4.1. definisi parabola

52 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
4.1. DEFINISI PARABOLA
Parabola adalah tempat kedudukan titik (himpunan titik) yang berjarak sama
terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Titik tertentu itu disebut Fokus (F), dan garis
tetap itu disebut Direktrik
Berdasarkan defenisi di atas, kita dapat melukis parabola titik demi titik dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
1.
Tetapkan garis g dan titik F .
2.
Tarik sebuah garis melalui titik F (diperoleh sumbu x) tegak lurus () garis g sehingga garis
ini memotong g di s.
3.
Titik O (0,0) pada garis FS, sehingga OS = OF
4.
Buatlah lingkaran yang berpusat di F dan berjari-jari r  OF
5.
Lakukan seperti langkah 4*) dari titik S sehingga memotong SF di A1.
6.
Buatlah garis tegak lurus SF sehingga memotong busur lingkaran A pada titik B1, B1 adalah
salah satu pada parabola .
7.
Ulangi langkah no. 4, 5, dan 6 untuk mendapatkan titik lain pada parabola.
8.
Setelah beberapa titik ditemukan, hubungkanlah titik itu dengan sebuah kurva yang mulus,
kurva itulah disebut parabola .
Sb. Y
B4
P(x,y)
B3
B2
B1
Sb. X
0
S
A2 A3 A4
A1
F(p,0)
g1
g2
g3
g4
g=-p
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
53
4.2. PERSAMAAN PARABOLA
Sb. Y
- Garis g disebut direktrik
- Titik F(p,0) disebut fokus
P(x,y)
A
- Titik O(0,0) disebut puncak
- FS disebut sumbu simetri
Sb. X
S
0
F(p,0)
- FS = 2p = Parameter
- AB garis yang disebut latus rectum, tegak lurus
sumbu parabola melalui titik F. Panjang latus
g=-p
B
rectum =  4p .
Dari keterangan gambar diatas, dapat diturunkan persamaan parabola sebagai berikut :
Karena FS = 2p, maka eksentritas parabola (e) : e =
FP
=1
PQ
F(p, 0) dan P(x, y)  pada parabola x = g = -p, direktrik PF = QP
( x  p) 2  y 2
Karena  FP  =
 QP  =
=
( x  p) 2  ( y  y) 2
( x  p) 2
Maka titik akan terletak di parabola, jika dan hanya jika :
( x  p ) 2  y 2 = ( x  p) 2
(x – p)2 + y2 = ( x + p )2
x2 – 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2
y2 = 2xp + 2xp
y2 = 4xp
Catatan
1.
Untuk persamaan parabola y2 = 4px
- Jika p  0, parabola terbuka ke kanan
- Jika p  0, parabola terbuka ke kiri
2.
Untuk parabola yang mempunyai F(0,p) dan direktrik y = -p,
maka persamaan parabola x2 = 4py
- Jika p  0, parabola terbuka keatas
- Jika p  0, parabola terbuka kebawah
persamaan parabola dengan puncak O (0,0)
54 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Sketsa grafiknya
1. Parabola y2 = 4px
Sb. Y
Sb. Y
F(-p,0)
Sb. X
Sb. X
F(p,0)
g
g
 x=-p
 x=p
2. x2 = 4py
Sb. Y
g
 y=p
F(0,-p)
F(0,p)
Sb. X
g
 y=-p
Analog :
-
Untuk persamaan parabola dengan dengan puncak (a, b), yaitu : (y – b)2 = 4p (x – a).
Dengan F (p + a, b), sumbu simetri y = b, dan garis direktrik g  x = a – p
-
Untuk parabola denga puncak (a, b), tapi F (a, p + b), Sumbu simetri x = a,
dan garis direktrik L  y = b – p, adalah (x – a)2 = 4p (y – b)
Contoh:
1.
Sb. Y
Gambarlah grafik dari parabola y2 = 8x !
Penyelesaian :
Koordinat puncaknya O (0,0)
4p = 8
p=2
 Titik F(2,0)
Sb. X
Persamaan direktriks g = x = - p
=-2
Sumbu simetrinya y = 0
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
2.
Gambarlah grafik dari parabola 4x2 – 25y = 0 !
Penyelesaian :
4x2 – 25y = 0
Sb. Y
4x2 = 25y
x2 =
25
y
4
(-5,4)
(5,4)
Koordinat puncaknya (0,0)
F  0, 25 
25
4p =
4
 16 
25
p=
16
0
 Titik F(0, 25 )
16
Persamaan direktriks y = -
25
16
Sumbu simetrinya y = 0
3.
Gambarlah grafik dari parabola
a)
y2 – 2y – 4x – 9 = 0 !
b) x2 – 2x – 9 = 4y !
Penyelesaian :
a) y2 – 2y – 4x – 9 = 0
y2 – 2y + 1 – 1 = 4x + 9
(y – 1)2 = 4x + 9 + 1


(y – 1)2 = 4  x 
5

2
 5 
,1
 2 
Puncak parabola  
Parameter : 4p = 4  p = 1
 5
 3 
 , 1)  F   ,1
 2
 2 
Titik fokus F (1 +  
Persamaan direktriks g = x = a – p
= 
3
-1
2
= 
5
2
Persamaan lotus rectumnya x = 
3
2
Sb. X
25
y= 
16
55
56 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Sketsa grafiknya :
 3 
F   ,1
 2 
x
5
2
x2 – 2x – 9 = 4y
b)
x2 – 2x + 1 – 1 = 4y + 9
(x – 1)2 = 4y + 9 + 1


(x – 1)2 = 4  y 


Puncak parabola 1,
5

2
5

2
Parameter : 4p = 4  p = 1
 5
 3
 )  F 1, 
 2
 2
Titik fokus F (1, 1 +  
Persamaan direktriks g = y = b – p
x2 – 2x – 9 = 4y
= 
3
-1
2
= 
5
2
Persamaan lotus rectumnya y = 
 3
F 1, 
 2
l y
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
3
2
3
2
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
4.
57
Carilah persamaan bola yang mempunyai F(0,-2) dan puncaknya O (0,0) dan sebutkan semua sifat dan
gambarnya !
Karena puncaknya O (0,0) dan F(0,-2), maka persamaan parabola adalah
x2 = 4py  x2 = 4 (-2) y
x2 = - 8y
Sifat-sifat parabola ini sebagai berikut :
-
F(0,-2) dan puncak (0,0)
-
Sumbu simetri x = 0
-
Persamaan direktriksnya y = 2
-
Parameternya p = -2
-
Persamaan lotus rectumnya y = -2
-
Panjang lotus rectumnya 4 p = 8
4.3. Garis Singgung
1.
Persamaan garis singgung dengan koefisien arah m pada parabola y2 = 4px
Misalkan persamaan garis y = mx + n menyinggung parabola y2 = 4px
1
(mx + n)2 = 4px
 m2x2 + 2mnx + n2 – 4px = 0
Dengan diskriminan (D) = b2 – 4ac
(2mn – 4p)2 – 4m2n2
Ingat : - Jika D  0, garis g tidak memotong parabola
- Jika D  0, garis g memotong parabola
- Jika D = 0, garis g menyinggung parabola
Jadi, syarat agar garis g menyinggung parabola adalah :
D = b2 – 4ac = 0

(2mn – 4p)2 – 4m2n2 = 0
 4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2 = 0
– 16mnp = - 16p2
n=
 16 p 2
 16mp
n=
p
m
Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap parabola y2 = 4px adalah
y = mx + n
y = mx +
p
m
Analog : Untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola x2 = 4py adalah
y = mx – pm2
58 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Analog
:
Untuk
persamaan
garis
singgung
 y  b 2  4 px  a  adalah (y – b) = m (x – a) +
dengan
gradien
m
pada
parabola
p
m
Begitu pula untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola
 x  a 2  4 p  y  b 
adalah y – b = m (x – a) - pm2
Contoh 14
Carilah persamaan garis singgung pada gradien 2, terhadap (masing-masing gambar grafiknya)
2
a) Parabola y  8 x
2
b) Parabola  x  3  6 y  1
Penyelesaian :
a)
2
Persamaan garis singgung denagan m = 2 pada parabola y  8 x
 y  mx 
p
m
 y  2x 
2
2 (karena 4p = 8, p = 2)
 y  2x  1
Titik singgungnya :
y 2  8x
2 x  12  8 x
4x 2  4x  1  8x  0
4x 2  4x  1  0
2 x  22  0
2
1
1

 x    0, x 
2
2

Untuk x 
1
1
,y=2. +1=2
2
2
1 
,2 
2 
Titik singgungnya 
Focus parabola y  8 x  F 2,0)  puncak 0(0,0,0)
2
Persamaan direktriksnya x = – 2
Panjang latus rectumnya 4 p  8
Persamaan latus rectumnya  x  2
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
59
60 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
2
b) Persamaan garis singgung dengan m = 2 pada parabola  x  3  6 y  1 adalah
y – b = m (x – a) – pm2
y + 1 = 2 (x – 3) – pm2
y + 1 = 2 x  6  ( 6)
y + 1 = 2x
y = 2x – 1
Titik singgungnya didapat dengan proses
x  32  62 x  1  1
x 2  6 x  9  12 x
2
x 2  6 x  9  0   x  3  0
x1, 2  3
Untuk x = - 3, y  2 3  1
= - 7 , titik singging (-3,-7)
Sketsa grafiknya :

Puncak (3,-1)

F  3, 

Panjang lotus rectum 4 p  4  


5

2
3
2
=6

Persamaan direktriksnya
y b p
 1 
=
y = 2x – 1
3
2
y
1
2
1
2
5

F  3, 
2

 x  32  6 y  1
2.
Persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik S(x1,y1)
Misalkan garis singgungnya y = mx + n, maka absis titik singgungnya dapat diperolah
dari persamaan
y2 = 4px
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
(mx + n)2 = 4px
m2x2 +2mnx + n2 = 4px
m2x2 +2mnx + n2 - 4px = 0
m2x2 + (2mn – 4p) x + n2 = 0
karena hanya ada titik singgung, maka absisnya diperoleh ;
x1  
x1  
b
2a
2mn  4 p 
2m 2
x1 
22 p  mn 
2m 2
x1 
2 p  mn
m2
Dan ordinatnya,
y1 = mx1 + n
 2 p  mn 
n
2
 m

y1 = m 
y1 
2 p  mn  mn
m
y1 
2p
m
m 
2p
y1
Sedangkan persamaan garis dengan gradien m adalah y – y1 = m (x – x1), sehingga;
y  y1 
2p
x  x1 
y1
y1  y  y1   2 p  x  x1 
2
yy1  y1  2 p  x  x1  ..................(i)
Titik S (x1, y1) melalui y2 = 4px, sehingga y12 = 4px1................(ii)
Persamaan (i) dan (ii)
yy1 – y12 = 2p (x – x1)
yy1 – 4px1 = 2px – 2px1
yy1 = 4px1 – 2px1 +2px
yy1 = 2p (x + x1), persamaan garis singgung di titik S (x1, y1) pada y2 = 4px
Analog :
Untuk persamaan garis singgung pada parabola (y – b)2 = 4p (x-a)
di titik S(x1,y1) adalah (y – b) (y1 – b) = 2p (x + x1 -2a)
61
62 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Contoh 15:
1.
Carilah persamaan garis singgung di titik (–4,2) pada parabola:
2
a) y   x
2
b) y  8 x
Penyelesaian:
2
a)
Persamaan garis singgun di (–4,2) pada parabola y   x
 yy1  2 p  x  x1 
4 p  1  p  
1
4
 1` 
2 y  1   x  4 
 4
1
2y   x  2
2
1
x  y  2  x  y  4
2
2
b) Persamaan garis singgung di (–4,2) pada parabola y  8 x
 yy1  2 p  x  x1 
4p  8  p  2
2 y  4 x  4
2 y  4 x  16
4 x  2 y  16  0
2x  y  8  0
2.
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(-2,-3) pada parabola y2 = 8x
Penyelesaian :
Misalkan titik singgungnya S(xo, yo),
maka persamaan garis singgung di S pada parabola y2 = 8x
 yy1  2 p ( x  x1 )
y o y  4( x  x o ) , karena 4p = 8
p=2
Karena titik A(-2,-3) pada garis singgung
 3 yo  4(2  xo ) atau 4 xo  3 yo  8 ..............................(i)
Karena S(xo, yo) juga pada parabola y2 = 8x
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
2
 yo  8 xo  xo 
1 2
yo
8
......................................................(ii)
(ii)  (i) 4 xo  3 y o  8
1 2
4 yo   3 yo  8
8

1 2
y o  3 yo  8
2
2
yo  6 yo  16  0
2
yo  6 yo  16  0
 yo  8 yo  2   0
yo = - 8
yo = 2
Untuk
yo = - 8
 xo = 8, diperoleh S1(8,-8)
1 
,2 
2 
Untuk y o = 2  xo = 8, diperoleh S2 
Jadi persamaan garis singgung di S1  8 y  4( x  8)
2 y  x  8


Jadi persamaan garis singgung di S2  2 y  4 x 
1

2
2 y  4x  2
4.4. Garis Normal
Garis normal parabola adalah garis tegak lurus pada garis singgung parabola di titik singgung itu.
Jika SR garis singgung PS  SR, maka PS
garis normal
PS’ = sumbu simetri parabola (sumbu
Normal)
RS’ = sumbu tangens
Persamaan garis singgung di titik S (x1, y1) pada y2 = 4px
yy1 = 2p (x + x1)
63
64 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
koofisien garis singgung =
ms
2p
, karna garis singgung parabola tegak lurus dengan garis normal maka
y1
 mn = - 1
y
2p
 mn = - 1,  mn = - 1
y1
2p
Sehingga diperoleh persamaan garis normal di titik S(x1, y1) pada y2 = 4px adalah;
y  y1  
y1
x  x1 
2p
Contoh 16 :
Diketahui puncak suatu parabola (1,2) dan F(4,2), tentukanlah :
a)
Persamaan parabola tersebut
b) Persamaan garis singgung di (2,6)
c)
Persamaan garis normalnya di (4,0)
penyelesaian :
a)
persamaan parabola dengan puncak (1,2) dengan F(4,2), berarti P = 3
 ( y  2) 2  4.3( x  1)
y 2  4 y  4  12 x  12
y 2  4 y  16  12 x
b) persamaan garis singgung di (2,6) pada parabola (y – 2) = 12 (x – 1) adalah
 yy1  2 p ( x  x1 )
6 y  2.3( x  2)
6 y  6 x  12  0  6 x  6 y  12  0
c)
persamaan garis normalnya di (4,0) adalah
 y  y1 
y1
( x  x1 )
2p
6
y  6   ( x  2)
3
y  2 x  6
y  2 x  2
4.5. Garis Tengah Sekawan
Garis tengah sekawan pada parabola adalah tempat kedudukan titik-titik tengah dari tali busur.
- Jika T1, T2, dan T3 adalah titik tengah tali busur A1B1, A2B2 dan A3B3
- A1B1 // A2B2 // A3B3, maka garis T yang melalui T1, T2, dan T3 disebut garis tengah sekawan
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
B3
B2
B1
T1
T3
T2
A1
A2
A3
65
66 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Persamaan Garis Tengah Sekawan
Misalkan kita ambil persamaan tali busur y = mx + n, dan persamaan parabola
y2 = 4px, sehingga ;
(mx + n)2= 4px
m2x2 + 2mnx +n2 = 4px
m2x2 +2mnx – 4px + n2 = 0
m2x2 + (2mn – 4p)x + n2 = 0
Atau y = mx + n
mx = y – n
yn
m
x
y2 = 4px
 y n

 m 
y2 = 4p 
y2 =
4 py  4 pn
m
m y2= 4py – 4pn
m y2 - 4py + 4pn = 0
y1 + y2 = 
b
a
 4p

 m
=  
=
4p
m
T1 titik tengah A1 B1
yt =
1
 y t  yt 
2
yt =
1 4p


2 m 
yt =
2p
, persamaan garis tengah sekawan sejajar sumbu X
m
Contoh 17 :
1.
2
Diketahui partabola y  2 x dan garis tengah sekawan y = - 1. jika tali busurnya memotong sumbu x
dan membentuk sudut
 , hitunglah besar sudut  !
Penyelesaian :
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
Bab IV : Parabola|
67
y2 = 2x
p=1
y = –1
y
p
m
1 
1
m
m = –1
 = –1
tg  = tg 1350
 = 1350
tg
2.
2
Tentukan persamaan tali busur suatu parabola y  4 x , jika (3,-2) merupakan titik tengah sekawan tali
busur itu !
Penyelesaian :
Misalkan persamaan tali busur
2
y = mx + c, potongkan dengan parabola y  4 x
 y  mx  c
x
yc
m
 yc
y 2  4

 m 
my2 – 4y + 4c = 0
y1 + y2 = 
b
a
y1 + y2 = 
4
m
yt =
2
y1  y 2
2
y1  y 2
 y1 + y2 = - 4
2
y1 + y2 =
4
m
4 
4
m
m=-1
Tali busur melalui (3,-2)
68 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
 y  mx  c
 2  (1)(3)  c
 2  3  c
c 1
 Persamaan tali busur yang dimaksud adalah
 y  mx  c
y = - 1x + 1
y=-x+1
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com