Medan Magnet oleh Arus Listrik

Medan Magnet oleh Arus Listrik
Agus Suroso
Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
1 / 24
Materi
1
Hukum Biot-Savart
2
Hukum Ampere
3
Gaya antarkawat berarus
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
2 / 24
Sebelumnya ...
Listrik:
gaya listrik ← medan listrik ← muatan listrik
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
3 / 24
Sebelumnya ...
Listrik:
gaya listrik ← medan listrik ← muatan listrik
Magnet
gaya magnet ← medan magnet.
Muatan magnet selalu ditemukan berpasangan, jadi tidak ada
monopol magnet.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
3 / 24
Lanjutan
Magnet
− arus listrik.
gaya magnet ←
− medan magnet ←
{z
}|
{z
}
|
sudah dibahas
Agus Suroso (FTETI-ITB)
dibahas hari ini
Medan Magnet oleh Arus Listrik
4 / 24
Hukum Biot-Savart
Kuat medan magnet akibat kawat
berarus listrik diberikan oleh hukum
Biot-Savart
~ =
dB
µ0 I d~s × r̂
.
4π r 2
(1)
I : arus listrik,
d~s : potongan kecil penghantar,
~r : vektor posisi titik pengamatan
terhadap potongan penghantar.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
5 / 24
Kawat Lurus
Tinjau potongan kecil berjarak x dari titik O.
Arah B: keluar bidang gambar (sesuai arah d~s × r̂ ).
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
6 / 24
Kawat Lurus
Tinjau potongan kecil berjarak x dari titik O.
Arah B: keluar bidang gambar (sesuai arah d~s × r̂ ).
Dari geometri, diperoleh r = a sec θ dan
x = a tan θ ⇒ ds = dx = a sec2 θdθ. Sehingga
|d~s × r̂ |
ds cos θ
cos θdθ
=
=
.
2
2
r
r
a
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
(2)
6 / 24
Kawat Lurus
Tinjau potongan kecil berjarak x dari titik O.
Arah B: keluar bidang gambar (sesuai arah d~s × r̂ ).
Dari geometri, diperoleh r = a sec θ dan
x = a tan θ ⇒ ds = dx = a sec2 θdθ. Sehingga
|d~s × r̂ |
ds cos θ
cos θdθ
=
=
.
2
2
r
r
a
(2)
Akhirnya, hukum Biot-Savart menghasilkan
Z
kanan
B=
kiri
Agus Suroso (FTETI-ITB)
µ0 I
dB =
4πa
Medan Magnet oleh Arus Listrik
Z
θ2
cos θdθ.
(3)
θ1
6 / 24
Kawat Lurus
Tinjau potongan kecil berjarak x dari titik O.
Arah B: keluar bidang gambar (sesuai arah d~s × r̂ ).
Dari geometri, diperoleh r = a sec θ dan
x = a tan θ ⇒ ds = dx = a sec2 θdθ. Sehingga
|d~s × r̂ |
ds cos θ
cos θdθ
=
=
.
2
2
r
r
a
(2)
Akhirnya, hukum Biot-Savart menghasilkan
Z
kanan
B=
kiri
µ0 I
dB =
4πa
Z
θ2
cos θdθ.
(3)
θ1
Kawat sangat panjang: θ1 = −π/2 dan θ2 = π/2,
µ0 I
sehingga B = 2πa
.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
6 / 24
Cincin
Secara total, medan
R yang tersisa adalah
komponen Bx = dB cos θ.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
7 / 24
Cincin
Secara total, medan
R yang tersisa adalah
komponen Bx = dB cos θ.
Vektor d~s dan ~r selalu tegak lurus,
sehingga
√ |d~s × r̂ | = ds. Nilai
r = a2 + x 2 = a sec θ juga selalu
konstan. Sehingga, hukum Biot-Savart
menghasilkan
Z
µ0 I
µ0 Ia2
ds
.
(4)
Bx =
cos
θ
=
4πr 2
2r 3
| {z }
2πa
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
7 / 24
Cincin
Secara total, medan
R yang tersisa adalah
komponen Bx = dB cos θ.
Vektor d~s dan ~r selalu tegak lurus,
sehingga
√ |d~s × r̂ | = ds. Nilai
r = a2 + x 2 = a sec θ juga selalu
konstan. Sehingga, hukum Biot-Savart
menghasilkan
Z
µ0 I
µ0 Ia2
ds
.
(4)
Bx =
cos
θ
=
4πr 2
2r 3
| {z }
2πa
Medan di pusat cincin: x = 0 ⇒ r = a,
sehingga B = µ2a0 I .
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
7 / 24
Contoh 1
Titik O adalah pusat kelengkungan
bagian yang melengkung.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
8 / 24
Contoh 1
Titik O adalah pusat kelengkungan
bagian yang melengkung.
Bagian kawat yang lurus tidak
menimbulkan medan di O, karena
d~s × r̂ = 0.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
8 / 24
Contoh 1
Titik O adalah pusat kelengkungan
bagian yang melengkung.
Bagian kawat yang lurus tidak
menimbulkan medan di O, karena
d~s × r̂ = 0.
Bagian yang lengkung adalah θ/2π
bagian dari sebuah cincin, sehingga
medan yang ditimbulkannya adalah
θ/2π kali medan magnet akibat cincin.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
8 / 24
Contoh 2
Arah medan yang dihasilkan ketiga
bagian (2 bagian lurus + 1 bagian
lengkung) sama.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
9 / 24
Contoh 2
Arah medan yang dihasilkan ketiga
bagian (2 bagian lurus + 1 bagian
lengkung) sama.
Bagian lengkung adalah 1/4 cincin,
sehingga medan yang ditimbukannya
adalah 1/4 medan akibat cincin.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
9 / 24
Contoh 2
Arah medan yang dihasilkan ketiga
bagian (2 bagian lurus + 1 bagian
lengkung) sama.
Bagian lengkung adalah 1/4 cincin,
sehingga medan yang ditimbukannya
adalah 1/4 medan akibat cincin.
Masing-masing bagian yang lurus
adalah setengah dari kawat lurus yang
sangat panjang, sehingga medan total
keduanya sama dengan medan oleh
kawat lurus yang sangat panjang.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
9 / 24
Contoh 2
Arah medan yang dihasilkan ketiga
bagian (2 bagian lurus + 1 bagian
lengkung) sama.
Bagian lengkung adalah 1/4 cincin,
sehingga medan yang ditimbukannya
adalah 1/4 medan akibat cincin.
Masing-masing bagian yang lurus
adalah setengah dari kawat lurus yang
sangat panjang, sehingga medan total
keduanya sama dengan medan oleh
kawat lurus yang sangat panjang.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
9 / 24
Contoh 3
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
10 / 24
Contoh 4
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
11 / 24
Contoh 5
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
12 / 24
Contoh 6
Medan magnet di dalam solenoide.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
13 / 24
Hukum Ampere
Ingat kembali tentang arah
medan magnet di sekitar
kawat berarus listrik.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
14 / 24
Hukum Ampere
Bukti:
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
15 / 24
Hukum Ampere
Sebelumnya, telah diperoleh medan listrik di sekitar kawat lurus yang
sangat panjang
µ0 I
(5)
B=
2πa
dengan a adalah jarak antara kawat dengan titik yang diukur
medannya.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
16 / 24
Hukum Ampere
Sebelumnya, telah diperoleh medan listrik di sekitar kawat lurus yang
sangat panjang
µ0 I
(5)
B=
2πa
dengan a adalah jarak antara kawat dengan titik yang diukur
medannya.
H
~ · d~l sepanjang lingkaran berjejari a, dengan
Mari hitung nilai B
kawat sebagai sumbu lingkaran.
I
I
µ0 I
~
~
B · d ` = B d` =
(2πa) = µ0 I .
(6)
2πa
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
16 / 24
Hukum Ampere
Sebelumnya, telah diperoleh medan listrik di sekitar kawat lurus yang
sangat panjang
µ0 I
(5)
B=
2πa
dengan a adalah jarak antara kawat dengan titik yang diukur
medannya.
H
~ · d~l sepanjang lingkaran berjejari a, dengan
Mari hitung nilai B
kawat sebagai sumbu lingkaran.
I
I
µ0 I
~
~
B · d ` = B d` =
(2πa) = µ0 I .
(6)
2πa
Ternyata, hasil ini berlaku untuk semua bentuk lintasan tertutup,
sehingga
I
~ · d ~` = µ0 I .
B
Hukum Ampere
(7)
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
16 / 24
Aplikasi 1
Medan magnet di dalam kawat berarus listrik
Untuk r > R, gunakan
loop 1.
Untuk r < R, gunakan
loop 2.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
17 / 24
Aplikasi 2
Medan magnet di dalam solenoide.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
18 / 24
Aplikasi 2
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
19 / 24
Soal 1
Gambar penampang lintang
kabel koaksial. Warna
kuning=konduktor, abu-abu =
lapisan karet. I1 = 1.00 A
keluar bidang gambar dan
I2 = 3.00A masuk bidang
gambar, d = 1.00 mm.
Tentukan B di (a) titik a and
(b) titik b.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
20 / 24
Soal 2
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
21 / 24
Soal 3
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
22 / 24
Gaya Antarkawat Berarus
Dua kawat sangat panjang disimpan
sejajar dan dialiri arus listrik.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
23 / 24
Gaya Antarkawat Berarus
Dua kawat sangat panjang disimpan
sejajar dan dialiri arus listrik.
Kawat 2 menghasilkan medan
~ 2 = µ0 I2 di sekitarnya.
B
2πa
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
23 / 24
Gaya Antarkawat Berarus
Dua kawat sangat panjang disimpan
sejajar dan dialiri arus listrik.
Kawat 2 menghasilkan medan
~ 2 = µ0 I2 di sekitarnya.
B
2πa
Medan B2 ”berinteraksi” dengan arus
listrik pada kawat 1, sehingga timbul
~ 1 = I1 ~` × B
~ 2 pada kawat
gaya Lorentz F
1.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
23 / 24
Gaya Antarkawat Berarus
Dua kawat sangat panjang disimpan
sejajar dan dialiri arus listrik.
Kawat 2 menghasilkan medan
~ 2 = µ0 I2 di sekitarnya.
B
2πa
Medan B2 ”berinteraksi” dengan arus
listrik pada kawat 1, sehingga timbul
~ 1 = I1 ~` × B
~ 2 pada kawat
gaya Lorentz F
1.
Dapat didefinisikan rapat gaya per
satuan panjang kawat sebesar
F
µ0 I1 I2
=
.
`
2πa
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
(8)
23 / 24
Gaya Antarkawat Berarus
Analisis dapat dilakukan sebaliknya:
kawat 1 menimbulkan B1 , lalu
menimbulkan gaya Lorentz pada kawat
2. Diperoleh hasil yang sama.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
24 / 24
Gaya Antarkawat Berarus
Analisis dapat dilakukan sebaliknya:
kawat 1 menimbulkan B1 , lalu
menimbulkan gaya Lorentz pada kawat
2. Diperoleh hasil yang sama.
Jika I1 dan I2 searah, maka kedua
kawat saling menarik, dan sebaliknya.
Agus Suroso (FTETI-ITB)
Medan Magnet oleh Arus Listrik
24 / 24