Document

Pertemuan 8 & 9
Distribusi Probab Multivariat
Distr Multivar untuk Kombinasi Linier
Uji Hipotesis Kesamaan Mean
Distribusi Normal Multivariat
Ingat V.R .Univariat
Variabel random univariat X berdistribusi normal dengan mean
dan varians
X mempunyai fungsi kepadatan peluang (probability density
function) pdf sbb
Plot pdf ini berbentuk lonceng simetri
Kurtosis = keruncingan
Skewness = kemiringan
Plot pdf univariat (berbentuk lonceng simetri)
VR. bivariat
dengan pdf
dimana
Karena
maka
Plot pdf distribusi normal bivariat
O
x1
X1
x2
X2
Plot contur (grafik dimensi tiga diproyeksikan kedalam
dimensi dua)
Perhatikan bentuk kuantitas pada univariat
diperluas untuk kuantitas multivariat sebagai berikut
Sehingga distribusi variabel random multivariat dituliskan dalam
bentuk
X berdistribusi normal p variat dengan vektor mean
dan matrik covarians
Kontur (Contour)
Untuk densitas normal p variat, path dari x dengan tinggi
konstan adalah ellipsoida
Atau densitas normal multivariat konstan pada luasan dimana
jarak
adalah konstan. Path ini disebut kontur
Jadi , kontur densitas probabilitas konstan untuk distribusi
normal p dimensi adalah ellipsoida yang didefinisikan melalui x
sedemikian hingga
Ellipsoida ini berpusat di
dimana
dengan sumbu-sumbu
Hasil
Jika
definit positif, maka terdapat invers
, sehingga
Distribusi multivariat untuk
kombinasi linier pada variabel
Misalkan
Pandang kobinasi linier
Mean sampel dari
Varians sampel dari
adalah
adalah
maka distribusi kombinasi linier
adalah
Bukti
dimana nilai observasi pada trial ke-j adalah
Dan n observasi diberikan oleh
Sehingga n observasi ini memililiki
Karena
maka diperoleh
Jika terdapat kombinasi linier lainnya
dengan
maka covarians sampel antara
dan
adalah
Selanjutnya, misalkan terdapat q buah kombinasi linier
q buah kombinasi linier AX mempunyai vektor mean sampel
dan matriks covarians sampel ,
Maka q kombinasi linier AX berdistribusi normal, yaitu
Contoh
dan misalkan pula diberikan dua buah kombinasi linier
dan
Observasi pada kombinasi linier tersebut diperoleh dengan mengganti
dan
dengan nilai observasinya. Misalnya untuk
observasi pada
adalah
Maka untuk kombinasi linier
memiliki berturut-turut
Dengan cara serupa untuk
Maka
Sedangkan
observasi pada kombinasi linier
Metoda lain (dengan menggunakan rumus langsung)
Terlebih dahulu hitung vektor mean sampel dan matriks covarian sampel
Kombinasi linier
mean sampel
varians
sampel
Kombinasi linier
Teorema 1
Jika
, maka kombinasi linier
juga berdistribusi normal ,yaitu
(Bukti serupa dengan bukti pada sampel)
Teorema 2
Jika
maka
berdistribusi
Teorema 3
Jika
maka q kombinasi linier
berdistribusi normal , yaitu
Teorema 4
dan jika dibuat partisi sebagai berikut
Jika
maka
Jika
TEOREMA
Jika
dan
.
maka distribusi bersyarat untuk
adalah normal
bila diberikan
dengan
dan
TEOREMA
Jika
, maka
berdistribusi chi-square dengan derajat bebas
dinotasikan
Distribusi Normal multivariat bersyarat
dengan
&
(Cov ini tidak bergantung pd variabel bersyaratnya)
adalah fungsi distribusi marginal dari
Analog, diperoleh
UJI HIPOTESIS : Ratio Likelihood &
LAMDA WIKS
Uji perbandingan Likelihood (Likelihood Rasio Test)
vs
Tolak
jika
dimana
disebut Wilks Lamda
Lemma 1
dimana
Lemma 2
versus
Untuk uji perbandingan likelihood
ditolak bila
Hal ini ekivalen dengan
berdistribusi
Jadi
ditolak bila
kecil
atau
ditolak bila
kecil
besar
sedangkan
Contoh
Ujilah hipotesis
, dengan
versus
Solusi
atau
maka
tidak dotolak
Contoh 2
Keringat dari 20 laki-laki sehat dianalisis, diukur tiga komponen
Hasil pengukuran memberikan
Ujilah hipotesis
dengan
vs
Jawab
.
Jadi
ditolak