Uji Deret Positif

Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Deret Positif
Ayundyah Kesumawati
Uji Akar
Prodi Statistika FMIPA-UII
April 29, 2015
Uji Integral
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada
uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu
integral didefinisikan
melalui bentuk jumlahan. Memang, kedua
R
notasi Σ dan ini mempunyai kaitan yang erat.
Teorema
Jika ak = f (k) dimana f (x) fungsi positif, kontinu dan turun
pada x ≥ 1 maka kedua ekspresi berikut
∞
X
k=1
Z
ak dan
∞
f (x)dx
1
sama-sama konvergen atau sama-sama divergen
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Bukti
Perhatikan ilustrasi grafik berikut ini
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Figure: Jumlah Atas dan Bawah Luas Persegipanjang
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Luas persegipanjang pada gambar di atas adalah
L1 = A1, L2 = A2, ...., LN = An−1
Luas persegipanjang pada gambar dibawah adalah
A1 = a1, A2 = a2, ...., AN = an
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dari x = 1
sampai dengan x = n adalah
Z n
In =
f (x)dx
1
Dari ketiga luasan tersebut berlaku hubungan
A1 + A2 + A3 + ... + An ≤ In ≤ L1 + L2 + L3 + ... + Ln
⇒ a2 + a3 + a4 + ... + an ≤ In ≤ a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an−1
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Jadi,
Sn − a1 ≤ In ≤ Sn − an
R∞
Misalkan integral 1 f (x)dx < ∞ (konvergen), maka
berdasarkan persamaan di atas didapatkan
Z ∞
f (x)dx := lim In ≥ lim Sn − a1
n→∞
1
n→∞
dan
S=
∞
X
k=1
Z
ak := lim Sn ≤
n→∞
∞
f (x)dx + a1 < ∞
1
(1)
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
P
Sebaliknya, jika deret ∞
k=1 ak konvergen maka limn→∞ an = 0
dan berdasarkan (3.1) diperoleh
Z ∞
f (x)dx := lim In ≤ lim (Sn − an ) = S − 0 < ∞
1
n→∞
n→∞
Uji Akar
Selanjutnya, kedivergenan kedua ekspresi ini juga didasarkan
pada ketidaksamaan (3.1) dan dapat dilakukan dengan cara
yang sama seperti diatas.
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Contoh
P
1
Lakukan uji integral untuk melihat bahwa deret S = ∞
k=1 k
divergen.
Penyelesaian
Diambil f (x) := x1 , x ≥ 1. Fungsi f (x) kontinu, positif dan
turun pada x ≥ 1 dan f (k) = k1 . Selanjutnya,
Z ∞
Z ∞
1
f (x)dx =
dx = lnx|∞
1 = ln∞ − ln1 = ∞(divergen)
x
1
1
P
1
Deret S = ∞
k=1 k disebut Deret Harmonik. Lebih umum,
deret harmonik diperumum menjadi Deret-p,
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Contoh
P
1
Tentukan harga p agar deret-p berikut S = ∞
k=1 k p
konvergen.
Penyelesaian
1
Diambil f (x) = , x ≥ 1. Fungsi f (x) kontinu, positif, turun
xp
pada x ≥ 1 dan f (k) = k1p . Telah diperoleh pada Bab Integral
Tak Wajar bahwa

Z ∞
 1
1
,p > 1
dx
=
p−1
p

x
1
divergen, p ≤ 1
Oleh karena itu deret S =
P∞
1
k=1 k p
konvergen untuk p > 1
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Jika diperhatikan pada integral diatas maka Teorema Uji
Integral dimulai dari x = 1. Dalam kasus batas ini lebih dari 1
maka teorema ini tetap berlaku. Untk kasus ini kita harus
menentukan nilai b > 1 sehingga fungsi f (x) positif, kontinu
dan turun untuk x > b. Secara sederhana hasil ini dikaitkan
pada kenyataan bahwa kekonvergenan suatu deret tidak
ditentukan oleh sejumlah berhingga suku-suku awal tapi
ditentukan oleh takberhingga banyak suku-suku dibelakangnya.
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Contoh
k
Ujilah kekonvergenan deret berikut Σ∞
k=1 k/5 , dan jika
e
konvergen hitunglah jumlahnya secara aproksimasi.
Penyelesaian
x
Bila diambil fungsi f (x) = e x/5
maka fungsi ini positif dan
kontinu untuk x > 0. Tetapi sifat turunnya belum dapat
dipastikan.
Uji Deret
Positif
Diperhatikan grafiknya pada gambar berikut
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Figure: Grafik Fungsi f(x)
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
x
Berdasarkan gambar tersebut, fungsi f (x) = e x/5
pada awalnya
naik kemudian turun terus. Untuk memastikan titik dimana
fungsi mulai turun, digunakan materi pada kalkulus elementer,
f turun jika dan hanya jika f 0 (x) < 0.
1 −x/5
0
−x/5
e
<0
f (x) = e
−x
5
⇔ e −x/5 (1 − x/5) < 0
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Karena e −x/5 6= 0 maka diperoleh harga nolnya,
(1 − x/5) = 0 ⇔ x = 5. jadi fungsi f (x) turun untuk x > 5.
Selanjutnya, kekonvergenan deret diperiksa dengan menghitung
integral tak wajar.
Z ∞
xe −x/5 dx
5
Dengan menggunakan definisi integral tak wajar, dan teknik
integrasi parsial diperoleh
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Z
∞
xe
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
5
−x/5
Z
T
xd(−5e −x/5 )
Z
−x/5 T
= lim −5xe
|5 −
dx = lim
T →∞ 5
T →∞
= lim (−5xe −x/5 − 25e
T →∞
∞
5
−x/5
−5e
−x/5
dx
) |T
5
= lim (−5Te −T /5 − 25e T /5 + 25e −1 + 25e −1 )
T →∞
50
T +5
+ lim
T
/5
T →∞ e
T →∞ e
50
50
1
=0+
<∞
= −5 lim 1 T /5 +
T →∞ e
e
e
5
= −5 lim
Karena integral tak wajat ini konvergen maka disimpulkan deret
di atas juga konvergen
Uji Komparasi
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
ada dua macam uji komparasi, yaitu uji komparasi langsung
dan uji limit komparasi’ Ide pada uji ini adalah membandingkan
suatu deret dengan deret lain yang konvergen, juga dengan
deret lain yang divergen.
Uji Komparasi Langsung
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
P
P∞
Misalkan ada dua deret tak berhingga ∞
k=1 ak dan
k=1 bk
dengan 0 ≤ ak ≤ bk untuk setiap k ≥ N, N suatu bilangan asli.
i. Jika deret
konvergen
P∞
konvergen maka deret
ii. Jika deret
P∞
divergen maka deret
k=1 bk
k=1 ak
P∞
k=1 ak
P∞
k=1 bk
divergen
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Bukti
P
P∞
i. Karena ∞
k=1 bk konvergen maka
k=1 bk < ∞.
Selanjutnya
∞
X
k=1
ak =
N−1
X
ak +
k=1
yang berarti deret
∞
X
ak ≤
k=1
P∞
k=1 ak
N−1
X
ak +
k=1
konvergen
∞
X
k=1
bk < ∞
(2)
Uji Deret
Positif
Ayundyah
P
P∞
ii. Karena ∞
k=1 ak divergen dan ak ≥ 0 maka
k=1 ak = ∞
sehingga
Uji Integral
∞
X
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
ak =
k=N
∞
X
ak −
k=1
N−1
X
ak = ∞
(3)
k=1
Akhirnya didapat,
∞
X
k=1
bk =
N−1
X
bk +
k=1
∞
X
bk ≥
k=N
=
N−1
X
k=1
yang berarti deret
P∞
k=1 bk
divergen
∞
X
ak
(4)
bk + ∞ = ∞
(5)
k=1
N−1
X
bk +
k=N
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Untuk menggunakan uji ini dibutuhkan deret lain sebagai
pembanding. pekerjaan memilih deret yangtepat yang akan
digunakan sebagai bahan perbandingan tidaklah sederhana,
sangat bergantung dari pengalaman. Namun dua deret penting
yaitu deret p dan deret geometri sering digunakan sebagai deret
pembanding.
Contoh
Ujilah kekonvergenan deret
∞
X
k=1
k
(k + 2)2k
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Penyelesaian
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
k
k
ak =
=
k +2
(k + 2)2k
k k
1
1
≤
2
2
k
k
P∞
1
1
. Diperhatikan bahwa k=1
m Diambil bk =
2
2
merupakan deret geometri yang konvergen sebab r = 1/2. jadi,
P
k
deret ∞
juga konvergen. Dengan menggunakan
k=1
(k + 2)2k
pendekatan numerik diperoleh jumlah deret secara aproksimasi
adalah 0,4548 (Silahkan cek)
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Latihan Gunakan uji integral untuk mengetahui kekonvergenan
deret di bawah ini. Bila konvergen, tentukan nilai untuk
aproksimasi jumlahnya
P∞
1
1.
.
k=2
(2 + 3k)2
P∞ lnk
.
2.
k=2
k
Uji Limit Komparasi
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Teorema Uji Limit Komparasi
Misalkan ak > 0 dan bk > 0 untuk k cukup besar, diambil
ak
k→∞ bk
P
P∞
Jika 0 < L < ∞ maka kedua deret ∞
k=1 ak dan
k=1 bk
sama-sama konvergen atau sama-sama divergen.
Untuk
P∞ melakukan uji ini dalam menguji kekonvergenan deret
k=1 ak dilakukan prosedur sebagai berikut:
P
1. Temukan deret ∞
k=1 bk yang sudah diketahui sifat
kekonvergenannya, dan bentuk suku-sukunya bk ”mirip”
dengan ak
ak
2. Hitunglah limit L = limk→∞ , pastikan nilainya positif.
b
P∞k
3. Sifat kekonvergenan
deret
k=1 ak akan sama dengan
P
deret ∞
b
k=1 k
I := lim
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Dalam kasus dimana L = 0 maka pengujian dengan alat ini
dinyatakan gagal, sehingga harus dilakukan dengan uji yang
lain.
Latihan
Lakukan uji komparasi limit untuk mengetahui sifat
kekonvergenan deret, nila konvergen, hitunglah jumlahnya
secara aproksimasi
P∞
3k + 2
a.
k=1 √
k(3k − 5)
P∞
1
b.
k=1 √
k k
P∞
1
c.
k=1 √
2k + 3
P∞
1
d.
k=1 √
kk 2
Uji Rasio
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
P
Secara intuitif, deret ∞
k=1 ak dengan suku-suku positif akan
konvergen jika kekonvergenan barisan ak ke nol cukup cepat.
Bandingkan kedua deret ini
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
∞
∞
X
X
1
1
dan
k
k2
k=1
k=1
Telah diketahui bahwa deret pertama divergen sedangkan deret
1
kedua konvergen. Faktanya, kekonvergenan barisan 2 menuju
k
1
nol lebih cepat dari barisan . Selain daripada itu, untuk
k
mengukur kecepatan konvergensi ini dapat diperhatikan pola
rasio ak+1 /ak untuk k cukup besar. Ide ini merupakan dasar
pembentukan uji rasio, seperti pada teorema berikut ini
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Teorema
P
Diberikan deret ∞
k=1 ak dengan ak > 0, dan dihitung
L = lim
k→∞
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
ak+1
ak
diperoleh hasil pengujian sebagai berikut:
P∞
1 Jika L < 1 maka deret
k=1 ak konvergen
P∞
2 Jika L > 1 atau L = ∞ maka deret
k=1 ak divergen
3 L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil
kesimpulan)
Contoh
Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret
berikut
∞
X
kk
k=1
k!
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Penyelesaian
kk
Karena ak =
maka diperoleh
k!
kk
k→∞ k!
(k + 1)k+1
(k + 1)k+1 k k
(k + 1)!
= lim
=
lim
k→∞
k→∞ (k + 1)! k!
kk
k!
(k + 1)k
(k + 1)k
= lim
=
lim
k→∞
k→∞
kk
kk
k
1
= lim 1 +
= e ≈ 2, 7183
k→∞
k
L = lim
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Latihan
Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret
berikut
∞
X
k=1
k 2 2−k
Uji Akar
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Pada bahasan sebelumnya kita dapatkan bahwa limk→∞ ak = 0
belumlah menjamin bahwa deret konvergen, karena dapat saja
deret tersebut divergen. Pada uji akar ini akan dilihat
√
kekonvergenan deret melalui suku-suku k ak .
Teorema
P
Diberikan deret ∞
k=1 ak dengan ak ≥ 0 dan dihitung
Uji Rasio
L = lim
Uji Akar
k→∞
√
k
ak
diperoleh hasil pengujian sebagai berikut:
P∞
1 Jika L < 1 maka deret
k=1 ak konvergen
P∞
2 Jika L > 1 atau L = ∞ maka deret
k=1 ak divergen
3
L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil
kesimpulan)
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Latihan Gunakan uji akar untuk mengetahui apakah deret
2
∞ X
1 −k
1+
k
k=1
konvergen. Bila konvergen, aproksimasikan jumlahnya.
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Pemilihan uji merupakan masalah tersendiri yang juga
membutuhkan pengalaman agar tepat memilih uji mana yang
akan dipakai. Namun, dari beberapa contoh sebelumnya, uji
rasio lebih cocok digunakan pada deret yang suku-sukunya
memuat eksponen dan faktorial. Sedangkan uji akar lebih
cocok untuk deret dengan suku-suku memaut pangkat k.
Uji Deret
Positif
Ayundyah
Uji Integral
Uji Komparasi
Teorema Uji
Komparasi
Langsung
Uji Limit
Komparasi
Uji Rasio
Uji Akar
Latihan Gunakan uji rasio atau uji akar untuk mengetahui
kekonvergenan deret dibawah ini, jika konvergen hitung
nilainya.
k
P∞
k
a.
k=1
3k + 1
5
P∞
k + 100
b.
k=1
k!
P∞
k!
c.
k=1
2k