bab 1 pendahuluan - Blog Dosen ITATS

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1.
PEMBAGIAN, PERPANGKATAN, DAN AKAR
1.1.1. PEMBAGIAN
a
 c (baca: a dibagi b sama dengan c),
b
artinya a  b.c (a sama dengan b kali c). Dari notasi a, b, c ini memiliki kemungkinan:
Suatu pembagian di notasikan dengan
1. Jika b  0 maka
0
 0 karena 0  b.0
b
a
a
 tak punya arti karena andaikan saja  m maka a  0.m dan
0
0
tampak bahwa tidak ada nilai m yang memenuhi.
2. Jika a  0 maka
3.
4.
0
0
 bentuk tak tentu karena andaikan saja  n maka 0  0.n berarti nilai n yang
0
0
memenuhi tidak tunggal.
a
 0 , dengan a adalah bilangan berhingga.

Contoh:
1.
0 1 1
 
2 2 2
3.
3 0 1 3 1 9  4 13
    

4 6 3 4 3
12
12
2.
2 1
1 1
  0 
 2
2 2
4.
1 1 2
  1
2 2 2
1.1.2. PERPANGKATAN
Diketahui suatu bilangan a  R (baca bilangan real) maka berlaku a m .a n  a m  n ,
demikian juga dengan:
( a m ) n  a m.n
a 0
(a.b) n  a n .b n
am
 a mn
an
a m 
a  0 dan berhingga  a 0  1
1
1
am
Contoh:
7 .7  7
2
3
(5 )  5
5
2 3
66
 6 6 4  6 2  36
4
6
6
1.1.3. AKAR
Jika n bilangan bulat positif yang memenuhi a m  b , maka a disebut akar ke m
1
n
dari b. Sehingga dapat ditulis a  b atau a  b , sifat-sifat dari akar yaitu sebagai
berikut:
m
(m b ) n  a
m
ab  m a .n b
m
a ma

b mb
m n
a  m.n a
Contoh:
1.
5 5 5
2. Merasionalkan:
6
4  3 24  6 3 24  6 3 24 6 3
6




.

16  3
13
13 13
4 3 4 3 4 3
 32 

3. Menyederhanakan:  5

 243 
1
2
2
Hasilnya dapat dirasionalkan menjadi
1.2.
1
1
1
1 2
1
1
 5 15  2 
5.  2


2  
  32  5 
 2 5 
 2 2
 
     35      3     3  
  243  


  






3
.
3
3

2
3
6 1

6
3
3
PERKALIAN ISTIMEWA
Segitiga Pascal:
a  b 0
1
1
1
1
3
a  b 1  a  b
1
2
a  b 2
1
3
1
 a 2  2ab  b 2
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 2
1
dst….
2
Contoh:
a.
a  3b 2
 a 2  2a  3b    3b   a 2  6ab  9b 2
b.
a  b 3  a 3  3a 2  b   3a b 2   b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
2
PERKALIAN ISTIMEWA:
1.
a  b a  b   a 2  b 2
2.
a  b a 2  ab  b 2   a 3  b 3
3.
a  b a 3  a 2 b  ab 2  b 3   a 4  b 4
4.
a  b a 4  a 3b  a 2 b 2  ab 3  b 4   a 5  b 5
5.
a  b a 2  ab  b 2   a 3  b 3
6.
a  b a 4  a 3b  a 2 b 2  ab 3  b 4   a 5  b 5
URAIAN:
1.3.
 


a x  i a ;
1.
x
2
a  x a x a
2.
x
2
a  xi
 
i  1
GONIOMETRI DAN FUNGSI KUADRAT
1.3.1. GONIOMETRI
Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini:
C

k
B
A
Maka dapat dituliskan rumus-rumus trigonometri sebagai berikut:
sin k 
AB
AC
AB
BC
AC
BC
, cos k 
, tg k 
, ctg k 
, sec k 
, cosec k 
,
BC
AB
BC
AB
AC
AC
3
dengan tg k 
1
sin k
cos k
1
1
, ctg k 
, tg k 
, sec k 
, cosec k  sin k dan
sin k
cos k
ctg k
cos k
2
2
2
berlaku dalil Pythagoras yaitu: AC  AB  BC .
Berikut ini tabel nilai trigonometri dari sudut -sudut istimewa:
Sudut Sinus
Cosinus
Tangent
Cotangen
Secan
cosecan
00
0
1
0
~
1
~
300
1
2
1
3
2
1
3
3
2
3
3
2
450
1
2
2
1
2
2
1
600
1
3
2
1
2
900
1
0
1800
0
-1
3
1
2
2
1
3
3
2
2
3
3
~
0
~
1
0
~
-1
~
3
Rumus-rumus trigonometri yang lain:
sin 2 k  cos 2 k  1 ;
1  tg 2 k  sec 2 k ;
sin( k  l )  sin k cos l  cos k sin l ;
tg ( k  l ) 
1  ctg 2 k  cosec 2 k
cos( k  l )  cos k cos l  sin k sin l
tg k  tg l
;
1  tg k . tg l
Sin 2x = 2 sin x cos x;
cos 2x = cos 2 x - sin2 x;
cos 2x = 1 – 2 sin2 x;
tg 2 x 
cos 2x = 2 cos 2 x – 1;
2 tg x
.
1  tg 2 x
Contoh:
1.sin 75 0 = sin (450 + 300) = sin 45 0 cos 300 + cos 45 0 sin 300

1
1
1
1 1
2.
3
2. 
2
2
2
2 4
4


6 2 .
2. sin 3x = -4 sin3x +3 sin x
3. cos 3x= 4 cos 3x - 3 cos x
Berikut ini akan diberikan ilustrasi tentang segitiga dengan siku -siku istimewa:
C
C
2
1
2
2
2
1
3
450
300
A
C
B A
600
B
1
A
B
1
1.3.2. FUNGSI KUADRAT
Sebelum membahas tentang fungsi kuadrat, d ibahas terlebih dahulu tentang Persamaan
Kuadrat (PK) yaitu persamaan yang secara umum dituliskan sebagai berikut:
ax 2  bx  c  0; a  0
Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan denga n berbagai macam cara, diantaranya:
1. Dengan pemfaktoran (Faktorisasi)
yaitu penyelesaian yang mengubah ax 2  bx  c  0 menjadi:
c
b
, k . l  , sehingga didapatkan penyelesai an
a
a
2
untuk persamaan kuadrat ax  bx  c  0 adalah x1  k , x2  l .
ax 2  bx  c   x  k  x  l  dengan k  l 
2. Dengan menggunakan rumus “a,b,c”
Jika penyelesaian PK-nya dengan menggunakan pemfaktoran
penyelesaian maka dapat menggunakan rumus “a,b,c”.
tidak menghasilkan
Akar-akar x1 , x2 dari persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 dengan menggunakan rumus
“a,b,c” adalah:
x1 , 2 
 b  b 2  4ac
2a
5
b D
dimana D  b 2  4ac adalah diskriminan. Dari
2a
kemungkinan D yang ada dapat dis impulkan bahwa:
atau dapat ditulis dengan x1 , 2 
a. jika D  0 maka PK mempunyai 2 akar real berlainan. ( x1  x2 )
b. jika D  0 maka PK mempunyai 2 akar real sama. ( x1  x2 )
c. jika D  0 maka PK tidak mempunyai akar real.
Pada penyelesaian ini juga berlaku untuk x1  x 2 
b
c
dan x1 .x 2  .
a
a
Contoh:
Dapatkan akar-akar penyelesaian dari PK dibawah ini dengan menggunakan pemfaktoran dan
rumus “a,b,c”:
x 2  2x  3  0
x 2  2 x  3  ( x  1)( x  3) , sehingga
b
 2 dan
x1  1, x2  3 . Untuk mengecek kebenaran akar -akar PK ini adalah x1  x 2  2,
a
c
untuk x1 .x 2  3,  3 .
a
Dengan
menggunakan
pemfaktoran
didapatkan
Sedangkan dengan menggunakan rumus “a,b,c” didapatkan:
 2  2 2  4.1.( 3 )  2  4  12  2  16  2  4

,


2 .1
2
2
2
adalah x1  1, x2  3 .
x1 , 2 
sehingga
penyelesaian nya
Suatu fungsi kuadrat y  ax 2  bx  c, a  0 grafiknya berupa parabola dengan:
b
D
 b
1. Puncak P  ,  dengan sumbu simetri x  
, D  b 2  4ac
2a
 2a 4a 
2. jika a > 0  parabola terbuka ke atas dan Ymin  
D
.
4a
3. jika a < 0  parabola terbuka ke bawah dan Ymax  
6
D
.
4a
4. jika D > 0  y memotong sb x di dua titik yang berlainan
5. jika D = 0  y menyinggung sb x
6. jika D < 0  y tidak memotong sb x
7. Fungsi kuadrat disebut definit positif jika grafik seluruhnya berada di atas sb . x, syaratnya :
a > 0 dan D < 0.
8. fungsi kuadrat disebut definit negati f jika grafik seluruhnya berada dibawah sb. x, syaratnya:
a < 0 dan D < 0.
Contoh:
1. Lukis grafik y  2 x 2  x  3
Penyelesaian:
a  2  0  grafik terbuka ke atas
Perpotongan dengan sumbu x, ( y  0)  2 x 2  x  3  0  ( x  1)( 2 x  3)  0  x1  1, x 2 
3
.
2
Perpotongan dengan sb. y , ( x  0)  y  3 .
Sumbu simetri: x  
b
( 1) 1

 .
2a
2( 2) 4
Sedangkan
untuk
D  b 2  4ac  ( 1) 2  4( 2)( 3)  25
b
D
 1 25 
P(  , )  P ,  .
2a 4a
4 8 
Grafik Penyelesaian
8
6
sumbu y
4
2
y
0
-3
-2
-1
-2
0
1
2
3
-4
sumbu x
7
dan
puncaknya
adalah
2. Lukis grafik y  2 x  x 2
Penyelesaian:
a  1  0  grafik terbuka kebawah. Memotong sb. x di (0,0) dan (2,0) dan memotong sb. y di
(0,0); sb. simetri: x = 1. Untuk D  b 2  4ac  ( 2) 2  4( 1)(0)  4 sedangkan puncaknya P(1,1).
grafik penyelesaian
sumbu y
-2
-1
1.5
1
0.5
0
-0.5 0
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
1
2
3
y
sumbu x
1.4 GEOMETRI ANALITIK DASAR
1.4.1. GARIS LURUS
1
Jarak dari A( x A , y A ) ke B( x B , y B ) adalah AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
A( x A , y A )
B( x B , y B )
2. Persamaan eksplisit garis lurus y  mx  n ( m = koefisien arah/bilangan arah).
a
3. Persamaan implisit garis lurus ax  by  c  0 dengan bilangan arah m   .
b
4. Jarak dari A( x A , y A ) ke garis lurus ax  by  c  0 adalah d 
ax  by  c  0
d
A( x A , y A )
8
ax A  by A  c
a2  b2
.
5. Persamaan garis lurus melalui dua titik A( x A , y A ) dan B( x B , y B ) adalah
6. Persamaan garis lurus melalui A( a , o ) dan B( o, b ) adalah
y  yA
x  xA

yB  y A xB  x A
x y
 1
a b
Y
B( o, b )
A( a , o )
X
0
7. Garis lurus g : ax  by  c  0 dengan bilangan arah m1 , garis lurus h : px  qy  r  0
dengan bilangan arah m2 .
Maka supaya g // h, syaratnya : m1  m2 , sedangkan supaya g  h syaratnya : m1 .m2  1 .
Sedangkan untuk g memotong h, syaratnya : m1  m2 dan g berimpit dengan h, syaratnya
a b c
  .
p q r
1.4.2. LINGKARAN
1. Persamaan lingkaran pusat O(0,0) jari -jari a adalah x 2  y 2  a 2 .
2. Persamaan lingkaran pusat P(a,b) jari-jari r adalah ( x  a ) 2  ( y  b ) 2  r 2
1
1
3. Lingkaran x 2  y 2  Ax  By  C  0 mempunyai pusat di P(  A, B ) , jari-jari
2
2
1 2 1 2
r
A  B C
4
4
Contoh:
Dapatkan titik pusat dan jari -jari lingkaran: x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 :
Penyelesaian: A = -2, B = -4, C = 1
9
1
1
Titik pusat di P(  A, B )  P(1,2) dengan jari-jari
2
2
1 2 1 2
1
1
r
A  B C 
( 2 ) 2  ( 4 ) 2  1  4  2
4
4
4
4
1.4.3. PARABOLA
Parabola adalah tingkat kedudukan titik -titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik
dan sebuah garis yang tertentu. Titik itu disebut fokus; garis itu disebut direktriks.
Y
P
Q
y
S
F
0
gx
R
X
1
p
2
1
Ambil SR = sb x.; SF = p; OS = OF = ½ p. F ( p ,0)  fokus; P(x,y) pada parabola.
2
Pada  siku-siku PFR:
2
2
PF  PR  FR
(x 
2
1 2
1
p)  y 2  ( x  p)2
2
2
x 2  px 
1 2
1
p  y 2  x 2  px  p 2
4
4
Atau: y 2  2 px ; p = parameter parabola
Jika puncak parabola (a,b) dan sumbu simetri tetap // sb x, maka persamaan parabolanya
adalah: ( y  b ) 2  2 p( x  a ) .
10
1.4.4. ELLIPS
Elips adalah tempat kedudukan titik -titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu
tetap nilainya.
y
Px, y 
x
A  a ,0  F
G B a ,0 
O
Fokus-fokus F(-c,0),G(c,0) sedangkan P(x,y) terletak pada el lips, maka: PF + PG = 2a (tetap).
Kedua titik A dan B memenuhi, sebab AF = BG = a – c, maka:
AF + AG = BF + BG = (a - c) + (a + c) = 2a.
PF 
x  c 2  y 2
, PG 
x  c 2  y 2
PF + PG = 2a  ( a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 ( a 2  c 2 )
x2 y2
Misalkan ( a  c )  b  persamaan ellips: 2  2  1 .
a
b
2
2
2
Jika pusat ellips ( ,  ) dan sumbu-simbu simetri tetap // sb x dan sumbu y;
persamaan ellips :
( x   )2 ( y   )2

1
a2
b2
.
11
1.4.5. HYPERBOLA
Hyperbola adalah tempat kedudukan titik -titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu
tetap nilainya.
y
P( x , y )
F
A
0
B G
x
Fokus : F(-c,0) dan G(c,0)
AF = BG = c – a
AG – AF = BF – BG = (c + a) + (c - a) = 2a. sedangkan untuk P(x,y) terletak pada Hyperbola
dengan PF  ( x  c ) 2  y 2 ; PG  ( x  c ) 2  y 2 .
PF  PG  2a  (c 2  a 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (c 2  a 2 )
x2 y2

 1 , sedangkan jika pusat
a2 b2
Hyperbola ( ,  ) dan sumbu-simbu simetri tetap // sb x dan sumbu y;
Misalkan untuk c 2  a 2  b 2  persamaan hyperbola:
Persamaan hyperbola:
( x   )2 ( y   )2

1
a2
b2
Jika a = b, disebut Hyperbola orthogonal(siku -siku).
12
SOAL-SOAL LATIHAN
Sederhanakanlah:
2
3
3
2
1. 4  27 =
2
3
 125 
2. 

 64 
jawab: 17
2
3
3. (8)  ( 8)  (8)

2
3
 (  8)

2
3


1
3

2 0  2 2

2  2( 2)  2
1
2
 243 
 . 375 
4.  5

3125


jawab: 8
Tanpa kalkulator dapatkan nilai dari:
5. a. sin (  30 0 )
jawab: 
1
2
1
2
b. cos (  60 0 )
jawab:
c. tg (  45 0 )
jawab: 1
d. cos ( 120 0 )
jawab: 
6. a. sin

8
b. cos

8
c. tg 22,5 0
1
2
d. sin 37,5 0
7. Sederhanakanlah:

 


 

cos    cos     sin     sin     =
2
 6

2
 6

jawab:
3
8. Jika  adalah sudut lancip dengan sin   , ditanyakan sin 2 dan cos 2
5
9. Dengan rumus ”a, b, c” dapatkan akar-akar persamaan kuadrat:
a. x 2  5 x  6  0
jawab: x1  2, x 2  3
b. x 2  7 x  12  0
jawab: x1  3, x 2  4
c. 12 x 2  7 x  1  0
1
1
jawab: x1  , x 2 
3
4
13
1
2
10. Dengan bantuan rumus ”a, b, c” selesaikan persamaan:
a. t  5 t  6  0
c. 7  x  3  1
b. 3 p 2  10 p  5  0
d.
3y  5  y 1  2
11. Gambarkan grafik dari:
a. y  x 2  2 x  8
d. y  3  2 x  x 2
b. y  x 2  6 x  9
e. y  4  x 2
c. x  y 2  5 y  6
f. x  9  y 2
12. Dapatkan persamaan garis lurus yang melalui titik:
jawab: x  2 y  11  0
a. P(1,5) dan Q(3,4)
b. A( 1,3) dan mengapit sudut

dengan sumbu x positif
4
jawab: y  x  4
c. potong garis 2 x  y  3 dengan sb x dan tegaklurus pada garis lurus 4 y  3 x  6
jawab: 4 x  3 y  6  0
13. Dapatkan jarak terpendek dari P(2, -1) ke garis lurus 3 x  4 y  12  0
14. Dapatkan titik pusat dan jari -jari lingkaran:
a. x 2  y 2  8 x  12 y  12  0
jawab: P(4,-6), r = 8
b. x 2  y 2  12 x  4 y  22  0
jawab: P(-6,2), r = 3 2
15. Dapatkan hasil dari:





2
a. 7 5  4 3 =


c. 2 5  3 2 2 5  3 2 =

d.  6  3 3  6  3 3  =



b. 2 3  5 2 3  5 =
14
BAB 2
BILANGAN KOMPLEKS
Suatu bilangan kompleks dinotasikan dengan z  a  bi , dengan a, b adalah bilangan real
dimana a adalah bagian real dari z (Re z) dan b adalah bagian imaginer dari z (Im z). sedang kan
untuk notasi i adalah satuan imaginer dimana i 2  1 .
1.
PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, PEMBAGIAN
Jika diberikan z1  a  bi dan z 2  c  di , maka:
1. z1  z 2  (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
2. z1  z 2  (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
3. z1 .z 2  (a  bi).(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i
4.
2.
z1 a  bi ac  bd bc  ad



i
z 2 c  di c 2  d 2 c 2  d 2
BENTUK KUTUB DARI BILANGAN KOMPLEKS
Suatu bilangan kompleks z  a  bi dapat juga dinotasikan kedalam bentuk kutub,
ilustrasi pada bilangan kompleks ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini:
Y
P(a,b) = z = a + bi
b

O
X
a
A
Dengan sumbu tegak sebagai sumbu imaginer dan sumbu dat arnya sebagai sumbu real, maka
bilangan kompleks z  a  bi mempunyai nilai modulus (nilai mutlak dari z) yaitu:
r  z  a2  b2
15
Sudut  adalah argument dari z yang didapatkan dari rumusan:
b
a
dan cos  
r
r
z  r (cos   i sin  ) .
sin  
3.
sehingga
didapatkan

dan
bentuk
kutubnya
adalah
BILANGAN KOMPLEKS SEJODOH
Bilangan kompleks z  a  bi dapat di tuliskan z  a  bi  a  bi sebagai kompleks
sejodoh dengan sifat-sifat:
1. z  z
4. z1 z 2  z1 z 2
2. z1  z 2  z1  z 2
z  z
5.  1   1
 z2  z2
3. z z  z  z
2
4.
2
PERKALIAN - PEMBAGIAN 2 BILANGAN KOMPLEKS DALAM BENTUK
KUTUB
Jika z1  r1 (cos1  i sin 1 ) , z 2  r2 (cos 2  i sin  2 ) , maka:
1. z1 z 2  r1r2 (cos(1   2 )  i sin(1   2 ))
2.
5.
z1 r1
 cos(1   2 )  i sin(1   2 )
z 2 r2
TEOREMA De Moivre:
(r (cos   i sin  )) n  r n {cos( n )  i sin  }
Khusus r = 1 maka dapat ditulis dengan (cos   i sin  ) n  {cos( n )  i sin  } .
16
6.
PENARIKAN AKAR:
1
z n  a  bi  z1, 2,3,...,n  n a  bi  (a  bi ) n  ... ?


Perhatikan bahwa a  bi  r (cos   i sin  )  r cos(  k .360  )  i sin(  k .360  )
Maka:
1
n


1
(a  bi )  r{cos(  k .360  )  i sin(  k .360  )} n
    k .360 0
( a  bi )  r cos
n
 
1
n
1
n

   k .360 0
  i sin 
n





Sehingga dapat disimpulkan :

  k .360 0
  k .360 0 
)  i sin(
)} ,
z  a  bi  z1, 2,3,...,n  r cos(
n
n


1
n
n
dengan k  0,1,2,3,..., ( n  1) .
Untuk k = i maka didapatkan akar z i 1 .
Contoh-contoh;
1. jika z = 8 + 6i, maka dapat dihasilkan bagian rea l dan bagian imaginer dari
1
nya adalah
z
sebagai berikut:
Penyelesaian:
1
1
1 8  6i
8  6i
8  6i
8  6i


.



2
z 8  6i 8  6i 8  6i 64  36i
64  36
100
1 8  6i
8
6i
2
3




 i
z
100
100 100 25 50
Jadi bagian real dari
adalah
1
1
1
1
2
(Re ) adalah
, sedangkan untuk bagian imajiner dari (Im )
z
z
z
z
25
3
.
50
17
2. Ubah z = - 3 + 3i ke dalam bentuk kutub.
Penyelesaian:
Diketahui a = -3, b = 3; r  ( 3) 2  3 2  9  9  3 2
sin  
b
3
1
a
3
1


2 , dan cos   

2 , sehingga didapatkan nilai ini
r 3 2
2
r 3 2
2
pada kuadran II yaitu   135  .
Jadi bentuk kutub dari z  3  3i  3 2 (cos 135   i sin 135  )
3. Nyatakan 2cos18 0  i sin 18 0 5cos 42 0  i sin 42 0  kedalam bentuk (a + b i).
Penyelesaian:
2cos18
0
 i sin 18 0 5cos 42 0  i sin 42 0   10cos(18  42) 0  i sin(18  42) 0 
 10cos 60 0  i sin 60 0 
1 
1
 10  i
3   5  i5 3
2 
2
4. Nyatakan hasil
12(cos 54 0  i sin 54 0 )
kedalam bentuk (a + bi).
3(cos 24 0  i sin 24 0 )
Penyelesaian:
12(cos 54 0  i sin 54 0 ) 12
 cos(54 0  24 0 )  i sin(54 0  24 0 )
0
0
3
3(cos 24  i sin 24 )
 4cos 30 0  i sin 30 0   4(
5. Dapatkan nilai

3 i
1
1
3  i )  2 3  2i
2
2

6
Penyelesaian:
z  3  i dengan a  3 dan b  1 sehingga didapatkan r  ( 3 ) 2  12  3  1  2 .
18
sin  
b 1
a 1
 , dan cos   
3 sehingga didapatkan nilai ini pada kuadran I yaitu
r 2
r 2
  30  . Jadi bentuk kutub dari z  3  i  2(cos 30   i sin 30  ) . Sehingga didapatkan nilai
untuk z 6  ( 3  i ) 6  [ 2(cos 30   i sin 30  )]6  2 6 (cos180 0  i sin 180 0 ) = - 64.
6. Nyatakan sin 3 x kedalam suku-suku dari sin x dan cos 3 x ke dalam suku-suku cos x .
Penyelesaian:
Teorema De Moivre:
Menggunakan segitiga Pascal
(cos x  i sin x) 3  (cos x  i sin x) 3
(cos 3 x  i sin 3 x)  cos 3 x  3 cos 2 x(i sin x)  3 cos x(i sin x) 2  (i sin x) 3
(cos 3 x  i sin 3 x)  (cos 3 x  3 cos x(sin x) 2 )  i (3 cos 2 x sin x  sin 3 x)
(cos 3 x  i sin 3 x)  (cos 3 x  3 cos x(1  cos 2 x))  i (3(1  sin 2 x) sin x  sin 3 x)
(cos 3 x  i sin 3 x)  4 cos 3 x  3 cos x  i (3 sin x  4 sin 3 x)
Dari
persamaan
tersebut
3
sin 3 x  3 sin x  4 sin x .
didapat:
cos 3 x  4 cos 3 x  3 cos x
7. Dapatkan semua akar-akar dari z 3  1
Penyelesaian:
z 3  1  1  0i , maka r  ( 1) 2  0 2  1
sin  
b 0
1
  0 , dan cos  
 1 , sehingga didapatkan   180  .
r 1
1
Jadi bentuk kutub dari z  1  0i  (cos180   i sin 180  ) .
Sedemikian hingga bentuk-bentuk akar dari
19
dan
untuk
  180 0  k .360 0 
 180 0  k .360 
  i sin 
 adalah:
z1, 2,3  3  1  cos
3
3





Untuk k = 0  z1  cos 60   i sin 60  
1 1

3i
2 2
Untuk k = 1  z 2  cos180   i sin 180   1
Untuk k = 2  z1  cos 300   i sin 300  
1 1

3i
2 2
20
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Selesaikan: a. (3  2i ) 3
jawab:  9  46i
b. (1  2i ) 4
jawab:  7  24i
2. Selesaikan: a. (3  2i ) 3
b. (1  i ) 8
3. Nyatakan kedalam bentuk kutub:
a. z  6 3  6i
jawab: z  12(cos 30 0  i sin 30 0 )
b. z  4  4i
jawab: z  4 2 (cos 225 0  i sin 225 0 )
4. Nyatakan dalam bentuk a + b i :
a. z  6(cos120 0  i sin 120 0 )
b. z  16(cos 210 0  i sin 210 0 )
5. Nyatakan kedalam bentuk a + b i :
jawab: 32  32 3i
a. z  (4(cos 20 0  i sin 20 0 )) 3
1 
1
b. 
3  i
2 
2
10
1 1

jawab:  
3i 
2 2

6. Nyatakan hasilnya dalam bentuk a + b i:
a. (5(cos 30 0  i sin 30 0 )) 3
b.  1  i 
6
7. Nyatakan
(2  i )(1  i )
ke dalam bentuk a + b i:
3i
8. Nyatakan
(1  i )
ke dalam bentuk kutub.
1 i
3 4 
jawab:   i 
5 5 
9. Jika z  r (cos   i sin  ) , buktikan bahwa:
a. cos( n ) 
c. cos n  
1 n
( z  z n )
2
b. sin( n ) 
1
( z  z 1 ) n
n
2
d. sin n  
b. z 3  1  i
10. Dapatkan semua akar dari: a. z 3  1
21
1 n
( z  z n )
2i
1
( z  z 1 ) n
n
( 2i )
c. z 5  32
BAB 3
DETERMINAN
3.1. DETERMINAN TINGKAT n
D
a11
a12
 a1n
a 21
a aa
 a2n




 a nn
a n1
a11 , a12 , a13 , , a nn . disebut elemen-elemen determinan. Determinan (Det) tingkat n mempunyai n
baris dan n kolom, jadi banyaknya elemen ada n  n  n 2 buah. Untuk a11 , a 22 , a33 , , a nn adalah
elemen-elemen diagonal pokok. Sedangkan a1n , a 2( n 1) , a3( n  2 ) , , a n1 ini adalah diagonal kedua.
Dengan elemen a pq terletak di baris ke p dan di kolom q.
Det. Tingkat 2

a11
a12
a 21
a 22
Det. Tingkat 3
a11
a12
a13
  a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
3.1.1. MINOR:
Minor adalah dari elemen a pq dari det. Tingkat n adalah det. Tingkat (n-1) yang diperoleh
dengan mencoret baris ke p dan kolom ke q, diberi lambang M pq .
Contoh: minor dari elemen a 21 dari determinan tingkat 3
a11
a12
  a 21
a 22
a31
a32
a13
a
a 23 adalah M 21  12
a32
a33
a13
a33
22
3.1.2. KOFAKTOR:
Kofaktor dari elemen a pq diberi lambang K pq didefinisikan sbb:
K pq  ( 1) p  q M pq
Jika p  q  genap  K pq  M pq
Jika p  q  gasal  K pq   M pq
3.1.3. NILAI DETERMINAN
Nilai determinan   adalah jumlah hasil elemen-elemen dari sebuah baris (kolom) dengan
kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. (EXPANSI LAPLACE)
  a11 K11  a12 K12  a13 K13   a1n K1n (Ekspansi menurut elemen-elemen baris ke-1).
3.1.4. ATURAN SARRUS
(HANYA BERLAKU UNTUK DET. TINGKAT 3)
a11
a12
a13 a11
a12
  a 21
a 22
a 23 a 21
a 22
a31
a32
a33 a31
a32
  ( a11 a 22 a33  a12 a 23 a31  a13 a 21 a32 )  ( a13 a 22 a31  a11 a 23 a32  a12 a 21 a33 )
Dengan pertolongan :
Kolom 4 = kolom 1
Kolom 5 = kolom 2
3.1.5. PENGGANDAAN DUA BUAH DETERMINAN
Dengan aturan”baris dengan kolom” sbb:
D1 
a12
a12
a 21
a 22
D1 D2 
, D2 
b11
b12
b21 b22
a12
a12 b11
b12
a 21
a 22 b21 b22
=
, maka:
a11b11  a12 b21
a11b12  a12 b22
a 21b11  a 22 b21
a 21b12  a 22 b22
23
3.1.6. DETERMINAN TRANSPOSE
Lambang 1 atau T , diperoleh dari  dengan menukar baris menjadi kolom, kolom
menjadi baris.
Contoh:  
a
b
c
d
 T 
a
c
b d
.
Sifat-sifat determinan:
1. Nilai T = nilai 
2. Jika baris ke i = 0 (kolom ke-i = 0) maka nilai  = 0.
3. Jika baris ke i ditukar dengan baris ke-j (kolom i ditukar dengan kolom ke j) diperoleh det.
Baru  1 dengan nilai  1    .
4. Jika baris ke i = baris ke j (kolom ke i=kololm ke j) maka nilai  = 0
5. Nilai det menjadi k kali jika semua elemen pada sebuah baris (kolom) digand akan dengan
k  0.
6. jika ada 2 baris (2 kolom) yang sebanding maka nilai  = 0.
( x1  y1 )
7.
b1
c1
x1
b1
c1
y1
b1
c1
( x 2  y 2 ) b2
c2  x2
b2
b2
c2
( x3  y3 ) b2
c3
b3
c2 + y 2
c3 y 3
b3
c3
x3
8. Nilai sebuah det.  tetap tidak berubah, jika setelah semua elemen-elemen sebuah baris
(kolom) di gandakan dengan k  0 kemudian ditambahkan (dikurangkan) pada elemen elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya.
3.1.7. PERSAMAAN LINIER SERENTAK / PERSAMAAN LINIER SIMULTAN /
SISTEM PERSAMAAN PERSAMAAN LINIER .
3 PERSAMAAN DENGAN 3 VARIABEL:
a1 x  a 2 y  a3 z  k1
b1 x  b2 y  b3 z  k 2
Akan didapatkan x, y, z :.......
c1 x  c 2 y  c3 z  k 3
a1
a2
a3
k1
a2
a3
  b1
b2
b3  0 ,  1  k 2
b2
b3 ,
c1
c2
c3
c2
c3
Maka: x 
k3
a1
k1
a3
 2  b1
k2
b3 ,
c1
k3
c3

1

; y  2 ; z  3 disebut aturan cramer.



24
a1
a2
k1
 3  b1
b2
k2
c1
c2
k3
Contoh-contoh:
1. Dapatkan nilai determinan berikut:
3
1
2
3 2
7
3
2
1
5
Penyelesaian:
3
1
2 3
1
a)   2  3  1 2  3
1
2
1 1
=(-9-1+8)-(-6-6+2)=8
2
1 2 4
b)   3
5
7  0 , karena b3  2b1 . (Sifat 6)
2 4 8
4
8
c)  
6
3 2
1 4
2 3
7
6
 0 , karena kolom 1= -2 kali kolom 3 (Sifat 6)
11
10 4  5  8
3 2 1 4
0 0 1 0
k1  3 k 3
9 25 6
15 29 2 14 kk 24  24 kk33 9 25 2 6 exp B1


 1 7 13 5
d)
16 19 3 17
7 13 3 5
9 23 6
33 39 8 38
9 23 8 6
0
1
4
8 1 4 6
15 29 2 14
d).  
7 c).  
6 2  3 11
16 19 3 17
2 4 8
10 4  5  8
33 39 8 38
a).   2  3  1 b).   3
1
4
1 2 4
2
2
0
b1  b3
b1

 7 13 5 exp


  ( 2)
9 23 6
7 5
9 6
 2(42  45)  6 .
2. Dengan aturan cramer selesaikan spl berikut:
3 x  y  2 z  3

 2 x  3 y  z  3
x  2 y  z  4

3
1
2
3
1
2
3
3
2
Penyelesaian   2  3  1  8 , 1   3  3  1  8 ,  2  2  3  1  16 ,
1
2
1
4
25
2
1
1
4
1
3
1
3



8
16
8
 3  2  3  3  8 , jadi x  1   1 , y  2 
 2, z  3 
 1
 8

8

8
1 2
4
3. Dapatkan persamaan garis lurus yang mela lui dua titik P(-1,3) dan Q(2,1).
Penyelesaian:
Misalkan persamaan garis lurus itu y  ax  b
(1)
Melalui titik P(-1,3) berarti koordinat titik P memenuhi persamaan (1) ialah 3 = a (-1) + b
Melalui titik Q(2,1) berarti koordinat titik Q memenuhi persamaan (1) ialah 1 = a (2) + b
SPL yang terjadi adalah:
 a  b  3

2 a  b  1
1 1
 (1)(1)  (1)(2)  1  2  3
2 1
D
D1 
D2 
a
3 1
1 1
 (3)(1)  (1)(1)  3  1  2
1 3
 (1)(1)  (3)(2)  1  6  7
21 1
D1
2
2

 ,
D 3
3
b
D2  7 7

 .
D 3 3
Kemudian nilai a dan b yang diperoleh ini dimasukkan ke (1), maka didapat persamaan
garis-garis lurus yang ditanyakan adalah:
2
7
y  x .
3
3
4. Dapatkan persamaan parabola ( y  ax 2  bx  c ) yang melalui tiga buah titik P( -1,0), Q(-2,0)
dan R(1,6).
Penyelesaian:
y  ax 2  bx  c
(1)
Melalui P(-1,0)  0  a( 1) 2  b( 1)  c

abc  0
Melalui Q(-2,0)  0  a( 2) 2  b( 2)  c

4a  2b  c  0
Melalui R(1,6)  6  a(1) 2  b(1)  c

abc  6
26
dengan :
1
1 1
0
1 1
1 0 1
1
1 0
D  4  2 1  6 , D1  0  2 1  6 , D2  4 0 1  18 , D3  4  2 0  12
1
a
1
1
D1 6
 1,
D 6
6
b
1
1
D2 18

 3,
D
6
1 6 1
c
1
1
6
D3 12

2
D
6
Karena nilai a, b, c dapat diketahui maka dari persamaan (1) parabola yang ditanyakan ialah:
y  x 2  3x  2 .
5. Dapatkan persamaan lingkaran ( x 2  y 2  ax  by  c  0 ) yang melalui tiga titik A( -1,0),
B(1,2), dan C(3,0).
Penyelesaian:
x 2  y 2  ax  by  c  0
(1)
Melalui A(-1,0)  ( 1) 2  (0) 2  a( 1)  b(0)  c  0

 a  0b  c  1
Melalui B(1,2)  (1) 2  ( 2) 2  a(1)  b( 2)  c  0

a  2b  c  5
Melalui C(3,0)  (3) 2  (0) 2  a(3)  b(0)  c  0

3a  0b  c  9
Dari ketiga persamaan diatas didapatkan a  2, b  0, c  3 .
Nilai a, b, c yang didapat disubstitusi ke ( 1), maka persamaan lingkaran yang ditanyakan
adalah:
x 2  y 2  2x  3  0 .
27
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Dapatkan nilai determinan:
a.  
3 4
2 6
b.  
, jawab:10
5
3
4 6
c.  
, jawab:-18
7 2
25
4
, jawab:22
2. Dapatkan nilai determinan:
4
a.   5
1
3
1
2
2
3
1
2
5
b.   4
1
1

3
2
2
c.   7
3
4
1
2
1
3

3. Dapatkan nilai determinan:
7
3
0
3
2
1
a. D  2  1 4
1 5 1
b. D  2  1  3
1 3 2
jawab: 165
jawab: 28
c. D 
3 1 2 4
15 2 29 14
16 3 19 17
33 8 39 38
jawab: -6
4. Dapatkan nilai determinan:
3
2
1 2 5 4
0 1 2 1
b. D 
4 3 7 8
1
a. D  2 13  3
1 1 2
0
4
9
1 3
 1  16 3 2
c. D 
 1 12  5 2
6 3
3
1
5. Dengan aturan Cramer selesaikan sistem persamaan linier (SPL) berikut:
3 x  2 y  z  2

a. 2 x  y  3 z  13
x  3 y  2z  1

x  2 y  z  3

b. 2 x  y  z  0
x  y  z  6

jawab: x = 1, y = -2, z = -3
jawab:x = 2, y = -1, z = 3
6. Dengan aturan Cramer selesaikan SPL berikut:
5 x  2 y  3 z  22

a. 2 x  3 y  4 z  2
3 x  4 y  z  30

2
x 

b. 
6 
 x
3
x 

6
c.  
x
9
 
x
3
2
y
1
8
y
28
4 8
  1
y z
2 4
  2
y z
3 6
 3
y z
8
7
2
BAB 4
MATRIKS
Amxn
 a11

a
  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
adalah matriks berukuran / berdime nsi mxn.
... ... 

... a mn 
m adalah banyak baris dari matriks A.
n adalah kolom dari matriks A
a ij adalah elemen (anggota) dari matriks A yang terletak pada baris ke -i dan dikolom ke-j.
Amxn  a ij mxn .
A1 x n (matriks baris, vektor baris). Contoh: A1x 4  3  1 2 4  .
B n x 1 (matriks kolom, vektor kolom). Contoh: B3 x 1
 2 
 
 3 .
  3
 
Beberapa jenis matriks:
1. Matriks Nol
Matriks dengan semua anggotanya nol.
Contoh: O3 x 2
 0 0


  0 0
 0 0


2. Matriks Bujur Sangkar (MBS)
Matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom.
Contoh: B3 x 3
 1 2 0


  2  3 1
0
1 2 

3. Matriks Segitiga Atas
adalah matriks bujur sangkar dengan aij  0 untuk i  j .
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sang kar dengan aij  0 untuk i < j.
29
A3 x 3
 a11

 0
 0

a12
a 22
0
a13 

a 23 
a 33 
B3 x 3
Matriks segitiga atas
 a11

  a 21
a
 31
0
a 22
a 32
0 

0 
a 33 
Matriks segitiga bawah
4. Matriks Diagonal:
adalah Matriks bujur sangkar dengan a ij  0 untuk i  j .
A3 x 3
 a11

 0
 0

0
a 22
0
0 

0 
a 33 
5. Matriks Satuan(Matriks identitas)
Adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama sama dengan satu.
Contoh: I 3 x 3
1 0 0


 0 1 0
0 0 1


6. Matriks Skalar
adalah matriks diagonal dengan a11  a 22  ...  a nn  k .
Contoh: A3 x 3
 2 0 0


 0 2 0 .
 0 0 2


7. Matriks Transpose
A T (matriks transpose dari matriks A) : baris -baris dari matriks A dijadikan kolom -kolom
dan kolom-kolom dijadikan baris-baris.
Am x n  a ij m x n  ATn x m  a ji  n x m .
Contoh: A2 x 3
2 1 


 2 3 0
T
  A 3 x 2   3  1 .
 
 1  1 3
0 3 


8. Matriks Simetris
Adalah matriks bujur sangkar dengan a ij  a ji atau AT  A .
30
Contoh: A3 x 3
 2 3 4


  3 1 0 .
 4 0 6


9. Matriks Simetris Miring
adalah matriks bujur sangkar dengan a ij   a ji atau AT   A .
Contoh: A3 x 3
3 4
 0


   3 0 2 .
  4  2 0


Hal-hal yang perlu diketahui:
1. Dua Matriks Sama
Dua matriks dikatakan sama ika ukurannya sama dan elemen -elemen yang seletak sama.
Contoh: A3 x 3
2 1 5 
2 1 5 




  3 1  1, B3 x 3   3 1  1  A  B .
4 0 6 
4 0 6 




2. Jumlah / Selisih Dua Matriks
Am x n  Bm x n  C m x n .
 1 1 2  2 4  2  3 3 0
  
  

Contoh: 
  2 2 3 1  2 4   1 0 7
Am x n  Bm x n  Dm x n .
 1 1 2  2 4  2  1  5 4 
  
  
 .
Contoh: 
  2 2 3   1  2 4    3 4  1
3. Pergandaan Matriks dengan Skalar
 1 1 2
 2  2 4
  2 A  
 .
Contoh: A  
  2 2 3
  4 4 6
4. Pergandaan Dua Matriks: Am x p . B p x n  C m x n
Contoh:
2 0 
  (1)(2)  (1)(1)  (2)(3) (1)(0)  (1)(2)  (2)(1)   7 4 
 1  1 2 

 1  2   
  
 .
  2 2 3  3 1   (2)(2)  (2)(1)  (3)(3) (2)(0)  (2)(2)  (3)(1)   7  1


Pada umumnya: AB  BA .
31
5. Invers Matriks
Matriks bujur sangkar A n x n , B n x n sedemikian hingga
1
nxn
B nxn  A
; A. A
1
A n x n .Bn n  I n
maka
I.
Syarat suatu matriks A n x n mempunyai invers An1x n jika A  0 .
Ada beberapa cara untuk mendapatkan inv ers dari suatu matriks:
a.
A. A 1  I .
 2 3
 .
Contoh: Dapatkan A 1 dari A  
 3 5
A
2 3
3 5
 (2)(5)  (3)(3)  1  0  mempunyai invers.
a b 
  A. A 1  I .
Misal: A 1  
c d 
 2 3  a b   1 0 


  

 3 5  c d   0 1 
 2a  3c 2b  3d   1 0 

  

 3a  5c 3b  5d   0 1 
 2a  3c  1
 a  5, c  3

3a  5c  0
2b  3d  0
 b  3, d  2

 3b  5d  1
 5  3
 .
Jadi: A 1  
 3 2 
b. OBE (Operasi Baris Elementer)
Contoh: Dapatkan invers dari A 3 x 3
 1 2  1


 2 5 4  .
3 7 4 


Penyelesaian:
A
3x3
| I3  ~
OBE

 ~ I 3 | A 1  .
OBE
|
0 0  B B
 1 2  1| 1 0 0  B  2 B  1 2  1| 1 0 0  B  B  1 2  1| 1

 2 1
 3 2
 1 3
 2 5 4 |0 1 0 ~ 0 1 6 | 2 1 0 ~ 0 1 6 | 2 1 0 ~
 3 7 4 | 0 0 1  B3 3 B1  0 1 7 |  3 0 1 
 0 0 1 |  1  1 1  B2 6 B3






32
 1 2 0 | 0  1 1  B  2 B  1 0 0 |  8  15 13 
  8  15 13 

 1 2



1
7
 6  ; Jadi: A   4
7
 6 .
 0 1 0| 4 7  6 ~  0 1 0| 4
 0 0 1|  1  1 1 
 0 0 1|  1  1 1 
 1 1 1 






c.
A 1 
1
adj ( A) .
A
3 7
 .
Contoh: Dapatkan A 1 dari A  
 2 5
Penyelesaian:
A
3 7
 (3)(5)  (7)(2)  1 .
2 5
 5  7
 5  2
  Adj ( A)  
 .
Kofaktor (A)  
 2 3 
 7 3 
A 1 
 5  2
1
 .
adj ( A)  
A
 7 3 
Menyelesaikan
Persamaan
(Matriks Diperbesar)
Linier
Serentak
de ngan
 x  y  2z  9

Contoh: Selesaikan  2 x  4 y  3 z  1 .
3 x  6 y  5 z  0

Penyelesaian:


 1 1 2 | 9  B 3 B  1 1 2 | 9  B3  3 B2  1 1 2 | 9 
3
1
2






 2 4  3 | 1  ~  0 2  7 |  17  ~  0 2  7 |  17 
B

2
B
1
3
 3 6  5 | 0  2 1  0 3  11|  27 
0 0  |  




2 2


1
3
z    z  3.
2
2
2 y  7 z  17  2 y  7(3)  17  y  2 .
x  y  2 z  9  x  2  2(3)  9  x  1.
33
Augmented
Matriks
CONTOH:
1. Sebuah toko gula-gula ”MANIS” menyimpan 40 kg permen dengan harga Rp. 1.400, - perkg. Karena permen jenis ini kurang begitu laku dijual, maka perlu dicampur dengan permen
jenis lain yang dengan harga Rp. 1000, - per-kg. Jika harga tiap kg permen campuran adalah
Rp. 1250,- per-kg dan pemilik toko tidak mengalami kerugian, maka berpa kg permen
dengan harga Rp. 1000,- per-kg harus dicampurkan?
Penyelesaian:
Misalkan x : jumlah dalam kg permen dengan harga Rp. 1000, - per-kg
y : jumlah dalam kg permen dengan harga Rp. 1250, - per-kg
Membentuk SPL-nya:
40  x  y
x

y  40
40(1400)  x (1000)  y (1250)  1000 x  1250 y  56000
Ditulis dalam bentuk matriks diperbesar menjadi:
 1 |  40  B2 1000 B1  1
 1 |  40 
 1

  

1000  1250 |  56000 
 0  250 |  16000 
Ini berarti bahwa:  250 y  16000  y  64
x  y  40  x  64  40  x  24 .
Jadi jika permen 40 kg dengan harga Rp 1400, - per-kg dicampur dengan 24 kg permen
dengan harga Rp. 1000,- per-kg menjadi permen campuran sebanyak 64 kg dengan harga
Rp. 1250,- per-kg, pemilik toko tidak mengalami kerugian.
2. Pada sebuah pabrik elektronika per hari 2 pekerja laki -laki dan 3 pekerja perempuan dapat
merakit 15 pesawat TV. Pada hari yang lain 3 pekerja laki -laki dan 4 pekerja perempuan
dapat merakit 21 pesawat TV. Berapa pesawat TV masing -masing per hari dapat dirakit oleh
seorang pekerja laki-laki dan pekerja perempuan?
Penyelesaian:
Misalkan seorang pekerja laki-laki dapat menyelesaikan x pesawat TV per hari dan seorang
pekerja dapat menyelesaikan y pesawat TV per hari, maka SPL-nya:
2 x  3 y  15 

3 x  4 y  21
34
Ditulis dalam bentuk matriks diperbesar, menjadi:
3
3 | 15 
 2 3 |15  B2  2 B1  2

  
1 3
0  |  
 3 4 | 21
2 2

Ini berarti bahwa: 
1
3
y    y  3.
2
2
2 x  3 y  15  2 x  3(3)  15  x  3 .
Jadi seorang pekerja laki -laki per hari dapat merakit 3 pesawat TV dan pekerja perempuan
dapat merakit 3 pesawat TV.
3. Gambar berikut adalah sebuah batang logam terisolasi.
10oC
T1
T2
30oC
Temperatur pangkal 10oC dan temperatur ujung 30 oC. Temperatur disetiap titik dibagian
dalam adalah rata-rata dari temperatur di dua titik didekatnya, maka dapatkan temperatur
dibagian dalam T1 dan T2.
Penyelesaian:
T1 
10  T2
 2T1  T2  10
2
T2 
T1  30
 T1  2T2  30
2
Ditulis dalam bentuk matriks diperbesar menjadi:
 2  1 | 10  B2  12 B1  2  1 | 10 
3

  
 0  |  35 
 1  2 |  30 
2


3
2
Ini berarti bahwa:  T2  35  T2  35  23,33 o C .
2
3
1
1
2T1  T2  10  2T1  23,33  10  T1  16,67 o C
3
3
35
SOAL LATIHAN
1 4 1
 1 2 1




1. Diketahui: P   2 0 3 , Q   2  2 0  ; ditanyakan:
 4 1  2
 4
1 3 



a). PQ
b). P + Q
c). QP
d). P – Q
Jawab:
 3  7  2


a).  10 11 11 
  6  8  2


 0 6 0


b).  4  2 3 
8 2 1


 7 3 5 


c).   2 8  8 
 18 19  7 


 2 2  2


d)  0 2 3 
0 0  5


3 2
 1 1 1
0




2. Diketahui: A   2 1 0  , B    1 4 0  ; ditanyakan: a). AB
  4 2 1
 5  2 1




-1
3. Ditanyakan A , jika:
2

Jawab: a). A 1   3
 1

 3
1 5

a). A  
 2 4
5 

6 
1
 
6
3 5

b). A  
1 2
 2  5

b). A 1  
1 3 
 4 1 2


4. Dapatkan B dari: a). B   0 1 0 
8 4 5


 1

 3
2
1
c). A   
 3
 1

 3
b). BA
 1  2 0


1 5
c). A   3
  1 2 3


2
7
1
7
0
10 

21 
5
 
21 
1 

3 

1 1 0


b). B   1 1 1 
0 2 1


-1
5. Selesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut :
2 x  5 y  2 z  7
2 x  3 y  z  11
x yz 6 
x5
x 1



a). x  2 y  4 z  3  ; Jwb: y  1 b). x  y  z  6  Jwb: y  2 c). x  2 y  3 z  14 
3 x  4 y  6 z  5 
 2 x  y  z  3
x  4 y  9 z  36
z 1
z3
6. Selesaikan SPL berikut:
3x  2 y  z  4 

a). 2 x  y  2 z  10
x  3 y  4 z  5 
2x  y  7 

b).  y  3 z  0
x  z  3 
4x  9 y  8 

c). 8 x  6 z  1
6 y  6 z  1
36
2

x
d).
6

x
3

 2

y

1
 8

y
BAB 5
ALJABAR VEKTOR
Vektor : kuantiti yang punya besar dan arah
Contoh: kecepatan, percepatan, gaya.
Skalar: kuantiti yang punya besar saja.
Contoh: waktu, temperatur, massa, panjang, bilangan real.
a
B
AB  a ; a  a  panjang vektor a
A
Dua vektor dikatakan sama a  b  jika searah dan sama panjang.
a
b
Jumlah dua vektor a  c 
a c c a
c
c
a
a
d  a c
a c c a .
c
Selisih dua vektor a  d 
d
d
a
c  a d
37
a  d  a  (d )
Unit Vektor Siku
i , j , k adalah vektor-vektor satuan masing-
Z
P(x,y,z)
masing pada arah sumbu X, sumbu Y, sb. Z
i  1, j  1, k  1.
r
Vektor posisi r dari O ke P(x,y,z) adalah
k
O
i
r  x i  y j  z k dengan panjang
Y
j
r  x2  y2  z2 .
X
Komponen-komponen suatu vektor
OA  a  a1i  a 2 j  a 3 k
Z
A3
a3 k
P proyeksi A pada bidang XOY
OA  a1i , OA2  a 2 j , OA3  a 3 k  PA
A(a1 , a 2 , a 3 )
Y
a2 j
A2
a1i
OP  OA1  OA2  a1i  a 2 j
a  OA  OP  PA  a1i  a 2 j  a 3 k

P
A1
a  a  a  a  a 32
2
1
2
2
X
Pergandaan Titik (Dot Product)
Definisi: a  b  ab cos  ,
b
  ( a , b ) ;
a b  b a .
i  i  j  j  k  k  1.

a
i  j  j k  k i  0.
a  a1i  a 2 j  a 3 k 
  a  b  a1b1  a 2 b2  a 3 b3 .
b  b1i  b2 j  b3 k 
38
(0     )
a b

ab
cos  
a1b1  a2b2  a3b3
a  a22  a32 b12  b22  b32
2
1
Pergandaan Silang (Cross Product)
Definisi: a x b  (a b sin  ) e ;
a xb
(0     )
  (a , b ) diukur dari a ke b ;
e : vektor satuan yang tegak lurus bidangnya a dan b .
i xi  jxj  k xk  0; i xj  k ; jxk  i ; k xi  j; jxi   k ; k xj  i ; i xk   j.
a xb  (b xa ).
i
j
k
a x b  a1
a2
a3 .
b1
b2
b3
Luas jajaran genjang yang dibentuk a dan b , adalah:
i
j
k
L  a x b | a1
a2
a3 |
b1
b2
b3
Luas segitiga yang dibentuk a dan b :
i
1
1
L  a x b  | a1
2
2
b1
j
a2
b2
k
a3 |
b3
Volume balok miring (Paralelepipedum) dengan sisi -sisi a , b , c :
a1
V  a  b x c  | b1
c1
a2
a3
b2
b3 |
c2
c3
39
CONTOH:
1. Diketahui: OA  a ; OB  b ; AR : RB  m : n .
Ditanyakan: OR  r .
Penyelesaian: AR  r  a ; RB  b  r .
AR : RB  m : n
m RB  n AR
m(b  r )  n(r  a )
m b  m r  n r  n a  n a  m b  ( m  n) r
Jadi: r 
n a  mb
1
. Khusus jika AR=RB (R tengah-tengah AB) maka r  (a  b ) .
mn
2
2. Jika a, b dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik-titik A, B dan C dari  ABC, maka
buktikan bahwa vektor posisi titik berat Z dari  ABC adalah
1
(a  b  c ) .
3
Bukti:
C
c
Ambil titik D titik tengah BC, maka:
Z
D
titik tengah Z membagi AD dalam perbandingan:
A
AZ : ZD = 2 : 1.
B
Vektor posisi dari D adalah
b
a
O
Jadi vektor posisi Z:
1.a  2. 12 b  c  1
 a  b  c  .
2 1
3
3. Diketahui:  ABC, M titik tengah AC, N titik tengah BC.
Buktikan: MN//AB dan MN=
1
AB.
2
40
1
b  c 
2
Bukti:
CM = MA; CN = NB.
Ambil: CA  a , CB  b
C
Pada  ABC: AB  CB  CA  b  a
N
M
a
Pada  CMN: MN  CN  CM
b
A
B
b a
Jadi terbukti bahwa MN//AB dan MN=
MN 
1
1
1
1
b  a  b  a   AB
2
2
2
2
1
AB.
2
4. Dapatkan luas segitiga yang titik -titik sudutnya P(2, 3, 5); Q(4, 2, -1); R(3, 6, 4)
Penyelesaian:
PQ  4  2 i  2  3 j   1  5k  2i  j  6k
PR  3  2 i  6  3 j  4  5k  i  3 j  k
Luas segitiga: L 
1
1
PQ x PR  2i  j  6k  x i  3 j  k 
2
2
i
j
k
1
1
1
1
2
 | 2  1  6 | 19i  4 j  7 k 
19 2   4   7 2 
426 .
2
2
2
2
1 3 1
5. Dapatkan volume parallelepipedum yang sisi -sisinya a  2 i  3 j  4 k , b  i  2 j  k ,
c  3i  j  2k .
Penyelesaian:
2 3
V  a  b x c  | 1
3
4
2
 1 |  7  7 .
1
2
41
SOAL LATIHAN
1. Jika a  3i  2 j  k dan b  2i  j  5k , dapatkan:
a). a  b
Jawab: a).
c). a  b
b). b  a
18
b).
70
d). a x b
d). 9i  13 j  k
c). -13
2. Jika a  3i  j  4k , b  2i  4 j  3k dan c  i  2 j  k ; dapatkan unit vektor yang sejajar
pada 3a  2b  4c .
3. Tunjukkan bahwa vektor-vektor a  2i  j  k , b  i  3 j  5k dan c  3i  4 j  4k
membentuk sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku.
4. Jika vektor-vektor posisi dari A adalah 2i  9 j  4k dan B adalah 6i  3 j  8k , maka
dapatkan AB dan panjangnya.
5. Dapatkan sudut yang dibentuk oleh:
a). a  2i  j  3k dan b  i  3 j  2k
b). a  3i  2 j  6k dan b  4i  3 j  k
c). BA dan BC jika A(6,4,4), B(4,2,4) dan C(4, -1,1)
6. Dapatkan proyeksi vektor a  i  2 j  k pada b  4i  4 j  7 k .
Jawab:
19
9
7. Dapatkan luas segitiga yang mempunyai titik -titik sudut berikut:
a). A(0,0,0); B(1,2,3); C(2,-1,4)
b). D(1,0,0); E(0,1,0); F(1,1,1)
8. Dapatkan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh dua buah vektor:
a). a  3i  2 j dan b  2 j  4k
b). a  i  2 j  2k dan b  3i  2 j  k .
9. Dapatkan isi parallelepipedum yang sisi -sisinya OA, OB, OC dimana A(1,2,3); B(1,1,2);
C(2,1,1).
Jawab: 2
10. Buktikan bahwa:
a). a x b x c   a  c b  a  b c
b). a  b   b  c  x c  a   2a  b x c

11. Jika a  2i  3 j  5k , b  3i  j  2k , maka dapatkan a  b   a  b 
42
Jawab: 24
BAB 6
TURUNAN FUNGSI DAN INTEGRAL TAK TERTENTU
6.1.
FUNGSI
Jika setiap satu nilai x menentukan satu nilai y, maka dikatakan bahwa y fungsi dari x, ditulis:
y  f (x )
y peubah tak bebas
x peubah bebas
Contoh:
y  x2
1.
2. y 2  x
y fungsi dari x
y bukan fungsi dari x
Daerah Definisi (DD) dan Daerah Fungsi (DF)
DD: daerah peubah bebas dimana fungsi bernilai real.
DF: kumpulan nilai fungsi yang didapat dari DD.
Contoh:
y  4  x2
DD:  2  x  2, DF: 0  y  2
6.2.
LIMIT FUNGSI
Jika x  a  (baca x mendekati a dari kanan) dan lim f  x  ada, maka bentuk lim f  x 
xa
xa
disebut limit kanan.
Jika x  a  (baca x mendekati a dari kiri) dan lim f  x  ada, maka bentuk lim f  x  disebut
xa
xa
limit kiri.
Jika limit kanan dan limit kiri ada dan nilain ya sama, maka dikatakan bahwa lim f  x  ada.
x a
CONTOH:
Diberikan: f  x   x  1
Ditanyakan: lim f  x 
x2
43
Penyelesaian:
Nilai-nilai f  x  untuk x  2  :
x
1,80
1,90
1,97
1,99
1,99999
f x 
2,80
2,90
2,97
2,99
2,99999
Limit kiri:
lim f  x   lim  x  1  3 ……………………………………………(1)
x2
x2
Nilai-nilai f  x  untuk x  2  :
x
2,20
2,15
2,05
2,01
2,00001
f x 
3,20
3,15
3,05
3,01
3,00001
Limit kanan:
lim f  x   lim  x  1  3 ……………………………………………(2)
x2
x2
Dari (1) dan (2), limit kiri dan limit kana nada dan bernilai sama, ditulis:
lim f  x   lim x  1  3 .
x2
x2
Grafik fungsi:
Y
f ( x)  x  1
X
CONTOH:
Diberikan: f  x  
x2
x2
Ditanyakan: a). lim f  x 
x2
b). lim f  x 
x 
44
Penyelesaian:
Y
X
Dari grafik terlihat bahwa:
lim f  x    
 lim f  x  tidak mempunyai limit dan lim f  x   1 .
x 
x2
lim f  x    
x2

x2
CONTOH:

lim1 
x 

n
1
  .......... .. ?
n
Penyelesaian:
 1
1  
 n
n
 1
1  
 n
1 2
n
2
10 1,1
2,59374….
100 1,01
2,70481….
………………. ………………
…………….
100000 1,00001
2,71814……
1000000 1,000001
2,71828……………
n
 1
1000000
Untuk n  1000000  1    1,000001
 2,71828
 n
45
n
 1
1000000
Untuk n  1000000  1    0,999999 
 2,71828
 n
n
 1
lim1    2,71828 disebut bilangan e.
x 
 n
n
 1
Jadi: lim1    2,71828 .
x 
 n
Bilangan e:
n
 1
e  lim1    2,71828
x 
 n
6.3.
FUNGSI HIPERBOLIK




Definisi: sinh x 
1 x
e  e x
2
cosh x 
1 x
e  e x
2
SIFAT-SIFAT FUNGSI HYPERBOLIK:
1. cosh 2 x  sinh 2 x  1
8. tgh  x  y  
2. sec h 2 x  1  tgh 2 x
9. tgh 2 x 
3. cosech 2 x  cotgh 2 x  1
tgh x  tgh y
1  tgh x.tgh y
2 tgh x
1  tgh 2 x
4. sinh - x    sinh x
10. sinh 2 x  2 sinh x. cosh x
5. cosh - x   cosh x
11. sinh 0  0
6. tgh - x    tgh x
12. cosh 0  1
7. sinh  x  y   sinh x cosh y  cosh x sinh y
13. cosh  x  y   cosh x cosh y  sinh x sinh y
14. cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x  2 sinh 2 x  1  2 cosh 2 x  1
46
Y
y  ex
y  ex
y  cosh x
X
y  sinh x
6.4.
BEBERAPA LIMIT YANG PENTING:
ex 1
1
x 0
x
x
 1
1. lim 1    e
x 
x

2.
 1
lim 1  
x 
x

6. lim
x
e
3. lim1  y   e
8. lim
arcsin x
1
x
9. lim
tg x
1
x
x 0
x
p

4. lim 1    e p
x 
x

x 0
arctg x
1
x 0
x
10. lim
a 1
 ln a; ( a  0)
x 0
x
x
5. lim
6.5.
sin x
1
x
x 0
1
y
y 0
7. lim
NILAI MUTLAK DARI BILANGAN REAL
Definisi:
 x , untuk x  0
x 
  x, untuk x  0
Grafik y  x  2
Grafik fungsi y  x  2
47
6.6.
FUNGSI INVERS
Pandang fungsi y  f (x) dengan aturan h yang masih dicari, didapat x  h( y ) . Peranan x
dan y ditukar menjadi: y  h(x ) maka fungsi y  h(x ) disebut fungsi invers dari y  f (x) .
Grafik fungsi invers simetri terhadap garis y  x dengan grafik fungsi asalnya.
Contoh:
Invers dari y 
1
x adalah y  3 x , dapat dilihat pada gambar berikut:
3
y  3x
y  f (x )
Y
B(1,3)
y
1
x
3
A(3,1)
O
6.7.
X
FUNGSI KONTINU
Definisi:
Suatu fungsi y  f (x) dikatakan kontinu pada x  a,

1. f ( a ) ada ( tertentu di x  a )
jika  2. lim f ( x) ada
 xa
f ( x)  f (a)
3. lim
xa
Jika satu atau lebih dari syarat -syarat kontinuitas diatas tidak terpenuhi, maka
y  f (x ) dikatakan diskontinu di x  a.
48
6.8.
TURUNAN FUNGSI
Definisi:
Turunan dari fungsi y  f (x) terhadap x adalah:
y' 
Arti Ilmu ukur dari
P x p , y p dan
dy
y
f  x  x   f ( x )
.
 Dy  f ' ( x )  lim
 lim

x

0

x

0
dx
x
x
dy
:
dx
Q x p  x, y q 
y q  f x p  x  .
terletak
pada
y  f (x ) ,
dengan
y p  f x p 
dan
PR  x; PA  y p ; QB  y q ; RB  PA .
tg QPR 
QR f x p  x   f x p 

 bilangan arah (gradien) garis lurus PQ
PR
x
x  0 maka garis hubung PQ berubah menjadi garis singgung PS dan
f x p  x   f x p 
SR
lim
 f ' x p  
 tg   bilangan arah (garis singgung/g radien) pada
x 0
x
PR
y  f (x ) di titik P.
Jika
Persamaan garis singgung di P: y  f x p   f ' x p 
. x  x p .
Persamaan garis normal di titik P : y  y p 
6.9.
1
.x  x p  .
y' p
SIFAT-SIFAT TURUNAN
u  u ( x ), v  v ( x ), C  konstanta
1.
y  u  v  y '  u ' v '
2.
y  uv  y '  u ' v  uv '
3.
y  Cv  y '  Cv '
4.
y
u
u ' v  uv '
 y' 
v
v2
49
6.10.
INTEGRAL TAK TERTENTU
Jika f (x ) ditentukan maka setiap fungsi F (x) sedemikian hingga F ' ( x )  f ( x ) disebut
Integral Tak Tertentu (ITT) dari f (x ) . ITT dari suatu fungsi yang ditentukan adalah
tidak tunggal, misalnya: x 3 , x 3  10, x 3  4 adalah ITT dari f ( x)  3 x 2 , karena
 




d x3
d x 3  10 d x 3  4


 3x 2 .
dx
dx
dx
Semua ITT dari f ( x)  3 x 2 adalah termasuk dalam x 3  C , dimana C konstanta sebarang
yang disebut konstanta integrasi. Jelaslah bahwa jika F (x) suatu ITT dari f (x) maka juga
F ( x )  C merupakan ITT dari f (x ) dan ditulis secara umum sebagai berikut:
 f x  dx  F ( x)  C
Integrand
6.11.
Fungsi primitif konstanta integrasi
SIFAT-SIFAT ITT:
1.
 kf ( x) dx  k  f ( x) dx;
2.
  f ( x)  g ( x)dx   f x  dx   g x  dx
k : konstanta
CONTOH:
1.
 10 cos x dx  10 cos x dx  10 sin x  C
2.
 x
3.
 1  x  dx   1 dx   x dx  x  2 x
2

 4 x dx   x 2 dx   4 x dx 
1
1 3
x  2x 2  C
3
2
C
50
TURUNAN DAN INTEGRAL TAK TERTENTU
TURUNAN (DERIVATIF)
INTEGRAL TAK TERTENTU (ITT):
A. SIFAT-SIFAT TURUNAN:
A. SIFAT-SIFAT ITT:
u  u ( x ), v  v ( x ), C  konstanta
5.
y  u  v  y '  u ' v '
6.
y  uv  y '  u ' v  uv '
7.
y  Cv  y '  Cv '
8.
y
1.
 kf ( x) dx  k  f ( x) dx;
2.
  f ( x)  g ( x)dx   f x  dx   g x  dx
k : konstanta
B. BEBERAPA RUMUS ITT:
u
u ' v  uv '
 y' 
v
v2
B. BEBERAPA RUMUS TURUNAN:
1.
 0 dx  C
2.
x
3.
 cos x dx  sin x  C
4.
 sin x dx   cos x  C
n
dx 
1 n 1
x  C ; n  1
n 1
a.
y  C  y'  0
b.
y  x  y '  nx
c.
y  sin x  y '  cos x
d.
y  cos x  y '   sin x
5.
 sec
e.
y  tg x  y '  sec 2 x
6.
 cos ec
f.
y  cot g x  y '   cos ec 2 x
7.
 sec x tg x dx  sec x  C
g.
y  sec x  y '  sec x tg x
8.
h.
y  cos ec x  y '   cos ec x cot g x
 cos ec x cot g x dx   cos ecx  C
9.
e
10.
 x dx  ln x  C
11.

12.
1 x
n
i.
y  e x  y'  e x
j.
1
y  ln x  y ' 
x
n 1
1
k.
y  arcsin x  y ' 
l.
1
y  arctg x  y ' 
1 x2
1 x2
x
2
x dx  tg x  C
2
x dx   cot g x  C
dx  e x  C
1
1
1 x2
1
2
dx  arcsin x  C
dx  arctg x  C
m. y  sinh x  y '  cosh x
13.  cosh x dx  sinh x  C
y  cosh x  y '  sinh x
14.  sinh x dx  cosh x  C
n.
C. RUMUS INTEGRASI PARSIAL:
C. ATURAN BERANTAI (AB):
Jika y  f (u ), g ( x ) 
 u dv  uv   v du
dy dy du

. .
dx du dx
51
CONTOH-CONTOH:
1.
1
x3
Dapatkan y ' dari y 
Penyelesaian: y  x 3  y '  3 x 31  3 x  4 

2. Dapatkan y ' dari y  2 x 3  4 x  9
3
x4

4
Penyelesaian:
Misal: u  2 x 3  4 x  9 
Aturan Berantai (AB): y ' 

du
 6x 2  4 ;
dx

y  u4 
 
dy
 4u 3
du


3
dy du
 4u 3 6 x 2  4  4 6 x 2  4 2 x 3  4 x  9 .
du dx
3. Dapatkan y ' dari y  sin 1  x 2

Penyelesaian:
Misal: u  1  x 2 
du
 2 x ;
dx
Aturan Berantai (AB): y ' 
y  sin u 
dy
 cos u
du


dy du
 cos u  2 x   2 x cos 1  x 2 .
du dx
4. Dapatkan y ' dari y  ln x 3  2 x  3
Penyelesaian:
Misal: u  x 3  2 x  3 
du
 3x 2  2 ;
dx
Aturan Berantai (AB): y ' 
y  ln u 
 
dy 1

du u

dy du 1
3x 2  2
.
 3x 2  2  3
du dx u
x  2x  3

 x
5. Dapatkan y ' dari y  arcsin  
4
Penyelesaian:
Misal: u 
x
du 1

 ;
4
dx 4
y  arcsin u 
52
dy
1

du
1 u2
Aturan Berantai (AB): y ' 
dy du
1

du dx
1 u2
1
 
4
1
 x
4 1  
4
2

1
16  x 2
.
 1 
6. Dapatkan y ' dari y  sec1  x 
 2 
Penyelesaian:
Misal: u  1 
1
du
1
x
 ;
2
dx
2
Aturan Berantai (AB): y ' 
7. Dapatkan y ' dari y  e
y  sec u 
dy
 sec u tg u
du
dy du
1  1   1 
 1
 sec u tg u      sec1  x  tg 1  x  .
du dx
2  2   2 
 2
1
 x2
3
Penyelesaian:
1
du
2
Misal: u   x 2 
  x;
3
dx
3
y  eu 
dy
 eu
du
1
Aturan Berantai (AB): y ' 
8. Selesaikan: I  
dy du
2  x2
 2 
 eu   x    x e 3
du dx
3
 3 
1
dx
x3
Penyelesaian: I   x 3 dx 

1
1
x 31  C   x  2  C .
 3 1
2

9. Selesaikan: I   x 1  x 2 dx
5
Penyelesaian:
Misal: u  1  x 2 
du
1
 2 x  x dx   du
dx
2

1 1
1
 1 
I   u 5   du    . u 6  C   1  x 2
2 6
12
 2 
53

6
C
10. Selesaikan: I  
1 x
dx
x  2x  5
2
Penyelesaian:
Misal: u  x 2  2 x  5 
du
1
 2 x  2  du  21  x  dx  1  x  dx 
du
dx
2
1
 du
1
1
I  2
  ln u  C   ln x 2  2 x  5  C
u
2
2
 1 
11. Selesaikan: I   sin 1  x  dx
 3 
Penyelesaian:
1
du
1
1
Misal: u  1  x 
   du   dx  dx  3du
3
dx
3
3
 1 
I   sin u  3 du   3 cos u   C  3 cos1  x   C
 3 
12. Selesaikan: I   e 8 x dx
Penyelesaian:
Misal: u  8 x 
du
1
 8  du  8 dx  dx   du
dx
8
1
1
 1 
I   e u   du    e u  C   e 8 x  C .
8
8
 8 
13. Selesaikan: I  
1
9  x2
Penyelesaian: I  
Misal: u 
I 
dx
1
9 x
2
dx  
1
 x 
91  
9 

2
dx  
1
 x
3 1  
3
2
dx
x
du 1

  dx  3 du
3
dx 3
1
3 1 u
2
.3 du  
 x
du  arcsin u  C  arcsin    C .
3
1 u
1
2
54
14. Selesaikan: I  
dx
1 x
1
Penyelesaian: I  
1 x

1
2

1
du
 1  dx   du
dx
Misal: u  (1  x) 
I  u
dx   1  x  2 dx
1
 du   2 u 2  C  21  x  2  C .
1
15. Selesaikan: I   x 3 1  x 4 dx
Penyelesaian: I   x 3 1  x 4 2 dx
1
Misal: u  1  x 4  
1
du
1
 4 x 3  x 3 dx  du
dx
4
3

1
1 2
1
I   u 2 . du  . u 2  C  1  x 4
4
4 3
6
16. Selesaikan: I  
I
3
2
C.
1
dx
9x  4
Penyelesaian: I  
Misal: u 

2
1
1
1
dx   .
dx
4   3 2 
  9 2 
41   x  
1   x  
 2  
  4 


3
du 3
2
x
  dx  du
2
dx 2
3
1
1 2
1
1
3 
. du  arctg u  C  arctg  x   C .
2

4 1 u 3
3
3
2 
55
SOAL LATIHAN



1. Dapatkan y ' dari: a). y  x 2  3 x  5 b). y  x 3  2 1  x 2
Jawab: a). y ' 
1
2 x  3
2
x 2  3x  5

1
x
3
3. Selesaikan: a).
k). y  33 x  x 3 
 2 x  3dx
Jawab: a). x 2  3 x  C
4. Selesaikan: a).
e).
1
 2 x  3 dx
x 2 dx
j).

n).
arctg x
 1  x 2 dx
x
 3x  5dx

e). y  ln x 3  2 x  5
b).
b).
 x  4
b).
1
x  48  C
8
7
 4  x 
2
dx
f).
 xe
k).
 2 sin x  3 dx
l).

o).
ex
 3  4e x dx
p).

t).

r).  cosec 2 3 x dx s).
x2
dx
g).  sec 2 5 x dx
cos x


h). y  e 2 x sin 3 x
j). y  sin 2 3 x
x dx
2x 2  3
56
1 x2
x3  2
 2x 4  x 2  x  4
x
3
2
.

2
c). y  3 x  2 
b). y  x 2 cos x
2 x 2  3x
x5
g). y  e
c). y ' 
b). y '  5 x 4  3 x 2  4 x
2. Dapatkan y ' dari: a). y  x sin x
d). y 
c). y 
2
f). y  ln tg x
i). y  arcsin 5 x
24 3
x
3
l). y  2 x 2  3
2
c).  cos 3 x dx
dx
c).
1
sin 3 x  C
3
c).  cos 4 x dx
d).  e 2 x dx
h).  sec 2 x tg 2 x dx
i).
ln  x  1
dx
x 1
dx
5  2x 2
cos x dx
sin 2 x
x
1 x
m).
x
q).
 3  2x
2
x 2  1 dx
2
2
dx
dx
6.12.
MENURUNKAN FUNGSI IMPLISIT
Pandang y fungsi dari x yang disajikan dalam bentuk i mplisit f ( x, y )  0 .
Turunannya y ' didapat sebagai berikut:
a. Jika mungkin y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x , lalu diturunkan terhadap
x
b. Setiap suku dalam f ( x, y )  0 diturunkan terhadap x . Karena y fungsi dari x , maka
setiap kali menurunkan y harus dikalikan dengan y ' , kemudian hubungan yang
didapat diselesaikan ke y '.
CONTOH:
1. Dapatkan y ' dari: xy  1  0
Penyelesaian: xy  1  0  y 
1
1
 y'   2 .
x
x
2. Dapatkan y ' dari: y 3  4 xy  x 2  0
Penyelesaian:
 
 
d 3
d
d 2
y  4 xy  
x 0
dx
dx
dx
3 y 2 y '4 y  xy '  2 x  0
3 y
2

 4 x y '2 x  4 y  0  y ' 
4 y  2x
.
3y 2  4x
3. Dapatkan y ' dari: y 2 sin x  y  acrtg x  0 .
Penyelesaian:
y ' 2 y sin x  1  y 2 cos x 
y' 

1
0
1 x2

1  1  x 2 y 2 cos x
1  x 2 2 y sin x  1


57
6.13.
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Dari y  f (x) maka:
y '  f ' x  
dy
 Dy menyatakan turunan pertama
dx
y ' '  f ' ' x  
d2y
 D 2 y menyatakan turunan kedua
dx 2
………………………………..
y n   f n   x  
dny
 D n y menyatakan turunan tingkat n.
dx n
d n y d  d n 1 y 

 
dx n dx  dx n 1 
Rumus Leibnitz
Jika y  uv dimana u  f (x) dan v  g (x ) , maka turunan tingkat n, y n   D n UV 
dirumuskan sebagai berikut:
D n UV   UD nV  nDU .D n 1V 
1
nn  1D 2U .D n  2V  ....
2!
Bukti:
y  uv  y '  u ' v  uv'  uv'u ' v  uDv  Du v


y ' '  uv ' '2u ' v'u ' ' v  uD 2 v  2 Du.Dv  D 2 u v
y ' ' '  y 3   uv 3   3u ' v 2   3u 2  v'u 3  v , dan seterusnya didapat:
D n (uv )  uD n v  nDu.D n 1v 
1
nn  1D 2 uD n  2 v  ...
2!
CONTOH:
Dapatkan y n  dari y  x 2 e x
Penyelesaian:
Misal: u  x 2 ; v  e x
58
Du  2 x, D 2 u  2, D 3 u  0; Dv  e x , D 2 v  e x ; D n v  e x


D n x 2 e x  x 2 e x  n2 x e x 
6.14.


1
nn  12 e x  0  e x x 2  2nx  n 2  n .
2
TURUNAN FUNGSI PARAMETRIK
 x  f (t )
Pandang fungsi parametrik : 
 y  h(t )
Dari x  f (t ) dapat dinyatakan bahwa t  g (x ) , jadi juga y fungsi dari x , katakan
y  hg  x  . Dengan Aturan Berantai (AB) didapat bahwa:
y' 
dy dy dt dy 1
dy ' dy ' dt dy ' 1
.
 .  .
; y' ' 

. 
.
dx dt dx dt  dx 
dx
dt dx dt  dx 
 
 
 dt 
 dt 
 dy 
 
dt
Jadi: y '    ; y ' ' 
 dx 
 
 dt 
 dy ' 


 dt  ; y ( n ) 
 dx 
 
 dt 
 dy n 1 


 dt 
 dx 
 
 dt 
CONTOH:
 x  2t
1. Dapatkan y ' dari: 
2
y  t
Penyelesaian:
 dy 
 
dx
dy
2t
dt
 2,
 2t , y '    
t.
dx
dt
dt
  2
 
 dt 
 x  a cos t
2. Dapatkan y ' dan y ' ' dari 
 y  b sin t
dx
dy
  a sin t ,
 b sin t
dt
dt
 dy 
 
b cos t
b
dt
y'    
  cot g t ,
a
 dx   a sin t
 
 dt 


dy '
b
b
   cos ec 2 t  cos ec 2 t .
dt
a
a
59
 dy '  b


cos ec 2 t
b
dt
 a
y' '  
  2 cos ec 3 t
 a sin t
a
 dx 
 
 dt 
6.15.
TEOREMA TAYLOR DENGAN SUKU SISA LAGRANGE :
Jika f (x ) sedemikian hiingga:
a.
f ( x)  f ' ( x)  f ' ' ( x)  ....  f
b.
f
(n)
( n1)
( x) adalah kontinu dalam a, a  h
( x) ada dalam a, a  h , maka:
f ( a  h)  f ( a )  h f ' ( a ) 
h2
h n 1
f ' ' (a)  .... 
f ( n 1) (a)  Rn ,
n  1!
2!
dengan
h n n 
f a   h ; 0    1.
n!
Lagrange Rn 
Deret Taylor dari f (x ) disekitar x  a :
f ( x)  f (a)  x  a  f ' (a) 
 x  a 2
2!
f ' ' ( a )  .... 
 x  a n
n!
Deret Maclaurin dari f (x) :
x2
xn
f ( x )  f ( 0)  x f ' ( 0) 
f ' ' (0)  .... 
f
2!
n!
(n)
(0)  ...
Contoh Deret Maclaurin:
1. e x  1  x 
x2 x3
xn

 ... 
 ...
2! 3!
n!
2. sin x  x 
x3 x5 x7


 ... ( x dalam radian)
3! 5! 7!
3. cos x  1 
x2 x4 x6


 ... ( x dalam radian)
2! 4! 6!
4.
1
 1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x n  ...; x  1
1 x
60
f
(n)
( a )  ...
suku
sisa
5.
1
 1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x n  ...; x  1
1 x
6. Deret Binomial: 1  x   1  mx 
m
mm  1 2 mm  1m  2  3
x 
x  ...; x  1
2!
3!
(m= bilangan real)
Rumus Euler:
e iax  cos ax  i sin ax; i   1
6.16.
LIMIT DARI BENTUK-BENTUK TAK TENTU
Bentuk-bentuk tak tentu:
0 
, ,   , 0., 1 ,  0 .
0 
Penyelesaian limit bentuk tak tentu:
I.
Bentuk
0
. Berlaku aturan L’Hospital.
0
Aturan L’Hospital:
Jika f (a )  f ' (a )  f ' ' (a )  ....  f
g (a )  g ' (a )  g ' (a )  ....  g
( n 1)
( n 1)
(a )  0 dan
(a )  0 tetapi satu (masing-masing) dari f ( n ) (a )
dan g ( n ) ( a ) tidak nol, maka
lim
xa
II.
III.
Bentuk
f ( x) f ( n ) (a)

.
g ( x) g ( n ) (a)

. Berlaku langsung aturan L’Hospital.

Bentuk    :


1
1



1 
g ( x) f ( x) 0
 1
lim f ( x)  g ( x)  lim 

 lim
 , dst.

xa
x a 
x a
1
0
  1   1  




f ( x) g ( x)
  f ( x)   g ( x)  
61
IV.
Bentuk 0. :
f ( x)
0
g ( x)

 atau lim f ( x).g ( x)  lim
 , dst.
x a  1 
x a
x a 
0
1  




 g ( x) 
 f ( x) 
lim f ( x).g ( x)  lim
x a
V.
Bentuk 1 ,  0 ,0 0 :
lim f ( x )
x a
g ( x)
e
g ( x ) ln f ( x )
lim
x a
CONTOH:
I. Bentuk
0
0
cek :


2
x 1 1 1 0 
2x
2(1) 2
lim 3
  3
   lim 2 
 .
x1 x  1
3(12 ) 3
 1  1 0  x1 3x
2
a.
cek :


sin x  sin 0 0 
cos x
b. lim

   lim
 cos 0  1 .
x 0
x

0
x
0
1
 0
cek :


tg x  tg x 0 
sec 2 x
c. lim

   lim
 sec 2 0  1 .
x 0 x
x

0
0
1
 0
cek:
cek :




x  sin x  0  sin 0 0 
1  cos x  1  cos 0 0 
d. lim

   lim
 
 
3
3
2
x 0
x

0
0
0
x
3x 2
 0
 3(0)
cek :


sin x  sin 0 0 
cos x cos 0 1
 lim
 
   lim

 .
x 0 6 x
6
6
 6( 0) 0  x  0 6
II. Bentuk


cek :
1


 
ln x  ln     
x
 1 
1. lim

   lim    
  0.
x  x
  x  1
 

62
cek :
 cos x 





cot g x.tg x
lnsin x   ln(sin 0) ln 0
 
sin x 

 


   lim
 lim
1
2. lim

2
x  0 ln tg x 
    x 0  sec x  x 0 sec 2 x
 lntg x  ln 0


 tg x 
III.
Bentuk   
cek:


1   1
1
1 1
ex 1  x
1

1. lim   x

        lim

x
x 0  x
e  1  0 e0  1 0 0
 x 0 x e  1




cek:
cek:






0
x
0
 (e  1)  0 0 

e 1
e 1
0
 
   lim x
  0
 
0
x
0
0  x  0 1 e  1  xe
0
 0 e 1
 1 e  1  0.e

 lim
x 0





ex
1
 .
x
x
x
2
e  e  xe
cek:
cek:




1   1
1
1 1
x ln x   x  1
 x

0
2. lim


        lim
  

x 1 x  1
x

1
x  1 ln x
ln x   1  1 ln 1 0 0


0
cek:



1
1
1. ln x  x.  1


ln
1

1

1
0
ln
x
1
x
 lim
 
   lim
 lim x
 .
x1
1  ln 1  (1  1)1 0  x 1
1 x1 1 1
2
1. ln x   x  1.
ln x  1 
 2
x
x
x x
IV. Bentuk 0.
cek:


cek:



1
x
0
0
1

1. lim xcosec x  0cosecx  0.  lim x.
 lim

   lim
 1.
x 0
x 0
sin x x  0 sin x  sin 0 0  x  0 cos 0
cek:









x
 

    


0

2
2
2

 
2. lim  x   tg x      tg  0.   lim
x  / 2
2

 2 2  2
 x   / 2 cot g x  cot g  0 
2


 lim
x  / 2
1
1

 1.
2

1
 cos ec x
63
Bentuk 1 ,  0 ,0 0
V.
1
cek:
cek:

lim x ln  1 1  
 1
x 

 x
1. lim 1    1  e
 e  .0  e
x 
x

x
 
lim
x 
e
2. limcos x  x 2
1
x 0
tg x
cek:

0
x2
1
1
x
lim
x   1
 (e 0 )  e
x2
 e.
cek:
lim
cek:

 lim 1 ln cos x 
x 0

 .0
x 0 x 2
 1 e
 e
e
 

1
3. lim 
x 0 x
 
1
1
1
x
 1
ln  1 
 x
lim
1
x 
x
 
 tg x
lim
e x 0 2 x
ln cos x 
x2
cek:

 00 
  e 
 
cek:

 sec 2 x
lim
0
 sec 2 0
1

 0
2
x

0


 e   e
e 2 e 2.
 
ln x
cek:
cek:
 lim
lim tg x ln 1


 lim tg x. ln x

cotg x
0
x
x

0
x

0
  e
e
 e  0.   e x  0
 



1
cek:
cek:



2 sin x cos x
2x
x
lim
sin
0

 lim
lim


 
2
x 0
1
  e   e x  0  cos ec x  e x 0 x   e 0   e
 e 0  1.
 
 
4.

lim
ex  x
x

cek:
 lim
     e x  
3
x
0
ln e x  x 


x


cek
:
3 lim
ln  e  x 

x 
  e 0.   e x  0
x
3
 
 ex  1 


cek:
cek:
cek:
ex






x
3
lim
 e x 1 

3 lim  e  x 


x 


3
lim
 
 
x  0  e x  x 
e x "1   e  
  e    e x   1
e
  e    e
 
 
 
 
e
3xlim
 x
e  e3 .
e
x
64
cek:
lim x ln x
cek:




0
5. lim x  0  e x  0
 e  0.   e
 
x
x 0


ln x
lim
x 0 
1 / x 
lim
cek:

e


x 0 
e
1 / x 
 1 / x 2 


lim x
 e x 0
 e0  1.
6.17.
NILAI EXTRIM
Max
y=f(x)
y=f(x)
f(a-h) f(a)
a-h
a
Min
f(a+h)
f(a-h)
a+h
X
a-h
f(a)
a
f(a+h)
a+h
y=f(x) max di x = a:
y=f(x) min di x = a:
 f ( a  h)  f ( a )

 f ( a  h)  f ( a )
 f ( a  h)  f ( a )

 f ( a  h)  f ( a )
X
Fungsi naik dan turun:
y=f(x)
y=f(x)


x1
X
x1
f naik di x1 jika f ' ( x1 )  0
f turun di x1 jika f ' ( x1 )  0
65
X
Max
Titik pada y=f(x) dimana garis singgungnya
y=f(x)
mendatar (// sb. X) disebut titik kritis.
f ' a  h   0 

f ' (a )  0  f (a ) max & f ' ' (a )  0
f ' (a  h)  0
Min
a-h
a
a+h
b
X
f ' a  h   0 

f ' ( a )  0  f (b) min & f ' ' (b)  0 .
f ' ( a  h)  0
Cekung ke atas dan cekung ke bawah :
y  f (x )
Y
Y
y  f (x )
O
x1
X
O
Cekung ke atas x1, f ' ' ( x1 )  0
x1
X
Cekung ke bawah di x1, f ' ' ( x1 )  0
Titik Belok:
y  f (x )
B
y  f (x )
B
O
X
O
X
Titik belok B dari y  f (x) adalah titik dimana terjadi perubahan dari ce kung ke bawah
ke cekung ke atas atau sebaliknya dan f ' ' ( x B )  0 . Pada umumnya jika:
f ' ' (a)  f
( 3)
(a )  ....  f
( n 1)
(a )  0 dan f
mempunyai titik belok pada x  a .
66
(n)
( a )  0 dimana n gasal, maka y  f (x)
Max dan Min dengan f n(x):
Jika f ' (a )  f ' ' (a )  ...  f n 1 (a )  0 dan f n  (a )  0 dimana n genap, dan jika:
1). f n  (a )  0 , maka y  f (x) max di x = a dan Ymax  f (a )
2). f n  ( a )  0 , maka y  f (x ) min di x = a dan Ymin  f (a)
Asymtote.
y  f (x )
Y
X
y  f (x )
h
y=h
y  f (x )
x=k
O
k
X
O
Asymtote tegak x  k :
Asymtote datar y  h :
jika lim y  f ( x)   
jika lim  y  f ( x)  h
xk
k
x  
y  ax  b
d  0 jika x  
y  f (x )
Asymtote miring y  ax  b :
jika y  f ( x )  ax  b  g ( x ) dengan lim g ( x)  0 atau lim g ( x)  0 .
x  
67
x 
X
Tentang simetri:
Simetri terhadap:
Jika:
Persamaan tidak berubah
1. Sumbu X
y diganti –y
Persamaan tidak berubah
2. Sumbu Y
x diganti –x
Persamaan tidak berubah
3. Titik O
x diganti –x & y diganti –y
Persamaan tidak berubah
4. Garis y = x
x diganti y & y diganti x
Persamaan tidak berubah
5. Garis y = -x
x diganti -y & y diganti –x
Persamaan tidak berubah
Nilai Extrim (max dan min) dari f(x):
Dicari dulu f ' ( x ) dan f ' ' ( x) .
Syarat titik kritis (titik stasioner): f ' ( x )  0 . Misal ketemu titik kritis: x  a .
Jika f ' ' (a )  0  Ymax  f ( a )
Jika f ' ' (a )  0  Ymin  f ( a )
Titik belok dicari dari f ' ' ( a )  0 .
Contoh:
Dapatkan titik-titik maximum dan minimum, titik belok dan sket grafik dari:
f ( x)  2 x 3  24 x  5 .
Penyelesaian:
f ( x)  2 x 3  24 x  5
f ' ( x)  6 x 2  24
f ' ' ( x )  12 x
f ' ' ' ( x )  12
Syarat extrim:
f ' ( x)  0  6 x 2  24  0  x 2  4  0  ( x  2)( x  2)  0  x1  2, x 2  2 .
68
Untuk x1  2  f ' ' (2)  12(2)  24  0  Ymax
Ymax  f (2)  2(2) 3  24(2)  5  37
Koordinat titik maximum di A( -2, 37).
Untuk x 2  2  f ' ' ( 2)  12( 2)  24  0  Ymin
Ymin  f (2)  2(2) 3  24(2)  5  27
Koordinat titik minimum di B(2, -27).
Koordinat titik belok didapat dari f ' ' ( x )  0  12 x  0  x  0 .
y  f (0)  2(0)  24(0)  5  5
Koordinat titik belok di C(0, 5).
Grafik:
A
Y
C
X
B
69
SOAL LATIHAN
1. Dapatkan y ' dari: a). x 2  y  ln y  0
Jawab: a). y ' 
b). e y  e 2 x  x 2 y 3  0
2 xy
y 1
b). y ' 
2. Dapatkan y ' dari: a). 3 x 3  2 y 2  x  y  0
2e 2 x  2 xy 3
3x 2 y 2  e y
b). 3 xy 2  x 3  2 xy 4  0

c). sin  x  y   y  1

d). ln x 2  y 2  2 x  3 y  0
x  1 t 2
b). 
t
y  t  e
 x  2t
3. Dapatkan y ' dari: a). 
2
 y  t  1
b). y ' 
Jawab: a). y '  t  1
 x  2t
4. Dapatkan y ' dari: a). 
2
 y  t  1
1  et
2t
x  1 t 2
b). 
t
y  t  e
5. Dapatkan deret Taylor dari fungsi:
a). f  x   x 3  2 x 2  5 x  2 disekitar titik x  4
Jawab:  78  59 x  4   14 x  4    x  4 
2
b). f  x  
3
1
disekitar titik x  1
x
Jawab: 1   x  1   x  1   x  1  ..........
2
3
6. Dapatkan deret Maclaurin dari:
a). f ( x)  e x cos x
b). f ( x )  e sin x
c). f ( x )  sec x
7. Dengan aturan L’Hospital dapatkan nilai:
a). lim
x 0
cos x  1
cos 2 x  1
Jawab: a).
1
4
b). lim
x 0
b). 
1
2
ln cos x 
x2
1 
 4
c). lim 2


x2 x  4
x2

c). 
70
1
4
d). lim1  x  tg
x 1
d).
2

x
2
8. Dengan aturan L’Hospital dapatkan nilai:
cos 2 x  cos x
x 0
sin 2 x
a). lim
5 x 2  3x  6
x  2 x 2  5 x  1
b). lim
1
 5
d). lim1  
x 
x

c). lim x x
x 
x
e). limcos x 
x 0
9. Dapatkan titik-titik maximum, minimum dan titik belok (kalau ada) dari:
a). f ( x ) 
1 3
x  2 x 2  3x  1
3
10. Gambarkan kurva: a). y 
b). f ( x)  x 2  4 x  8
1
1 x2
b). y 
c). y   x 3  3 x 2  9 x  5
x2  3
x2
11. Dapatkan persamaan garis lurus melalui (3,4) yang dengan sumbu OX + dan sumbu OY +
membentuk sebuah segetiga dengan luas minimum.
Jawab: 4x +3y =24
12. Dapatkan ukuran sisi-sisi dari sebuah empat persegi panjang dengan luas m aksimum yang
dapat dibuat didalam sebuah lingkaran dengan jari -jari 25 cm.
71
1
x2
6.18.
INTEGRASI PARSIAL
Jika u  f (x) dan v  g (x ) adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel/terdeferensialkan,
maka:
 u dv  uv   v du
 RUMUS INTEGRASI PARSIAL
Rumus ini sangat berguna teritama jika integrand terdiri dari fungsi -fungsi transcendent,
misalnya: ln x, arcsin x, arctg x, atau hasil ganda seperti: xe x , e x sin x, x cos x, x 2 ln x.
Cara memakai rumus ini:
a. dv dipilih sehingga v mudah dicari
b.
 v du harus menjadi lebih mudah daripada  u dv .
Contoh:
1. I   xe  x dx
dv  e  x dx
Misal: u  x
v   e  x dx  e  x
du  dx
I  xe  x    e  x dx  xe  x  e  x  C .
2. I   arctg x dx
dv  dx
Misal: u  arctg x
du 
1
1 x2
I   arctg x dx  x arctg x   x.
 x arctg x 
v   dx  x
1
dx
1 x2
1
2x
dx

2 1 x2
1
 x arctg x  ln (1  x 2 )  C
2
72
3. I   e ax cos bx dx
Penyelesaian:
Misal: u  e ax
dv  cos bxdx
du  ae ax dx
v
1
sin bx
b
1
1

I  e ax  sin bx    sin bx ( ae ax dx )
b
b

I
1 ax
a
e sin bx   e ax sin bx dx
b
b 


I1
Diselesaikan dulu: I 1   e ax sin bx dx
Misal: u  e ax
dv  sin bxdx
1
v   cos bx
b
du  ae ax dx
 1

 1

I 1  e ax   cos bx      cos bx ( ae ax dx )
b
b




1
a
  e ax cos bx   e ax cos bx dx
b
b
1
a
I 1   e ax cos bx  I
b
b
Karena I 
1 ax
a
1
a 1
a 
e sin bx  I 1 , maka I  e ax sin bx   e ax cos bx  I 
b
b
b
b b
b 
 a2
1  2
 b
I

e ax
 I  2 a cos bx  b sin bx 
b

e ax
a cos bx  b sin bx   C
a2  b2
73
6.19.
PENERAPAN D-1 PADA BEBERAPA ITT
D
d
operator derivatif/turunan
dx
1
 D 1   .....dx operator integral
D
Deret Maclaurin dari:
1
 1  D  D 2  ....
1 D
1
 1  D  D 2  ....
1 D
D sin ax  a cos ax; D 2 sin ax   a 2 sin ax
D cos ax   a sin ax; D 2 cos ax   a 2 cos ax
D
D
2
2






 b 2 sin ax   a 2  b 2 sin ax 
 sehingga:
 b 2 cos ax   a 2  b 2 cos ax 
1
sin ax
sin ax 
;
2
D b
 a 2 b 2
2
RUMUS:
1
cos ax
.
cos ax 
2
D b
 a 2 b 2
2
1 ax
1
e V  e ax
V
D
Da


D e axU  ae axU  e axU
Bukti:
 e ax ( D  a )U
Misal:
( D  a )U  V
U
1
V
Da
1


D e ax .
V   e axV
D

a


Jadi:
1 ax
1
e V  e ax
V.
D
Da
74
CONTOH:
1 ax
1
1
e cos bx  e ax
cos bx  e ax ( D  a )
cos bx
D
Da
( D  a )( D  a )
1. I   e ax cos bx dx 
 e ax ( D  a ).
I
1
1
e ax
ax
 b sin bx  a cos bx 
cos
bx

e
(
D

a
).
cos
bx

D2  a2
 b2  a2
 b2  a2
e ax
b sin bx  a cos bx   C
b2  a2
2. I   e 3 x x 2  3 x  2 dx 



1 3x 2
1
e x  3x  2  e 3 x
x 2  3x  2
D
D3


1
1
1  D D2
 e3x . .
x 2  3 x  2  e 3 x 1  
 ... x 2  3 x  2
3  D
3 
3
9

1  
3







1 
1
1 
1 
11
29 
 e 3 x  x 2  3 x  2  2 x  3  .2   C  e 3 x  x 2  x    C
3 
3
9 
3 
3
9 
I


1 3x
e 9 x 2  33 x  29  C
27
RUMUS:
1
1
1
1
UV  U . V  DU . 2 V  D 2U . 3 V  ...
D
D
D
D
Bukti:
Jika y  UV dengan U  f (x) dan V  g (x ), maka turunan tingkat n, y ( n )  D ( n ) (UV )
dirumuskan oleh Leibnitz sebagai berikut:
D n (UV )  U .D nV  nDU .D n 1V 
1
n( n  1) D 2U .D n  2V  ....
2!
Dengan memasang n = -1, maka didapat:
1
1
1
1
UV  U . V  DU . 2 V  D 2U . 3 V  ...
D
D
D
D
75
CONTOH:
1
1
1
1.
 x cos 2 x dx  D x cos 2 x  x. D cos 2 x  Dx. D
2.
x e
3 2 x
cos 2 x 
2
1
1
x sin 2 x  cos 2 x  C .
2
4
1 3 2 x
1
1
1
1
x e  x 3 . e  2 x  Dx 3 . 2 e  2 x  D 2 x 3 3 e  2 x  D 3 x 3 4 e  2 x
D
D
D
D
D
dx 
1
3
3
3
  x 3 e  2 x  x 2 e  2 x  xe  2 x  e  2 x  C
2
4
4
8


1
  e 2 x 4 x 3  6 x 2  6 x  3  C
8
3.
6.20.
x
2
cos 3 x dx 
1 2
1

 1

 1

x cos 3 x  x 2  sin 3 x   ( 2 x)  cos 3 x   2.  sin 3 x   C
D
3

 9

 27

RUMUS-RUMUS REDUKSI
1.
x
2.
n
 sin x dx 
 sin n 1 x cos x n  1

sin n  2 x dx; n : bilangan bulat positif  2 .
n
n 
3.
n
 cos x dx 
cos n 1 x sin x n  1

cos n  2 x dx; n : bilangan bulat positif  2 .

n
n
4.
n
 tg x dx 
5.
n
 cotg x dx 
6.
n
 sec x dx 
7.
n
 cosec x dx 
8.
n
e x dx  x n e x  n  x n 1e x dx; n : bilangan bulat positif  1 .
dx
 1  x 
2 n
tg n 1 x n  1

tg n  2 x dx;
n 1
n 

n : bilangan bulat positif  2 .
- cotg n 1 x
  cotg n  2 x dx; n : bilangan bulat positif  2 .
n 1
sec n  2 x tg x n  2

sec n  2 x dx; n : bilangan bulat positif  2 .

n 1
n 1
- cosec n  2 x cotg x n  2

cosec n  2 x dx; n : bilangan bulat positif  2
n 1
n 1 

x
2(n  1) 1  x

2 n 1

2n  3
dx

2n  2 1  x 2

76

n 1
; n  1.
Contoh:
dx
 1  x 
1.
2 2

dx
 1  x 
2.
2 3/ 2
x
x
1
dx
1
 

 arctg x  C
2
2
2
2 1 x
2
2 1 x
2 1 x





x

3 
2  1 1  x
2 
x

1 x2


3
2 2 1


2 32   3
2 32   2 
dx
1  x 
3
2 2 1
C
SOAL LATIHAN
1. Dengan rumus integrasi parsial,selesaikan:
a).
x
e).
x
2
1
2
ln x dx
f).  arcsin 2 x dx
b).
x
e).  e 2 x sin x dx
f).
 x
3
g).
x
2
arctg x dx
d).
 x ln 2 x dx
h).
 xe
3 x
dx
1
, selesaikan:
D

a).
c).  arcsin x dx
1  x dx
b).
2. Dengan rumus
 x
x
cos x dx
 2 x  2 e  x dx
c).  e  x cos 2 x dx
2 3x
e dx
2

 2 x ln x dx
g).
ln 2 x
 x 2 dx
ln x
dx
x4
d).

h).
x
3
cos 2 x dx
3. Dengan rumus reduksi, selesaikan:
a).  sin 3 x dx
b).  cos 3 x dx
c).
e).  sec 3 x dx
f).  cosec 3 x dx
g).  sin 6 x dx
i).  cot g 4 x dx
j).
1
 1  x 
2 3
k).
dx
77
 tg
 x
3
1
2
d).  cotg 3 x dx
x dx

 x 1
2
h).
 tg
dx l).
 x
5
x dx
1
2
 4x  8

3
dx
6.21.
INTEGRASI FUNGSI PECAH RASIONAL
T ( x)
 N ( x) dx
dengan derajat pembilang < derajat penyebut.
Ada beberapa kasus berhubungan dengan penyebut:
1. Jika N ( x )  ( ax  b)(cx  d ) maka
T ( x)
A
B


N ( x) ax  b cx  d
2. Jika N ( x)  (ax  b) k (cx  d ) maka
T ( x)
A
B
K
U


 ... 

2
k
N ( x) ax  b ax  b 
ax  b  cx  d


3. Jika N ( x)  (ax 2  bx  c)( px  q ) dengan D  b 2  4ac  0 maka
T ( x)
Ax  B
C
 2

N ( x) ax  bx  c px  q


4. Jika N ( x)  (ax 2  bx  c) 2 ( px  q ) dengan D  b 2  4ac  0 maka
T ( x)
Ax  B
Cx  D
 2

2
N ( x) ax  bx  c ax  bx  c


2
 ... 
ax
Ux  V
2
 bx  c

k

W
px  q
Contoh:
1. I  
23  2 x
23  2 x
dx  
dx
2
2 x  1x  5
2x  9x  5
Penyelesaian:
23  2 x
A
B
dikalikan dengan 2 x  1 x  5 , menjadi


2 x  1x  5 2 x  1 x  5
23  2 x  A x  5  B2 x  1
Untuk x  5  23  2 5  B  11  B  3
Untuk x 
1
1
 11 
 23  2   A   A  4
2
2
2
78
I 
2. I  
4
3
dx  
dx  2 ln 2 x  1  3 ln x  5  C
2x  1
x5
3x  1
3x  1
dx  
dx
x  2x  1
x  12
2
Penyelesaian:
3x  1
x  1

2
A
B
2
dikalikan dengan  x  1 , menjadi

2
x  1  x  1
3 x  1  A x  1  B
Untuk x  1  3  1  B  B  2
Untuk x  0  1  A  B  A  3
I 
3. I  
3
2
2
dx  
dx  3 ln x  1 
C
2
x 1
x 1
x  1
x 1
dx
x  1 x 2  1


Penyelesaian:
x 1
A
Bx  C
dikalikan  x  1 x 2  1 , menjadi

 2
2
x  1 x  1 x  1 x  1






x  1  A x 2  1  Bx  C  x  1
Ketemu A  1, B  1, C  0
I 
4. I  
1
x
1
dx   2
dx   ln x  1  ln x 2  1  C
x 1
2
x 1
2x 2  3
x
2

1
2
dx
Penyelesaian:
2x 2  3
x
2

1
2

2
Ax  B Cx  D
dikalikan dengan x 2  1 , menjadi

2
2
2
x 1
x 1

 



2 x 2  3   Ax  B  x 2  1  Cx  D
79
x03 BD

x  1  5  2 A  2 B  C  D 
Untuk
  B  2, D  1, A  0, C  0 .
x  1  5  2 A  2 B  C  D 
x  2  11  10 A  5 B  2C  D 
 2

1
1
1
I   2

dx  2 
dx  
2 
2
2
1 x
1 x2
 x  1 x  1 




2
dx


x
1
 2 arctg x  
 arctg x   C
2
2
2 1 x




5
x
arctg x 
C
2
2 1 x2


SOAL LATIHAN:
1. Selesaikan: a).
x
2
3
dx
 5x  4
 x 4
Jawab: a). ln
C
 x 1 
1
dx
x
2. Selesaikan: a).
x
e).
x
h).
x2  x 1
 ( x  2)( x  1) 2 dx
k).
 (3x  2)( x  1)
n).
 x  1x
3. Selesaikan: a).
d).
2
2
x
b).
1
dx
 16
(3 x  5)
x
2
4
2

dx
 1  x  1  x 
2 2
x
b).
25
4
ln  x  5  ln  x  2   C
3
3
c).
 6x
i).
 ( x  1)( x
o).
2
 xx
x2
dx
 7x  2
f).
dx
2
 2 x  1)
x  1
 ( x  2) x  1
2
x
2
dx
1
dx
1
4
b).
dx
2
1
dx
x2
dx l).
1
 x 3  1 dx
2x
2
10  7 x
dx
 7 x  10
b).
e).
t
 1  t 1  t 
2
 x
80
x2
2

1
2
dx
dt
1
2

 9x
d).
1
dx
g).
 ( x  2)( x  1)
j).
 (2 x  1)( x
1
dx
4
2
3x  2
2
dx
(2 x  3)
dx
2
 2 x  1)
1
m).
 x(1  x
p).
 x  1x
2
dx
)
 x  3
2
2
 dx
c).
2t 2  3
 t 4  2t 2  1 dx
f).
 1  t 
1
2 2
dt
6.22.
INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI
Ingat-ingat beberapa rumus berikut:
1. sin 2 x  cos 2 x  1
7. sin x sin  x 
1
sin    x  sin    x 
2
8. cos x cos  x 
1
cos    x  cos    x
2
9. sin x sin  x 
1
cos    x  cos   x
2
2. sin 2 x  2 sin x cos x
3. cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
4. sin 2 x 
1
1  cos 2 x 
2
1
5. cos x  1  cos 2 x 
2
2
6. sin  x    sin x; cos( x)  cos x
Bentuk:
 sin x cos x dx;  cos x cos x dx;  sin x sin x dx
CONTOH:
1 1

1.
 sin 6 x cos 2 xdx   2 sin 8 x  sin 4 xdx  2  8 cos 8 x  4 cos 4 x   C
2.
 cos 6 x cos 3xdx   2 cos 9 x  cos 3xdx  2  9 sin 9 x  3 sin 3x   C
3.
 sin 3x sin 2 xdx   2 cos x  cos 5 xdx  2 sin x  5 sin 5 x   C
4.
 sin
5.
 cos
1
1 1
1
1
1
2
2
x dx  
1
1
1
1  cos 2 xdx  1  x  1 sin 2 x   C
2
2
2

2 x dx  
1
1  cos 4 xdx  1  x  1 sin 4 x   C
2
2
4

81

1

Bentuk:
 Rsin x, cos x  dx;
Substitusi: tg
R  fungsi rasional
x
x
2dt
 t   arctg t , x  2 arctg t  dx 
2
2
1 t2
x
x
x
2 sin cos
2 tg
2
2 
2  sin x  2t
sin x 
x
x
x
1 t2
cos 2  sin 2
1  tg 2
2
2
2
x
 sin 2
2
cos x 
x
cos 2  sin 2
2
cos 2
x
1  tg 2
2 
x
1  tg 2
2
x
2
2  cos x  1  t
x
1 t2
2
Maka:
 2t 1  t 2


R
sin
x
,
cos
x
dx

R

  1  t 2 , 1  t 2
 2 dt
.
.
2
 1 t
CONTOH:
a.
dx
1  t 2 2 dt
dt
x

 sin x  2t . 1  t 2   t  ln t  C  ln tg 2  C
b.
 5  4 cos x  
dx
2 dt
dt
2
t
 2
 arctg  C
2
2
3
3
9t
1 t  1 t

5  4
2 
1 t 
1
2

.
2
1 x
arctg  tg   C .
3
3 2
82
Bentuk:
 Rsin x, cos x  dx   R sin x, cos x  dx
Disini integrand merupakan fungsi genap terhadap sin x dan cos x , maka:
Substitusi: tg x  t  x  arctg t  dx 
dt
1 t2
sin x 
1 t2
t
t
cos x 
t
1 t2
1
1 t2
x
1
CONTOH:
I 
1
dx  
sin x  sin x cos x
 t


2
 1 t
2

1
2
  t
 
 
2
  1 t




dt
2
1  1 t


1 t2 
.
dt
1
t 1
 1
 
 dt  ln
 C  ln 1  cot g x  C .
t t  1
t
 t 1 t 
Bentuk:
 Rtg x  dx
Substitusi: tg x  t  x  arctg t  dx 
dt
1 t2
CONTOH:
I 
1  tg x
1  t dt
1 t
dx  
.

dt
2
1 - tg x
1 t 1 t
1  t  1  t 2


1 t
A
Bt  C
dikalikan dengan 1  t  1  t 2 , maka:


2
2
1  t  1  t 1  t 1  t



83



1  t  A 1  t 2  Bt  C 1  t 
1  t   A  C   B  C t   A  B t 2
A  C  1

B  C  1  A  1, B  1, C  0 .
A  B  0
t 
1
1 t
 1
I  

dt   ln 1  t  ln 1  t 2  C   ln
C
2 
2
1  t 1  t 
1 t2
  ln
6.23.
INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
No
1
Integrand

a x

3
dx
 a2  x2
4

5

7


Substitusi
Hasil:
x  a sin t
dx
2
2
6
1  tg x
 C   ln 1  tg x  cos x  C   ln cos x  sin x  C .
sec x
arcsin
2
1
x
2
2
2
 x a  x  a arcsin   C
2
a
a 2  x 2 dx
x  a tg t
1
x
arctg  C
a
a
dx
a x
2
x
C
a
ln x  x 2  a 2  C
2
1
 x x 2  a 2  a 2 ln x  x 2  a 2   C

2
x 2  a 2 dx
dx
x  a sec t
ln x  x 2  a 2  C
x2  a2
1
 x x 2  a 2  a 2 ln x  x 2  a 2   C

2
x 2  a 2 dx
84
Penjelasan untuk nomor 1 dan 2 :
x  a sin t  sin t 
a
dx  a cos t dt
x

a2  x2

2.

1
a x
2
dx  
2
 a 2  x 2  a cos t
1
x
.a cos t dt   dt  t  C  arcsin  C .
a cos t
a
a 2  x 2 dx   a cos t .a cos t dt  a 2  cos 2 t dt  a 2 
1
1  cos 2t  dt  1 a 2  t  1 sin 2t   C
2
2  2

2
2
1 
 1

 x x a x
 a 2  t  .2 sin t cos t   C  a 2 arcsin    .
2 
a
 2

a a
  a 2  x 2 dx 

a 2  x 2  a 2  a 2 sin 2 t  a 2 1  sin 2 t  a 2 cos 2 t
t
1.
x
x
, t  arcsin
a
a

C

1
 x 
x a 2  x 2  a 2 arcsin    C

2
 a 
Untuk no 3,4,5:
x  a tg t  tg t 
x2  a2
x
x
 x
 t  arctg  
a
a
dx  a sec 2 t dt


a 2  x 2  a 2  a 2 tg 2 t  a 2 1  tg 2 t  a 2 sec 2 t
t
x 2  a 2  a sec t
a
Untuk nomor 6,7:
x  a sec t ; dx  a sec t tg t dt
sec t 
x
x2  a2
t
x
;
a
x 2  a 2  a 2 sec 2 t  a 2  a 2 (sec 2 t  1)
 a 2 tg 2 t  a tg t
a
85
SOAL LATIHAN:
 sin 2 x cos 4 x dx
d).  sin x cos dx
b).  cos 3 x cos 2 x dx
1. Selesaikan: a).
2
c).  sin 5 x sin x dx
e).  cos 2 3 x dx
2
1
1
cos 2 x  cos 6 x  C
4
12
b).
1
1
sin x  sin 5 x  C
2
10
c).
1
1
sin 4 x  sin 6 x  C
8
12
d).
1
1
x  sin 4 x  C
8
32
e).
1
1
x  sin 6 x  C .
2
12
Jawab: a).
2. Selesaikan: a).
2
d).  sin 2
3. Selesaikan: a).
1
3
1
b).  cos x cos x dx
4
3
 sin 3 x cos 2 x dx
1
x dx
2
1
b).
1
 sin x  cos x  1 dx
x


 5tg  4 
2
2
C
Jawab: a). arctg 
3
3






c).
1
4. Selesaikan: a).
 sin x  cos x  1 dx
5. Selesaikan: a).
 1  3 sin
Jawab: a).
1
x
dx
1
arctg 2 tg x   C
2
6. Selesaikan: a).
1
 1  cos
2
x
dx
c).
1
 2  cos x dx
d).
1
 3  5 sin x dx
1


 tg x 
2
C
b). ln
 1  tg 1 x 


2 

 3 x
2 3
arctg 
tg   C
3
3
2

2
2
x dx
3
e).  cos 2
 4 sin x  5 dx
1
1
c).  sin x sin x dx
3
5
1 3 tg 2x  1
ln
C
4 tg 2x  3
d).
1
b).
 2  sin x dx
b).
 9 sin
b).
1
3

arctg  tg x   C
6
2

b).
 9 cos
86
2
2
c).
1
dx
x  4 cos 2 x
1
dx
x  4 sin 2 x
1
 1  sin x  cos x dx
7. Selesaikan: a).

d).

Jawab: a). arcsin
1
4 x
2
1
x2  4
b).

25  x 2 dx
c).
9 x
dx
e).

x 2  9 dx
f).

x
C
2
b).
d). ln x  x 2  4  C
8. Selesaikan: a).

e).

1
dx
e).
1
9  4x 2
2
dx
1
x2  9


1
x 25  x 2  25 arcsin 5x  C
2
1
 x x 2  9  9 ln x  x 2  9   C

2
dx
1
28  12 x  x 2
b).
dx
1
 9  4x
f).
2
dx c).
 9x
87
2

9  4 x 2 dx
1
dx
 12 x  8
dx
c).
1
 x
arctg    C
3
3
f). ln x  x 2  9  C
d).

g).

1
x 2  2x  3
1
4x  x 2
dx
dx