bab i pendahuluan
advertisement
BAB I PENDAHULUAN Investasi merupakan kegiatan menempatkan sejumlah dana yang dimiliki pada saat ini dengan harapan akan memperoleh keuntungan di masa mendatang. Berdasarkan jenis aset, investasi dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu investasi dalam bentuk aset riil (contohnya adalah pembelian aset produktif seperti tanah, rumah, atau emas) dan investasi dalam bentuk aset finansial. Sertifikat deposito dan commercial paper adalah contoh aset finasial untuk investasi di pasar uang; sedangkan di pasar modal dapat berupa saham, obligasi, atau opsi. 1.1 Latar Belakang Masalah Opsi (option) adalah kontrak resmi yang memberikan hak (tanpa adanya kewajiban) kepada pemegang kontrak (option buyer/option holder) untuk membeli atau menjual sebuah aset (yang disebut aset dasar, misalnya saham suatu perusahaan, komoditas, valuta asing, dan lain-lain) pada harga tertentu (yang dikenal dengan nama harga kesepakatan atau strike price) dan dalam jangka waktu tertentu (expiration date/maturity date). Apabila pada saat jatuh tempo pemegang opsi tidak menggunakan haknya, maka hak tersebut hilang dengan sendirinya. Berdasarkan jenis hak yang dimiliki, opsi dapat dibagi menjadi dua macam yaitu opsi beli (call option) dan opsi jual (put option). Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Eropa (yaitu opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo) dan opsi Amerika (yaitu opsi yang dapat dieksekusi kapan pun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo. Harga opsi tipe Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula BlackScholes yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes. Penentuan harga opsi tipe Amerika lebih sulit dibandingkan dengan opsi tipe Eropa karena memungkinkan pelaksanaan opsi di awal (early exercise). 1 2 Permasalahan penilaian opsi jual tipe Amerika adalah suatu permasalahan batas bebas. Di dalam literatur, terdapat dua jenis pendekatan untuk penilaian opsi tipe Amerika yaitu pendekatan numerik dan pendekatan analitik. Setiap jenis pendekatan memiliki kelebihan dan keterbatasan masing-masing. Terdapat dua subkategori dalam metode pendekatan numerik, yaitu subkategori dimana persamaan Black-Scholes diselesaikan dengan melakukan diskritisasi waktu dan harga saham dan subkategori yang berdasarkan pada valuasi risiko netral pada setiap langkah. Pendekatan yang termasuk dalam subkategori pertama adalah metode beda hingga (Schwartz [1965], Brennan dan Schwartz [1977], Wu dan Kwok [1997]), metode elemen hingga (Allegretto et al [2001]), dan metode fungsi basis radial (Hon dan Mao [1997]). Pendekatan yang termasuk dalam subkategori kedua adalah metode binomial (Cox et al [1979]), metode simulasi Monte Carlo (Grant et al [1996]), dan metode kuadrat terkecil (Longstaff dan Schwartz [2001]). Metode-metode yang termasuk dalam pendekatan analitik adalah metode pendekatan opsi majemuk (Geske dan Johnson [1984]), metode pendekatan kuadratik (MacMillan [1986], Barone-Adesi dan Waley [1987]), metode interpolasi (Johnson [1983]), dan beberapa metode lainnya. Kebanyakan pendekatan analitik tradisional berdasar pada metode perturbasi atau asimtotik seperti Barles et al [1995], Kuske dan Keller [1998], dan Knessl [2001]. Penelitian yang ditulis oleh Chen et al [2000] dan Chen dan Chadam [2005] menyatakan bahwa semua pedekatan tersebut hanya valid untuk jangka waktu yang singkat sebelum masa jatuh tempo. Zhu [2006] menggunakan metode analisis homotopi untuk menentukan solusi penilaian opsi jual tipe Amerika. Selanjutnya, Cheng et al [2010] dan Liao [2012] juga berkontribusi dalam memodifikasi hasil-hasil sebelumnya untuk mendapatkan solusi opsi jual tipe Amerika dalam kerangka metode analisis homotopi. Berdasarkan homotopi dalam topologi, metode analisis homotopi bersifat independen terhadap parameter fisik kecil ataupun besar. Dengan demikian, tidak seperti teknik asimtotik atau perturbasi, metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah non linear khususnya yang tidak memiliki parameter fisik. Metode analisis homotopi juga memberikan cara untuk menjamin konvergen- 3 si dari solusi barisan sehingga hasilnya valid untuk permasalahan yang sangat tidak linear. Liang dan Jeffery [2010] menunjukkan bahwa ketika metode lain memberikan hasil yang divergen, metode analisis homotopi dapat memberikan hasil yang konvergen. Metode analisis homotopi memberikan kebebasan untuk memilih jenis persamaan dari sub-permasalahan linear dan fungsi basis dari solusi. Dengan adanya kebebasan ini, beberapa permasalahan non linear yang rumit dapat diselesaikan dengan cara yang lebih mudah. Seperti yang telah dibuktikan oleh Liao [2003], metode analisis homotopi secara logika memuat beberapa metode seperti metode parameter kecil artifisial Lyapunov, metode dekomposisi Adomian, metode ekspansi δ , dan transformasi Euler sehingga metode analisis homotopi adalah metode yang sangat umum. Metode analisis homotopi merupakan suatu alat analitik yang sangat berguna untuk menyelesaikan permasalahan non linear dalam bidang sains, keuangan, dan teknik. Berdasarkan uraian pada latar belakang tersebut, maka peneliti akan mengkaji tentang metode analisis homotopi untuk penilaian opsi jual tipe Amerika. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan uraian pada latar belakang, permasalahan yang menjadi fokus penelitian ini adalah menentukan solusi penilaian opsi jual tipe Amerika mengunakan metode analisis homotopi untuk diaplikasikan pada opsi saham dan asuransi pertanian berbasis indeks curah hujan. 1.3 Pembatasan Masalah Dalam penulisan ini, pembatasan masalah sangat diperlukan untuk menjamin keabsahan dalam kesimpulan yang diperoleh. Adapun beberapa batasan masalah sebagai berikut. Opsi yang digunakan adalah tipe Amerika dengan kerangka Black-Scholes. Pembahasan dalam tesis ini difokuskan pada perhitungan harga opsi dengan aset dasar yang berdistribusi lognormal. Studi kasus akan dilakukan dalam dua bidang, yaitu bidang keuangan berupa opsi dengan aset dasar saham dan bidang 4 asuransi pertanian. Perhitungan harga premi untuk asuransi pertanian menggunakan pendekatan opsi jual. Asuransi pertanian berdasarkan indeks parameter berupa curah hujan kumulatif dasarian dengan penentuan bulan asuransi sesuai dengan musim tanam yang ada dan dikhususkan untuk daerah yang berpotensi mengalami kekeringan. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah mempelajari metode analisis homotopi untuk menentukan solusi penilaian opsi jual tipe Amerika dan mengaplikasikannya pada bidang keuangan dan asuransi. 1.5 Metode Penelitian Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah bimbingan dan diskusi dengan dosen pembimbing, studi literatur, dan pengolahan data. Sumber literatur diperoleh dari buku, artikel, dan jurnal yang terkait dengan tema penelitian. Analisis mengenai metode analisis homotopi diperoleh dari artikel jurnal An explicit series approximation to the optimal exercise boundary of American put options oleh Cheng et al [2010] dan buku Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations oleh Liao [2012] dan pembahasan tentang asuransi pertanian berbasis indeks cuaca diperoleh dari IFAD [2011] dan Insyafiah dan Wardhani [2014]. Pengolahan data dalam studi kasus dilakukan dengan bantuan program Matlab dan Mathematica. 1.6 Tinjauan Pustaka Metode analisis homotopi merupakan suatu metode aproksimasi analitik untuk menyelesaikan permasalahan non linear. Berbeda dengan metode asimtotik atau perturbasi, metode ini cukup independen terhadap sebarang parameter sehingga dapat memberikan solusi yang valid untuk jangka waktu yang lama. Selanjutnya, metode analisis homotopi merupakan metode gabungan dari beberapa metode non perturbasi lainnya, seperti metode parameter kecil artifisial Lyapunov, metode de- 5 komposisi Adomian, dan metode ekspansi δ sehingga metode analisis homotopi adalah metode yang lebih umum. Metode analisis homotopi juga dapat dikombinasikan dengan baik dengan berbagai metode matematis lainnya, seperti metode PadeĢ, metode ekspansi barisan, metode transformasi integral, dan metode numerik. Zhu [2006] pertama kali mengaplikasikan metode analisis homotopi untuk menyelesaikan permasalahan opsi jual tipe Amerika dan berhasil memberikan solusi dalam bentuk barisan rekursif tak hingga yang melibatkan integral lipat dua. Selanjutnya, Zhu menggunakan menggunakan aturan Simpson untuk integrasi spasial dan aturan trapezoid untuk integrasi temporal ke dalam setiap solusi rekursif. Hal ini merupakan kontribusi yang sangat baik untuk menemukan suatu rumus analitik tanpa melibatkan parameter tambahan. Dengan aproksimasi orde 30 menggunakan integrasi numerik, Zhu [2006] dapat mendemonstrasikan konvergensi dari hasilnya secara numerik yang mengindikasikan kebenaran dari rumus yang diperolehnya. Cheng et al [2010] meninjau ulang permasalahan opsi jual tipe Amerika dengan menggunakan metode analisis homotopi. Terdapat dua perbedaan utama dalam hasil Cheng et al [2010] dan Zhu [2006]. Yang pertama, Cheng et al [2010] tidak menggunakan integrasi numerik dalam prosedur rekursif, melainkan metode ekspansi barisan. Mereka menurunkan solusi aproksimasi barisan dalam ben√ tuk barisan pangkat τ , dengan τ adalah waktu sampai jatuh tempo. Hal ini dapat dimanfaatkan oleh praktisi pasar yang tidak familiar dengan metode numerik. Yang kedua, Cheng et al [2010] tidak menggunakan transformasi Landau (Landau [1950]): x = ln[B(τ )/S], dengan B(τ ) adalah batas eksekusi optimal dan S adalah harga aset dasar, untuk merumuskan ulang permasalahan batas bergerak ke permasalahan batas tetap sebelum diselesaikan menggunakan metode analisis homotopi. Sebagai gantinya, Cheng et al [2010] secara langsung menyelesaikan permasalahan batas bergerak dalam kerangka metode analisis homotopi. Dengan demikian, untuk permasalahan opsi tipe Amerika lainnya ketika tidak dapat ditemukan transformasi Landau, maka metode dari Cheng et al [2010] masih dapat digunakan. Penelitian dalam tesis ini didasari oleh buku yang ditulis oleh Liao [2012] dimana Liao lebih lanjut memodifikasi pendekatan berdasarkan metode analisis homotopi dari Cheng 6 et al [2010]. 1.7 Sistematika Penulisan Tesis ini disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini membahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, metode penelitian, tinjauan pustaka, dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas tentang teori-teori dasar mengenai opsi, return, volatilitas, variabel random, distribusi peluang kontinu, uji normalitas data, persamaan diferensial parsial Black-Scholes, rumus opsi Black-Scholes, metode analisis homotopi, dan asuransi pertanian berbasis indeks curah hujan. BAB III PEMBAHASAN Bab ini merupakan bab inti dari penulisan ini yang membahas mengenai metode analisis homotopi untuk menentukan solusi penilaian opsi jual tipe Amerika dan asuransi pertanian berbasis indeks cuaca. BAB IV STUDI KASUS Bab ini membahas mengenai menganalisa implementasi numeris dari metode analisa homotopi untuk opsi saham dan asuransi pertanian pada data curah hujan. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan masalah dan saran sebagai konsekuensi dari kekurangan maupun kelebihan dari hasil pembahasan.