TRIGONOMETRI A Nilai Perbandingan

TRIGONOMETRI
1
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A Nilai Perbandingan Trigonometri
Perhatikan segitiga berikut !
Y
y
r
x
=
r
y
=
x
Sin
r
Cos
y
X
O
=
Tan
x
Cosec
Sec
Cotan
r
y
r
=
x
x
=
y
=
Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan
menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.
B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Perhatikan gambar berikut !
45
60
2
1
2
45
1
30
3
1
Sin 30 =
1
2
1
2
1
Sin 60 =
2
Sin 45 =
1
2
1
Cos 45 =
2
1
Cos 60 =
2
Cos 30 =
2
3
1
3
3
Tan 45 = 1
Tan 60 = 3
3
Tan 30 =
2
Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa
0
30
Sin
0
1
2
Cos
1
1
2
Tan
0
1
3
45
3
3
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
60
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
90
3
1
0
3
1
C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
a. Kuadran I (0 < < 90 )
Sin (90 - )
= Cos
Cos (90 - )
= Sin
Tan (90 - )
= Cotan
Cosec (90 - ) = Sec
Sec (90 - )
= Cosec
Cotan (90 - ) = Tan
e. Kuadran III (180 < < 270 )
Sin (270 - )
= - Cos
Cos (270 - )
= - Sin
Tan (270 - )
= Cotan
Cosec (270 - ) = - Sec
Sec (270 - )
= - Cosec
Cotan (270 - ) = Tan
b. Kuadran II (90
Sin (90 + )
Cos (90 + )
Tan (90 + )
Cosec (90 + )
Sec (90 + )
Cotan (90 + )
< < 180 )
= Cos
= - Sin
= - Cotan
= Sec
= - Cosec
= - Tan
f. Kuadran IV (270
Sin (270 + )
Cos (270 + )
Tan (270 + )
Cosec (270 + )
Sec (270 + )
Cotan (270 + )
c. Kuadran II (90
Sin (180 - )
Cos (180 - )
Tan (180 - )
Cosec (180 - )
Sec (180 - )
Cotan (180 - )
< < 180 )
= Sin
= - Cos
= - Tan
= Cosec
= - Sec
= - Cotan
g. Kuadran IV (270 < < 360 )
Sin (360 - )
= -Sin
Cos (360 - )
= Cos
Tan (360 - )
= -Tan
Cosec (360 - ) = - Cosec
Sec (360 - )
= Sec
Cotan (360 - ) = - Cotan
d. Kuadran III (180 < < 270 )
Sin (180 + )
= - Sin
Cos (180 + )
= - Cos
Tan (180 + )
= Tan
Cosec (180 + ) = - Cosec
Sec (180 + )
= - Sec
Cotan (180 + ) = Cotan
< < 360 )
= - Cos
= Sin
= - Cotan
= - Sec
= Cosec
= - Tan
h. Kuadran IV (270 < < 360 )
Sin (- )
= - Sin
Cos (- )
= Cos
Tan (- )
= - Tan
Cosec (- )
= - Cosec
Sec (- )
= Sec
Cotan (- )
= - Cotan
Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut :
Y
Sin
:+
Sin
:+
Cos : Cos : +
Tan : Tan : +
O
Sin
Cos
Tan
:::+
X
Sin
Cos
Tan
::+
:-
Contoh:
(i) Sin 65
= Cos (90 – 65) = Cos 25
(ii) Cos 120
= Cos (180 – 60) = - Cos 60 = -
(iii) Tan 210
= Tan (180 + 30) = Tan 30 =
(iv) Sin 315
= Sin (360 – 45) = - Sin 45 = -
(v) Cos (-60)
= Cos 60 =
1
2
1
3
3
1
2
2
1
2
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
2
D Nilai Periodik
Sin (
Cos (
Tan (
+ k.360 ) = Sin
+ k.360 ) = Cos
+ k.180 ) = Tan
;k
B
Contoh:
(i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360 ) = Sin 40
(ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360 ) = Cos 60
(iii) Tan 480 = Tan (120 + 2. 180 ) = Tan 120
Latihan 1
1. Perhatikan gambar di samping!
Tentukan :
a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A
b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B
C
12
5
B
13
A
2. Jika
lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui :
7
4
a. Sin = 0,5
b. Cos =
c. Tan =
25
3
3. Sin 30 + Tan 60 . Cos 60 = …
Sin45
4.
=…
Cos45
5. Tan 30 + Tan 60 = …
6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = …
7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 !
8. QR = …cm
PQ = …cm
R
12 cm
P
300
Q
9. AB = …cm
C
15 cm
300
A
B
10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut !
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
Sin
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Cos
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Tan
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
3
2
KOORDINAT KUTUB (POLAR)
Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat
titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya
P(r, ) dengan :
r = jarak titik O ke titik P
= sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X
Y
Y
Y
P(x,y)
P(r,
y
O
)
P(r cos
r
x
X
O
r
X
O
, r. sin
)
y
x
X
Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut :
(i) Kartesius
P(x, y)
r=
Tan
Kutub
P(r, )
x2
y2
y
=
x
(ii) Kutub Kartesius
P(r, ) P(x, y)
x = r.cos
y = r.sin
Contoh:
1. Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub !
Jawab:
y 2 = 42 32 5
3
y
Tan
=
=
= Tan -1 0,75 = arc Tan 0,75 = 36,87
0,75
4
x
Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87 ).
r=
x2
2. Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150 ) !
Jawab:
1
3 ) = -2 3
x = r cos
= 4.cos 150 = 4 (2
1
y = r sin
= 4.sin 150 = 4 ( ) = 2
2
Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3 , 2).
Latihan 2
1. Tentukan koordinat kartesius dari :
a. (4, 60 )
c. (8, 300 )
b. (5, 120 )
d. (3 2 , 225 )
2. Tentukan koordinat kutub dari :
a. (1, 3 )
c. (-5 3 , 5)
b. (6, -2 3 )
d (-3 2 , -3 6 )
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
4
3
ATURAN SINUS DAN KOSINUS
A Aturan Sinus
A
c
B
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
b
a
a
sin A
b
sin B
c
sin C
C
Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang lain, jika diketahui :
(i)
sisi, sudut, sudut
(ii)
sudut, sisi, sudut
(iii)
sisi, sisi, sudut
Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30 .
Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !
Jawab:
a
b
c
sin A sin B sin C
a. sin B 15. sin 30 15. 12 15
a
b
0,375
(i)
sin A =
b
20
20
40
sin A sin B
A = sin-1 0,375 = 22
(ii) C = 180 – ( A + B) = 180 - (22 + 30 ) = 180 - 52 = 128 .
b. sin C 20 . sin 128
20 .0,788 15,76
b
c
31,5 cm
(iii)
c=
sin B
sin 30
0,5
0,5
sin B sin C
B Aturan Kosinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui :
(i)
sisi, sudut, sisi
(ii)
sisi, sisi, sisi
Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64 .
Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus !
Jawab:
(i) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
= 202 + 302 – 2(20)(30) cos 64
= 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774
c = 27,8
a 2 c 2 b 2 20 2 (27 ,8) 2 30 2
2
2
2
(ii) b = a + c – 2ac cos B cos B =
2ac
2(20 )( 27 ,8)
B = 75,7
(iii) A = 180 - ( C + B) = 180 - (64 + 75,7 ) = 40,2
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
274
1112
0,25
5
Latihan 3
1. Diketahui ABC , A = 60 , B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm.
Tentukan panjang sisi AC !
2. Pada segitiga DEF, D = 135 , EF = 6 cm, E = 20 .
Tentukan DF, F dan DE !
3. Diketahui ABC dengan A = 60 ,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur
berikut!
a. panjang sisi a
b. besar B
c. besar C
4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = …?
4
LUAS SEGITIGA
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
L
ABC
1
.bc.sin A
2
1
= .ac.sin B
2
1
= .ab.sin C
2
=
Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang
diapitnya.
Rumus luas
L
ABC
ABC jika diketahui ketiga sisinya :
=
s(s a)(s b)(s c)
dengan s =
1
(a + b + c)
2
Contoh:
Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan
B = 30 !
Jawab:
L
ABC
1
ac sin B
2
1
= . 4 . 3 . sin 30
2
1
1
= .4.3.
2
2
= 3 cm2.
=
Latihan 4
1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A !
2. Pada ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka
tentukan luas ABC !
3. Diketahui ABC dengan B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas ABC !
4. Luas ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
6
5
RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
A Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus – rumus :
1. Sin (
) = Sin . Cos + Cos . Sin
2. Sin (
) = Sin . Cos
Cos . Sin
3. Cos (
) = Cos . Cos
Sin . Sin
4. Cos (
) = Cos . Cos + Sin . Sin
Tanα Tanβ
5. Tan (
)=
1 Tan Tan
Tanα Tanβ
6. Tan (
)=
1 Tan .Tan
Contoh:
1. Jika Sin
a. Sin (
b. Cos (
c. Tan (
=
6
dan Cos
10
)
)
)
=
12
dengan
13
dan
sudut lancip, hitunglah :
Jawab:
6
8
6
; Cos =
; Tan =
10
10
8
12
5
5
Cos =
; Sin =
; Tan =
13
13
12
a. Sin (
) = Sin . Cos + Cos . Sin
6 12
8 5
72 40
=
.
+
.
=
10 13 10 13 130 130
b. Cos (
) = Cos . Cos
Sin . Sin
8 12
6 5
96 30
=
.
.
=
10 13 10 13 130 130
Tanα Tanβ
c. Tan (
)=
1 Tan Tan
6 5
112
112 56
= 8 12 = 96
66
6 5
66 33
1
.
96
8 12
Sin
=
112
130
56
65
66
130
33
65
2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 !
Jawab:
Cos 75 = Cos (45 + 30 )
= Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30
1
1
1
1
3
2.
2.
=
2
2
2
2
1
1
6
2
=
4
4
1
2)
= ( 6
4
3. Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25
Jawab:
Cos 110 . Cos 25
Sin 110 . Sin 25 !
Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 =
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
1
2
2
7
4. Jika Tan
a. Sin (
b. Cos (
c. Tan (
Jawab:
=
3
dan Tan
4
)
)
)
=
8
, untuk
15
dan
3
3
4
Sin = ; Cos =
4
5
5
8
8
15
Tan =
Sin =
; Cos =
15
17
17
a. Sin (
) = Sin . Cos
Cos . Sin
3 15
4 8
45 32
= .
.
=
5 17
5 17
85 85
b. Cos (
) = Cos . Cos + Sin . Sin
4 15
3 8
60 24
= .
+ .
=
5 17
5 17
85 85
Tanα Tanβ
c. Tan (
)=
1 Tan .Tan
3 8
45 32 13
60
60
= 4 15
3 8
24
84
1
.
1
4 15
60
60
Tan
sudut lancip, hitunglah nilai :
=
13
85
84
85
13
84
5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o !
Jawab:
Sin 15o = Sin (45o – 30o)
= Sin 45o . Cos 30o Cos 45o . Sin 30o
1
1
1
1
3
2.
2.
=
2
2
2
2
1
1
=
6
2
4
4
1
= ( 6
2)
4
6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o !
Jawab:
Sin 28
Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o = Cos 56o + Sin 56o.
Cos 28
Cos 56 .Cos 28 + Sin 56 .Sin 28
=
Cos 28
Cos(56 28)
Cos 28
1
=
Cos 28
Cos 28
B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Rumus – rumus :
1. Sin 2 = 2.Sin . Cos
2. Cos 2 = Cos2 - Sin2
= 2 Cos2 - 1
= 1 – 2 Sin2
2.Tanα
3. Tan 2 =
1 Tan 2 α
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
8
Contoh:
1. Nyatakan Sin 3
Jawab:
Sin 3 = Sin (2
= Sin 2
= 2.Sin
= 2.Sin
= 3. Sin
= 3. Sin
= 3. Sin
= 3. Sin
ke dalam Sin
!
+ )
. Cos + Cos 2 . Sin
. Cos . Cos + (Cos2 - Sin2 ) .Sin
. Cos2 + Sin . Cos2 - Sin3
. Cos2 - Sin3
(1 – Sin2 ) - Sin3
- 3. Sin3 - Sin3
- 4 Sin3
1
3 , buktikan bahwa Sin 180o = 0 !
2. Dengan menggunakan Sin 60o =
2
Jawab:
Sin 180o = Sin (3 . 60o)
Berdasarkan hasil contoh 1:
Sin 180o = 3. Sin 60o – 4 . Sin360o
1
1
3)–4(
3 )3
=3(
2
2
3
3
3 -4(
3)
=
2
8
3
3
3 3 =0
=
2
2
4
3. Jika Sin =
dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini !
5
a. Sin 2
b. Cos 2
c. Tan 2
Jawab:
4
3
4
Sin =
Cos = dan Tan =
5
5
3
4 3
24
a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2. . =
5 5
25
3
4
9 16
7
b. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = ( )2 – ( )2 =
5
5
25 25
25
4
8
8
2
8 9
24
2.Tanα
3
3
3
c. Tan 2 =
=
2
2
16
7
3 7
7
1 Tan α
4
1
1
9
9
3
C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Rumus – rumus :
1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( 2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( 3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos(
4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( +
)
)
- )
)
Contoh:
1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah !
a. 2.Sin 3 .Cos 2
c. 2.Sin 60o.Cos 30o
b. Cos 8 .Cos 2
d. Cos 105o.Cos 15o
Jawab:
a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 )
= Sin 5 + Sin
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
9
1
[Cos (8 + 2 ) + Cos (8 - 2 )]
2
1
= [Cos 10 + Cos 6 ]
2
c. 2 Sin 60o Cos 30o = Sin (60o + 30o) + Sin (60o - 30o)
= Sin 90o + Sin 30o
1
d. Cos 105o Cos 15o = [Cos (105o + 15o) + Cos (105o - 15o)]
2
1
= [Cos 120o + Cos 90o]
2
2. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini !
a. 2.Sin 75o.Cos 15o
b. 2.Cos 120o.Sin 30o
c. Cos 135o.Cos 15o
Jawab:
a. 2.Sin 75o.Cos 15o = Sin (75o +15o) + Sin (75o - 15o)
1
2
= Sin 90o + Sin 60o = 1 +
2
b. 2.Cos 120o.Sin 30o = Sin (120o +30o) - Sin (120o - 30o)
1
1
= Sin 150o - Sin 90o =
-1=2
2
1
c. Cos 135o.Cos 15o = [Cos (135o +15o) + Cos(135o - 15o)]
2
1
1 1
1
1
3 - ]=
= [ Cos 150o + Cos 120o] = [( 3 1)
2
2 2
2
4
b. Cos 8 Cos 2
=
D Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
Rumus –rumus :
1
1
(A + B) Cos (A - B)
2
2
1
1
2. Sin A - Sin B = 2 Cos (A + B) Sin (A - B)
2
2
1
1
3. Cos A + Cos B = 2 Cos (A + B) Cos (A - B)
2
2
1
1
4. Cos A - Cos B = -2 Sin (A + B) Sin (A - B)
2
2
1. Sin A + Sin B = 2 Sin
Contoh:
1. Nyatakan dalam bentuk perkalian !
a. Sin 7A – Sin 5A
b. Cos 10 + Cos 6
c. Cos x – Cos y
Jawab:
1
1
a. Sin 7A – Sin 5A = 2 Cos (7A + 5A) Sin (7A – 5A)
2
2
= 2 Cos 6A Sin A
1
1
b. (b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos (10 + 6 ) Cos (10 - 6 )
2
2
= 2 Cos 8 Cos 2
1
1
c. Cos x – Cos y = -2 Sin (x + y) Sin (x - y)
2
2
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
10
2. Sederhanakan !
a. Sin 150o + Sin 30o
b. Cos 125o + Cos 55o
Jawab:
c. Cos 200o - Cos 20o
d. Sin 75o - Sin 15o
1
1
(150o + 30o) Cos (150o - 30o)
2
2
1
= 2 Sin 90o Cos 60o = 2.1.
=1
2
1
1
b. Cos 125o + Cos 55o = 2 Cos (125o + 55o) Cos (125o - 55o)
2
2
= 2 Cos 90o Cos 35o = 2.0. Cos 35o = 0
1
1
c. Cos 200o - Cos 20o = -2 Sin (200o + 20o) Sin (200o - 20o)
2
2
= -2 Sin 110o Sin 90o = -2. Sin 110o .1 = -2 Sin 110o
1
1
d. Sin 75o - Sin 15o = 2 Cos (75o + 15o) Sin (75o - 15o)
2
2
1
1
1
2.
2
= 2 Cos 45o Sin 30o = 2.
=
2
2
2
a. Sin 150o + Sin 30o = 2 Sin
Latihan 5
1. Dengan menyatakan 105o = (60o + 45o), tentukan nilai Sin 105o !
3
untuk A sudut lancip, dan Cos B =
5
nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut !
a. Sin (A + B)
b. Cos (B – A)
2. Diketahui Sin A =
3. Diketahui Sin A =
a. Sin 2A
12
untuk B sudut tumpul. Tentukan
13
c. Tan (A – B)
3
untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut!
5
b. Cos 2A
c. Tan 2A
4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15o sebagai rumus jumlah sinus !
5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut !
a. Cos 75o + Cos 15o
b. Sin 75o + Sin 15o
7
4
dan Tan B =
, dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan
24
5
nilai dari bentuk trigonometri berikut !
a. Cos (A – B)
b. Sin (A + B)
c. Tan (A – B)
6. Diketahui Tan A =
7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut !
Cos75 Cos15
Sin7 A Sin3 A
a.
b.
Sin75 Sin15
Sin9 A Sin3 A
8. Diketahui Sin A =
1
, Cos B =
2
3
, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai
2
Cos (A – B) !
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
11
6
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
A Identitas Trigonometri
Idnetitas trigonometri yaitu rumus-rumus yang menghubungkan antara sin , cos , dan tan .
1
1. Cos2 + Sin2 = 1
4. Sec =
Cos
Sin
1
Cos
2. Tan =
5.
Cotan
=
Cos
Tg
Sin
2
2
1
6. 1 + Tan = Sec
3. Cosec =
7. 1 + Cotan2 = Cosec2
Sin
Contoh:
1. Tentukan nilai Cos A, Tan A, Cosec A, Sec A, dan Cotan A jika Sin A =
4
dan A sudut
5
lancip !
Jawab:
Cos2A + Sin2A = 1 Cos2A = 1 - Sin2A
1
1
4
16
9
5
Cos2A= 1 – ( )2 = 1 Cosec A =
=
=
4
Sin A
5
25 25
4
5
9
3
Cos A =
1
5
1
25
5
Sec A =
=
3 3
Cos A
3
A lancip
Cos A =
5
5
1
1 3
4
Cotan =
Tan A 4 4
4
SinA
Tan A =
= 5
3
3 3
CosA
5
5
2. Jika Sin A =
dan 90o < A < 180o ( A tumpul), tentukan Cos A dan Tan A !
13
Jawab:
5
25 144
Cos2A = 1 - Sin2A = 1 – ( )2 = 1 13
169 169
144
12
Cos A =
169
13
12
Karena 90o < A < 180o maka Cos A =
13
5
5
SinA
Tan A =
= 13
12
12
CosA
13
3. Buktikan identitas berikut ini !
a. Tan2A + 1 = Sec2A
b. Tan A . Sin A + Cos A = Sec A
c. (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2 = 2
Jawab:
a. Ruas kiri = Tan2A + 1
Sin 2 A
Sin 2 A Cos 2 A Sin 2 A Cos 2 A
1
=
Cos 2 A
Cos 2 A Cos 2 A
Cos 2 A
1
Sec 2 A = ruas kanan (terbukti)
=
2
Cos A
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
12
b. Ruas kiri = Tan A . Sin A + Cos A
SinA
=
. Sin A + Cos A
CosA
SinA.SinA CosA.CosA
=
CosA
CosA
2
2
Sin A Cos A
1
=
CosA
CosA
= ruas kanan (terbukti)
SecA
c. Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2
= Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos2A + Sin2A - 2 Sin A Cos A + Cos2A
= 2 (Sin2A + Cos2A)
= 2.1 = 2
= ruas kanan (terbukti)
B Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana
a. Sin x = Sin
b. Cos x = Cos
c. Tan x = Tan
x1 =
+ k.360 atau
x2 = (180 - ) + k.360 ; k
x1 =
+ k.360 atau
x2 = - + k.360 ; k
x=
+ k.180 ; k
B
B
B
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari Sin x =
1
;0
2
x
360 !
Jawab:
1
2
Sin x = Sin 30
Sin x =
x1 = 30 + k.360
k = 0 x1 = 30
x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360
k = 0 x2 = 150
HP = {30 , 150 }
2 Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x =
1
;0
2
x
360 !
Jawab:
1
2
Cos 3x = Cos 60
Cos 3x =
(i) 3x1 = 60 + k.360
x1 = 20 + k.120
k = 0 x1 = 20
k = 1 x1 = 140
k = 2 x1 = 260
(ii) 3x2 = -60 + k.360
x2 = -20 + k.120
k = 1 x2 = 100
k = 2 x2 = 220
k = 3 x2 = 340
HP = {20 , 100 , 140o, 220o, 260o, 340o}
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
13
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan 2x =
Jawab:
Tan 2x = 3
Tan 2x = Tan 60o
2x = 60o + k.180o
x = 30o + k.90o
k = 0 x = 30
k = 1 x = 120
HP = { 30 , 120 }
C Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A
3 ;0
x
180 !
Cos B dan Sin A
Sin B
Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah :
1
1
1. Sin A + Sin B = 2 Sin (A + B) Cos (A - B)
2
2
1
1
2. Sin A - Sin B = 2 Cos (A + B) Sin (A - B)
2
2
1
1
3. Cos A + Cos B = 2 Cos (A + B) Cos (A - B)
2
2
1
1
4. Cos A - Cos B = -2 Sin (A + B) Sin (A - B)
2
2
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0
a. Cos 4x + Cos 2x = 0
b. Sin 3x – Sin x = 0
x
360 !
Jawab;
1
1
(4x + 2x).Cos (4x - 2x)
2
2
= 2 Cos 3x.Cos x
Cos 4x + Cos 2x = 0
2 Cos 3x.Cos x = 0
Cos 3x.Cos x = 0
Cos 3x = 0 atau Cos x = 0
 Cos 3x = 0
Cos 3x = Cos 90
(i) 3x1 = 90 + k.360
x1 = 30 + k.120
k = 0 x1 = 30
k = 1 x1 = 150
k = 2 x1 = 270
(ii) 3x2 = -90 + k.360
x2 = -30 + k.120
k = 1 x2 = 90
k = 2 x2 = 210
k = 3 x2 = 330
 Cos x = 0
Cos x = Cos 90
(i) x1 = 90 + k.360
k = 0 x1 = 90
(ii) x2 = -90 + k.360
k = 1 x2 = 270
o
o
o
o
HP = {30 , 90 , 150 , 210 , 270o, 330o}
a. Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
14
1
1
(3x + x) Sin (3x - x)
2
2
= 2 Cos 2x.Sin x
Sin 3x – Sin x = 0
2 Cos 2x.Sin x = 0
Cos 2x Sin x = 0
Cos 2x = 0 atau Sin x = 0
 Cos 2x = 0
Cos 2x = Cos 90
(i) 2 x 1 = 90 + k.360
x 1 = 45 + k.180
k = 0 x1 = 45
k = 1 x1 = 225
(ii) 2 x2 = -90 + k.360
x2 = -45 + k.180
k = 1 x2 = 135
k = 2 x2 = 315
 Sin x = 0
Sin x = Sin 0
(i) x1 = 0 + k.360
k = 0 x1 = 0
k = 1 x1 = 360
(ii) x2 = (180 – 0) + k.360
= 180 + k.360
k = 0 x2 = 180
HP = {0o, 45o, 135o, 180o, 225o, 315o, 360o}
b. Sin 3x – Sin x = 2 Cos
D Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos x + b Sin = c
Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x konstanta dan 0 x 360 .
Untuk menentukan k dan perhatikan hal berikut :
a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )
= k (Cos x.Cos + Sin x.Sin )
= k Cos x.Cos + k Sin x.Sin
Dari persamaan di atas , diperoleh :
k Cos = a
k Sin = b
2
a + b2 = k2 Cos2 + k2 Sin2
= k2 (Cos2 + Sin2 )
= k2 . 1
), dengan k suatu
a2 + b2 = k2 , sehingga k = a 2 b 2
k .Sin
b
k .Cos
a
b
Tan = . Jadi diperoleh dari Tan .
a
Dengan demikian maka :
a Cos x + b Sin x
= k Cos (x - )
dengan k =
Tan
a2
b2
b
=
a
Besarnya sudut tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan
keadaan kuadran di mana berada.
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
15
Contoh:
1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x !
Jawab:
-Cos x + Sin x = k Cos (x - )
a = -1 ; b = 1
= ( 1) 2 (1) 2
2
b
1
Tan =
=
1 ( di kuadran II)
a
1
= 135o
Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o)
k=
a2
b2
2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x !
Jawab:
8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - )
a=8;b=6
k=
a2
b2
82 6 2
100 10
3
( di kuadran I)
4
=
b
6
=
a
8
o
= 36,89
Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89o)
Tan
=
3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x =
1
2
2 ;0
x
360 !
Jawab:
Cos x + Sin x =
1
2
2
a=1;b=1
k=
a2
Tan
=
b2
= 12 12
2
b 1
=
1 ( di kuadran I)
a 1
= 45o
Cos x + Sin x = k Cos (x - )
1
2 Cos (x - 45o) =
2
2
1
2
1
Cos (x - 45o) = 2
2
2
Cos (x - 45o) = Cos 60o
(i) x1 - 45o = 60o + k.360o
x1 = 105o + k. 360o
k = 0 x1 = 105o
(ii) x2 - 45o = -60o + k.360o
x2 = -15o + k. 360o
k = 1 x2 = 345o
HP = {105o, 345o}
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x Jawab:
Cos x - 3 Sin x = 1
a=1;b=- 3
k=
a2
b2
= 12
Tan
=
b
=
a
3
1
(
3) 2
1 3
3 Sin x = 1 ; 0
x
360 !
2
3 ( di kuadran IV)
= 300o
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
16
Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - )
2 Cos (x – 300o) = 1
1
Cos (x – 300o) =
2
o
Cos (x – 300 ) = Cos 60o
(i) x1 - 300o = 60o + k.360o
x1 = 360o + k. 360o
k = 0 x = 360o
(ii) x2 - 300o = -60o + k.360o
x2 = 240o + k. 360o
k = 0 x = 240o
HP = { 240o, 360o}
Latihan 6
1.
Buktikan : Sec A – Cos A = Tan A . Sin A !
2.
Buktikan : Sec2x(1 – Sin4x) – 2 Sin2x = Cos2x !
3.
Tentukan himpunan penyelesaian Sin x =
4.
Diketahui Cos x =
5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x =
1
untuk 0
2
x
1
3 untuk 0
2
x
360 !
360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya !
1
3 untuk 0
3
x
2 !
6.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !
1
a. 2 Sin 2x = 3
b. Cos 2x =
c. 3 Tan 3x = -1
2
1
7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tan x = 1 untuk 0 x 2 !
2
8.
Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0
a. Sin (60o + x) – Sin (60o – x) = 1
b. Sin 5x – Sin x = 0
c. Cos 4x – Cos 2x = 0
x
360 !
9.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0
x
360 !
10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin2x + Sin x – 2 = 0 untuk 0
SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang
x
360 !
17