bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Permasalahan
Salah satu formula dalam teori bunga telah diusulkan pada abad
kesembilan belas oleh seorang aktuaris dan ahli matematika Inggris bernama
William Makeham. Formula dari William Makeham tersebut menyatakan bahwa
harga obligasi dapat dibagi menjadi dua komponen yaitu nilai sekarang dari
pelunasan (present value of redemption value) dan nilai sekarang dari bunga
(present value of interest), di mana nilai sekarang dari bunga tersebut merupakan
rasio dari tingkat suku bunga kupon (atau tingkat suku bunga kupon yang
dimodifikasi) dengan tingkat suku bunga valuasi yang kemudian dikalikan dengan
selisih antara pelunasan dan nilai sekarang dari pelunasan (Makeham, 1874).
Formula Makeham tersebut sering digunakan di masa lalu (Hossack dan
Taylor, 1975; Astrup Jensen, 1999), akan tetapi formula Makeham tersebut pada
dasarnya diabaikan di bidang keuangan dan ilmu aktuaria dalam kasus tingkat
suku bunga yang fluktuatif di setiap periode, meskipun formula tersebut secara
langsung dapat menyediakan hubungan yang penting antara nilai aset,
keseluruhan bunga dan profitabilitas ekonomi yang dinyatakan sebagai rasio dari
tingkat suku bunga pengembalian dengan tingkat suku bunga valuasi. Penggunaan
formula tersebut hanya mencakup pada aset dengan tingkat suku bunga
pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang konstan.
1
Formula yang lebih umum dari formula Makeham sangat dibutuhkan agar
dapat diterapkan untuk kasus investasi berupa pinjaman perusahaan dengan
tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi berfluktuasi
secara periodik dan fluktuasi tersebut akan berpengaruh kuat terhadap nilai
sekarang dari komponen bunga, dan pada akhirnya juga akan berpengaruh kuat
terhadap nilai sekarang dari aliran arus kas dan nilai sekarang bersih (Net Present
Value). Selanjutnya tingkat suku bunga kupon obligasi dapat digantikan dengan
tingkat suku bunga pengembalian pinjaman dan selisih antara pelunasan dan nilai
sekarang dari pelunasan obligasi digantikan dengan selisih antara jumlah yang
dipinjamkan dan nilai sekarang dari pembayaran pokok (Kellison, 2009).
Dengan menggeneralisasikan formula Makeham, maka hubungan yang
penting antara nilai aset, keseluruhan bunga dan profitabilitas ekonomi berlaku
untuk investasi berupa pinjaman, sehingga dapat ditentukan seberapa besar
profitabilitas ekonomi dari investasi berupa pinjaman perusahaan dan pada
akhirnya seorang manajer keuangan dari suatu perusahaan yang mempunyai
kelebihan dana dan akan menginvestasikan dana tersebut dalam bentuk pinjaman
kepada perusahaan lain yang sedang membutuhkan kucuran dana dapat
mengambil keputusan yang benar dalam memilih investasi yang akan
memberikan keuntungan optimal bagi perusahaannya dari berbagai macam
alternatif investasi berupa pinjaman yang ditawarkan.
Estimasi pergerakan tingkat suku bunga merupakan salah satu kunci yang
terpenting dalam pengambilan keputusan investasi berupa pinjaman perusahaan
karena perusahaan yang akan berinvestasi mengharapkan imbal hasil yang tinggi,
2
dan hal tersebut pasti dipengaruhi oleh tingkat suku bunga yang berlaku. Pada
kenyataannya, seringkali pergerakan tingkat suku bunga yang fluktuatif di setiap
periode merupakan proses stokastik sehingga untuk mengestimasinya diperlukan
suatu model tingkat suku bunga stokastik.
Model tingkat suku bunga stokastik yang akan digunakan dalam penelitian
ini adalah model Cox-Ingersol-Ross (CIR) di mana model tersebut menjamin
estimasi tingkat suku bunga yang tidak bernilai negatif. Model CIR merupakan
model short rate yang bebas resiko. Model tersebut mempunyai sifat mean
reversion yang merupakan kecenderungan tingkat suku bunga untuk kembali
menuju rata-rata tingkat suku bunga dalam jangka waktu yang panjang.
Di dalam model CIR terdapat beberapa parameter yang harus diestimasi
dengan menggunakan data historis sehingga akan didapatkan hasil estimasi yang
mendekati data yang sebenarnya. Metode yang akan digunakan untuk
mengestimasi parameter adalah metode kuadrat terkecil bersyarat (conditional
least-squares estimation) dimana pada metode tersebut parameter model CIR
akan diestimasi dari observasi pada titik waktu yang berinterval sama. Selanjutnya
hasil estimasi parameter model CIR tersebut digunakan untuk mengestimasi
tingkat suku bunga sehingga seorang manajer keuangan dari perusahaan yang
akan melakukan investasi berupa pinjaman perusahaan akan mendapatkan
informasi yang dapat membantu untuk memilih tawaran investasi berupa
pinjaman perusahaan yang dapat memberikan keuntungan paling optimal.
Berdasarkan latar belakang permasalahan tersebut, berikut ini penulis
rumuskan beberapa permasalahan yang menjadi kajian dalam penelitian ini, yaitu:
3
1. Bagaimana estimasi tingkat suku bunga model CIR.
2. Bagaimana konstruksi formula umum Makeham untuk tingkat suku
bunga pengembalian yang berfluktuasi secara periodik dan tingkat
suku bunga valuasi yang konstan.
3. Bagaimana konstruksi formula umum Makeham untuk tingkat suku
bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang berfluktuasi
secara periodik.
4. Bagaimana aplikasi formula umum Makeham untuk memilih tawaran
investasi berupa pinjaman perusahaan yang dapat memberikan
keuntungan optimal bagi perusahaan.
1.2
Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengestimasi tingkat suku bunga model
CIR
dan
menggeneralisasikan
formula
Makeham
agar
penggunaannya
memungkinkan untuk investasi berupa pinjaman perusahaan dengan tingkat suku
bunga pengembalian yang berfluktuasi secara periodik dan tingkat suku bunga
valuasi yang konstan serta tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku
bunga valuasi yang berfluktuasi secara periodik.
Penggeneralisasian
formula
Makeham
tersebut
diharapkan
dapat
digunakan untuk membantu seorang manajer keuangan dalam memilih tawaran
investasi yang dapat memberikan keuntungan optimal bagi perusahaan.
Pada konteks akademik penelitian ini dimaksudkan untuk memenuhi salah
satu syarat dalam meraih gelar Master bidang Matematika pada Program Studi S2
4
Matematika FMIPA UGM, sedangkan pada konteks praksis penelitian ini
dimaksudkan untuk memperkaya khazanah riset bidang ilmu aktuaria dan
keuangan di Indonesia.
1.3
Tinjauan Pustaka
Di dalam tulisan Astrup Jensen B. (1999), formula Makeham digunakan
dalam perhitungan pada investasi obligasi, di mana laba atas investasi obligasi
berasal dari tiga sumber, yaitu pembayaran bunga, keuntungan modal yang sudah
diperoleh dan keuntungan modal yang masih harus dibayar. Diberikan deskripsi
tentang bagaimana keuntungan modal dapat ditentukan berdasarkan hukum
akuntansi untuk mengukur keuntungan modal yang sudah diperoleh dan sifat
teoritis dari aturan tersebut.
Lee J. Bain dan Max Engelhardt (1992) menjelaskan tentang ekspektasi
dan variansi dari variabel random serta ekspektasi dan variansi bersyarat dari
variabel random. Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert (1991) menjelaskan
tentang pengertian dari sebuah fungsi dan contoh dari fungsi.
Richard Brealey, Myers Stewart, dan Marcus Alan (2012) menjelaskan
mengenai pengertian dari pemilihan investasi dan langkah-langkah yang
digunakan dalam pengambilan keputusan investasi. Metode Net Present Value
(NPV) dan Internal Rate of Return (IRR) diperkenalkan sebagai metode yang
sering digunakan untuk menilai profitabilitas rencana investasi.
5
Irham Fahmi (2012) menjelaskan pengertian dari investasi, tujuan
investasi, dan bentuk investasi yang dapat dipilih dalam aktivitas investasi yang
meliputi investasi riil dan investasi keuangan.
Formula Makeham sering digunakan di masa lalu, diantaranya oleh I. B.
Hossack dan G. C. Taylor (1974). Dalam tulisannya, mereka menggeneralisasi
formula Makeham untuk valuasi dari sekuritas. Formula Makeham digeneralisasi
dengan mempertimbangkan dampak dari pajak terhadap bunga dan dampak dari
pajak keuntungan modal. Selain itu, formula Makeham digeneralisasi untuk
pinjaman yang dilunasi dengan sinking funds kumulatif.
Stephen
G.
Kellison
(2009)
memperkenalkan
konsep
mengenai
pengukuran tingkat bunga yang meliputi fungsi akumulasi dan jumlah, tingkat
suku bunga efektif, bunga majemuk dan nilai sekarang dari investasi. Fima C.
Klebaner (2005) menjelaskan tentang definisi dari suatu filtrasi, proses stokastik
dan proses stokastik yang teradaptasi pada filtrasi.
Lawrence A. Klimko dan Paul E. Nelson (1978) menggunakan estimasi
kuadrat terkecil bersyarat yang merupakan prosedur estimasi untuk observasi
yang bersifat dependen berdasarkan pada minimalisasi jumlahan deviasi kuadrat
yang mengenai ekspektasi bersyarat untuk permasalahan estimasi pada model
stokastik.
Carlo Alberto Magni (2013) menggeneralisasikan formula Makeham
untuk tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat suku bunga valuasi yang
berfluktuasi di setiap periode. Average Interest Rate (AIR) dan Average Valuation
Rate (AIR) diperkenalkan. Profitabilitas ekonomi dari aset atau portofolio dilihat
6
dari selisih antara AIR dan AVR yang mempunyai tanda sama dengan Net Present
Value (NPV).
W. C. Makeham (1874) menyatakan bahwa harga obligasi dapat dibagi
menjadi dua komponen yaitu nilai sekarang dari pelunasan (present value of
redemption value) dan nilai sekarang dari bunga (present value of interest), di
mana nilai sekarang dari bunga tersebut merupakan rasio dari tingkat suku bunga
kupon (atau tingkat suku bunga kupon yang dimodifikasi) dengan tingkat suku
bunga valuasi yang kemudian dikalikan dengan selisih antara pelunasan dan nilai
sekarang dari pelunasan.
Robert L. McDonald (2006) menjelaskan mengenai definisi dari proses
Wiener (gerak Brown). Ludger Overbeck dan Tobias Ryden (1997) menggunakan
metode kuadrat terkecil bersyarat (conditional least-squares estimation) untuk
mengestimasi parameter didalam model CIR, dimana model tersebut digunakan
untuk mengestimasi tingkat suku bunga.
Robert S. Pindyck dan Daniel L. Rubinfeld (1991) menjelaskan bahwa
pada proses autoregresif orde 1 (AR(1)) pengamatan 𝑦𝑡 dibentuk dari rata-rata
tertimbang pengamatan-pengamatan masa lalu sebanyak 1 periode ke belakang
dengan gangguan acak pada periode 𝑡.
Steven E. Shreve (2004) menjelaskan tentang definisi dari fungsi
himpunan peluang, field, dan 𝜎-field. Selain itu, Shreve juga menjelaskan tentang
pengertian dari variabel random yang meliputi variabel random diskrit dan
variabel random kontinu.
7
1.4
Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian Tesis ini adalah studi pustaka
yang dilakukan dengan cara mengkaji literatur yang disajikan dalam bentuk buku
serta jurnal baik yang diperoleh dari perpustakaan ataupun yang diambil dari
internet yang berkaitan dengan paper Ludger Overbeck dan Tobias Ryden (1997)
dan Magni C. A. (2013). Dalam penelitian ini akan lebih difokuskan untuk
menentukan estimasi dari tingkat suku bunga model CIR dengan terlebih dahulu
menentukan parameter yang terdapat dalam model CIR yang terdapat dalam paper
Ludger Overbeck dan Tobias Ryden (1997) dan memberikan bukti secara
mendetail dari proposisi yang terdapat dalam paper Magni C. A. (2013) serta
memberikan contoh studi kasus perhitungan numeriknya.
Penelitian ini dimulai dengan menentukan ekspektasi, variansi, dan
parameter model CIR. Selanjutnya kita mengkonstruksi formula umum Makeham
untuk tingkat suku bunga pengembalian yang berfluktuasi secara periodik dan
tingkat suku bunga valuasi yang konstan dan dilanjutkan dengan mengkonstruksi
formula umum Makeham untuk tingkat suku bunga pengembalian dan tingkat
suku bunga valuasi yang berfluktuasi secara periodik. Bagian terakhir dalam
penelitian ini adalah dengan memberikan contoh aplikasi perhitungan numerik
dengan menggunakan formula umum Makeham untuk mengetahui seberapa besar
profitabilitas ekonomi dari investasi berupa pinjaman perusahaan yang
ditawarkan.
8
1.5
Sistematika Penulisan
Dalam Tesis ini hasil penelitian akan dibagi menjadi lima bab. BAB I
memberikan penjelasan tentang pendahuluan yang berisi tentang latar belakang
dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi
penelitian dan sistematika penulisan. BAB II menyajikan teori-teori dasar
mengenai fungsi, teori peluang, field, variabel random, proses stokastik,
ekspektasi dan variansi, ekspektasi dan variansi bersyarat, estimasi kuadrat
terkecil bersyarat, proses Wiener, persamaan diferensial stokastik, integral Ito,
proses Markov, pengukuran tingkat bunga, model autoregresif 1, formula
Makeham, investasi dan pemilihan investasi. BAB III berisi langkah-langkah
untuk mendapatkan ekspektasi, variansi, dan parameter model tingkat suku bunga
CIR dengan menggunakan metode kuadrat terkecil bersyarat dan proposisi dalam
pengkonstruksian formula umum Makeham yang disertai dengan pembuktiannya
serta definisi yang dapat mendukung pemahaman pembaca. BAB IV berisi
estimasi parameter dan tingkat suku bunga model CIR dengan menggunakan data
historis serta penggunaan formula umum Makeham untuk mengetahui seberapa
besar profitabilitas ekonomi dari investasi berupa pinjaman perusahaan dalam
sebuah studi kasus. BAB V berisi kesimpulan dan saran.
9