Soal Latihan Bab 1-MA2231 KPB-2009/2010

MA2231 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Semester II Tahun 2009/2010
Dosen: Hendra Gunawan & Janny Lindiarni
Soal Latihan Bab 1
1. Buatlah sketsa lengkungan yang dinyatakan oleh fungsi vektor berikut. Bila mungkin, peroleh terlebih dahulu hubungan antara peubah x = x(t) dan y = y(t) dengan mengeliminasi
parameter t. Beri tanda panah untuk menyatakan orientasi pada lengkungan tersebut.
(a) ḡ(t) = (t + 1t , t − 1t ), t > 0.
(b) f¯(t) = (t cos t, t sin t), t ≥ 0.
2. Misalkan suatu partikel bermuatan q bergerak dengan kecepatan v̄(t) = (2t, 3t2 , 0) pada medan
magnet homogen B̄ = (1, 0, 0). Tentukan fungsi vektor F̄ (t) = qv̄(t) × B̄ yang menyatakan
besarnya gaya yang bekerja pada partikel tersebut.
3. Tentukan persamaan garis dalam ruang yang melalui titik (1, −1, 2) dan tegak lurus terhadap
bidang −2x + 3y = 5.
4. Diketahui ū(t) = (t, t2 , t3 ) dan v̄(t) = (et , cos t, sin t). Carilah
(a) (ū · v̄)0 , dan
(b) (ū × v̄)0 .
5. Diketahui fungsi vektor F̄ (t) = (t, f (t)). Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan
F̄ di titik F̄ (t0 )
(a) sebagai persamaan vektor, dan
(b) sebagai persamaan Cartesius.
6. Suatu partikel pada mulanya bergerak menelusuri lengkungan r̄(t) = (et , e−t , cos t), namun
setelah t = 1 meninggalkan lengkungan tadi dan mengikuti garis singgungnya. Tentukan
posisi partikel tersebut pada saat t = 2. (Anda tidak harus menentukan persamaan garis
singgungnya.)
7. Suatu partikel bergerak di ruang dengan laju konstan. Buktikan bahwa vektor kecepatan dan
percepatannya selalu saling tegak lurus. (Catatan. Jika v̄(t) menyatakan kecepatan, maka laju
l(t) = kv̄(t)k.)
8. Diketahui partikel bergerak dengan kecepatan v̄(t) = (cos t, sin t). Tentukan posisi partikel
tersebut pada setiap saat bila diketahui pada saat t = 0 partikel tersebut berada di (0, 0).
9. Sebuah partikel bergerak menurut persamaan r̄(t) = (t, t2 ). Tentukan
(a) lajunya pada setiap saat, dan
(b) panjang lintasan yang ditempuhnya dari t = 0 sampai t = 1.