Judul : Syarat Cukup Prime Near-Ring Merupakan Ring Komutatif

Judul
: Syarat Cukup Prime Near-Ring Merupakan Ring Komutatif
Nama
: Pradita Zuhriahida Triwulandari
Pembimbing : 1. Kartika Sari, S.Si., M.Sc.
2. Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc.
ABSTRAK
Near-ring merupakan generalisasi dari ring. Seiring dengan berkembangnya
penelitian mengenai near-ring, penelitian mengenai prime near-ring turut
dikembangkan oleh sejumlah peneliti, salah satunya adalah penelitian mengenai
derivasi pada prime near-ring. Artikel ini bertujuan untuk mengkaji syarat cukup
bagi prime near-ring merupakan ring komutatif dengan melibatkan derivasi pada
ideal semigrupnya. Metode yang digunakan adalah dengan mengkaji beberapa
literatur terkait. Hasil yang diperoleh adalah prime near-ring
merupakan ring
komutatif apabila derivasi tak nol
pada
memenuhi (i)
,
(ii)
, (iii)
, (iv)
,
(v)
, atau (vi)
, untuk setiap
,
dengan ideal semigrup tak nol dari .
Kata kunci: derivasi, ideal semigrup, prime near-ring, ring komutatif
v
Tittle
: Sufficient Condition Prime Near-Rings are Commutative Rings
Name
: Pradita Zuhriahida Triwulandari
Supervisor
: 1. Kartika Sari, S.Si, M.Sc.
2. Luh Putu Ida Harini, S.Si, M.Sc.
ABSTRACT
Near-rings are generalized rings. A research on near-ring is continous included a
research about prime near-rings and one of them is a research about derivation
on prime near-rings. This article will reviewing about sufficient conditions for
prime near-rings are commutative rings with derivation on their nonzero
semigroup ideal and with literature review technique. The result is prime nearrings
are commutative rings if a nonzero derivation d on N hold one of this
following conditions: (i)
, (ii)
, iii)
, (iv)
, (v)
, (vi)
, for all
, with is nonzero semigroup ideal from .
Keywords: commutative ring, derivative, ideal semigroup, prime near-ring
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR JUDUL ................................................................................................ i
LEMBAR PERSEMBAHAN ............................................................................... ii
LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................ iii
LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. iv
ABSTRAK .......................................................................................................... v
ABSTRACT ....................................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ....................................................................................... vii
BIODATA ALUMNI .......................................................................................... ix
DAFTAR ISI ....................................................................................................... x
DAFTAR ISTILAH ........................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1
Latar Belakang....................................................................................... 1
1.2
Rumusan Masalah .................................................................................. 3
1.3
Batasan Masalah .................................................................................... 3
1.4
Tujuan dan Manfaat Penelitian ............................................................... 3
BAB II KAJIAN PUSTAKA ............................................................................... 5
2.1
Grup ...................................................................................................... 5
2.2
Ring ..................................................................................................... 10
2.3
Near-Ring ............................................................................................ 12
BAB III METODE PENELITIAN ..................................................................... 22
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 23
BAB V SIMPULAN DAN SARAN ................................................................... 78
5.1
Simpulan ............................................................................................. 78
x
5.2
Saran ................................................................................................... 78
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 79
xi
DAFTAR ISTILAH
LAMBANG
■
ARTI
Akhir suatu bukti
A himpunan bagian dari B tetapi A B
elemen (anggota) himpunan A
Semua
dengan syarat
benar
Himpunan semua bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan rasional
Himpunan semua bilangan real
Himpunan semua bilangan bulat
Himpunan semua bilangan bulat positif
Derivasi
yang berlaku pada elemen-elemen
Himpunan semua matriks berukuran 2x2 atas bilangan real
dengan determinan tidak sama dengan nol
Multiplicative center dari near-ring
xii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Aljabar abstrak atau lebih sering dikenal dengan aljabar modern adalah
salah satu cabang ilmu aljabar yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup,
ring atau gelanggang, lapangan atau field, dan modul. Ilmu aljabar abstrak
berkembang pesat karena penerapan dari bentuk-bentuk aljabar tersebut banyak
bermanfaat dalam ilmu lain, seperti bidang fisika, kimia, biologi, dan ilmu
komputer.
Suatu himpunan tak kosong
dan
, ditulis
dinamakan ring atau gelanggang, yang selanjutnya akan
disebut ring saja, apabila himpunan
merupakan grup abelian, himpunan
merupakan semigrup, dan
operasi
dilengkapi dengan operasi
dilengkapi dengan operasi
yaitu
yaitu
memenuhi sifat distributif kanan dan kiri
terhadap operasi
. Near-ring merupakan generalisasi dari ring.
Perbedaannya adalah pada near-ring
dengan operasi pertama yaitu
grup abelian serta
yang dilengkapi dengan dua operasi biner
, himpunan tak kosong
yang dilengkapi
haruslah berupa grup akan tetapi tidak harus
memenuhi salah satu sifat distributif kanan atau kiri
(Pilz, 1983).
Konsep near-ring dapat diterapkan pada beberapa bidang, antara lain
dalam bidang komputasi, yaitu dalam teori kriptografi dan teori pengkodean serta
pada bidang statistika, yaitu balanced incomplete block design atau yang lebih
sering dikenal dengan rancangan acak kelompok tak lengkap seimbang.
1
2
Pada lapangan atau field bilangan real, dikenal istilah derivasi, yaitu suatu
pemetaan
dari lapangan
untuk setiap
ke
yang memenuhi
,
. Derivasi juga bisa dikenakan pada ring. Penelitian
mengenai ring dengan derivasinya bukanlah suatu penelitian yang baru karena
penelitian tersebut telah berlangsung sejak 50 tahun yang lalu (Ashraf, et al.,
2006). Ashraf (2006) membahas tentang berbagai macam derivasi pada ring serta
memberikan beberapa contoh aplikasi derivasi pada ring seperti pada
perkembangan teori klasik Galois dan teori invarian, serta beberapa teori pada
analisis fungsional. Penelitian mengenai derivasi pada near-ring juga telah banyak
dilakukan, antara lain Bell (1987) yang membahas tentang beberapa syarat cukup
near-ring merupakan ring komutatif. Selanjutnya, pada penelitiannya yang lain,
Bell (1992) meneliti tentang dua jenis derivasi, yaitu derivasi yang mengawetkan
sifat komutatif pada ring maupun near-ring dan derivasi Daif. Lebih lanjut lagi,
penelitian mengenai generalisasi pada salah satu jenis derivasi, yaitu
-derivasi
pada near-ring yang melibatkan semigrup idealnya dilakukan oleh Ashraf (2015).
Seiring dengan berkembangnya penelitian mengenai near-ring, penelitian
mengenai prime near-ring juga turut dikembangkan oleh sejumlah peneliti. Prime
near-ring merupakan salah satu jenis near-ring yang memenuhi kondisi apabila
untuk setiap
dengan
berlaku
maka mengakibatkan
atau
,
adalah near-ring (Boua, 2012). Wang (1994) meneliti tentang dua jenis
derivasi yang dioperasikan bersama-sama pada sebuah prime near-ring.
Selanjutnya, Boua (2012) membahas mengenai syarat cukup yang mengakibatkan
3
prime near-ring merupakan ring komutatif dengan melibatkan derivasi pada ideal
semigrupnya dan menghasilkan beberapa teorema.
Pada artikel Boua (2012), proses pembuktian teorema yang dihasilkan
tidak dijelaskan secara detil. Selain itu, contoh yang disajikan hanya contoh
penguat bahwa teorema tidak berlaku apabila near-ring bukanlah prime near-ring.
Oleh sebab itu, penelitian ini akan mengkaji lebih mendalam mengenai beberapa
syarat cukup suatu prime near-ring merupakan suatu ring komutatif dengan
melengkapi bukti-bukti yang telah disajikan Boua (2012) serta memberikan
contoh-contoh.
1.2
Rumusan Masalah
Masalah utama yang akan dibahas pada penelitian ini adalah apakah syarat
cukup suatu prime near-ring merupakan ring komutatif dengan melibatkan
derivasi pada ideal semigrupnya.
1.3
Batasan Masalah
Pada penelitian ini, pembahasan mengenai prime near-ring hanya pada
ring yang berkaitan dengan teorema yang telah dihasilkan oleh Boua (2012).
Selain itu, derivasi yang diaplikasikan adalah derivasi tunggal sesuai definisi.
1.4
Tujuan dan Manfaat Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah yang dikemukakan pada
bagian terdahulu, maka secara umum tujuan penelitian ini adalah untuk
mengetahui syarat cukup bagi suatu prime near-ring merupakan ring komutatif
dengan melibatkan derivasi pada ideal semigrupnya.
4
Manfaat yang dapat diperoleh setelah penelitian ini dilakukan adalah
mendapatkan gambaran mengenai syarat cukup yang diperlukan suatu prime
near-ring merupakan suatu ring komutatif dalam hubungannya dengan derivasi
pada ideal semigrupnya.