D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor

h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
w
5. Diketahui jajargenjang OABC, D adalah titik tengah OA. Buktikanlah
bahwa CD dibagi dua oleh OB dengan perbandingan 1 : 2. Buktikan
juga bahwa OB dibagi dua oleh CD dengan perbandingan 1 : 2.
.d o
Bobot soal: 10
D, E, dan F berturut-turut titik tengah sisi AB, BC, dan CA suatu segitiga ABC.
Buktikanlah bahwa a b c d e f
D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor
B
b
D
O
a
A
Jika a dan b vektor-vektor tak nol dan D sudut di antara vektor a
dan b, maka perkalian skalar vektor a dan b didefinisikan oleh
a ˜ b _a__b_ cos D.
Jika dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, perkalian skalar dua vektor
ini didefinisikan sebagai berikut.
Jika a (a1, a2, . . ., an) dan b (b1, b2, . . ., bn) adalah sebarang vektor
pada Rn, maka hasil kali dalam atau perkalian skalarnya adalah
a˜b
a1b1 a2b2 . . . anbn
100
100
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
m
JJJJG
a. Nyatakan vektor AE dan AD dalam vektor a dan b.
b. Jika M titik potong antara garis AD dan BE, nyatakan vektor
dalam vektor a dan b.
c. Jika perpanjangan garis CM memotong garis AB di titik F,
tentukanlah perbandingan AF : FB.
d. Jika perpanjangan garis DE memotong garis AB atau
perpanjangannya di titik H, tentukan perbandingan AH : HB.
o
.c
C
m
JJJG
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
F-
w
y
.d o
m
(a1, a2, a3) dan b
w
o
Jika a
lic
•
C
(a1, a2) dan b
m
Jika a
o
k
to
bu
y
bu
to
k
lic
C
(b1, b2) vektor-vektor di R2, maka
a ˜ b a1b1 a2b2
•. c
c u -tr a c k
w
w
.d o
w
w
w
w
N
O
W
!
h a n g e Vi
e
N
O
W
XC
er
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
(b1, b2, b3) vektor-vektor di R3, maka
a ˜ b a1b1 a2b2 a3b3
Dalam perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat berikut.
Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k skalar tak nol, maka:
1. a ˜ b b ˜ a
3. k(a ˜ b) (ka) ˜ b a ˜ (kb)
2. a ˜ (b c) a ˜ b a ˜ c
4. a ˜ a _a_2
Dalam buku ini akan dibuktikan sifat 1 dan sifat 3. Untuk sifat-sifat lainnya,
dapat dibuktikan sendiri.
Ambil sebarang vektor a
(a1, a2, a3) dan b
(b1, b2, b3), maka:
Pembuktian sifat 1
a1 ˆi a2 ˆj a3 kˆ dan b b1 ˆi b2 ˆj b3 kˆ
a ˜ b ( a1 ˆi a2 ˆj a3 kˆ )˜( b1 ˆi b2 ˆj b3 kˆ )
Misalkan a
a1 b1 ˆi ˜ ˆi a2 b1 ˆi ˜ ˆj a3 b1 ˆi ˜ kˆ a1 b2 ˆi ˜ ˆj a2 b2 ˆj ˜ ˆj a3 b2 ˆj ˜ kˆ a1 b3 ˆi ˜ kˆ a2 b3 ĵ ˜ kˆ a3 b3 kˆ ˜ kˆ
ˆj ˜ ˆj
kˆ ˜ kˆ
1 dan
karena ˆi, ˆj, dan kˆ saling tegak lurus, maka ˆi ˜ ˆj
karena ˆi ˜ ˆi
ˆi ˜ kˆ
ˆj ˜ kˆ
0
sehingga
a ˜ b a1b1 a2b2 a3b3
b1a1 b2a2 b3a3
b˜a
Jadi, a ˜ b b ˜a.
Ambil sebarang vektor a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3) dan k skalar tak nol, maka :
k(a ˜ b) k(a1b1 a2b2 a3b3)
(ka1b1 ka2b2 ka3b3)
… (*)
(ka1)b1 (ka2)b2 (ka3)b3
(ka) ˜b
Dari persamaan (*), diperoleh
k(a ˜ b) a1(kb1) a2(kb2) a3(kb3) a ˜ (kb)
Perhatikan gambar berikut!
Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor c.
Perhatikan segitiga AOB!
Pada segitiga AOB, cos T c
a
Ÿ _c_ _a_ cos T a
a ˜ b
a b
Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah _c_ A
a
a˜b
b
a˜b
b
T
O
c
C
B
b
Setelah mengetahui panjangnya, kalian dapat pula menentukan vektor
proyeksi tersebut, yaitu:
c
_c_u vektor satuan c
Bab 4 Vektor
101
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
Oleh karena c berimpit dengan b maka vektor satuan c adalah
Jadi, c
a ˜ b b
˜
b
b
a ˜ b
b
2
w
˜b
Sehingga proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor c
a ˜ b
b
2
.b
Contoh
Diketahui vektor a (1, 1, 0) dan b (1, 2, 2). Tentukanlah:
a. besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b
b. panjang proyeksi vektor a pada vektor b
c. vektor proyeksi a pada vektor b
Jawab:
a. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan
vektor b, terlebih dahulu tentukanlah a ˜ b, _a_, dan _b_.
a ˜ b 1 ˜ (1) (1) ˜ 2 0 ˜ 2 1 2 3
_a_
12 ( 1)2 0 2
11
2
( 1)2 2 2 2 2
1 4 4
9 3
_b_
Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah
T, maka:
a ˜ b
3
1
2
cos T a b
2
2 ˜ 3
Didapat T 135°.
b. Misalkan vektor proyeksi a pada b adalah c, maka:
a ˜ b
3
c
1 1
b
3
Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah 1.
c.
Vektor proyeksi a pada b adalah
c c ˜
( 1, 2, 2)
b
1˜
b
3
2
2·
§1
¨ , , ¸
3
3¹
©3
102
102
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
.d o
m
b
b
o
.c
lic
k
c u -tr a c k
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
y
o
c u -tr a c k
.c
4
.d o
m
o
w
w
w
.d o
C
lic
k
to
bu
y
bu
to
k
lic
C
w
w
w
N
O
W
!
h a n g e Vi
e
N
PD
!
XC
er
O
W
F-
w
m
h a n g e Vi
e
w
PD
XC
er
F-
c u -tr a c k
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 90 menit
1. Tentukan a ˜ b, a ˜ (a b), b ˜ (a b), dan sudut antara vektor
a dan b jika:
a. a (2, 1) dan b (3, 2)
c. a (7, 1, 3) dan b (5, 0, 1)
b. a (2, 6) dan b (9, 3)
d. a ( 0, 0, 1) dan b (8, 3, 4)
2. Dari vektor-vektor a dan b pada soal nomor 1, tentukan:
a. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
b. Vektor proyeksi a pada b
c. Panjang proyeksi vektor b pada vektor a
d. Vektor proyeksi b pada a
Bobot soal: 10
Bobot soal: 20
3. Gunakan vektor-vektor untuk menentukan sudut-sudut di bagian
dalam segitiga dengan titik-titik sudut (1, 0), (2, 1), dan (1, 4).
Bobot soal: 10
4. Misalkan, a ˜ b
Bobot soal: 10
5. Diketahui _a_
a ˜ c dengan a z o. Apakah b
4, _b_
lancip D dengan tan D
a. a ˜ b
b. b ˜ a
c? Jelaskan!
2, dan sudut antara vektor a dan b adalah
3
. Tentukanlah:
4
Bobot soal: 10
c. a ˜ (a b)
d. (a b)˜(a b)
6. Diketahui vektor a (7, 6, 4), b (5, 3, 2), dan c (1, 0, 2).
Tentukanlah panjang proyeksi vektor a pada vektor (b c)
7. Diketahui segitiga PQR dengan P(5, 1, 5), Q(11, 8, 3), dan
R(3, 2, 1). Tentukanlah:
o
o
o
d. proyeksi vektor PR pada PQ
a. panjang PR
o
b. panjang PQ
e. luas segitiga PQR
o
o
c. panjang proyeksi PR pada PQ
8. Diketahui vektor a (2, 1, 2) dan b (4, 10, 8). Tentukan nilai x
agar vektor (a xb) tegak lurus pada vektor a.
Bobot soal: 10
Bobot soal: 20
Bobot soal: 10
Olimpiade Matematika SMU, 2000
Bab 4 Vektor
103
.c