Program Studi S2 Matematika – FMIPA ITB UJIAN I MA5031

Program Studi S2 Matematika – FMIPA ITB
UJIAN I MA5031 ANALISIS REAL LANJUT
Dosen: Hendra Gunawan, Ph.D.
Jumat, 23 Oktober 2015, Pkl. 13:00-14:50 (110 menit)
Kerjakan soal-soal di bawah ini, mulai dari yang anda anggap paling mudah terlebih
dahulu. Nilai maksimum untuk tiap soal tertera dalam tanda kurung [ ] di sebelah kanan
nomor soal tersebut. Nilai total yang dapat anda raih dari ujian ini adalah 40. Tuliskan
jawaban untuk setiap soal sebaik-baiknya.
1. Diketahui barisan bilangan rasional (xk ) dengan xk :=
(−1)k
k2 ,
k ∈ N.
(a)[4] Buktikan bahwa (xk ) merupakan barisan Cauchy.
(b)[4] Buktikan bahwa (xk ) konvergen ke 0.
k
2. Diketahui himpunan A := { (−1)
k2
: k ∈ N}.
(a)[2] Tentukan sup A dan inf A, beserta verifikasinya.
(b)[2] Buktikan bahwa A tidak buka dan tidak tutup.
(c)[2] Tentukan semua titik limit dari A, beserta verifikasinya.
(d)[2] Tentukan tutupan dari A, yaitu Ā.
3. Diketahui f (x) = x, x ∈ A := { (−1)
k2
k
: k ∈ N}.
(a)[5] Buktikan bahwa f kontinu pada A.
(b)[3] Jika kita ingin memperluas f pada Ā, apa yang harus dilakukan supaya fungsi yang
dihasilkan kontinu pada Ā.
4.[7] Buktikan dengan menggunakan definisi bahwa f (x) :=
√
3
x kontinu seragam pada [−1, 1].
5. Misalkan B := Q ∩ [0, 1] := {r1 , r2 , r3 , . . . } dengan r1 = 0, r2 = 1, r3 = 12 , dan seterusnya
(tidak penting apa rumus selanjutnya). Definisikan f : B → R dengan rumus
f (x) :=
∑ 1
.
2k
rk ≤x
(a)[2] Tentukan nilai f (0) dan f (1).
(b)[2] Buktikan bahwa f monoton naik pada B.
(c)[3] Tentukan limx→1− f (x), beserta buktinya.
(d)[2] Dapat diperiksa bahwa f tidak kontinu loncat di x =
sanya lagi). Berapakah loncatan di titik tersebut? Jelaskan.
***
1
1
2
(anda tidak perlu memerik-