6. Mekanika Lagrange

6. Mekanika
Lagrange
as 2201 mekanika benda langit
6.1 Pendahuluan
Bab ini menjelaskan tentang reformulasi
mekanika Newtonian yang dipelopori oleh
ilmuwan asal Perancis-Italia Joseph Louis
Lagrange. Khususnya, formula ini untuk
menyelesaikan persamaan gerak sistem
dinamika yang rumit.
6.2 Koordinat umum
Misalkan 𝑞𝑖 (untuk 𝑖 = 1, 𝐹) merupakan sebuah set koordinat
dari sistem dinamik. 𝑞𝑖 dapat berupa koordinat kartesian,
bola, sudut atau gabungan ketiganya; yang disebut sebagai
koordinat umum. Sistem dinamik yang konfigurasi sesaat
sepenuhnya ditentukan oleh 𝐹 secara bebas, dikatakan
koordinat umum tersebut memiliki 𝐹 derajat kebebasan.
Misalkan, posisi sesaat sebuah partikel yang bergerak bebas
dalam tiga dimensi sepenuhnya ditentukan oleh tiga
koordinat kartesian , 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 , dan koordinat ini tidak
bergantung satu terhadap yang lain, maka sistem dinamis
yang terdiri dari satu partikel bergerak bebas dalam tiga
dimensi memiliki tiga derajat kebebasan. Jika ada dua
partikel bebas bergerak maka sistem tersebut memiliki enam
derajat kebebasan, dan seterusnya.
Misalkan kita memiliki sistem dinamis yang terdiri dari 𝑁 partikel
bergerak bebas dalam tiga dimensi, berarti 𝐹 = 3 𝑁 derajat
kebebasan sistem, yang konfigurasi sesaatnya dapat
ditentukan oleh 𝐹 koordinat kartesian. Koordinat ditunjukkan
dengan 𝑥𝑗 , dengan 𝑗 = 1, 𝐹, maka 𝑥1 , 𝑥2 𝑥3 , adalah koordinat
kartesian untuk partikel ke-1, 𝑥4 , 𝑥5 𝑥6 , untuk partikel ke-2, dst.
Anggap bahwa konfigurasi sesaat sistem dapat dinyatakan
dengan koordinat umum 𝐹 yang kita notasikan dengan 𝑞𝑖
dengan 𝑖 = 1, 𝐹, dan bisa saja berupa koordinat bola. Kita
tuliskan bentuk umum 𝑥𝑗 dengan 𝑞𝑖 :
𝑥𝑗 = 𝑥𝑗 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , … , 𝑞𝐹 , 𝑡
(6.1)
untuk 𝑗 = 1, 𝐹 (𝑥𝑗 dan 𝑞𝑖 bergantung terhadap waktu).
Misal sebuah sistem terdiri dari partikel yang bergerak pada
permukaan yang bergerak. Dengan aturan rantai, variasi
dalam 𝑥𝑗 disebabkan oleh variasi 𝑞𝑖 (dengan 𝑡 konstan):
𝛿𝑥𝑗 =
𝜕𝑥𝑗
𝑖=1,𝐹 𝜕𝑞
untuk 𝑗 = 1, 𝐹
𝑖
𝛿 𝑞𝑖
(6.2)
6.3 gaya secara umum
Kerja pada sistem dinamik dalam koordinat kartesian:
𝛿𝑊 =
(6.3)
𝑗=1,𝐹 𝑓𝑗 𝛿𝑥𝑗
Di sini, 𝑓𝑗 adalah komponen gaya kartesian yang bekerja
pada berbagai partikel yang membentuk sistem, dengan
demikian, 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 adalah komponen gaya yang bekerja
pada partikel pertama, 𝑓4 , 𝑓5 , 𝑓6 pada partikel ke-2 dst.
Dengan menggunakan persamaan (6.2), dapat kita tuliskan:
𝛿𝑊 =
𝑗=1,𝐹 𝑓𝑗
𝜕𝑥𝑗
𝑖=1,𝐹 𝜕𝑞
𝑖
𝛿 𝑞𝑖
(6.4)
Atau :
(6.5),
𝛿𝑊 = 𝑖=1,𝐹 𝑄𝑖 𝛿𝑞𝑖
dengan
𝑄𝑖 =
𝑗=1,𝐹 𝑓𝑗
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑞𝑖
gaya umum!
(6.6)
Perhatikan bahwa gaya umum tidak selalu memiliki
dimensi gaya, tetapi produk 𝑄𝑖 𝑞𝑖 harus memiliki dimensi
kerja. Jadi, jika 𝑞𝑖 tertentu adalah koordinat kartesian
maka yang terkait dengan 𝑄𝑖 adalah gaya. Sebaliknya
jika 𝑞𝑖 adalah sudut, maka yang terkait dengan 𝑄𝑖
adalah torka.
Misalkan sistem dinamis yang dimaksud adalah
konservatif, maka:
𝜕𝑈
𝑓𝑗 = − 𝜕𝑥 ,
(6.7)
𝑗
untuk 𝑗 = 1, 𝐹, dengan 𝑈 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝐹 , 𝑡 adalah energi
potensial sistem. Oleh karena itu, persamaan (6.6):
𝑄𝑖 = −
𝜕𝑈 𝜕𝑥𝑗
𝑗=1,𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑞
𝑗𝑗
𝑖
untuk 𝑖 = 1, 𝐹
=−
𝜕𝑈
𝜕𝑞𝑖
(6.8)
6.4 persamaan Lagrange
Persamaan gerak dalam koordinat kartesian:
𝑚𝑗 𝑥𝑗 = 𝑓𝑗
(6.9)
untuk 𝑗 = 1, 𝐹 dan 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 adalah massa partikel ke-1, 𝑚4 , 𝑚5 ,
𝑚6 adalah massa partikel ke-2, dst. Energi kinetik dapat dituliskan
sebagai:
1
𝐾=2
𝑗=1,𝐹 𝑚𝑗 𝑥𝑗
2
(6.10)
dengan 𝑥𝑗 = 𝑥𝑗 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝐹 , 𝑡 , maka dapat kita tuliskan:
𝑥𝑗 =
𝜕𝑥𝑗
𝑖=1,𝐹 𝜕𝑞 𝑞𝑖
𝑖
+
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑡
(6.11)
untuk 𝑗 = 1, 𝐹. Selanjutnya 𝑥𝑗 = 𝑥𝑗 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝐹 , 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝐹 , 𝑡 .
Menurut persamaan di atas:
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑞𝑖
=
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑞𝑖
Dengan 𝑞𝑖 dan 𝑞𝑖 merupakan variabel bebas.
(6.12)
Dengan mengalikan persamaan (6.12) dengan 𝑥𝑗 dan
dideferensiasi terhadap waktu didapat:
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑑
𝜕𝑥
𝑑
𝑥𝑗 𝜕𝑞𝑗 = 𝑑𝑡 𝑥𝑗 𝜕𝑞𝑗 = 𝑥𝑗 𝜕𝑞𝑗 + 𝑥𝑗 𝑑𝑡
𝑖
Sekarang
Sehingga
𝑖
𝑑 𝜕𝑥𝑗
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
2
1 𝜕𝑥𝑗
2 𝜕𝑞𝑖
𝑖
𝑑2 𝑥𝑗
=
𝑘=1,𝐹 𝜕𝑞 𝜕𝑞 𝑞𝑘
𝑘
𝑖
𝜕𝑥
= 𝑥𝑗 𝜕𝑞𝑗
𝑖
𝜕𝑥𝑗
(6.13)
𝜕𝑞𝑖
𝑑2 𝑥𝑗
+ 𝜕𝑞 𝜕𝑡
𝑖
(6.14)
(6.15)
Dan
(6.16)
Dari persamaan 6.13, 6.15, dan 6.16:
2
𝑑 1 𝜕𝑥𝑗
𝑑𝑡 2 𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑥𝑗
= 𝑥𝑗 𝜕𝑞 +
𝑖
2
1 𝜕𝑥𝑗
2 𝜕𝑞𝑖
(6.17)
Kalikan persamaan di atas dengan 𝑚𝑗 , dan jumlahkan untuk
semua 𝑗:
𝜕𝑥𝑗
𝑗=1,𝐹 𝑓𝑗 𝜕𝑞
𝑖
𝑑 𝜕𝐾
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
=
𝑑 𝜕𝐾
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
= 𝑄𝑖 +
𝑑 𝜕𝐾
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
= − 𝜕𝑞 + 𝜕𝑞
𝜕𝐾
+ 𝜕𝑞
𝑖
(6.18)
seperti pada persamaan (6.9) dan (6.10). Dari persamaan (6.6):
𝜕𝐾
𝜕𝑞𝑖
(6.19)
Dan dengan persamaan (6.8), kita peroleh:
𝜕𝑈
𝜕𝐾
𝑖
𝑖
(6.20)
Sekarang dikenalkan sebuah fungsi Lagrange, yaitu selisih
antara energi kinetik dan energi potensial sistem dinamik 
𝐿 =𝐾−𝑈
(6.21)
Karena energi potensial 𝑈 tidak bergantung pada 𝑞𝑖 ,
maka dari Persamaan (6.20):
𝑑 𝜕𝐿
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
𝜕𝐿
− 𝜕𝑞 = 0
(6.22)
𝑖
untuk 𝑖 = 1, 𝐹
Menurut analisis di atas, jika kita dapat menunjukkan
energi kinetik dan energi potensial sistem dinamik yang
bergantung terhadap koordinat umum dan turunannya
terhadap waktu, maka kita dapat langsung menuliskan
persamaan gerak sistem tersebut, yang dinyatakan
dalam koordinat umum, dengan menggunakan
persamaan Lagrange, (6.22). Tapi skema ini hanya
bekerja untuk sistem konservatif.
Contoh: sebuah partikel bermassa 𝑚 bergerak
dalam dua dimensi dengan energi potensial
pusat 𝑈(𝑟) (sistem dinamik dengan dua derajat
kebebasan). Seperti dijelaskan dalam sub-bab
3.4, paling mudah posisi sesaat partikel tersebut
dinyatakan dalam koordinat 𝑟 dan 𝜃. Menurut
persamaan (3.13), kecepatan partikel tersebut
dapat dituliskan sebagai:
2
𝑣 2 = 𝑟 2 + 𝑟𝜃
(6.23)
Lagrangian untuk sistem ini (𝐿 = 𝐾 − 𝑈):
1
𝐿 = 𝑚 𝑟2 + 𝑟2𝜃2 − 𝑈 𝑟
(6.24)
2
Sekarang (dengan memanfaatkan persamaan 6.22):
𝜕𝐿
𝜕𝑟
𝜕𝐿
𝜕𝜃
𝜕𝐿
𝜕𝑟
𝜕𝐿
𝜕𝜃
= 𝑚𝑟,
= 𝑚𝑟 2 𝜃 ,
𝑑𝑈
= 𝑚𝑟𝜃 2 − 𝑑𝑟
(6.25)
=0
(6.26)
Persamaan Lagrange
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
= 0(6.22) :
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑟
𝜕𝐿
𝜕𝜃
− 𝜕𝜃 = 0
Sehingga kita peroleh:
(6.28)
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 + 𝑑𝑟 = 0
(6.29)
(6.27)
− 𝜕𝑟 = 0
𝜕𝐿
𝑑𝑈
𝑚𝑟 2 𝜃 = 0
Atau:
(6.30)
𝑑𝑉
𝑟 − 𝑟𝜃 2 = − 𝑑𝑟
𝑟2𝜃 = ℎ
𝑈
(6.31)
(6.32)
Dengan 𝑉 = 𝑚 , dan ℎ konstan.
 Persamaan gerak dalam medan potensial pusat!
6.5 momentum secara umum
Energi kinetik sebuah partikel yang
bergerak satu dimensi, dinyatakan dengan:
𝐾=
1
𝑚𝑥 2
2
(6.33)
Momentum linier partikel tersebut adalah
𝑝 = 𝑚𝑥, dan dapat dituliskan sebagai:
𝜕𝐾
𝜕𝑥
𝜕𝐿
𝜕𝑥
𝑝=
=
(6.34),
dengan 𝐿 = 𝐾 − 𝑈, dan energi potensial 𝑈
bergantung pada 𝑥.
Sekarang bila sistem dinamik dengan 𝐹 koordinat
umum 𝑞𝑖 . Momentum umum (kadang disebut
sebagai momentum konjugat) dinyatakan:
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑝𝑖 =
(6.35)
untuk 𝑖 = 1, 𝐹. Persamaan Lagrange (6.22):
𝑑𝑝𝑖
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
=
(6.36)
untuk 𝑖 = 1, 𝐹. Catat bahwa momentum umum
tidak selalu memiliki dimensi momentum linier.
Misalkan bahwa Lagrangian 𝐿 tidak
bergantung secara eksplisit pada koordinat
𝑞𝑘 . Dari Persamaan (6.36):
𝑑𝑝𝑘
𝑑𝑡
=
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑘
=0
maka:
𝑝𝑘 = konstan.
(6.37),
(6.38)
Dalam kasus ini, Koordinat 𝑞𝑘 tidak diketahui.
Dengan demikian, disimpulkan bahwa momentum
umum yang terkait dengan koordinat yang tidak
dapat diketahui merupakan konstanta gerak.
Kita ambil contoh Lagrangian untuk sebuah partikel
yang bergerak dalam potensial pusat yang tidak
bergantung pada koordinat sudut 𝜃 (persamaan
6.24 ). Maka 𝜃 adalah koordinat yang tidak
diketahui, dan
𝜕𝐿
𝑝𝜃 =
= 𝑚𝑟 2 𝜃
(6.39)
𝜕𝜃
merupakan gerak yang konstan. 𝑝𝜃 merupakan
momentum sudut terhadap pusat, dan kekal
karena tidak ada torka dari pusat yang bekerja
pada gaya pusat.