Matematika Terapan

Matematika Terapan
Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs
Pertemuan 1
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711
web:www.polsky.ac.id mail: [email protected]
Tel. / Fax.: +62 714 321099
2/17/2016
1
Teori Himpunan
 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
 Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau
anggota.
 Obyek diskrit dalam kehidupan sehari – hari : buku, komputer,
mahasiswa, nilai ujian,dll
 Pada prakteknya, data yang diolah komputer adalah dalam
bentuk diskrit, misalnya angka, karakter, suara , gambar
(digital)
 Dalam membicarakan obyek diskrit, kita sering menjumpai
situasi yang berhubungan dengan sekumpulan obyek dalam
suatu kelompok atau kelas
2/17/2016
2
Enumerasi
(Mendaftar semua anggotanya)
Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara
dua buah tanda kurung kurawal
Contoh 1
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8,
10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
2/17/2016
3
Enumerasi Cont…
Keanggotaan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota
himpunan A.
2/17/2016
4
Enumerasi Cont (2)…
Contoh 2.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},
R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3A
5B
{a, b, c}  R
cR
{}  K
{}  R
2/17/2016
5
Enumerasi Cont (3)…
Contoh 3
Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}
maka
a  P1
a  P2
P1  P2
P1  P3
2/17/2016
6
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ...}
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ...}
Z = himpunan bilangan bulat ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan
dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah
himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
2/17/2016
7
Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4
i.
A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x  P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
ii.
M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil matakuliah mtk
terapan,
M={x|x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah mtk terapan}
iii. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama
dengan 8, dinyatakan sebagai berikut
B={2,4,6,8}
2/17/2016
8
Notasi Pembentuk Himpunan Cont..
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat
keanggotaan:
1. Dibagian dikiri tanda ‘|’ melambangkan elemen
himpunan
2. Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian
sehingga
3. Bagian dikanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat
keanggotaan himpunan
4. Setiap tanda ‘,’ didalam syarat keanggotaan
dibaca sebagai dan
2/17/2016
9
Diagram Venn
Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian
himpuna ini diperkenalkan oleh matematikawan inggris yang
bernama John Venn pada tahun 1881.
Didalam diagram venn, himpunan semesta U digambarkan sebagai
suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan
sebagai lingkaran didalam didalam segi empat tersebut.
Anggota –anggota suatu himpunan berada didalam lingkaran,
sedangkan anggota himpunan lain berada dalam lingkaran yang lain
pula
Ada kemungkinan 2 himpunan memiliki anggota yang sama dan hal
ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan.
Anggota u yang tidak termasuk didalam himpunan manapun
digambarkan diluar lingkaran
2/17/2016
10
Diagram Venn
Contoh
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan
B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
A dan B mempunyai anggota
bersama yaitu 2 dan 5. anggota
yang lain yaitu 7 dan 4tidak
termasuk didalam himpunan A dan
B
2/17/2016
11
Kardinalitas
(jumlah elemen himpunan)
Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka Jumlah elemen
berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi: n(A) atau A 
Contoh 6
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil
dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3
Himpunan yang tidak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula.
Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak
berhingga, maka |R|=tak hingga, begitu juga himpunan bilangan bulat tak
negatif, himpunan garis yang melalui titik pusat koordinat, himpunan titik di
sepanjang garis y = 2x + 3, dan lain-lain.
2/17/2016
12
Himpunan Kosong
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null
set).himpunan yang tidak memiliki satu elemenpun
Notasi :  atau {}
Contoh 7
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A ={x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 },
n(A)=0
2/17/2016
13
Himpunan Kosong Cont…
Perhatikan bahwa himpunan {{}} dapat juga
ditulis sebagai{}, begitu pula himpunan {{},{{}}}
dapat juga ditulis sebagai {,{}}. Pehatikan juga
bahwa {} bukan himpunan kosong melainkan
dia memuat satu elemen yaitu 
Istilah seperti kosong, hampa, nihil ketiganya
mengacu
pada
himpunan
yang
tidak
mengandung elemen, tetapi istilah nol tidak sama
dengan ketiga istilah diatas, sebab nol
menyatakan sebuah bilangan tertentu.
2/17/2016
14
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A  B
U
Diagram Venn:
A
2/17/2016
B
15
Himpunan Bagian (Subset) Cont…
Contoh 8
i. { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
ii. {1, 2, 3}  {1, 2, 3}
iii. N  Z  R  C
iv. Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x  0, y  0 } dan B = {
(x, y) | 2x + y < 4, x  0 dan y  0 }, maka B  A.
2/17/2016
16
Latihan
1. Tunjukkan bahwa A={a,b,c} adalah himpunan
bagian sebenarnya dari B={a,b,c,d,e,f}
2/17/2016
17
Penyelesaian
Untuk menunjukkan bahwa A adalah himpunan
bagian sebenarnya (proper subset) dari B,
perlihatkan bahwa setiap elemen didalam A juga
elemen didalam B dan sekurang-kurangnya ada 1
elemen B yang tidak terdapat didalam A.
Setiap elemen dari A adalah juga elemen dari B
sehingga A B. sebaliknya d B tetapi d A, oleh
karena ituA tidak sama dengan B. dengan demikian
A adalah himpunan bagian sebenarnya dai B, kita
tuliskan AcB
2/17/2016
18
Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan
elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B
adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian,
maka A  B.
Notasi : A = B  A  B dan B  A
2/17/2016
19
Himpunan yang Sama Cont…
Analisa Contoh 9 berikut:
i. Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
ii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
iii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A  B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
a. A = A, B = B, dan C = C
b. jika A = B, maka B = A
c. jika A = B dan B = C, maka A = C
2/17/2016
20
Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B
jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan
tersebut sama.
Notasi : A ~ B  A = B
Contoh 10
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B ={ a, b, c, d },
maka A ~ B sebab A = B = 4
2/17/2016
21
Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas
(disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang
sama.
U
Notasi : A // B
B
A
Diagram Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... },
maka A // B.
2/17/2016
22
Referensi
Matematika Diskrit : Rinaldi Munir
2/17/2016
23