Anda telah mempelajari nilai fungsi f di f a pada Bab 5. Sebagai

7
.ze
n
fol
io.
com
Bab
b
Su m
e
nc
ce
eli
v
da
er:
Limit
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menjelaskan limit
fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya;
menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu
fungsi aljabar dan trigonometri.
Anda telah mempelajari nilai fungsi f di a pada Bab 5.
x2 + 2x
Sebagai contoh, diketahui f(
f(x) =
. Untuk x = –1 diperx
oleh ff(–1) = 1. Untuk x = 1 diperoleh ff(1) = 3. Berapakah
nilai f untuk x = 0?
Ternyata, Anda tidak dapat menentukan nilai f di
x = 0 sebab pembagian bilangan hanya terdefinisi jika
pembagi tidak sama dengan 0. Akan tetapi, Anda masih
dapat mempelajari bagaimana nilai f jika x mendekati 0
dengan menggunakan limit. Konsep limit suatu fungsi dapat
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan berikut.
Misalkan persamaan posisi motor setelah bergerak t jam
dinyatakan oleh S = f(
f t) = 24tt2 + 4t. Kecepatan motor pada
saat t = 1 jam dapat diperoleh dari limit kecepatan rata-rata
dalam selang t = 1 sampai t = 1 + Dtt dengan mengambil Dt
mendekati nol (Dt l 0). Pernyataan tersebut dapat dinyatakan
secara matematis sebagai berikut.
$S
f(
– lim
$t l0 $t
$t l0
V(t = 1) – lim
A. Limit Fungsi
B. Limit Fungsi
Trigonometri
$t ) f ( )
$t
Dengan menggunakan konsep limit, Anda dapat
menentukan kecepatan pada saat t = 1 jam.
171
Diagram Alur
Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan
sebagai berikut.
Limit
mempelajari
Fungsi Aljabar
Fungsi Trigonometri
untuk menentukan nilai
Di x
a
Di x
metode penyelesaian
Substitusi
berupa
lim
xƕ
f (x)
∞
=
g( x )
∞
Memfaktorkan
Terlebih Dahulu
Perkalian dengan
Bentuk Kawan
∞
lim [ f ( x ) - g( x )] = ∞ – ∞
xƕ
diselesaikan dengan
Teorema
Limit Utama
diselesaikan dengan
Kalikan dengan
Bentuk Kawan
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1.
Sederhanakanlah pecahan berikut dengan
merasionalkan penyebut.
10
x-2
a.
b.
3
6
x-4
4.
2.
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.
a. x2 – y2
b. a3 – b3
c. x2 + 22xy + y2
Nyatakan bentuk-bentuk berikut dengan
menggunakan sudut tunggal.
a. sin 2
b. tan 2
c. cos 2
5.
3.
172
6.
Isilah titik-titik berikut.
a. sin (a ± b) = ....
b. cos (a ± b) = ....
c. tan (a ± b) = ....
Ubahlah ke bentuk penjumlahan.
a. 2 sin a cos b
b. 2 cos a cos b
Ubahlah ke bentuk perkalian.
a. sin a + sin b
b. cos a – cos b
c. tan a – tan b
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
A. Limit Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar
kata-kata hampirr atau mendekati. Misalnya, Ronaldo hampir
mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/
jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam
matematika disebut limit.
Tokoh
Matematika
1. Pengertian Limit
Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran
suatu variabel pada suatu bilangan real. Notasi
lim f ( x ) = L
xÆ a
dijabarkan sebagai "limit fungsi f(
f x) pada saat x
mendekati a sama dengan L". Suatu limit dikatakan ada
jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan
yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real
dari sebelah kiri yang dinotasikan lim– f ( x ) . Sedangkan
xÆ a
limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari
sebelah kanan yang dinotasikan lim+ f ( x ). Untuk lebih
xÆ a
memahaminya perhatikan uraian berikut.
Misal, diberikan suatu limit fungsi
{
4 x, jika x
4
f x)= 4 x 6, jika
f(
jik x > 4
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama.
•
•
Augustin Louis Cauchy
(1789–1857)
Definisi yang tepat
tentang limit pertama kali
diperkenalkan oleh Cauchy.
Cauchy adalah seorang mahaguru di Ecole Polytechnique,
Sarbone, dan College
de France. Sumbangansumbangan matematisnya
sangat cemerlang sehingga
semua buku ajar moderen
mengikuti penjelasan kalkulus
yang terperinci oleh Cauchy.
Sumber: Kalkulus dan Geometri
Analitis Jilid 1, 1987
lim 4 x = 4 ( ) = 16, karena x < 4
xÆ 4 -
lim 4 x + 6
xÆ 4 +
lim 4 x + lim
l + 6 = 16 + 6 = 22
xÆ 4 +
xÆ 4
Oleh karena nilai limit kiri dan nilai limit kanan
berbeda, limit fungsi tersebut tidak ada.
Selanjutnya, perhatikan bentuk fungsi berikut.
x2 - 9
lim f ( x ) =
xÆ 3
x-3
Limit fungsi tersebut, tidak terdefinisi di x = 3 karena
daerah asal fungsi f adalah{x | x ≠ 3).
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada
tabel berikut.
Limit
173
Tabel 7.1
2,99 2,999 2,9999 Æ
Æ 3,0001 3,001 3,01
x 2 - 9 5,99 5,999
5,9999 Æ
x-3
Æ 6,0001 6,001 6,01
x
f x) =
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa
pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.
Jadi,
x 2 - 9 ( 3)( 3)
lim
=
= x + 3 ; jika x π 3
xÆ 3 x - 3
x-3
Oleh karena x + 3 mendekati 6 jika x mendekati 3
2
maka x - 9 mendekati 6 jika x mendekati 3.
x-3
Meskipun fungsi f(
f x) tidak terdefinisi untuk x = 3, tetapi
fungsi tersebut mendekati nilai 6 pada saat x mendekati 3.
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsi
tersebut adalah 6.
Selanjutnya, perhatikan pula bentuk fungsi berikut.
lim x + 3
xÆ 3
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada tabel
berikut.
Tabel 7.2
2,99 2,999 2,9999 Æ
Æ 3,0001 3,001 3,01
f x ) = x + 3 5,99 5,999 5,9999 Æ
Æ 6,0001 6,001 6,01
x
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa
pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.
Jadi,
lim x + 3 = 6.
xÆ 3
Dapat disimpulkan bahwa limit lim x + 3 = 6 dapat
xÆ 3
diperoleh tanpa menggunakan Tabel 7.2. Ketika x mendekati
3, nilai x + 3 akan mendekati 6.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
x2 - 9
lim
li ( 3) = 6
= lim(
xÆ 3 x
3 xÆ 3
Secara umum, lim f(x) = L mengandung arti bahwa
xÆ a
jika x mendekati atau menuju ke a, tetapi berlainan
dengan a maka f(x) menuju ke L.
174
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Ingatlah
Contoh 7.1
Tentukan limit berikut.
1. lim (2x
2x – 4)
xl2
2.
(x2 – 5xx + 6)
lim (x
xl4
Jawab:
1. lim (2x
2x – 4), artinya jika x mendekati 2 maka (2
2x – 4) mendekati
xl2
(2 · 2 – 4) = 0. Dengan demikian, lim (2x
2x – 4) = 0.
xl2
2.
(x2 – 5xx + 6), artinya jika x mendekati 4 maka (x2 – 5xx + 6)
lim (x
xl4
akan mendekati (42 – 5.4 + 6) = 2.
Jadi, lim (x
(x2 – 5xx + 6) = 2.
Untuk menghitung
x2 + 2x
lim
, sebaiknya
x Æ0
x
2
x + 2x
difaktorkan,
2
lalu disederhanakan,
sebelum menyubstitusikan
x = 0 karena jika x = 0
disubstitusikan secara
langsung maka diperoleh
0
x 2 + 2 x 02 + 2 ◊ 0
lim
=
x Æ0
x
0
0
dan ini bentuk tidak tentu.
xl4
Contoh 7.2
Ï x2 + 2x
Ô
xπ0
Diketahui f (x) = Ì x
ÔÓ5
x 0
Tentukan:
a. nilai fungsi di titik 0
b. nilai limit di titik 0.
Tantangan
untuk Anda
Jawab:
a. ff(0) = 5
x2 + 2x
b. lim
=2
xÆ 0
x
Dengan teman sebangku, cari
nilai n (bilangan asli positif )
x n - 2n
yang memenuhi lim
.
x Æ2 x - 2
Contoh 7.3
Diketahui limit lim
xÆ 5
x 2 + 25
x-5
Tentukan nilai limit tersebut.
Jawab:
( 5 )( 5 )
x 2 + 25
lim
= lim
xÆ 5 x - 5
xÆ 5
x-5
= lim x + 5
xÆ 5
=5+5
= 10
Limit
175
2. Limit Fungsi Aljabar
y
f x) = k
f(
a
x
Limit konstanta k untuk x mendekati a ada dan nilainya
sama dengan k, ditulis lim k = k. Secara grafik, hal tersebut
x a
dapat Anda lihat pada Gambar 7.4. Pandang fungsi f(
f x) = k
maka lim f (x) = lim k = k. Limit x untuk x mendekati a
x a
x a
pun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis lim x = a.
x a
Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, Anda dapat
menggunakan teorema berikut.
Gambar 7.1
Teorema Limit Utama
Grafik fungsi f(
f(x) = k
Jika f (x
( ) dan g(x
( ) adalah fungsi dan k konstanta maka
1. lim (f
( (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)
x a
x a
x a
2. lim (f
( (x) – g(x)) = lim f (x) – lim g(x)
x a
x a
x a
3. lim (f
( (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x)
x
a
4. lim
x
a
x
a
x
a
lim f ( x )
f (x)
= x a
; lim g(x) ≠ 0
lim g( x ) x a
g( x )
x a
5. lim k f (x) = k lim f (x); k = konstanta
x
a
x
a
n
f ( x )· ; dengan n bilangan bulat
6. lim [f
[ (x)] = §¨ lim
x a
¹¹̧
©x a
positif
n
7. lim n f ( x ) =
x
n
a
lim f ( x ) ; dengan lim f (x) ≥ 0
x
x
a
a
a. Menentukan Limit dengan Substitusi
Langsung
Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan
dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.
Contoh 7.4
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
lim x x x Jawab:
1. lim x x x 1.
xl4
xl4
3
2.
176
2.
lim
xÆ 0
x3 + 1
x +1
2
= (–4) + 4(–4) + (–4) – 6 = –10
x3 + 1
03 1
lim
=
=1
xÆ 0 x + 1
0 1
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Mari, Cari Tahu
Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 orang. Cari informasi di
buku atau internet riwayat orang yang berjasa merumuskan konsep
limit, di antaranya Augustin Louis Cauchy. Tuliskan dan laporkan
riwayatnya atau salah satu karyanya yang terkenal. Kemudian,
fotonya dapat Anda tempel di ruang kelas.
b. Menentukan Limit dengan Cara
Memfaktorkan Terlebih Dahulu
f (x)
x a g( x )
0
diperoleh bentuk (bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran
0
terlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian,
sederhanakan ke bentuk paling sederhana. Agar lebih jelas,
perhatikan uraian berikut.
P (a )
(
)P(( )
f (x)
P(( )
= lim
= lim
=
lim
x a g( x )
x a (
x
a
Q (a )
)Q( x )
Q( x )
Dalam hal ini P(a) ≠ 0 dan Q(a) ≠ 0.
Pertanyaan: Mengapa f (x) dan g(x) boleh dibagi oleh
(x – a)?
(x
Jika dengan cara substitusi langsung pada lim
Pe
Pe
embahasan Soal
t3 8
= ....
t l2 t 2 t 6
Jawab:
t3 8
lim 2
t l2 t t 6
lim
= lim
tl2
(
)(
(
2
)((
)
)
t 2 2t 4 12
=
t l2
5
t 3
= lim
Soal PPI, 1979
Aktivitas Matematika
Bersama kelompok belajar Anda, lakukan kegiatan menghitung limit
0
x 2 1
bentuk . Permasalahannya adalah menentukan lim
.
xl1 x 1
0
Langkah-langkah yang dapat Anda lakukan adalah sebagai berikut.
Langkah ke-1
Menyubstitusikan x = 1 ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya,
yaitu
0
x 2 1 ... - ...
=
=
lim
xl1 x 1
... - ...
0
Langkah ke-2
0
Agar tidak muncul bentuk , faktorkanlah x2 – 1, kemudian
sederhanakan sebagai berikut. 0
(... + ...)(... - ...)
x 2 1
= lim
lim
xl1 x 1
xÆ1
(
)
= lim (... + ...)
xl1
Limit
177
Langkah ke-3
Setelah fungsi yang dicari limitnya disederhanakan, substitusikan
x = 1 pada limit fungsi yang sederhana itu, sebagai berikut.
lim (... + ...) = ... + ... = ...
xl1
x 2 1
Jadi, lim
= ....
xl1 x 1
Contoh 7.5
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
x2 4
3x 2 3x
1. lim
3. lim 2
xl 2 x 2
xl 0 2 x
8x
x3
2. xlim
l3
x3
Jawab:
1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
x 2 4 22 4 0
=
= (bentuk tak tentu). Agar tidak muncul
lim
xl 2 x 2
0
2 2
0
bentuk , faktorkanlah
r
x2 – 4 sebagai berikut.
0
(
)(
)
x2 4
= lim
= lim (x
(x + 2) = 2 + 2 = 4
lim
xl 2 x 2
xl2
xl2
(
)
2. Dengan cara substitusi langsung, diperoleh
x3
3 3
0
lim
=
=
xl3
x3
3 3 0
0
Agar tidak muncul bentuk , faktorkanlah x + 3 sebagai berikut.
0
lim
xl3
3.
x3
x3 x3
= lim
= lim x 3= 3 3 = 0 = 0
xl3
x 3 xl3
x3
Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah
0
0
diperoleh bentuk . Agar tidak muncul bentuk , faktorkanlah
0
0
(3x3 + 3x) dan (2x
2x2 – 8x) sebagai berikut.
3xx x 3
3
3x 2 3x
x 2 1 3 02 1
= lim
= lim
= •
=
2
xl 0 2 x
8
) 2 xl 0 x 4 2 0 4
8 x xl0 2 x((
lim
178
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
c. Menentukan Limit dengan Mengalikan
Faktor Sekawan
0
f (x)
diperoleh bentuk tak tentu untuk
0
g( x )
x = a dan sulit untuk memfaktorkan f(
f x) dan g(x), lakukan
perkalian dengan faktor sekawan dari g(x) atau f(
f x). Agar
lebih jelas, pelajari contoh berikut.
Jika pada lim
x
a
Contoh 7.6
Tentukan limit berikut.
3 9 9x
3x 1
x 1
1. lim
2. lim
xl 0
xl1
3x
2x 1
x
Jawab:
1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
0
3 9 9x
3
90
=
=
(bentuk tak tentu).
lim
xl 0
0
3x
3 0
Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah lim
xl 0
3 9 9x
dengan
, sebagai berikut.
3 9 9x
3 9 9x
3x
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui
informasi lain tentang limit
fungsi melalui internet
dengan mengunjungi situs
berikut.
t IUUQNBUIXPSME
XPMGSBNDPN
t IUUQ NBUITUVòDPN
t IUUQ ZPVOHDPXOFU
3 9 9x 3 9 9x
·
3x
3 9 9x
9 ((
)
9x
= lim
= lim
xl 0
3xx x xl0 3 x x lim
xl 0
lim
xl 0
2.
3
3
3
1
=
= =
3 9 9x
3 9 0
6
2
Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah
0
0
diperoleh bentuk ? Agar tidak muncul bentuk , kalikanlah
0
0
3x 1
x 1 dengan faktor sekawannya, sebagai berikut.
lim
xl1
3x 1
2x 1
= lim
xl1
3x 1
2x 1
x 1
x
x 1 3x 1 x 1 2 x 1 x
•
•
x
3x 1 x 1 2 x 1 x
2(
2x 2
2 x 1 x
= lim
•
xl1 x 1
3x 1 x 1 xl1 (
= lim
= 2 lim
xl1
2 x 1 x
=2·
3x 1 x 1
)
)
•
2 x 1 x
3x 1 x 1
2
2 1 1
=2·
= 2
2 2
3 1 1 1
Limit
179
Soal Terbuka
1. Buatlah 4 soal limit x
menuju 1 yang nilainya
2. Berikan soal ini kepada
teman Anda untuk dicek
dan dikritisi.
2. Buatlah uraian
singkat strategi yang
Anda lakukan untuk
menyelesaikan soal limit.
Kemudian, bacakan
(beberapa siswa) hasilnya
di depan kelas.
Tabel 7.3
x
1
x2
–0,01
–0,001
–0,0001
–0,00001
0
0,00001
0,0001
0,001
0,01
10.000
1.000.000
100.000.000
10.000.000.000
?
10.000.000.000
100.000.000
1.000.000
10.000
y
3. Limit Tak Hingga dan Limit Fungsi di
Tak Hingga
Lambang ∞ (dibaca: tak hingga) digunakan untuk
menyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi, ∞ bukan
merupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikan
∞
secara aljabar sehingga tidak benarr ∞ – ∞ = 0 atau
= 1.
∞
Amati fungsi berikut.
1
f (x) = 2
x
Fungsi f tidak terdefinisi di x = 0 sebab pembagian
bilangan satu hanya terdefinisi jika pembagi ≠ 0. Anda dapat
1
menentukan f (x) = 2 pada beberapa nilai x yang mendekati
x
0 seperti diperlihatkan pada Tabel 7.3.
1
Amati tabel tersebut. Jika x menuju 0 maka nilai 2
x
bernilai positif yang semakin membesar tanpa batas. Dalam
1
lambang matematika ditulis lim 2 = ∞. Bentuk grafik fungsi
xl0 x
seperti ini diperlihatkan pada Gambar 7.2.
1
Tabel 7.4 memperlihatkan nilai 2 untuk nilai x yang
x
menjadi sangat besar.
Tabel 7.4
x
1
10
1
x2
1
0,01
1.000
10.000
100.000
0,000001 0,00000001 0,0000000001
?
0
1
menuju 0 jika
x2
x menjadi sangat besar. Dalam lambang matematika, ditulis
1
lim 2 = 0.
xlc x
Lain halnya dengan fungsi f (x) = x2. Ketika x menjadi
sangat besar maka nilai x2 pun bernilai semakin besar tanpa
batas. Dalam lambang matematika, ditulis
lim x2 = ∞ (Amati kembali Gambar 7.2)
Amatilah tabel tersebut, ternyata nilai
f (x) =
1
x2
x
O
asimtot tegak
Gambar 7.2
Grafik f(x) =
180
xlc
1
x2
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Untuk fungsi g(x) = x 2 + 1 , ketika x menjadi sangat
besar maka nilai x 2 + 1 pun bernilai semakin besar tanpa
x 2 + 1 = ∞.
batas. Dalam lambang matematika, ditulis lim
xƕ
Untuk menyelesaikan limit fungsi tak hingga Anda dapat
menggunakan Teorema Limit Utama pada halaman 144.
Pelajari contoh-contoh berikut.
1
6
6x 1
x = 60 = 3
a. lim
= lim
xlc
10
xlc2 x 10
20
2
x
8 100
2
0
8 x 100
00
x
x
b. lim
= lim
xlc
5 10 = 3 0 0 = 3 = 0
xlc3x 2 5 x 10
3 2
x x
100
6 2
6 x 2 100
6 0 -6
x
c. lim
= lim
xlc 2 x 2 3x
xlc
3 = 2 0 = 2 = –3
2
x
1 1
x
1
1
d. lim
= lim
=
= = =1
xlc
1 00 1 1
x 2 x 1 xlc 1 1 1
2
x x
2
1
x3 2x2
x
e. lim
= lim
xlc x 2 3
xlc 1
3
3
x x
Perhatikan, ketika x semakin membesar tanpa batas, nilai
2
1 3
1 + menuju 1, sedangkan nilai 3 menuju nol. Akibatx
x x
2
1
x
nya, nilai 1 3 membesar tanpa batas.
x x3
2
1
x = ∞.
Dengan demikian, lim
xlc 1
3
x x3
Ingatlah
Dari Gambar 7.5, jika x
menjadi sangat kecil ((x Æ ∞)
1
maka nilai 2 menuju 0.
x
Dalam lambang matematika
1
ditulis lim 2 = 0.
x lcx
Ingatlah
Pada soal a, pembilang dan
6 1
penyebut bentuk
2 0
masing-masing dibagi
dengan x karena jika
disubstitusikan secara
langsung diperoleh bentuk
∞
. Dengan penalaran
∞
yang sama, pembilang dan
penyebut fungsi pada soal
b, c, d, dan e masing-masing
harus dibagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang
supaya tidak diperoleh
∞
.
bentuk
∞
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk
umum limit? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan katakata Anda sendiri. Konsep limit yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas ketentuan limit berikut.
Limit
181
Pe
Pe
embahasan Soal
(
xƕ (
Jawab:
(
lim
xƕ (
lim
)3
sama dengan ....
)3
)3
)3
27 x 3 54 x 3+ 36 x - 8
x Æ• 64 x 3 + 144 x 2+ 108 x + 27
54 36 8
27 - + 2 - 3
x x
x
= lim
x Æ•
144 108 27
64 +
+ 2 + 3
x
x
x
27
=
64
= lim
Secara umum,
koefisien pangkat tertinggi
r
f x)
x
f (x)
• lim
=
, jika
xlc g( x )
koefisien paangkat terrtinggi g( x )
pangkat tertinggi f(
f x) = pangkat tertinggi g(x);
f (x)
• lim
= 0, jika pangkat tertinggi f(
f x) < pangkat
xlc g( x )
tertinggi g(x);
f (x)
• lim
= ±∞, jika pangkat tertinggi f(
f x) > pangkat
xlc g( x )
tertinggi g(x);
dengan f(
f x) dan g(x) keduanya merupakan fungsi
polinom.
Soal SKALU, 1978
Cara lain untuk memperoleh penyelesaian limit fungsi
adalah mengalikan dengan faktor sekawan. Pelajari contohcontoh berikut.
x x
1. lim x x = lim x x r
xlc
c
xlc
c
x x
= lim
Informasi
untuk Anda
Information
for you
Sumber:: www.DrMath.com
Sumber
2
x 1 x
) x
= lim (
xlc x 1 x
1
= lim
xlc x 1 x
1
x
= lim
xlc
1
1 1
x
0
= lim
=0
xlc1 1
2.
lim
x x
xlc
c
x
= lim
x
= lim
xlc
c
xlc
182
2
x
xlc
Lambang tak hingga yang
digunakan sekarang (∞), kali
pertama diperkenalkan oleh
John Wallis (1616–1703) pada
tahun 1655 dalam jurnalnya
yang berjudul On Conic
Sections.
The symbol we now use for
infinity (∞
(∞), was first used by
John Wallis (1616–1703) in
1655 in his treatise On Conic
Sections.
x
x
x x x r
2
x x 2
x2 x2 1
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2
= lim
2
x 1 x 2 1
2
x
= lim
xlc
1
1
1 2 1 2
x
x
xlc
0
=0
1 0 1 0
=
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1.
Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsi
berikut.
x 2
a. lim
xl 4 x 2
x 1
b. lim
xl1
x 1
c.
d.
x
xl 3
lim (
xl 2
xl3
lim
xl 4
h.
3))2 (
)2
2 x
4x
h. lim(
) x4
xl1
Tentukan limit fungsi berikut.
x
a. lim
xlc x 1
b.
c.
d.
e.
3x 2
lim
xlc 4 x 5
x
lim
2
xlc
x 2 x 1
x2 2x 1
lim
xlc 3x 2 2
lim
xlc
3.
5 x 3x 2 6
xlc
3x 3 8
lim
2
lim x
xlc1 2 x
9 2x
lim 2
xlc x 3
Hitunglah limit fungsi f (x) berikut.
a.
2 x2
x2
f.
g.
2.
lim x
lim
g.
( x 1)
lim
xl1
e.
f.
b.
c.
x2 2x
di x = –2
x2
1 x
f (x) = 2
di x = 1
x 2 1
2x
f (x) = 2
di x = 2
x 4 4
f (x) =
d.
f (x) =
x 1
di x =1
x 1
e.
f (x) =
3 x
di x = 9
9x
f.
g.
h.
3
f (x) = x 9 x di x = 3
x3
3
f (x) = x 9 x di x = –3
x3
x2
f (x) =
di x = 4
x 2
3x 2 2 x 1
x 100
Limit
183
4.
Tentukan limit fungsi berikut.
)
4x 9
lim x x xlc
c
x x x2
c.
lim
lim
c.
x3 x2 x
xl1 x 4 x 3 2 x 2
d.
x 3 x 2 3x 3
xl1 x 4 x 3 2 x 2
d.
lim
e.
lim
x 3 x 2 3x 3
x 2 3x 4
e.
2
2
¤¤
1´ ¤
1 ´ ´µ
lim ¥¥¥¥¥a µµµ ¥¥¥a µµµ µµµ
xlc
c¥¥
x¶ ¦
x ¶ µ¶
¦¦
f.
lim
x 3 x 2 4 x 12
x4 x3 x 3
f.
lim
2x3 2x
xlc
xlc
c
g.
lim h.
lim
xlc
c
xlc
c
x 6.
x
x x x
x
xlc
x x
x
x
a x
x3 x2 4 x 8
x2 x 6
b.
4
xlc
b.
5.
(
lim
a.
2
xl 2
lim
lim
xl1
xl 3
Tentukan limit fungsi berikut.
1 x
a. lim
xl1 1 x 2
x x
b. lim
xl 0
xx
Tentukan limit fungsi berikut.
a.
lim
xl1
x 3 x 2 x 1
x4 x3 2x 2
B. Limit Fungsi Trigonometri
Pada Subbab A telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali
ini akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini
dengan mempelajari sifat berikut.
lim sin x = sin 0 = 0
xl0
lim cos x = cos p = –1
xlP
lim 1
1
1
= xlP
=
= –1
xlP cos x
lim cos x
cos(
P
)
xlP
lim cos x = lim
xlP
y
1. Menentukan Rumus Limit Fungsi
Trigonometri
h(x)
g(x)
f (x)
0
a
x
Gambar 7.3
184
Sifat Prinsip Apit
Amati Gambar 7.3. Diketahui f,
f g, dan h adalah fungsifungsi yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x
dekat a, kecuvali mungkin di a. Jika lim f (x) = lim h(x) = L
x a
x a
maka lim g(x) = L.
x
a
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
P
Sekarang amati Gambar 7.3(a). Diketahui, 0 < t < . Ketika
2
t Æ 0 maka titik P bergerak ke arah A(1, 0) sehingga
lim cos t = 1 dan lim sin t = 0.
tl0
y
P(cos t, sin t)
tl0
Perpanjangan OP dan garis tegak lurus sumbu-xx yang
melalui A akan berpotongan di titik T
T(1, tan t) seperti diperlihatkan pada Gambar 7.3 (b).
Sekarang amati DOAP, tembereng OAP, dan DOAT
T pada
Gambar 7.3(b). Dari hasil pengamatan tentunya Anda memahami bahwa
luas DOAP
P ≤ luas juring OAP
P ≤ luas DOAT
T
....(1)
Anda ketahui:
1
1
1
alas × tinggi = · 1 · sin t = sin t,
2
2
2
1
luas juring OAP = jari-jari
- × sudut dalam radian
2
1
1
= · 12 · t = t, dan
2
2
1
luas DOAT = alas × tinggi
2
1
sin t
.
= · 1 · tan t =
2
2 cos t
P=
luas DOAP
t
x
A(1, 0)
O
(a)
y
T(1, tan t)
P(cos t, sin t)
t
O
x
A(1, 0)
(b)
Gambar 7.3
Dengan demikian, ketidaksamaan (1) dapat dituliskan
sebagai
1
1
sin t
sin t ≤ t ≤
....(2)
2
2
2 cos t
2
Kalikan ketidaksamaan (2) dengan bilangan positif
,
sin t
diperoleh
1≤
t
1
sin t
≤
¤ cos t ≤
≤1
sin t
cos t
t
P
. Akan tetapi, jika
2
sin(- t )
P
P
– < t < 0 maka 0 < –t < sehingga cos (–t)
t ≤
≤1
-t
2
2
sin t
cos t ≤
≤1
....(3)
t
Sampai uraian ini anggaplah 0 < t <
Dalam ketidaksamaan (3), misalkan t Æ 0, f (t) = cos t,
g(t) =
sin t
, dan h(t) = 1.
t
Limit
185
Anda tentu memahami bahwa lim f(
f tt) ≤ lim g(t)
t ≤ lim h(t).
t
tl0
tl0
tl0
Untuk t = 0 maka f(
f tt) cos t = cos 0 = 1 dan karena h(t)
t = 1 maka
sin t
≤ 1. Dalam hal ini tidak ada kemungkinan lain kecuali
t
sin t
sin t
= 1. Dengan demikian, lim g(t)
t = lim
= 1.
tl0
t
l0
t
t
Dapatkah Anda membuktikan bahwa
tan t
t
t
= 1, lim
= 1, dan lim
= 1?
lim
t l0 sin t
t l0 tan t
t l0
t
Silakan buktikan sendiri.
1≤
2. Menentukan Limit Fungsi
Trigonometri
Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri,
pelajari cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut.
Dalam beberapa hal, cara menghitung limit fungsi trigonometri sama dengan cara menghitung limit fungsi aljabar.
Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab A.2 berlaku
juga untuk limit fungsi trigonometri.
Contoh 7.7
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
2x
1 cos x
1. lim
2. lim
t l0 sin 2 x
xl0 x sin x
Jawab:
2x
1. lim
= 1 (sesuai rumus)
t l0 sin 2 x
2.
1
2 sin 2 x
1 cos x
2
lim
= lim
xl0 x sin x
xl 0 ¤
1
1 ´
x ¥¥¥2 sin x cos x µµµ
¦
2
2 ¶
1
sin x
2
= lim
xl0
1
x cos x
2
1
sin x
1
1
1
= lim 2 • lim
=1·
=
x 0
x 0
xl
1
1
2 1
2
2 cos x
x
2
2
Contoh 7.8
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
5 x sin x
sin 2 x
1. lim
2.
3.
lim
xl0
xl0
x
x2
186
lim
xl0
sin 3x
tan 2 x
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jawab:
1.
lim
2.
lim
3.
5x
xl0
sin x
sin x
¤ 5 x sin x ´µ
5 lim
= lim ¥¥ = 5–1=4
µµ = lim
x
0
x
xl
0
¥
xl 0 ¦ x
x
x
x ¶
sin x sin x
sin x
sin x
sin 2 x
• lim
= lim
= lim
=1·1=1
2
xl0
x 0
x 0
xl
xl0
x
x
x
x
x
3
2x
sin 3x
sin 3x 2 x 3
sin 3x
lim
• • = lim
• lim
= lim
xl0 tan 2 x
xl0 tan 2 x 3x 2
2 x 0 3x x 0 tan 2 x
3
3
=
·1·1=
2
2
Contoh 7.9
Tentukanlah lim
xlc
f (x
h)
h
1. f(
f(x) = cos x
Jawab:
1.
2.
f( )
bagi fungsi-fungsi berikut ini.
f(x) = sin x
f(
cos x h cos x f x h f x lim
h
hl
0
h
h
cos x cos
o h sin x sin
i h cos x
= lim
hl 0
h
lim
h
cos x cos
o h sin x sin
i h
lim
h
hl
0
h
h
cos h 1
sin h
sin x lim
= cos x lim
h
hl 0
h
h
= lim
h
= cos x.0 – sin x.1 = –sin x.
2.
h) f ( )
h
sin x h sin x
sin x cos
o h cos x sin h
lim
= lim
h
h
hl
0
h
h
sin x cos
o h cos x sin
i h
= lim
lim
h
hhl0
h
h
cos h 1
sin h
= sin x lim
cos x lim
h
hl 0
h
h
lim
f (x
xlc
i x
= sin x . 0 + cos x . 1 = cos x.
Contoh 7.10
Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.
sin x
a. lim
b. lim tan 2 x
xl0 tan x
xl0
1
sin x
2
Limit
187
Jawab:
a.
lim
x
0
sin x
sin x ¤¥ x ´µ ¤¥
sin x ´µ¤¥
x ´µ
lim
i
µ
µµ¥¥lim
µµ ¥¥lxim
¥¥¦
x
l
0
0
x
xl
0
tan x
x tan x ¶ ¦
x ¶¦
tan x µ¶
= (1)(1) = 1
sin x
sin x
atau lim
lim
lim cos x cos 0 1
x 0 tan x
xl0 sin x
xl 0
cos x
¤
1 ´µ
¥
x µµ
tan 3x ¤¥
tan 3x ´µ¥¥
¥¥lim 2 µµµ lim
¥¥lim
µ
x 0
x 0
1
¦ xl
3x µ¶¥¥ xl0 sin 1 x µµ
sin
i
x
µ
¥¦
2
2 µ¶
b.
= (1) (1) (6) = 6
Pe
Pe
embahasan Soal
lim
sin x 2
....
x 4
Jawab:
1 sin x •
lim
x l2 x 2
x 2
1
•1
22
1
4
x l2
Contoh 7.11
Hitunglah:
a.
xl0
x
cos
x cot x 2
tan 3x
tan 3x 2 x ¤¥ 3 ´µ
lim
•
¥ µ
x 0
cos 2 x xl
3x cos 2 x ¥¦ 2 µ¶
3§
tan 3x · §
2x ·
¸ ¨ lim
¸
= ¨ lim
2 ¨© x 0 3x ¹̧¹ ¨© 0 cos 2 x ¸¹̧¹
lim tan 3x sec
e 2 x = lim
x 0
xl0
Soal UMPTN 1998
=
b.
limP cos
xl
Jawab:
a.
b.
lim tan 3x sec
e 2x
2
2
(1) (1) =
3
3
¤ 1
cos x ´
limP (cosec2 x – cosec x cot x) = limP ¥¥¥ 2 2 µµµ
sin x ¶
xl ¦ sin x
xl
2
2
¤1 cos x ´µ
µ
= limP ¥¥¥¦
sin 2 x µ¶
xl
2
Hal Penting
t
t
t
t
t
MJNJU GVOHTJ
GBLUPS TFLBXBO
MJNJU GVOHTJ USJHPOPNFUSJ
QSJOTJQ BQJU
MJNJU UBL IJOHHB
¤ 1 cos x ´µ
µ
= limP ¥¥¥¦
1 cos 2 x µ¶
xl
2
¤
´µ
1 cos x
¥
= limP ¥¥¥
µµ
xl ¦ cos x cos x µ
¶
2
limP 1
=
xl
limP cos x xl
188
2
2
=
1
P
1 cos
2
1
1
1 0
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
3x
sin 3x
a. lim
d. lim
xl0 sin 5 x
xl0 3x
2.
b.
sin 3x
lim
xl0
x
e.
c.
lim
2x
sin 5 x
f.
xl0
c.
limP
xl
3.
2x
tan 5 x
1
tan x
3
lim
xl0
4
4
2 cos 2 x
cos x sin x
Hitunglah lim
hl 0
f x h
h
f x
untuk
fungsi berikut.
a. f(
f x) = sin 3x
b. f(
f x) = sin (3x + π)
π
c. f(
f x) = sin 3x + π
d. f(
f x) = cos (xx – π)
π
e. f(
f x) = cos x – π
lim
xl0
Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
a. lim 1 tan x
P
cot 2 x
xl
4
b.
d.
4.
Hitunglah lim
hl 0
f x h
h
f x
untuk
fungsi berikut.
a. f(
f x) = 2 sin 3x
b. f(
f x) = –2 sin (3 x + π)
π
c. f(
f x) = –sin 3 x + π)
π
2 sin x cos x si 2 x
1 sin
xl
4
cos 2 x
limP
xl
2
cos x 1
4
limP
Rangkuman
•
•
Jika nilai fungsi f(x) untuk mendekati satu bilangan real L, x
mendekati a maka L merupakan nilai limit fungsi f(x) di x = a,
ditulis f(x) = L atau jika xa maka f(a)L.
Agar sumbu limit fungsi f(x) di x = a ada, nilai limit fungsi
tersebut harus ada dan nilainya sama, ditulis
lim f x lim f x lim f x L
xl a
xl a
xl a
Refleksi
Setelah Anda mempelajari Bab 7,
1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telah
dipahami,
2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di buku
latihan Anda.
Limit
189
Tes Kompetensi Bab 7
A.
Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1.
x2 2x
= ....
xl2 x 2
lim
a.
0
1
2
2
b.
c.
7.
d.
4
e.
∞
lim
xl5
a.
b.
10
2.
3.
4.
5.
6.
lim
x 1
adalah ....
x 1
a.
b.
c.
1
∞
0
xl1
lim
x ∞
–1
tidak ada
x x a b abb x
adalah ....
a. 0
d.
b.
∞
e.
c.
a–b
Jika f(
f x) = 2x – x2, lim
xl 0
adalah ....
a. 1
d. 3
b. –2
e. –4
c. 2
lim
x2 9
= ....
x3
a.
b.
c.
3
6
9
xl 3
d.
e.
lim x
x ∞
b.
12
11
11
12
c.
0
d.
11
e.
22
8
8.
lim
xl5
a.
b.
c.
a+b
ab
2
f
a.
190
d.
e.
e.
9.
h f h
12
16 x 2 3x 7 adalah ....
lim
x 6 x 2 11
12
11
11
12
22
8
x 6 x 2 11
0
1
4
1
x
x x 3
xl 3
adalah ....
c.
0
d.
11
adalah ....
d.
4
e.
∞
adalah ....
a.
b.
c.
0
d.
3
e.
6
x 2 8 x 15
10. lim
= ....
xl 3
3 x
a. 6
d.
b. 4
e.
c. 5
5 x 2 1
11. lim 2
= ....
xl 3 2 x x 5
2
a.
d.
5
3
b.
e.
5
c. 1
6x 5
12. lim 2
....
x ∞
x 2x 4
a.
b.
c.
3
4
6
d.
e.
12
∞
3
2
5
2
7
2
7
8
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
x2 x 2
....
xl1 x 2 4 x 3
13. lim
a.
b.
c.
3
2
2
3
1
2
d.
e.
sin 3x
....
tan 4 x
a. 3
4
b. 4
3
1
c.
4
1
2
3
2
14. lim
xl 0
15. lim
xl0
d.
e.
3
4
4
3
1 cos 2 x
= ....
x2
a.
b.
c.
–2
d. 1
–1
e. 2
0
16. Jika lim
f x) = –3 dan lim
f(
g(x) = 4
xl2
xl2
maka lim
xl 3
a.
1
b.
3
4
c.
–
­ª2 x 1
17. Diketahui f (x) = ­«
­­¬ 3x
lim
maka xl1 f (x) = ....
a.
b.
c.
–2
–1
1
18. lim sin 8 x = ....
xl0
x
a. 8
b. 4
c. 2
19. lim sin2 x = ....
xl0 x
a. –2
b.
c.
–1
0
1 cos x
20. lim
= ....
xl 0
x
a. –2
b. –1
c. 0
jika x 3
jika x q 3
d.
e.
2
3
d.
e.
–2
–4
d.
1
2
e.
2
d.
e.
1
2
3 f x 2 x 1
= ....
2 g x
d. – 3
4
5
e. –
6
1
2
Limit
191
B.
Kerjakanlah soal-soal berikut pada buku latihan Anda.
1.
Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsi
berikut.
2.
x3 x2 4 x 4
x2
a.
lim
b.
lim x x c.
x2 6x 5
lim 2
xl 3 x
2x 3
xl 2
xl2
4.
Tentukan nilai limit berikut.
a. lim ff(x) dengan
xl0
–x jika x < 0
f x) =
f(
3x jika x ≥ 0
b.
lim ff(x) dengan
xl1
x + 1 jika x < 1
f x) =
f(
x jika x ≥ 1
c.
lim f(
f x) dengan
xl2
f x) =
f(
3.
Sebuah benda ditembakkan vertikal ke
atas. Jika persamaan gerak dari benda
f t) = – 5tt2 + 40tt maka
itu dinyatakan S = f(
kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu tepat t1 detik dinyatakan oleh
V t1 lim
$t l0
192
22xx –1 jika x ≤ 2
–xx + 5 jika x > 2
f t1 $tt $tt
5.
Hitunglah
a. kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu tepat 2 detik, dan
b. kecepatan sesaat dari benda itu dalam
waktu.
Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
sin x 2
a. lim
xl0
x
sin x 2
b. lim 2
xl0
x
sin x
c. lim 2
xl0 x
Hitunglah limit fungsi trigonometri
berikut.
tan 3x
a. lim
xl0 2 x
´
¤
¥¥ x P µµ
¥¦
2 µ¶
b. limP
¤
P´
xl
2 sin ¥
¥¥¦ x µµµ¶
2
c.
¤
P´
tan ¥¥¥ x µµµ
¦
2¶
limP
P
xl
x
2
2
f t1 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam