Bab 1 Pendahuluan

Bab 1
Pendahuluan
1.1
Umum
Geometri telah dipelajari untuk waktu yang sangat lama. Pada jaman klasik
orang Yunani mengembangkan geometri sebagaimana pencapaian mereka untuk
mempelajari matematika. Sekitar 300 S.M. Euclid dari Alexandria menulis "Elements" yang menggabungkan geometri yang telah diketahui pada jaman tersebut
dan merumuskannya secara aksiomatik. Geometri disertakan dalam mempelajari bentuk dari permukaan dan topologi. Dalam …sika, Einstein dan Minkowski
mengenali bahwa hukum …sika seharusnya dirumuskan dalam bentuk geometri
ruang waktu. Dalam Aljabar, satu cara yang menghasilkan untuk mempelajari
grup adalah untuk menyatakan mereka sebagai grup simetri dari objek geometri.
Dalam kasus ini, geometri yang sering diperlukan geometri non-Euclid terutama
geometri hiperbolik.
Felix Klein (1849 - 1925) mensintesis berbagai geometri dengan idenya yang
dikenal sebagai Erlanger Program, dan merupakan sebuah revolusi dalam bidang
matematika yang menyediakan sebuah bingkai kerja yang secara akurat menjelaskan banyak geometri. Erlanger Program memungkinkan pengembangan seragam dan perbandingan geometri yang berbeda.
Bernhard Riemann pada tahun 1854, dalam kuliahnya sebuah geometri umum
1
BAB 1. PENDAHULUAN
2
mempunyai dimensi yang berbeda dan variabel kurva - sebuah pengembangan
yang memainkan peranan penting dalam pengembangan teori relativitas umum pada tahun 1868 Eugenio Beltrami dengan ide dasar untuk bukti dari konsistensi
relativitas dari geometri non-Euclidean. Pada awalnya dipergunakan geometri
dari pseudosphere sebagai sebuah model, kemudian dikembangkan bidang upper
half dan model cakram lingkaran. Pada tahun 1871, Klein memberikan model disk
Beltrami sebuah interpretasi baru dalam bidang proyeksi. (Konstruksi ini dikenal
sebagai model Beltrami-Klein). Kemudian, pada tahun 1882, H. Poincare mengenalkan kembali model disk Beltrami dalam hubungannya dengan grup transformasi dari bilangan kompleks, dikenal sebagai model Poincare.
1.2
Latar Belakang Masalah
Kita ketahui bahwa geometri hiperbolik dipelajari dengan fungsi hiperbolik, yang
mempuyai kesamaan dengan fungsi lingkaran (atau, trigonometri). Kesamaan
seluruh fungsi hiperbolik, yang diekspresikan dengan fungsi lingkaran dari bidang
Euclidean memungkinkan untuk mengekspresikan rotasi pseudo dari bidang Minkowski,
dimana sudut pseudo dari rotasi pseudo adalah disebut rapidity. Rotasi pseudo
diparameterisasi dengan rapidity yang dikenal dalam Special Thery of Relativity
adalah transformasi Lorentz, untuk alasan ini bentuk "geometri non-Euclidean"
dari Bolyai dan Lobachevski berubah ke "geometri hiperbolik".
Struktur ruang vektor yang berada dalam geometri Euclidean memungkinkan
kita untuk mempelajari geometri Euclidean dengan koordinat. Untuk mengembangkan kesamaan koordinat geometri hiperbolik akan digunakan Thomas precession dan membuka sebuah struktur seperti grup, yang disebut grup gyro. Konsep
grup gyro mengarahkan kita pada bentuk hiperbolik dari notasi ruang vektor
sebuah ruang vektor gyro.
BAB 1. PENDAHULUAN
1.3
3
Sistematika Pembahasan
Dalam tesis ini permasalahan akan dibagi menjadi beberapa bab, yaitu :
Bab 1 Pendahuluan, berisikan gambaran umum, latar belakang masalah, dan
sistematika pembahasan.
Bab 2 Teori Dasar, berisikan Erlanger program, geometri Euclidean, ruang Euclide,
dan geometri Mobius.
Bab 3 Ruang Vektor Gyro, berisikan ruang vektor gyro, norm dan metrik, geometri
gyro, dan aturan cosinus dalam ruang vektor gyro.
Bab 4 Kesimpulan dan Saran, berisikan pengambilan kata akhir dari penulisan
tesis ini, sesuai dengan apa yang diperoleh pada bab-bab sebelumnya.