F(x, y) - Blog UB

Matematika Teknik
Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan umum
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
Adalah PD eksak bila ruas kiri adalah
diferensial dari F(x,y)=0

f

f
df
(
x
,y
)
 dx
 dy

0

x 
y

f

f
P

Q


x

y
Maka:

P
f


y
x

y
2

Q

f


x
x

y
2
Jika pesamaan ini adlah PD eksak ,maka:
P
Q

y
x
Maka pesamaan inin adalah PD eksak.
Contoh soal
Selesaikan persamaan diferensial eksak:
(x2 – 4xy – 2y2)dx + (y2 – 4xy – 2x2)dy = 0
Penyelesaian
Misal,
x2 – 4xy – 2y2 = P(x, y) dan y2 – 4xy –2x2 = Q(x, y)
maka
P/y = – 4x – 4y, dan Q/x = – 4y – 4x
jadi ini adalah suatu persamaan diferensial eksak.
Lanjutan
Kita dapat mencari suatu fungsi F(x, y), sehingga:
F/x = P(x, y) dan F/y = Q(x, y)
Maka :
F(x, y) =  P dx = 1/3 x3 – 2x2y – 2y2x + C(y)
Bila kita diferensiir,
maka:
F/y = – 2x2 – 4xy + C’(y) = y2 – 4xy –2x2
Lanjutan
jadi:
F(x, y) = 1/3 x3 – 2x2y – 2y2x + 1/3 y3 = C
Dengan demikian, terdapatlah penyelesaiannya.