OPERASI BINER *= 1. Notasi Standart a. N adalah

=* OPERASI BINER *=
1. Notasi Standart
a. N adalah himpunanan bilangan asli. Jadi N = {1, 2, 3, 4, … }.
b. Z adalah himpunan bilangan bulat. Jadi Z = {… , −2, −1, 0, 1, 2, … }.
c. aZ = ⟨𝑎⟩ = { 𝑎𝑧 | 𝑧 ∈ 𝐙}.
d. Zn = Himpunan kelas sisa modulo n.
e. Q adalah himpunan bilangan rasional.
f. Q+ adalah himpunan bilangan rasional positif.
g. Q* adalah himpunan bilangan rasional tidak negatif.
h. R adalah himpunan bilangan riil.
i. R+ adalah himpunan bilangan riil positif.
j. R* adalah himpunan bilangan riil yang tidak nol.
k. C adalah himpunan bilangan kompleks.
l. Mn(R) adalah himpunan matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang elemennya bilangan riil.
m. Mm×n (R) adalah himpunan matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 yang elemennya bilangan riil.
n. 𝑆𝑛 adalah himpunan semua permutasi di 𝐴 = {1, 2, 3, … , 𝑛}.
2. Operasi Biner. Apa itu operasi biner?
Pada prinsipnya sudah banyak operasi biner yang dikenal oleh setiap orang diantaranya
adalah penjumlahan (+), pengurangan (– ), perkalian (×) dan pembagian (÷). Kesemuanya
ini adalah operasi bilangan pada bilangan riil R. Lafal “bi” pada biner memberikan makna
dua yang artinya dalam menggunakan operasi itu selalu melibatkan dua buah unsur. Lebih
spesifik dalam menjumlahkan pasti melibatkan dua buah unsur bilangan, misalnya 2 + 5.
Secara matematika apa itu operasi biner dituliskan sebagai berikut.
Definisi.
Misal G adalah suatu himpunan yang tidak kosong. Sebuah operasi biner " ∗ " di G adalah
suatu fungsi (tentunya namanya *) dengan domain 𝐺 × 𝐺 dan kodomainnya adalah G.
Penulisan lainnya adalah ∗: 𝐺 × 𝐺 → 𝐺.
3. Pendefinisian operasi Biner.
Selidiki apakah berikut ini mendefinisikan sebuah operasi biner apa tidak.
a. Operasi * dengan 𝑎 ∗ 𝑏 = min {𝑎, 𝑏} untuk a, b di Z+ .
b. Operasi * dengan 𝑎 ∗ 𝑏 = min {𝑎, 𝑏} untuk a, b di Z .
c. Operasi & dengan 𝑎&𝑏 = max {𝑎, 𝑏} untuk a, b di Z+ .
d. Operasi & dengan 𝑎&𝑏 = max {𝑎, 𝑏} untuk a, b di Z.
e. Operasi # dengan 𝑎#𝑏 = 𝑎 untuk a, b di Z.
f. Operasi # dengan 𝑎#𝑏 = 𝑏 untuk a, b di Z+.
g. Operasi $ dengan 𝑎 $ 𝑏 = rata − rata{𝑎, 𝑏} untuk a, b di Z .
h.
i.
j.
k.
Operasi @ dengan 𝑎@𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 1 untuk a, b di R.
Operasi % dengan 𝑎%𝑏 = 𝑎𝑏 + 1 untuk a, b di Q.
Operasi ♥ dengan 𝑎♥𝑏 = 2𝑎 − 𝑏 + 1 untuk a, b di Z.
Operasi ♥ dengan 𝑎♥𝑏 = 2𝑎 − 𝑏 + 1 untuk a, b di Z+.
4. Sifat operasi biner.
Sebuah operasi biner * di pada himpunan G dikatakan:
a. komutatif jika berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 untuk setiap a, b di G.
b. asosiatif jika berlaku (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) untuk setiap a, b, c di G.
Jika pada sebuah himpunan suatu operasi * berlaku sifat asosiatif maka tanda kurung
boleh tidak dituliskan.
5. Perhatikan kembali pada item Nomor 3 di atas. Untuk operasi-operasi yang merupakan
operasi biner selidiki mana operasi yang bersifat komutatif atau tidak dan mana yang bersifat
asosiatif atau tidak.
6. Misal G adalah sebuah himpunan yang telah dilengkapi sebuah operasi biner *. Sebuah unsur
(sebut i) di G dikatakan unsur identitas jika 𝑖 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑖 = 𝑥 untuk semua unsur x di G.
Contoh.
Pada himpunan bilangan riil R dengan operasi jumlah “+”. Sudah diketahui secara baik
bahwa 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0 = 𝑥, untuk semua 𝑥 ∈ 𝐑. Dengan demikian bilangan 0 ini merupakan
unsur identitas penjumlahan pada himpunan bilangan riil R.
Pada himpunan bilangan riil yang tidak nol R* dengan operasi kali “×”. Telah dikenal dengan
baik bahwa 1 × 𝑎 = 𝑎 × 1 = 𝑎 untuk semua 𝑎 ∈ 𝐑∗ . Dari sini dapat dikatakan bahwa “1”
adalah unsur identitas perkalian di R*.
7. Kembali lagi pada item Nomor 3 di atas. Tentukan (bila ada) unsur identitas dari masingmasing himpunan sesuai dengan operasinya.
8. Himpunan Bilangan Bulat Z = {… , −3, −2, −1,0, 1, 2, 3, … }. Pada Himpunan bilangan bulat
telah dikenal operasi-operasi +, −, ×, ÷ . Sekarang coba selidiki apakah sifat asosiatif,
komutatif, unsur identitas, dipenuhi apa tidak pada sistim:
a. (Z, +).
b. (Z, −).
c. (Z, ×).
d. (Z, ÷).
Lengkapi tabel berikut.
No Sistim Komutatif (Y/T) Asosiatif (Y/T) Unsur identitasnya
(Z, +)
(Z, −)
(Z, ×)
(Z,÷)
9. Sudah dikenal dengan baik bahwa 4 + (−4) = −4 + 4 = 0, misal ini pada R. Sudah
diketahui di depan bahwa 0 adalah unsur identitas pada untuk operasi + di R. Lebih
lengkapnya bilangan 0 ini dinamakan identitas penjumlahan. Bilangan −4 di atas dinamakan
invers jumlah dari 4. Hal ini juga berlaku sebaliknya bahwa 4 adalah invers jumlah dari −4.
Pada hal lain dikenal juga bahwa 1 adalah unsur identitas untuk perkalian di R. Selain itu
1
1
1
juga berlaku bahwa 4 × 4 = 4 × 4 = 1. Bilangan 4 ini dinamakan invers perkalian dari 4.
1
Sebaliknya juga berlaku bahwa 4 adalah invers perkalian dari 4.
Secara umum pengertian invers adalah sebagai berikut.
Misal G adalah sebuah himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner " ∗ " dengan unsur
identitasnya adalah "𝑖". Diketahui juga bahwa a adalah elemen di G. Sebuah unsur 𝑏 ∈ 𝐺
disebut invers dari jika: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑖. Perlu dipertegas kembali bahwa b itu invers dari
a terhadap operasi ∗.
10. Kembali pada item Nomor 3. Dari himpunan yang diberikan beserta operasinya selidiki
apakah unsur-unsur di dalam himpunan memiliki invers? Bila iya coba tentukan invers dari
unsur-unsurnya.
11. Misal A adalah sebuah himpunan yang tidak kosong. Sebuah permutasi di A adalah sebuah
bijetktif (fungsi yang satu-satu dan pada) dengan domain A dan kodomain A.
Contoh.
Diketahui sebuah himpunan 𝐴 = {1,2,3}. Dengan menganggap baris pertama adalah domain
dan baris kedua adalah kodomain maka gambar berikut ini adalah sebuah permutasi.
1 2 3
Sebuah permutasi di A adalah 𝛼 = � ↓ ↓ ↓ �. Permutasi 𝛼 ini juga bisa dituliskan lebih
2 1 3
1 2 3
singkat yaitu 𝛼 = �
� = (1 2). Hal ini berarti 𝛼(1) = 2, 𝛼(2) = 1 dan 𝛼(3) = 3.
2 1 3
Latihan.
Sebagai latihan tentukan lima buah permutasi di A yang selain 𝛼 tersebut. Selanjutnya
masing masing berikan nama 𝛽, 𝛾, 𝛿, 𝜀, 𝜌. Kemudian himpunlah menjadi sebuah himpunan
yaitu 𝑆3 = {𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, 𝜀, 𝜌}.
12. Sekarang perhatikan himpunan 𝑆3 di atas dan di dalamnya didefinisikan sebuah operasi
komposisi "o". Lengkapilah tabel komposisi dari unsur-unsur 𝑆3 berikut.
o
𝛼
𝛽
𝛾
𝛿
𝜀
𝜌
𝛼
𝛽
𝛾
𝛿
𝜀
𝜌
Dari tabel di atas selidiki hal-hal berikut ini.
a. Apakah operasi komposisi berlaku sifat komutatif?
b. Apakah operasi komposisi berlaku sifat asosiatif?
c. Apakah ada unsur identitasnya? Tentukan bila ada.
d. Tentukan pasangan masing-masing inversnya bila ada.
13. Tentukan semua permutasi di himpunan 𝐴 = {1, 2, 3, 4}. Selidiki berlakunya sifat asosiatif,
komutatif, adanya unsur identitas, invers setiap unsur untuk operasi biner komposisi “o” pada
himpunan 𝑆4 .