terhadap …ltrasi.fF (t)g yang dibangkitkan oleh W (t). Maka ada
suatu proses (t) ; 0 t T yang teradapsi terhadap …ltrasi fF (t)g sehingga
X (t) = X (0) +
Z
t
(s) dW (s) ;
0
t
T
(11.1)
0
atau ditulis dalam bentuk diferensial
dX (t) = (t) dW (t)
(11.2)
Catatan 11.2 Ingat bahwa bila X (t) adalah proses yang memenuhi persamaan (11:2)
maka X (t) adalah martingale.
Teorema ini menyatakan bahwa bila X (t) adalah suatu proses yang martingale dan
teradaptasi terhadap …ltrasi yang dibangkitkan oleh W (t) (dengan kata lain, W (t)
adalah satu-satunya sumber keacakan bagi X (t)) maka X (t) memenuhi
dX (t) = (t) dW (t)
(11.3)
untuk suatu (t) :
Teorema ini dapat dipakai untuk memperlihatkan eksistensi suatu hedging portfolio
(t) ; 0 t T:
Dengan portfolio process (t) ; 0 t T ini dari bab sebelumnya telah diketahui
bahwa the wealth process X (t) ; 0 t T dapat dinyatakan dengan
d
X (t)
(t)
atau
X (t)
= X (0) +
(t)
Z
=
(t) (t)
t
(s) (s)
0
66
S (t)
dW (t)
(t)
S (s)
dW (s) ;
(s)
(11.4)
0
t
T
(11.5)
67
Misal V (T ) adalah suatu variabel acak yang F (T )-measurable dan meyatakan nilai
dari suatu contingent claim pada saat T: Akan dipilih suatu portfolio process
(t) ;
0 t T dan X (0) sehingga
X (T ) = V (T )
(11.6)
De…nisikan
~
Y (t) = E
V (T )
F (t) ;
(T )
0
t
T
(11.7)
Y (t) adalah P~ -martingale sehingga menurut teorema representasi martingale ada suatu
adapted process (t) ; 0 t T sehingga
Z t
(s) dW (s) ; 0 t T
(11.8)
Y (t) = Y (0) +
0
Dengan pembandingan persamaan (11:5) dan (11:8) maka dapat diilih
~ V (T )
X (0) = Y (0) = E
(T )
dan
(11.9)
(s) sehingga
(s) (s)
S (s)
=
(s)
(s)
(11.10)
Dengan pilihan-pilihan ini maka
X (t)
~ V (T ) F (t) ;
= Y (t) = E
(t)
(T )
0
t
T
(11.11)
Khususnya pada saat T; persamaan (11:11) menjadi
X (T )
~ V (T ) F (T )
=E
(T )
(T )
V (T )
=
(T )
(11.12)
(11.13)
atau
X (T ) = V (T )
(11.14)
Jadi portfolio process (t) ; 0 t T adalah suatu hegding portfolio.
Rumus risk-neutral pricing pun dapat pula diturunkan dari (11:11) :
X (t)
~ V (T ) F (t)
=E
(t)
(T )
1
Z (T )
=
E
V (T ) F (t)
Z (t)
(T )
X (t) =
(11.15)
(11.16)
1
E [ Z (T ) V (T )j F (t)]
Z (t)
(11.17)
dengan
Z (t) =
Z (t)
(t)
= exp
(11.18)
Z
0
t
(s) dW (s)
Z
0
t
r (s) +
1
2
2
(s)
ds
(11.19)
Kuliah ke 12
Rumus Black-Scholes
12.1
Pendahuluan
Ada banyak cara untuk mendapatkan rumus Black-Scholes. Pada bab ini akan dipelajari berbagai cara mendapatkan rumus Black-Scholes dengan metoda yang berbeda-beda.
Tujuannya agar pembaca bisa mempunyai wawasan yang luas tentang berbagai metoda
matematika yang bisa dipergunakan di dalam matematika keuangan. Cara kesatu menggunakan asumsi bahwa harga saham berdistribusi lognormal. Cara kedua menggunakan
persaman diferensial parsial. Cara ketiga menggunakan risk-neutral pricing.
12.2
Cara pertama
Ini adalah cara yang paling sederhana yang bisa dilakukan untuk mendapatkan rumus
Black-Scholes. Dengan metoda ini pemahaman tentang …nance sangat minim. Namun
demikian cara ini memuat perhitungan yang kelak akan diulang-ulang dipakai di metoda
lain. Cara ini hanya mengandalkan dua buah asumsi.
Misal harga saham pada saat T dinyatakan dengan S (T ) dan diasumsikan bahwa
1: X = ln (S (T ) =S (0))
2: S (0) = e
rT
N ( T;
2
T)
(12.1)
E (S (T ))
(12.2)
Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan (lihat apeendiks lognormal):
(
)
1
1 x
T 2
p
f (x) = p
exp
2
2 T
T
Sedangkan pdf untuk ST dapat diperoleh dengan menggunakan tehnik transformasi
dX
1
1
peubah acak melalui pdf X dengan jJj = dS(T
) = S(T ) = S(T ) ;
f (s (T )) =
s (T )
1
p
2 T
exp
(
1
2
ln(s (T ) =s (0))
p
T
T
2
)
(12.3)
Expected asset E [ST ] dapat diturunkan dengan memanfaatkan persamaan (12.1),
68
12.2. Cara pertama
69
yaitu
h
i
E [S (T ) =S (0)] = E eln(S(T )=S(0))
= E eX
T + 12
=e
E [S (T )] = S (0) e
2T
=)
T + 12
2T
Dari asumsi kedua pada persamaan (12.2) dapat diperoleh
S (0) = e
rT
E [S (T )]
=e
rT
S (0) e
T + 12
S (0) = S (0) e
rT +
rT +
T +
1=e
)
=r
1
2
2T
T +
1
2
2T
1
2
2T
=)
=)
rT +
T +
1
2
2
2
T =0
(12.4)
Dengan demikian pdf untuk ST dari persamaan (12.3) dapat dituliskan dengan:
8
!2 9
<
1 2
T =
r 2
1
1 ln(s (T ) =s (0))
p
p
(12.5)
f (s (T )) =
exp
;
: 2
s (T )
2 T
T
Pdf inilah yang akan digunakan untuk menurunkan harga call option C, yaitu rumus
Black Scholes
C=e
=e
=e
e
=e
=e
=e
rT
E [maks (S (T ) K) ; 0]
(12.6)
Z 1
rT
maks (s (T ) K; 0) f (s (T )) ds (T )
(12.7)
0
Z K
rT
maks (s (T ) K; 0) f (s (T )) ds (T ) +
0
Z 1
rT
maks (s (T ) K; 0) f (s (T )) ds (T )
(12.8)
K
Z K
Z 1
rT
0:f (s (T )) ds (T ) +
(s (T ) K) f (s (T )) ds (T )
(12.9)
0
K
Z 1
rT
(s (T ) K) f (s (T )) ds (T )
(12.10)
K
8
!2 9
Z 1
<
=
1 2
ln(s
(T
)
=s
(0))
r
T
(s (T ) K)
1
rT
2
p
p
exp
ds (T )
: 2
;
2 T
T
K s (T )
(12.11)
Integrasi ini dapat diselesaikan dengan transformasi variabel
z=
ln(sT =S0 )
sT = S0 ez
p
T +(r
p
1 2
2
r
T
1
2
2
T
=)
)T
dz
1
ds (T )
p =) dz =
p
=
ds (T )
s (T )
T
s (T )
T
(12.12)
(12.13)
70
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
Batas bawah integrasi untuk s (T ) ; yaitu K, diubah menjadi batas bawah integrasi untuk
z menjadi A :
ln(K=S (0))
r 21 2 T
p
A=
T
Dengan transformasi z ini maka C di (12:11) dapat dinyatakan dengan:
Z 1h
i 1 2
p
1 2
rT 1
p
C=e
S0 ez T +(r 2 )T K e 2 z dz
2 A
Z 1
Z
p
1 2
1
Ke rT 1 1 z 2
1
2
p
S0 ez T 2 T 2 z dz
e 2 dz
=p
2 A
2
A
Z 1
p 2
1
S0
T)
=p
e 2 (z
dz Ke rT N ( A)
2 A
Z 1
p
1 2
S0
u
2
T
=p
e
du
bila
dimisalkan
u
=
z
p
2 A
T
p
= S0 N
A+
T
Ke rT N ( A)
Bila dimisalkan d1 = A +
dapat dinyatakan dengan
p
T dan d2 =
A = d1
p
(12.15)
(12.16)
(12.17)
(12.18)
T maka persamaan (12.18)
C = S0 N (d1) KerT N (d2) dengan
p
d1 = A +
T
p
ln(K=S0 )
r 12 2 T
p
=
+
T
T
ln(S0 =K) + r + 12 2 T
p
=
T
p
d2 = d1
T
p
ln(S0 =K) + r + 12 2 T
p
T
=
T
ln(S0 =K) + r 12 2 T
p
=
T
12.3
(12.14)
(12.19)
(12.20)
(12.21)
(12.22)
(12.23)
Cara kedua
Cara ini akan menggunakan persamaan diferensial parsial untuk mendapatkan rumus
Black-Scholes. Barangkali inilah cara mendapatkan rumus Black-Scholes yang paling
populer. Untuk itu akan dibahas ringkasan pembicaraan yang sudah dijelaskan sebelumnya.
12.3.1
Brownian Motion
Suatu stochastic process fW (t)g1
t=0 disebut standard Brownian motion bila memenuhi
persyaratan berikut
1. W (0) = 0
12.3. Cara kedua
71
2. W (t) kontinu terhadap t
3. Bila 0 = t0 < t1 < t2 <
< tn dan
Y1 = W (t1 )
W (t0 )
(12.24)
Y2 = W (t2 )
..
.
W (t1 )
(12.25)
Yn = W (tn )
W (tn
(12.26)
1)
(12.27)
maka
(a) Y1 ; Y2 ;
; Yn saling bebas dan berdistribusi normal dengan
(b) E (Yj ) = 0 8j
(c) var (Yj ) = tj
12.3.2
tj
1
8j:
Ito’s Lemma
Bila fungsi f (t; W (t)) merupakan fungsi dari t yang deterministik dan Brownian Motion
W (t) yang stokastik, maka didapat:
df =
12.3.3
@f
1 @2f
@f
dt +
dW +
dW dW
@t
@W
2 @W 2
(12.28)
Geometric Brownion Motion
Bila harga saham di waktu S (t) dimodelkan dengan Geometric Brownian Motion maka
dapat dituliskan dengan
1 2
S (t) = S (0) e W (t)+( 2 )t
(12.29)
Dengan penggunaan Ito’s Lemma, S (t) yang dimodelkan dengan Geometric Brownian Motion dapat dituliskan dengan:
dS (t) = S (t) dt + S (t) dW (t)
12.3.4
(12.30)
Financial portfolio
Misal seorang investor mempunyai kekayaan awal sebesar X (0) dan tiap saat t ia mempunyai investasi dalam bentuk kepemilikan saham sebanyak (t) lembar dengan harga
S (t) per lembar. Untuk membiayai investasi ini sang investor meminjam (bila X (0) <
(t) :S (t)) atau menyimpan uang (bila X (0) > (t) :S (t)) dengan bunga r per tahun.
Bila X (t) menyatakan kekayaan sang investor pada saat t maka wealth process dari investor tersebut dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari pertumbuhan (penyusutan)
nilai saham dan pertumbuhan tabungan (hutang)
dXt =
=
(t) dS (t) + r [X (t)
(t) S (t)] dt
(t) [ S (t) dt + S (t) dW (t)] + r [X (t)
= [rX (t) +
(t) S (t) (
r)] dt +
(12.31)
(t) S (t)] dt
(t) S (t) dW (t) :
(12.32)
(12.33)
72
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
12.3.5
Value of an option
Misal V (t; S (t)) menyatakan nilai option pada saat t bila harga sahamnya S (t) : Bila
dinyatakan dalam bentuk diferensial maka dapat dituliskan dalam bentuk
@V
1 @2V
@V
dt +
dS (t) +
dS (t) dS (t)
(12.34)
@t
@S (t)
2 @S (t)2
@V
@V
1 @2V
=
( S (t) dt + S (t) dWt )2
dt +
( S (t) dt + S (t) dWt ) +
@t
@S (t)
2 @S (t)2
(12.35)
dV (S (t) ; t) =
=
@V
@V
1
+ S (t)
+
@t
@S (t) 2
2
S (t)2
@2V
@S (t)2
dt + S (t)
@V
dWt
@S (t)
(12.36)
12.3.6
Replicating Portfolio
Portfolio yang akan memagari option dimulai dengan kekayaan awal sebesar X0 dan
dinvestasikan dalam bentuk saham dan tabungan (pinjaman) sehingga tiap saat t nilai
kekayaan Xt dapat menutup V (S (t) ; t): Untuk memastikan bahwa Xt = V (S (t) ; t)
untuk tiap t, koe…sien pada masing-masing diferensialnya disamakan. Dari koe…sien
dWt diperoleh
@V
(12.37)
t =
@S (t)
sedangkan dari koe…sien dt diperoleh
@V
1
@V
+ S (t)
+
@t
@S (t) 2
@2V
= rXt +
@St2
@V
@S (t)
(12.38)
yang dapat dituliskan lagi menjadi the Black-Scholes partial di¤ erential equation:
2
S (t)2
@V (S (t) ; t)
@V (S (t) ; t) 1
+ rS (t)
+
@t
@S (t)
2
2
tS
S (t)2
(t) (
r) = rV + S (t) (
@ 2 V (S (t) ; t)
= rV (S (t) ; t)
@S (t)2
r)
(12.39)
yang memenuhi terminal condition untuk suatu call option dengan exercise price K dan
exercise date T
V (S (T ) ; T ) = max (S (T )
K; 0)
(12.40)
Jadi bila sang investor memulai kekayaannya dengan X (0) = V (S (0) ; 0) dan meng(S(t);t)
gunakan alat pemagaran t = @V@S(t)
maka ia akan mempunyai kekayaan yang tepat
bisa menutup nilai option, yaitu Xt = V (S (t) ; t) untuk tiap t dan khususnya pada saat
jatuh tempo berlaku hubungan X (T ) = V (S (T ) ; T ) yang menjadi terminal condition.
12.3.7
Solusi
Tugas kita sekarang adalah mencari solusi V yang memenuhi persamaan (12.39) dan
(12.40). Langkah untuk memperoleh solusi V adalah:
12.3. Cara kedua
73
1. Melakukan serangkaian transformasi pada (12.39) sehingga akhirnya akan didapat
persamaan difusi (di¤ usion equation):
@u
@2u
;
=
@t
@x2
1 < x < 1; t > 0
(12.41)
dengan initial condition
u(x; 0) = f (x)
(12.42)
2. Bila persamaan difusi (12.41) dan initial condition (12.42) sudah didapat, langkah
selanjutnya adalah berupa pencarian solusi u(x; t) yang memenuhi (12.41) dan
(12.42) dengan pemanfaatan Fourier Integral.
3. Penggabungan langkah pertama dan kedua akan menghasilkan solusi yang berupa
rumus Black-Scholes.
Langkah pertama
Langkah pertama dimulai dengan (12.39) dan (12.42) melalui transformasi yang terdiri
dari 2 tahap. Tahap pertama transformasinya berupa
S (t) = K:ex
t=T
(12.43)
t
(12.44)
1 2
2
V (S (t) ; t) = K:C(x; t )
(12.45)
Dari transformasi ini diperoleh
@V
@
@C(x; t ) @t
= KC(x; t ) = K
@t
@t
@t
@t
@C(x; t )
1 2
=K
@t
2
1 2 @C(x; t )
=
K
2
@t
@V
@
@C(x; t ) @x
=
KC(x; t ) = K
@S (t)
@x
@x
@S (t)
@C(x; t ) 1
=K
@x
Kex
@C(x; t )
=e x
@x
2
@ V
@
@
@C(x; t )
x @C(x; t )
=
e x
2 = @S (t) e
@x
@x
@x
@S (t)
@C(x; t )
@ 2 C(x; t ) e x
=
e x
+e x
@x
@x2
K
(12.46)
(12.47)
(12.48)
(12.49)
(12.50)
(12.51)
@x
@S (t)
(12.52)
(12.53)
Bila hasil-hasil ini disubstitusikan ke (12.39) maka akan diperoleh persamaan diferensial
parsial linier
@C(x; t )
@t
@C(x; t )
@x
(k
1)
@ 2 C(x; t )
+ kC(x; t ) = 0
@x2
(12.54)
74
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
dengan
k=
r
1 2:
2
(12.55)
Final condition (12.40) untuk backward equation (12.39)
K; 0) = max(Kex
V (S (T ) ; T ) = max(S (T )
x
= K max(e
K; 0)
1; 0)
(12.56)
(12.57)
berubah menjadi initial condition untuk forward equation (12.54) dengan pertimbangan
bahwa hubungan berikut bisa diperoleh melalui (12:44) dan (12:45)
V (S (T ) ; T ) = KC(x; 0):
(12.58)
Dari (12:57) dan (12:58) diperoleh initial condition untuk (12:54)
C(x; 0) = max(ex
1; 0):
(12.59)
Hasil dari transformasi pada tahap pertama, yaitu (12.54) dengan initial condition
(12.59), akan diubah lagi dengan transformasi tahap kedua agar didapat persamaan
difusi (12.41) dengan initial condition (12.59). Hal ini dilakukan dengan penggunaan
transformasi
C(x; t ) = a:u(x; t )
a=e
1
(k
2
1)x
(12.60)
1
(k+1)2 t
4
(12.61)
Dari transformasi ini akan diperoleh
@(a:u(x; t ))
@C
=
@t
@t
1
@u
=
(k + 1)2 :a:u(x:t ) + a
4
@t
@C
@(a:u(x; t ))
=
@x
@x
1
@u
=
(k 1):a:u(x; t ) + a
2
@x
2
@ C
@
1
@u
=
(k 1):a:u(x; t ) + a
@x2
@x
2
@x
1
1
@u(x; t )
= (k 1)2 :a:u(x; t )
(k 1):a:
4
2
@x
1
@u
@2u
(k 1):a:
+a 2
2
@x
@x
(12.62)
(12.63)
(12.64)
(12.65)
(12.66)
(12.67)
(12.68)
Bila hasil-hasil ini disubstitusikan ke dalam persamaan (12.54) maka akan diperoleh
persamaan difusi
@u(x; t )
@ 2 u(x; t )
=
(12.69)
@t
@x2
dengan initial condition
1
C(x; 0) = e 2 (k 1)x u(x; 0)
12.3. Cara kedua
75
atau
u(x; 0) = e 2 (k
1
1)x
C(x; 0)
1
(k
2
1)x
max(ex
=e
= max(e
1
(k+1)x
2
(12.70)
1; 0)
e
1
(k
2
1)x
(12.71)
; 0):
(12.72)
Langkah kedua
Pada langkah kedua ini akan dipergunakan konsep integral fourier agar didapat solusi
untuk persamaan difusi.
Integral Fourier. Bila f (x) adalah suatu fungsi kontinu yang mempunyai turunan kiri
R1
dan turunan kanan di tiap titik dan bila 1 jf (x)j dx ada maka f (x) dapat dinyatakan
dengan suatu Fourier Integral
f (x) =
Z1
[A(p) cos(px) + B(p) sin(px)] dp
(12.73)
Z1
f (v) cos(pv)dv
(12.74)
Z1
f (v) sin(pv)dv
(12.75)
0
A(p) =
1
1
B(p) =
1
1
Persamaan difusi. Berikut ini akan dicari solusi u (x; t) yang memenuhi persamaan
difusi (di¤ usion equation)
@u
@2u
=
;
@t
@x2
1 < x < 1; t > 0
(12.76)
dengan initial condition
u(x; 0) = f (x):
(12.77)
u(x; t) = F (x)G(t)
(12.78)
Mula-mula dimisalkan
sehingga bisa didapat
@G
@u
=F
@t
@t
2
@ u
@2F
=G 2
2
@x
@x
(12.79)
(12.80)
dan persamaan (12.76) dapat dituliskan dengan
F
atau
@2F
@G
=G 2
@t
@x
1 @G
1 @2F
=
G @t
F @x2
(12.81)
76
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
Perhatikan bahwa perubahan t hanya mengubah ruas kiri dari (12.81) tanpa mengubah ruas kanannya, sedangkan perubuahan x hanya mengubah ruas kanan dari (12.81)
tanpa mengubah ruas kirinya. Karena itu bisa diklaim bahwa persamaan (12.81) bernilai
tetap sebesar k sehingga (12.81) bisa dituliskan dengan
1 @G
1 @2F
=k
=
G @t
F @x2
(12.82)
Bila diambil nilai k yang negatif, misalnya k = p2 ; maka (12:82) dapat dinyatakan
dengan
1 @G
1 @2F
= p2 :
(12.83)
=
G @t
F @x2
Dari (12:83) akan didapat dua buah persamaan diferensial linier orde satu dan orde dua
@G
+ p2 G = 0
@t
(12.84)
dan
@2F
+ p2 F = 0:
@x2
Solusi untuk persamaan (12.84) adalah
G (t) = e
(12.85)
p2 t
(12.86)
sedangkan solusi untuk (12.85) adalah
F (x) = A cos(px) + B sin(px)
(12.87)
Dari (12:86) dan (12:87) akan didapat solusi untuk (12.76), yaitu
u(x; t; p) = F (x) G (t)
= (A cos(px) + B sin(px)) e
(12.88)
p2 t
(12.89)
Karena A dan B nilainya sembarang maka dapat dipilih A (p) dan B (p) yang merupakan
fungsi dari p: Adapun konstanta k = p2 haruslah negatif agar nilai u(x; t) konvergen
ke 0 untuk t ! 1: Sehingga (12.89) dapat ditulis lagi menjadi
u(x; t; p) = (A(p) cos(px) + B(p) sin(px)) e
p2 t
(12.90)
Solusi yang diberikan oleh (12.90) berlaku untuk tiap p yang bernilai antara 0 sampai 1: Demikian pula superposisi (penjumlahan) solusi dari berbagai nilai p ini tetap
merupakan solusi. Sehingga untuk p antara 0 sampai 1 didapat solusi untuk (12.76)
yang berupa
Z1
2
u(x; t) = (A(p) cos(px) + B(p) sin(px)) e p t dp
(12.91)
0
Dengan pertimbangan initial condition (12.77) maka A(b) dan B(p) dapat ditentukan
dengan cara melihat (12.91) untuk t = 0 sebagai Integral Fourier (12:73)
f (x) = u(x; 0)
Z1
= (A(p) cos(px) + B(p) sin(px)) dp
0
(12.92)
(12.93)
12.3. Cara kedua
77
sehingga A(p) dan B(p) dapat dinyatakan dengan (12:74) dan (12:75)
Z1
1
A(p) =
1
Z1
1
B(p) =
f (v) cos(pv)dv
(12.94)
f (v) sin(pv)dv
(12.95)
1
Bila kedua hasil ini disubstitusikan ke (12.91) akan diperoleh solusi
u(x; t) =
1
Z1
0
=
=
1
1
0
@
0 1
Z1 Z1
=
Z1
f (v) cos(pv) cos(px)dv +
1
Z1 Z1
0
1
Z1
Z1
1
1
f (v) sin(pv) sin(px)dv A e
f (v) (cos(pv) cos(px) + sin(pv) sin(px)) e
f (v) (cos(pv
1
f (v)
1
Z1
(cos p(v
px))e
x))e
p2 t
p2 t
p2 t
dvdp
dvdp
p2 t
dp
(12.96)
(12.97)
(12.98)
dpdv
(12.99)
0
Untuk penghitungan
menyatakan bahwa
R1
0
cos p(v
Z
1
x)e
(cos 2bx)e
p2 t dp
s2
dari (12.99) akan digunakan hasil yang
ds =
p
0
2
e
b2
:
(12.100)
Untuk itu digunakan transformasi
p
p2 t = s2 atau s = p t
(12.101)
dan
2bs = p(v
x) atau b =
(x v)
p
2 t
(12.102)
sehingga diperoleh
Z
0
1
cos p(v
x)e
p2 t
Z 1
1
p
dp =
(cos 2bx)e
t
p 0
2
= p e b
2 t
p
(x v)2
4t
= p e
2 t
s2
ds
(12.103)
(12.104)
(12.105)
78
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
Dengan demikian persamaan (12.99) dapat dituliskan lagi dengan
u(x; t) =
1
Z1
f (v)
1
Z1
(cos p(v
x))e
p2 t
dpdv
(12.106)
0
Z1
1
= p
2 t
(x v)2
4t
f (v)e
dv
(12.107)
1
dengan f (v) dide…nisikan melalui (12:92)
f (v) = u (v; 0) :
(12.108)
Langkah ketiga
Solusi untuk persamaan difusi (12:69) dengan initial condition (12:72) diberikan oleh
(12:107)
Z1
2
1
1
f (v)e 4t (x v) dv
(12.109)
u(x; t) = p
2 t
1
dengan f (v) diberikan oleh (12:108) dan (12:72) ; yaitu
f (v) = u (v; 0)
(12.110)
1
= max(e 2 (k+1)v
1
e 2 (k
1)v
; 0):
(12.111)
Bila (12:111) disubstitusikan ke (12:109) maka akan diperoleh
1
u(x; t) = p
2 t
Z1
f (v)e
1
= p
2 t
Z1
max(e 2 (k+1)v
1
= p
2 t
Z1
e 2 (k+1)v
1
= p
2 t
Z1
e 2 (k+1)v e
2
1
p
t
= I1
Z1
1
(x
4t
v)2
dv
(12.112)
1
1
1
e 2 (k
1)v
; 0)e
1
(x
4t
v)2
dv
(12.113)
1
1
1
e 2 (k
1)v
e
1
(x
4t
v)2
dv
(12.114)
0
1
1
(x
4t
v)2
dv
(12.115)
0
1
e 2 (k
1)v
e
1
(x
4t
v)2
dv
(12.116)
0
I2 :
(12.117)
12.3. Cara kedua
79
dengan
1
I1 = p
2 t
Z1
e 2 (k+1)v e
1
= p
2 t
Z1
1
e[ 2 (k+1)v
1
I2 = p
2 t
Z1
e 2 (k
1
= p
2 t
Z1
1
e[ 2 (k
1
1
(x
4t
v)2
dv
(12.118)
dv
(12.119)
dv
(12.120)
dv:
(12.121)
0
1
(x
4t
v)2 ]
0
1
1)v
e
1
(x
4t
v)2
0
1
(x
4t
1)v
v)2 ]
0
Akan dicari dulu penyelesaian untuk I1 dengan penyederhanaan eksponen dari integrandnya
1
(k + 1)v
2
1
(x
4t
v)2 =
=
=
=
=
v 2 + 2vx x2
(12.122)
4t
v 2 + 2 (x + t (k + 1)) v x2
(12.123)
4t
[v (x + t (k + 1))]2 + [x + t (k + 1)]2 x2
(12.124)
4t
[v (x + t (k + 1))]2 + 2xt (k + 1) + t2 (k + 1)2
(12.125)
4t
1 v (x + t (k + 1)) 2 2x (k + 1) + t (k + 1)2
p
:
+
2
4
2t
(12.126)
2t (k + 1) v
Penyederhanaan eksponen ini akan mengakibatkan I1 bisa dituliskan dengan
1
I1 = p
2 t
Z1
1
e[ 2 (k+1)v
1
= p
2 t
Z1
e
1
(x
4t
v)2 ]
dv
(12.127)
0
1
2
h
i
v (x+t(k+1)) 2 2x(k+1)+t(k+1)2
p
+
4
2t
dv
(12.128)
dv:
(12.129)
0
2x(k+1)+t(k+1)2
1
4
= p e
2 t
Z1
e
1
2
h
i
v (x+t(k+1)) 2
p
2t
0
Misalkan
z=
sehingga
v
(x + t (k + 1))
p
2t
p
1
dz = p dv =) dv = 2tdz
2t
(12.130)
(12.131)
80
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
dan I1 menjadi
2x(k+1)+t(k+1)2
1
4
I1 = p e
2 t
=e
2x(k+1)+t(k+1)2
4
=e
2x(k+1)+t(k+1)2
4
=e
2x(k+1)+t(k+1)2
4
1
p
2
Z1
1 2
z
2
e
p
2tdz
(12.132)
a
Z1
e
1 2
z
2
dz
(12.133)
a
N ( a)
(12.134)
N (d1 )
(12.135)
dengan
(x + t (k + 1))
p
2t
a
a=
d1 =
=
(12.136)
(12.137)
x + t (k + 1)
p
:
2t
(12.138)
Dengan langkah yang serupa bisa diperoleh I2
I2 = e
2x(k 1)+t(k 1)2
4
N (d2 )
(12.139)
dengan
x + t (k 1)
p
:
2t
d2 =
(12.140)
Sehingga dari (12:117) ; (12:135) dan (12:139) akan diperoleh
u (x; t) = I1
=e
I2
(12.141)
2x(k+1)+t(k+1)2
4
N (d1 )
e
2x(k 1)+t(k 1)2
4
N (d2 ) :
(12.142)
Bila (12:142) disubstitusikan ke (12:60) maka akan diperoleh
C(x; t) = e
=e
1
(k
2
1
(k
2
1)x
1)x
= ex N (d1 )
1
(k+1)2 t
4
1
(k+1)2 t
4
e
kt
:u(x; t)
e
(12.143)
2x(k+1)+t(k+1)2
4
N (d1 )
e
2x(k 1)+t(k 1)2
4
N (d2 ) :
dan dengan memanfaatkan (12:43)
N (d2 )
(12.144)
(12.145)
(12:45) dan (12:55)
S (t) = K:ex
t=T
(12.146)
t
1 2
2
V (S (t) ; t) = K:C(x; t )
r
k= 1 2
2
(12.147)
(12.148)
(12.149)
12.4. Cara ketiga
81
maka akan diperoleh the Black-Scholes formula
V (S (t) ; t) = K:C(x; t )
= K:ex N (d1 )
(12.150)
kt
e
N (d2 )
r
= S (t) N (d1 )
= S (t) N (d1 )
e
1
1 2 2
2
r(T t)
e
(12.151)
2 (T
t)
N (d2 )
N (d2 )
(12.152)
(12.153)
dengan
d1 =
x + t (k + 1)
p
2t
(12.154)
log (S (t) =K) + 21 2 (T t)
q
=
2 12 2 (T t)
log (S (t) =K) + r + 21
p
(T t)
x + t (k 1)
p
d2 =
2t
2
=
12.4
2
+1
(12.155)
(T
t)
(12.156)
(12.157)
log (S (t) =K) + 21 2 (T t)
q
=
2 12 2 (T t)
log (S (t) =K) + r 21
p
=
(T t)
r
1
2
2
(T
r
1
2
1
2
(12.158)
t)
:
(12.159)
Cara ketiga
Cara ketiga ini disebut risk-neutral pricing atau disebut pula martigale approach. Ini
adalah cara modern untuk mendapatkan rumus Black-Scholes. Perhatikan bahwa pada
cara ketiga ini tidak dipergunakan persamaan diferensial parsial sama sekali. Sebagian
besar isi buku ini ditulis untuk memberi fasilitas agar cara ketiga ini bisa difahami dengan
baik.
Dari bab sebelumnya telah didapat bahwa risk-neutral pricing untuk suatu European
call option dengan exercise price K yang jatuh tempo pada saat T dapat dinyatakan
dengan
~
X (0) = E
=
=
=
V
(T )
1 ~
E [V ]
(T )
1 ~
E [maks fS (T ) K; 0g]
(T )
1 ~
E (S (T ) K)+
(T )
(12.160)
(12.161)
(12.162)
(12.163)
82
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
Untuk menghitung (12:163) dibutuhkan pengetahuan tentang distribusi S (T ) di bawah
P~ : Berikut ini langkah-langkah untuk mencari distribusi S (T ) di bawah P~ : Dari (:::)
~ (t)
dS~ = S~ (t) dW
(12.164)
Di lain pihak, dari
S (t)
S~ (t) =
= S (t) (t)
(t)
1
(12.165)
(t) = ert
(12.166)
didapat
dS~ (t) =
=
(t)
1
(t)
1
dS (t)
dS (t)
S (t) d (t)
1
rS (t) (t)
1
(12.167)
dt
(12.168)
Dari (12:164) dan (12:168) didapat
S (t) d (t)
1
rS (t) (t)
~ (t)
dS (t) = rS (t) dt + S (t) dW
1
~ (t) =
S~ (t) dW
~ (t) =
S (t) (t) 1 dW
Dari (12:171) dan (
(t)
1
(t)
1
dS (t)
dS (t)
(12.169)
dt
(12.170)
(12.171)
) didapat
1
2
S (t) = S0 e(r
2t
)+
~ (t)
W
(12.172)
Pada saat jatuh tempo harga saham menjadi
S (T ) = S0 e(r
ln
~ (T )
Karena W
S (T )
= e(r
S0
S (T )
= r
S0
N
2T
2T
)+
1
2
2
T
~ (T )
W
)+
(12.173)
~ (T )
W
(12.174)
~ (T )
+ W
(12.175)
N (0; T ) dan bila dimisalkan
Y = ln
maka Y
1
2
1
2
r
1 2
T
2
;
2T
S (T )
S0
(12.176)
dengan pdf-nya
2
1
1
f (y) = p
exp 4
2
2 T
y
r
p
1 2
T
2
T
!2 3
5
(12.177)
Dengan tehnik transformasi variabel acak, pdf untuk S (T ) didapat dengan mensubstitusikan y dari (12:176) ke (12:177) dan mengalikan dengan determinan Jacobian
12.5. Cara keempat
83
jJj
@Y
@S (T )
S (0) 1
=
S (T ) S (T )
1
=
S (T )
1
=
S (T )
jJj =
(12.178)
(12.179)
(12.180)
(12.181)
yaitu
2
1
1
f (s (T )) = p
exp 4
2
2 T
=
s (T )
1
p
y
2
1
exp 4
2
2 T
r
p
1 2
T
2
T
!2 3
5 jJj
ln (s (T ) =S0 )
p
r
T
(12.182)
1 2
T
2
!2 3
5
(12.183)
Jadi (12:183) adalah pdf untuk S (T ) di bawah P~ yang akan diapakai untuk menghitung (12:163)
X (0) =
=e
=e
=e
=e
1 ~
E (S (T ) K)+
(T )
rT ~
E [maks (S (T ) K; 0)]
Z 1
rT
maks (s (T ) K; 0) f (s (T )) ds (T )
Z0 1
rT
(s (T ) K) f (s (T )) ds (T )
K
2
0
s(T )
Z1
r
[s (T ) K]
6 1 @ ln s(0)
rT
p
p
exp 4
2
s (T )
2 T
T
K
(12.184)
(12.185)
(12.186)
1
2
(12.187)
3
12
2T
A 7
5 ds (T ) (12.188)
Persamaan (12:188) serupa dengan (12:11) sehingga langkah selanjutnya untuk mendapatkan rumus Black-Scholes (12:19) akan serupa pula.
12.5
Cara keempat
Pada pembahasan sebelumnya telah dimodelkan penentuan harga saham dengan model
binomial. Pada model ini untuk setiap perioda harga saham bisa naik dengan faktor a
dan bisa turun dengan faktor b: Pada saat sekarang harga saham sebesar S0 . Bila M
menyatakan pergerakah harga saham naik ke atas dan B menyatakan pergerakan harga
saham turun ke bawah maka harga saham pada akhir periode 1 adalah salah satu dari
berikut ini
S1 (M ) = aS0
(12.189)
S1 (B) = bS0 :
(12.190)
84
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
Sedangkan harga saham untuk akhir periode ke 2 adalah salah satu dari hal berikut
S2 (M M ) = aS1 (M ) = a2 S0
(12.191)
S2 (M B) = bS1 (M ) = baS0
(12.192)
S2 (BM ) = aS1 (B) = abS0
(12.193)
2
S2 (BB) = bS1 (B) = b S0 :
(12.194)
Misalkan pada money market berlaku tingkat suku bunga sebesar r per periode yang
memenuhi
b<1+r <a
(12.195)
b < er < a:
(12.196)
yang boleh pula diungkapkan dengan
Nilai European call option pada akhir periode 1 dengan exercise price K dide…nisikan
oleh
V1 (!) = (S0 (!)
K)+ = maxfS1 (!)
K; 0g; ! 2 fM; Bg
dengan masing-masing kemungkinan nilainya adalah
V1 (M ) = max f(aS0
V1 (B) = max f(bS0
K); 0g
(12.197)
K); 0g :
(12.198)
Dari hasil ini dapat ditentukan harga European call option pada saat sekarang V0 melalui
penggunaan prinsip replicating portfolio
V0 = e
r
[e
pV1 (M ) + qeV1 (B)]
(12.199)
dengan (~
p; qe) menyatakan risk-neutral probability measure atau martingale probability
measure dan dide…nisikan oleh
er b
a b
a er
qe =
:
a b
p~ =
(12.200)
(12.201)
Tentu saja probability measure (~
p; qe) ini hanya berlaku untuk penggambaran pergerakan
harga saham di risk-neutral world dan tidak berlaku di real world.
Dengan prosedur yang serupa dapat diperoleh nilai option di akhir periode 1 untuk
model Binomial dengan 2 periode
V1 (M ) = e
r
V1 (B) = e
r
[e
pV2 (M M ) + qeV2 (M B)]
[e
pV2 (BM ) + qeV2 (BB)]
(12.202)
(12.203)
12.5. Cara keempat
85
sehingga nilai call option sekarang (12:199) dapat dinyatakan dengan
V0 = e
r
=e
r
=e
2r
=e
2r
[e
pV1 (M ) + qeV1 (B)]
pe e
2
r
[e
pV2 (M M ) + qeV2 (M B)] + qe e
=e
2
pe max fS2 (M M )
=e
2
2
pe max a S0
peqe max fabS0
2r
[e
pV2 (BM ) + qeV2 (BB)]
2
pe V2 (M M ) + peqeV2 (M B) + peqeV2 (BM ) + qe V2 (BB)
peqe max fS2 (BM )
2r
(12.204)
r
2
2
K; 0g + peqe max fS2 (M B)
2
K; 0g + qe max fS2 (BB)
K; 0 + peqe max fabS0
2
K; 0g + qe max b S0
pe max a S0
K; 0g +
(12.206)
(12.207)
K; 0g
(12.208)
K; 0g +
(12.209)
K; 0
(12.210)
2
K; 0 + 2e
pqe max fabS0
(12.205)
2
K; 0g + qe max b S0
K; 0 :
(12.211)
Persamaani (12:211) dapat disederhanakan penulisannya menjadi
2
3
!
2
X
2
V0 = e 2r 4
pej qe2 j max aj b2 j S0 K; 0 5 :
j
j=0
(12.212)
Secara umum untuk model Binomial dengan n periode akan diperoleh
2
3
!
n
X
n
V0 = e nr 4
pej qen j max aj bn j S0 K; 0 5 :
j
j=0
(12.214)
Hasil ini (12:212) dapat diperluas untuk model Binomial dengan 3 periode sehingga
harga European call option pada saat sekarang adalah
2
3
!
3
X
3
V0 = e 3r 4
pej qe3 j max aj b3 j S0 K; 0 5 :
(12.213)
j
j=0
Variabel acak j pada persamaan (12:214) menyatakan jumlah M dari n Bernoulli experiment dengan peluang menghasilkan M adalah pe dan peluang menghasilkan B adalah
qe:
Harga call option (12:214) dapat diurai menjadi dua buah penjumlahan
2
!
k 1
X
n
V0 = e nr 4
pej qen j max aj bn j S0 K; 0 +
j
j=0
3
!
n
X
n
pej qen j max aj bn j S0 K; 0 5
(12.215)
j
j=k
dengan k menyatakan jumlah M yang akan menghasilkan
ak bn
k
S0
sehingga
n
X
j=k
n
j
!
K>0
(12.216)
pej qen
(12.217)
j
86
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
dapat ditafsirkan sebagai peluang call option akan berakhir in-the-money di dalam riskneutral world sehingga porsi dari call option yang akan berakhir out-of-the-money memberikan hasil
2
!
n
X
n
4
pej qen j max aj bn j S0 K; 0 = 0
(12.218)
j
j=k 1
dan (12:215) akan menjadi
V0 = e
nr
n
X
j=k
=e
nr
n
X
nr
S0
n
X
j=k
= S0
n
X
j=k
= S0
n
X
j=k
!
n
j
j=k
=e
!
n
j
n
j
n
j
n
j
!
!
pej qen
pej qen
e
!
r
j
max aj bn
j
aj bn
pej qen
pea
S0
S0
K; 0
a b
nr
e
(12.220)
K
n
X
n
j
j=k
e
n j
(p ) (q )
r
qeb
n j
e
nr
K
n
X
e
nr
K
n
X
n
j
j=k
p =e
r
q =e
r
Cox-Ross-Rubinstein Model
!
!
n
j
j=k
dengan
12.5.1
(12.219)
K
j j n j
j
j
j
j
pej qen
pea
pej qen
!
j
j
pej qen
(12.221)
j
(12.222)
(12.223)
(12.224)
qeb:
(12.225)
Hasil-hasil yang diperoleh sampai dengan persamaan (12:223) akan dipergunakan sebgai
metode untuk penghitungan harga suatu European call option yang jatuh tempo dalam
T tahun dengan exercise price K, harga saham pada saat sekarang S (0) = S0 dan
risk-free anual interest rate r:
Langkah yang mula-mula akan dilakukan adalah pembuatan partisi untuk selang
[0; T ]
0 = t0 < t1 < t2 <
< tn
1
< tn = T
(12.226)
dengan
t = tj
tj
1;
8j = 1; 2; 3;
;n
(12.227)
sehingga didapat
t=
T
:
n
(12.228)
Dengan kata lain selang waktu [0; T ] akan dipecah menjadi n buah anak selang masingmasing selebar t = T =n: Tiap anak selang ini akan diperlakukan sebagai satu periode
seperti yang dimaksud pada pembahasan model binomial diatas.
12.5. Cara keempat
87
Bila pergerakan harga saham mengikuti model Binomial dengan faktor kenaikkan
harga a dan faktor penurunan harga b pada tiap anak selang yang memenuhi
b < er
t
<a
(12.229)
maka harga saham pada saat jatuh tempo adalah
ST = Stn = aj bn
j
S0 :
(12.230)
Variabel j pada persamaan (12:230) adalah variabel acak yang menyatakan jumlah M
(kenaikkan harga saham) dalam n Bernoulli experiments dengan peluang mendapatkan
M untuk tiap selang waktu t dalam risk-neutral world adalah p~: Dengan kata lain
variabel acak j berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p~: Mean dan variansi
dari j adalah
E (j) = n~
p
(12.231)
V ar (j) = n~
pq~:
(12.232)
Dengan ketentuan-ketentuan yang telah digariskan ini maka penentuan harga call
option dapat dilakukan dengan sedikit modi…kasi persamaan (12:223)
!
!
n
n
X
X
n
n
j
n j
nr t
V 0 = S0
(p ) (q )
e
K
pej qen j
(12.233)
j
j
j=k
j=k
!
!
n
n
X
X n
n
= S0
(p )j (q )n j Ke rT
pej qen j
(12.234)
j
j
j=k
j=k
dengan
a er t
er t b
; q~ =
a b
a b
r t
p =e
pea; q = e r t qeb:
p~ =
(12.235)
(12.236)
Selanjutnya Cox, Ross dan Rubinstein memilih nilai a dan b sedemikian rupa sehingga
a=e
t
(12.237)
b=e
r t
(12.238)
dengan adalah volatilitas tahunan dari harga saham. Ide dari pemilihan a dan b yang
demikian adalah bahwa kalau n ! 1 (atau t ! 0) maka harga call option (12:234)
dari model Binomial bisa dibuktikan akan menjadi rumus Black-Scholes
V0 = S0 N (d1 )
Ke
rT
N (d2 )
(12.239)
dengan
ln(S0 =K) + r +
p
T
ln(S0 =K) + r
p
d2 =
T
d1 =
1 2
2
T
1 2
2
T
(12.240)
:
(12.241)
88
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
Dengan kata lain penentuan harga option melalui model Binomial dapat dipergunakan
sebagai aproksimasi dari rumus Black-Scholes. Tentu saja hasil ini harus dibuktikan dan
memang akan dibuktikan disini dengan pemanfaatan the Central Limit Theorem.
Dengan pembandingan bentuk rumus antara (12:234) dan (12:239) maka langkah
selanjutnya tinggal pembuktian melalui Central Limit Theorem bahwa untuk n ! 1
atau t ! 0 akan diperoleh
!
n
X
n
N (d1 ) =
(p )j (q )n j
(12.242)
j
j=k
!
n
X
n
N (d2 ) =
pej qen j :
(12.243)
j
j=k
Akan dibuktikan dulu (12:243) dan dengan prosedur yang serupa bisa dibuktikan (12:242) :
Ruas kanan dari (12:243) tidak lain adalah P (j k)
!
n
X
n
pej qen j = P (j k) :
(12.244)
j
j=k
Bila dilakukan transformasi variabel acak
j E (j)
z=p
V ar (j)
j ne
p
= p
ne
pqe
(12.245)
(12.246)
maka menurut Central Limit Theorem untuk n ! 1 variabel acak z berdistribusi normal
baku N (0; 1) sehingga (12:244) dapat dinyatakan dengan
!
k ne
p
p
P (j k) = P z
:
(12.247)
ne
pqe
Hasil ini bisa disederhanakan dengan pemanfaatan (12:216)
ak bn
k
a
b
k
atau
S0
K>0
>
K
b
S0
(12.248)
n
(12.249)
yang menghasilkan
ln
k>
K
S0
n ln (b)
ln
ln
>
K
S0
(12.250)
a
b
ln e2
ln
>
K
S0
p
n ln e
+n
p
2
t
p
p
t
(12.251)
t
t
:
(12.252)
12.5. Cara keempat
89
Bila (12:252) digabung dengan (12:247) hasilnya adalah
P (j
k) = P
!
k ne
p
p
ne
pqe
z
0
K
S0
ln
B
=PB
@z
(12.253)
p
+n
p
2
1
t
ne
pC
C
A
pt
ne
pqe
(12.254)
p
p 1
+n
t 2 ne
p
t
A
p p
2
t ne
pqe
1
p
t (1 2e
p)
ln SK0 + n
A
p
2
n te
pqe
1
p)
ln SK0 + pT t (1 2e
A:
p
2
T peqe
0
K
S0
ln
= P @z
0
= P @z
0
= p @z
Mula-mula akan dihitung dulu
T
lim p
t
t!0
lalu dihitung
(1
2e
p)
T peqe:
t!0
Untuk itu substitusikan
er t b
a b
er t e
p~ =
=
e
p
t
(12.256)
(12.257)
(12.258)
p
lim 2
(12.255)
(12.259)
(12.260)
p
t
p
e
(12.261)
t
ke dalam (12:258)
T
lim p
t!0
t
T
= lim p
t!0
T
= lim p
t!0
(1
t
t
2
2e
p)
1
2
4
e
= lim T 4 p
t!0
e
(12.262)
2
p
er
e
t
p
t
t
t
t e
2er t
p
t
t
p
t
!
2 er
t
p
e
p
+e
e
t
p
e
p
e
e
p
p
e
p
t
t
3
5
(12.263)
t
e
t
p
t
3
5
(12.264)
(12.265)
90
Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes
dengan penggunaan L’Hopital’s rule didapat
T
lim p
t!0
t
(1
2
2e
p)
= lim T 4
1
2
= lim T 4
e
t!0
2
t!0
(12.266)
1=2
( t)
e
p
t
e
e
p
1
2
p
t
p
t
+
p
p
e
p
e
4r
t
1=2
( t)
t
ter
t
t
e
p
t
+
p
2rer
t
t
p
e
p
1
2
( t)
p
t)
e
1=2
p
p
e
t
t
1
2
+ ( t)
3
t
+ e
1
2(
1=2
t
5
t
1=2
e
p
(12.267)
penggunaan L’Hopital’s rule sekali lagi akan didapat
T
lim p
t!0
t
(1
2
= lim T 4
t!0
=T
=
2e
p)
(12.268)
p
2e
e
p
t
+ e
p
t
+
t
4rer t
p
e
t
8r
p
+ e
ter t
t
+
+
p
p
2e
1
2
t
t
p
e
t
4r + 2 2
4
1 2
r
T:
2
1
2
e
p
t
(12.269)
(12.270)
Sekarang tinggal penghitungan (12:259). Untuk itu akan dihitung dulu
er
lim p~ = lim
t!0
t!0
e
p
t
p
e
t
p
e
t
(12.271)
t
yang dengan L’Hopital’s rule akan diperoleh
rer
lim p~ = lim
t!0 1
2
t!0
= lim
t!0
1=2
( )
rer
e
t
p
t
+
e
t+ e
t
+ e
1
2
p
( t)
t
p
p
+
1
2
1=2
e
( )
p
1=2
t
e
p
t
(12.272)
t
t
1
= :
2
(12.273)
(12.274)
Sehingga (12:259) nlilainya
lim 2
t!0
p
p
T peqe =
T:
(12.275)
Hasil yang diperoleh dari (12:270) dan (12:275) dapat dipergunakan untuk menghi-
3
5
t
3
5
12.5. Cara keempat
tung (12:257) untuk
91
t ! 0 agar the central limit theorem bisa dipergunakan
P (j
2
ln
2
ln
k) = p 4z
= P 4z
2
=N4
=N
"
K
S0
K
S0
+ pT t (1
p
2
T peqe
2
ln
K
S0
2
ln
= N (d2 )
S0
K
r
p
+ r
p
2 T
r
p
2e
p)
1 2
2
T
T
1 2
2
T
T
1 2
2
T
#
3
5
3
5
(12.276)
5
(12.277)
3
(12.278)
(12.279)
(12.280)
dengan N (d2 ) seperti yang dimaksud oleh persamaan (12:243) : Dengan cara yang serupa
bisa pula dibuktikan bahwa N (d1 ) pada persamaan (12:242) akan berlaku.
Dengan demikian lengkaplah sudah pembuktian bahwa harga call option yang berangkat model Binomial (12:234) akhirnya bisa menjadi rumus Black-Scholes (12:239)
bila n ! 1 atau t ! 0: Dalam praktek melalui penghitungan dengan komputer, untuk
n = 256 rumus (12:234) atau (12:220) sudah cukup baik sebagai aproksimasi bagi rumus
Black-Scholes (12:239) :
Kuliah ke 13
Proses Gauss
13.1
De…nisi proses Gauss
Suatu proses Gauss, X (t) ; t 0 adalah suatu proses sotkastik dengan sifat bahwa untuk
0
t1
t2
tn maka X (t1 ) ; X (t2 ) ;
; X (tn ) berdistribusi normal multivariate
dengan pdf gabungan
f (x (t1 ) ; x (t2 ) ;
n=2
; x (tn )) = (2 )
1
2
:j j
exp
1
(x
2
m (t))
1
(x
m (t))0
(13.1)
dengan
adalah matriks variansi-kovariansi
= ( (ti ; tj ))
(ti ; tj ) = E [X (ti )
i; j = 1; 2;
;n
E (X (ti ))] [X (tj )
(13.2)
E (X (tj ))]
(13.3)
dan m (t) adalah moment pertama dari X (t)
0
1
E (X (t1 ))
B
C
..
m (t) = E (X (t)) = @
A
.
0
B
X (t) = @
1
(13.4)
E (X (tn ))
X (t1 )
C
..
A
.
(13.5)
X (tn )
Teorema 13.1 Misal B (t) adalah suatu gerak Brown dan
maka
X (t) =
Z
(t) adalah fungsi non acak
t
(u) dB (u)
(13.6)
0
adalah suatu proses Gauss dengan
m (t) = 0
Z
(ti ; tj ) =
(13.7)
ti ^tj
0
92
(u)2 du
(13.8)
13.1. De…nisi proses Gauss
93
Teorema 13.2 Misal B (t) adalah suatu gerak Brown dan (t) serta h (u) adalah fungsi
non acak. De…nisikan
X (t) =
Z
t
(u) dB (u)
(13.9)
h (u) X (u) du
(13.10)
0
Y (t) =
Z
t
0
Maka Y adalah suatu proses Gauss dengan
Y
my (t) = 0
Z
(ti ; tj ) =
0
ti ^tj
(u)2
Z
v
t
h (y) dy
Z
v
(13.11)
t
h (y) dy dv
(13.12)
Kuliah ke 14
Obligasi
14.1
Pendahuluan
Pada bab ini kita akan mempelajari tentang penentuan harga obligasi. Obligasi adalah
surat berharga yang diterbitkan oleh perusahaan atau pemerintah sebagai surat hutang.
Pemegang surat berharga pada saat jatuh tempo akan menerima sejumlah uang yang
disebut face value.
14.2
Pemodelan
Misal fB (t)g 0 t T adalah suatu gerak Brown di ( ; F; P ) : Misalkan pula harga
saham memenuhi persamaan diferensial stokastik
dS (t) = r (t) S (t) dt + (t) S (t) dB (t)
(14.1)
dengan r (t) dan (t) adalah adapted processes. Dimislkan kita telah menggunakan P
sebagai risk-neutral measure sehingga setiap martingale di bawah P dapat dinyatakan
sebagai suatu integral terhadap B (t) :
De…nisikan faktor akumulasi (t) dengan
Rt
(t) = e
0
r(u)du
(14.2)
Misal P (t; T ) menyatakan nilai dari suatu obligasi pada saat t yang akan jatuh tempo
pada saat T dengan face value pada saat T sebesar Rp1,-. Dengan demikian P (T; T ) = 1:
Menurut risk-neutral pricing
1
jF (t)
(T )
1
~
jF (t)
P (t; T ) = (t) E
(T )
(t)
~
=E
jF (t)
(T )
Z T
~
= E exp
r (u) du jF (t)
P (t; T )
~
=E
(t)
t
94
(14.3)
(14.4)
(14.5)
(14.6)
14.2. Pemodelan
95
Nilai saat ini dari suatu obligasi yang jatuh tempo pada saat T adalah
1
(T )
~
P (0; T ) = E
(14.7)
h
i
~ 1 jF (t) adalah
Perhatikan persamaan (14:4). Bagian dari persaman itu, yaitu E
(T )
suatu martingale di bawah P: Menurut teorema representasi martingale, ada suatu
adapted process (u) sedemikian rupa sehingga dengan menggunakan (14:7) didapat
Z t
1
1
~
~
(u) dB (u)
(14.8)
E
jF (t) = E
jF (0) +
(T )
(T )
0
Z t
1
~
(u) dB (u)
(14.9)
+
=E
(T )
0
Z t
(u) dB (u)
(14.10)
= P (0; T ) +
0
Karena itu persamaan (14:4) dapat dituliskan dengan
Z t
(u) dB (u)
P (t; T ) = (t) P (0; T ) +
(14.11)
0
Bila dipandang persamaan (14:7) sebagai fungsi f (t; B (t)) maka penggunaan rumus Ito
akan menghasilkan
1
dP (t; T ) = ft dt + fB dB + fBB dt
2
= r (t) P (t; T ) dt +
= r (t) P (t; T ) dt +
(14.12)
1
(t) (t) dB (t) + :0:dt
2
(t) (t) dB (t)
(14.13)
(14.14)
Sekarang konstruksikan suatu portfolio yang terdiri dari saham dan tabungan. Bila
kekayaan semula adalah X (0) maka perubahan dari nilai kekayaan pada saat t yang
diakibatkan dari pembentukan portfolio adalah
dX (t) =
(t) dSt + r (t) [X (t)
= r (t) X (t) +
(t) [dS (t)
(t) S (t)]
(14.15)
r (t) S (t) dt]
(14.16)
Dengan menggunakan asumsi (14:1) maka persamaan (14:16) bisa diubah menjadi
dX (t) = r (t) X (t) +
Bila diambil
(t) =
(t) (t) S (t) dB (t)
(t) (t)
(t) S (t)
(14.17)
(14.18)
maka persamaan (14:16) menjadi
dX (t) = r (t) X (t) +
(t) (t) dB (t)
(14.19)
yang bentuknya mirip dengan persamaan (14:14) : Karena itu dapat disimpulkan bahwa
X (t) = P (t; T )
(14.20)
96
Kuliah ke 14. Obligasi
dan
X (T ) = P (T; T ) = 1
Bila r (t) adalah nonrandom 8t; maka
RT
P (t; T ) = e
r(u)du
t
(14.21)
(14.22)
dP (t; T ) = r (t) P (t; T ) dt
(14.23)
dan dengan membandingkannya dengan persamaan (14:14) maka dapat disimpulkan
bahwa (u) = 0 8u; artinya portfolio yang dibentuk hanyalah berupa tabungan, tidak
ada sahamnya. Sehingga bila pada saat t kita mempunyai P (t; T ) dan ditabung maka
pada saat T tabungan kita akan menjadi
Z T
P (t; T ) exp
r (u) du = 1
(14.24)
t
14.3
Model Hull-White
Misal r (t) dpat dimodelkan dengan persamaan diferensial stokastik
dr (t) = [ (t)
dengan (t) ;
Misal
(t) dan
(t) r (t)] r (t) dt + (t) dB (t)
(14.25)
(t) adalah fungsi t yang non acak.
K (t) =
Z
t
(u) du
(14.26)
0
Untuk mendapatkan solusi dari (14:25) ; misalkan
Y = eK(t) r (t)
(14.27)
dan dengan menggunakan (14:25) didapat
dY = d eK(t) r (t)
(14.28)
= eK(t) [ (t) r (t) dt + dr (t)]
(14.29)
= eK(t) [ (t) dt + (t) dB (t)]
(14.30)
Dalam bentuk integral, persamaan terakhir dapat ditulis dengan
Z t
Z t
K(t)
K(u)
e
r (t) = r (0) +
e
(u) du +
eK(u) (u) dB (u)
0
(14.31)
0
Dari persamaan (14:31) solusi dari r (t) bisa didapat
Z t
Z t
K(t)
K(u)
r (t) = e
r (0) +
e
(u) du +
eK(u) (u) dB (u)
0
(14.32)
0
Menurut Teorema 13:1; persamaan (14:31) memperlihatkan bahwa r (t) adalah proses
Gauss dengan
Z t
K(t)
mr (t) = e
r (0) +
eK(u) (u) du
(14.33)
0
Z ti ^tj
K(ti ) K(tj )
e2K(u) (u)2 du
(14.34)
r (ti ; tj ) = e
v
14.3. Model Hull-White
97
RT
Akan dipelajari sifat
0
r (t) dt dengan pertolongan pemisalan
X (t) =
Z
t
eK(u) (u) dB (u)
(14.35)
0
Y (t) =
Z
T
e
K(t)
X (t) dt
(14.36)
0
Dengan pemisalan ini persamaan (14:31) dapat ditulis dengan
r (t) = e
K(t)
r (0) +
Z
t
eK(u) (u) du + e
K(t)
X (t)
(14.37)
0
dan bentuk integralnya
Z
T
r (t) dt =
0
Z
t
e
K(t)
Z
r (0) +
0
t
eK(u) (u) du dt + Y (T )
normal
(14.38)
0
Jadi
Z
T
r (t) dt
Normal, dengan
(14.39)
0
E
Z
mean :
T
r (t) dt
=
0
var
Z
0
Z
t
e
K(t)
r (0) +
T
r (t) dt
(14.40)
t
eK(u) (u) du dt
(14.42)
h
i
= (T; T ) = E Y (T )2
=
Z
0
(14.41)
0
0
variansi :
Z
T
e2K(v) (v)2
Z
(14.43)
2
T
e
K(y)
dy
dv
(14.44)
0
Dengan mengenali bentuk dari fungsi pembangkit momen untuk peubah acak berdis-
98
Kuliah ke 14. Obligasi
tribusi normal1 maka didapat
i
h RT
P (0; t) = E e 0 r(t)dt
Z T
Z
= exp E
r (t) dt + var
0
= exp
1
2
r (0)
Z
T
e
0
Z
T
2K(v)
e
2
(v)
K(t)
Z
0
Z
T
0
=
Z
Bila X
N
0
T
e
K(y)
Z
r (t) dt
0
t
Z
t
e
K(t)+K(u)
T
;
Z
T
u
2
e
K(t)+K(u)
(14.46)
K(t)+K(u)
e
0
2
dy
dv
(u) dudt +
#
(14.47)
A (0; T )] dengan
(14.48)
(14.49)
(u) dudt
0
0
1
T
T
0
0
= exp [ r (0) C (0; T )
Z T
e K(t) dt
C (0; T ) =
A (0; T ) =
dt
Z
(14.45)
(u) dtdu
1
2
Z
1
2
T
2K(v)
e
2
(v)
0
2
T
e
K(y)
dy
dv
0
0
Z
Z
T
2K(v)
e
2
(v)
(14.50)
Z
2
T
e
K(y)
dy
dv
0
maka fungsi pembangkit momen-nya adalah mY (t) = E etY = e(
(14.51)
2 2
t+ 1
t )
2
Daftar Pustaka
[1] Bass, Richard F. (2001), Probability Theory, naskah, Department of Mathematics,
University of Connecticut
[2] — –(2003), The Basic of Financial Mathematics, naskah, Department of Mathematics, University of Connecticut.
[3] Brzezniak, Zdzislaw dan Tamsz Zastawniak (1999), Basic Stochastic Process,
Springer-Verlag.
[4] Capinski, Marek dan Ekkerhard Kopp (2003), Measure, Integral and Probability,
Springer-Verlag.
[5] Hogg, R.V. dan A.T. Craig (1980), Introduction to Mathematical Statistics, Macmillan.
[6] Shreve, Steven E. (1996), Stochastic Calculus and Finance, naskah, Carnegie Mellon
University.
[7] Williams, David (2001), Probability with Martingales, Cambridge University Press.
99
Indeks
, 14
B (R), 16
F-terukur, 22
-aljabar, 13
-aljabar Borel, 16
(X), 22
(C), 15
aljabar, 13
almost surely (a.s), 21
aproksimasi, 28
atom, 22
fungsi himpunan
aditif, 17
terhitung, 17
hampir pasti, 21
himpunan
Borel, 16
kuasa, 14
integral, 26
Lebesque, 19
intrinsict value, 3
Bernoulli
eksperimen, 1
Binomial
model, 1
pohon, 7
Borel
terukur, 22
bunga
suku, 2
jatuh tempo, 3
call, 3
convergence
dominated, 20, 27
monotone, 20, 27
opsi, 3
call, 3
option
European call, 3
ekspektasi
bersyarat, 36
exercise
date, 3
peluang
bersyarat, 35
persamaan diferensial stokastik, 12
portfolio replikasi, 3
price
arbitrage, 5
exercise, 3
strike, 3
probability
risk-neutral, 5, 11
proses stokastik, 43
…ltrasi, 15
fungsi
F-terukur, 22
himpunan, 17
indikator, 19, 26
sederhana, 19, 26
kebebasan
-aljabar, 32
variabel acak, 33
kejadian, 14
martingales, 43
nilai intrinsik, 3
100
INDEKS
proses teradaptasi, 43
rata-rata parsial, 27
replicating portfolio, 3
ruang
probabilitas, 21
sampel, 14
terukur, 17
ukuran, 18
Teorema Radon-Nikodym, 41
titik sampel, 14
tower property, 42
ukuran, 18
Lebesque, 18
probabilitas, 21
variabel acak, 22
101