82 BAB III FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Pada

BAB III
FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER
Pada bagian ini kita selalu mempertimbangkan fungsi elementer yang dipelajari dalam
kalkulus dan mendefinisikan hubungannya dengan fungsi dari suatu variabel kompleks.
Khususnya, kita definisikan fungsi analitik dari suatu variabel kompleks z untuk
mereduksi kedalam fungsi kalkulus z = x + i0. Kita mulai mendefinisikan fungsi
eksponen kompleks dan kita gunakan untuk pengembangan selanjutnya.
23. FUNGSI EKSPONENSIAL
Jika suatu fungsi f dari suatu variabel kompleks z = x + iy adalah direduksi kedalam
keluarga fungsi eksponensial dalam kalkulus dimana z adalah real, kita harus mengingat
kembali bahwa
f(x+i0) = ex
(1)
untuk setiap bilangan real x. Karena (ex)’ = ex untuk setiap bilangan real x, juga asalnya
fungsi tersebut memenuhi kondisi berikut:
(2)
f adalah terdiferensialkan dimana-mana (entire) dan f’(z) = f(z) untuk setiap z.
Perhatikan kembali contoh 1 pada bagian 18, fungsi
f(z) = ex(cosy + isiny),
Dimana y dihitung dalam radian, fungsi tersebut terdiferensialkan dimana-mana dan
f’(z) = f(z). Juga kondisi (1) dan (2) jelas dipenuhi fungsi ini. Fungsi ini dapat
ditunjukkan bahwa memenuhi kondisi (1) dan (2) (lihat soal nomor 15); dan kita tulis
f(z) = ez. Kadang-kadang, untuk memudahkan kita gunakan notasi exp z untuk ez.
Fungsi eksponensial dari analisis kompleks adalah didefinisikan untuk semua z
dengan persamaan
(3)
ez = ex(cos y + i sin y)
dimana z = x + iy. Fungsi ini direduksi dari fungsi eksponensial dalam kalkulus dengan
y = 0 adalah entire dan,
(4)
d z
e  ez ,
dz
82
adalah juga entire dalam bidang z.
Dalam kalkulus, nilai
n
e akar pangkat n dari e adalah positif, demikian juga ex
dimana x = 1/n ( n = 2, 3, …). Selanjutnya, nilai fungsi eksponensial kompleks ez sama
dengan
n
e asalkan z = 1/n ( n = 2, 3, …).
Jika z bagian imajiner murni i, maka dari persamaan (3)
ei = cos  + i sin .
Rumus ini disebut rumus Euler yang telah dijelaskan pada BAB I bagian 5.
Pendefinisian ei yang diberikan digunakan pada persamaan (3) dan ez secara umum
dapat dituliskan sebagai berikut
ez = exeiy.
(5)
Persamaan (5) dapat ditulis menjadi
e z  ei , dimana  = ex dan   y .
(6)
Bilangan  = ex adalah positif untuk semua x, dan dari persamaan (6), modulus ez
adalah ex dan y merupakan suatu argumen dari ez., yakni
(7)
ez  ex
dan arg(ez) = y + 2n (n = 0,  1,  2,  3, …)
Sebagai catatan, e z selalu positif,
(8)
ez  0 untuk semua bilangan kompleks z.
Persamaan (5) untuk ez dapat digunakan untuk menurunkan sifat fungsi eksponensial
kompleks berikut.
(9)
(exp z1)( exp z2) = exp (z1+z2).
Untuk membuktikan sifat ini, tulis z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2. Maka


 


(exp z1)( exp z2) = e x1 eiy1 e x 2 eiy 2  e x1 e x2 eiy1 eiy 2 .
Karena x1 dan x2 keduanya bilangan real, dan dari bab 1 bagian 6, eiy1 eiy 2  ei  y1  y 2  ,
maka
(exp z1)( exp z2) = e  x1  x 2 ei  y1  y 2  ;
dan juga
83
(x1 + x2) + i(y1 + y2) = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = z1 + z2.
Ini berarti sifat pada persamaan (9) telah ditunjukkan.
Dari sifat (9) dapat diturunkan pula sifat exp(z1 – z2) exp z2 = exp z1, atau
exp z1
 exp z1  z2 
exp z 2
(10)
Dari (10) diperoleh e0 = 1 dan
1
= e-z. Sifat-sifat yang lain dari fungsi eksponensial
z
e
adalah
(n = 0,  1,  2, …), dan
(11)
(exp z)n = exp(nz)
(12)
e z  2i  e z e 2i =ez untuk semua z
Persamaan (12) mempunyai arti bahwa fungsi ez adalah fungsi periodik dengan periodik
2i.
Contoh. Carilah semua nilai z yang memenuhi
ez = -1.
(13)
Persamaan (13) dapat ditulis menjadi exeiy = 1ei. Maka dari bagian 5, bahwa dua
bilangan kompleks adalah sama dalam bentuk eksponensial , jika
ex = 1 dan y =  + 2n (n = 0,  1,  2, …).
Jadi, x = 0, dan diperoleh
(14)
z = (2n + 1)i, (n = 0,  1,  2, …).
LATIHAN
1. Tunjukan bahwa
 2  i 
(a). exp(2  3i) = - e2; (b). exp 

 4 
e
1  i  ; (c). exp(z+i) = -exp(z)
2
2. Pada saat kapan fungsi 2z2 – 3 – zez + e-z entire?
3. Buktikan bahwa fungsi exp z tidak analitik dimana-mana.
4. Tunjukkan dalam dua cara bahwa fungsi exp(z2) adalah entire, Tentukan pula
turunannya.
84
5. Tulis exp2 z  i  dan expiz 2  dan bentuk x dan y. Tunjukkan pula bahwa
 
exp2 z  i   exp iz 2  e 2 x  e 2 xy
 
 .
6. Tunjukkan bahwa exp z 2  exp z
2
7. Buktikan bahwa exp 2 z  <1 jika dan hanya jika Re z > 0.
8. Carilah semua nialai z sedemikian sehingga
(a). ez = -2;
(b). ez = 1 +
3 i;
(c).
exp(2z-1) = 1.
 
9. Tunjukkan bahwa expiz   exp i z jika dan hanya jika z = n, (n = 0,  1,  2, …).
10. (a). Tunjukan bahwa jika ez real, maka Im(z) = n (n = 0,  1,  2, …)
(b). Jika ez imajiner murni, maka tentukan batasan nilai pada z.
11. Tentukan nilai dari exp(x+iy), jika (a) x menuju -  , (b) y menuju  .
 1
12. Tulis Re  e z  dalam bentuk x dan y. Bagaimana fungsi ini agar harmonik pada
 
 
setiap domain yang tidak memuat titik asal?
13. Misalkan fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain D. Pada saat
kapan fungsi
U(x,y) = eu(x,y)cos v(x,y),
V(x,y) = eu(x,y)sin v(x,y)
Harmonik di D dan bagaimana harmonik konjugate V(x,y) dari U(x,y)?
14. Buktikan kesamaan
(exp z)n = exp(nz) (n = 0,  1,  2, …)
24. FUNGSI TRIGONOMETRI
Dari rumus Euler pada bagian 5, telah diketahui bahwa
eix = cos x + isin x, e-ix = cos x - isin x
untuk setiap bilangan real x, dan dari persamaan ini diperoleh
eix - e-ix = 2isin x
, eix + e-ix e-ix = 2cos x.
85
Definisi di atas yang mendasari pendefinisian fungsi kosinus dan sinus dari suatu
variabel kompleks z, yakni:
(1)
sin z 
eiz  e  iz
,
2i
cos z 
eiz  e  iz
2
Fungsi ini adalah entire karena mereka adalah kombinasi linier (latihan 3, bagian 22)
dari eiz dan e-iz. Dari turunan fungsi eksponensial, turunan dari (1) adalah
(2)
d
sin z  cos z ,
dz
d
cos z   sin z .
dz
Dari definisi (1) mudah untuk ditunjukkan bahwa :
(3)
sin (-z) = -sin z dan cos (-z) = cos z.
Contoh. Tunjukkan bahwa
(4)
2sin z1 cos z2 = sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2)
Dengan menggunakan definisi (1), diperoleh bahwa
2sin z1 cos z2
 eiz1  eiz 2
= 2 
2i

 eiz1  eiz 2

2




 ei  z1  z 2   e  i  z1  z 2    ei  z1  z 2   e  i  z1  z 2  
  

= 
2
i
2
i

 

= sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2).
Sifat-sifat yang lain dari fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
(5)
sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
(6)
cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2
(7)
sin2 z + cos2 z = 1
(8)
sin 2z = 2sin z cos z,
cos 2z = cos2z – sin2z
(9)


sin  z   =cos z,
2



sin  z   =-cos z
2

Jika y suatu bilangan real, maka dari definisi (1) dan definisi fungsi hiperbolik
sinh y 
e y  e y
,
2
cosh z 
dalam kalkulus, diperoleh hubungan
86
e y  e y
2
(10)
sin(iy) = i sinh y,
dan
cos(iy) = cosh y.
Dari persamaan (10) diperoleh bagian real dan bagian imajiner dari fungsi sin z dan
cosz, dengan memisalkan z1 = x dan z2 = iy , dan persamaan (5) dan (6), diperoleh
(11)
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
(12)
cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y,
dimana z = x + iy.
Suatu sifat yang paling penting dari sinz dan cosz yang diturunkan dari
persamaan (11) dan (12) adalah fungsi periodik masing-masing, yakni :
(13)
sin (z+2) = sin z,
sin (z + ) = - sin z
(14)
cos (z+2) = cos z,
cos (z + ) = - cos z
Juga (lihat latihan 7)
2
(15)
sin z = sin2x + sinh2y,
(16)
cos z = cos2x + cosh2y.
2
Persamaan (15) dan (16) memberikan gambaran bahwa sin z dan cos z tidak terbatas
dalam nilai mutlak, walaupun nilai mutlak dari sin x dan cos x kurang dari atau sama
dengan satu.
Pembuat nol dari fungsi f(z) adalah suatu bilangan z0 sedemikian sehingga f(z0)
= 0. Jika sin z merupakan fungsi sinus dalam kalkulus dimana z adalah bilangan real,
maka sin z = 0 jika z = n, (n = 0,  1,  2, …). Demikian juga jika sin z = 0, maka dari
(15), diperoleh
sin2x + sinh2y = 0
jadi, sin x = 0 dan sinh y = 0.
Ini berarti x = n (n = 0,  1,  2, …) dan y = 0. Dari sini diperoleh suatu sifat, bahwa
(17)
sin z = 0 jika dan hanya jika z = n (n = 0,  1,  2, …).


Karena dari persamaan (9), -sin  z   = cos z, maka
2

(18)
cos z = 0 jika dan hanya jika z =
87

+ n (n = 0,  1,  2, …)
2
Jadi, dalam hal ini pembuat nol dari sin z dan cos z adalah bilangan real.
Empat fungsi trigonometri lain yang diturunkan dari fungsi sinus dan cosinus
adalah sebagai berikut :
sin z
,
cos z
1
sec z 
,
cos z
cos z
sin z
1
csc z 
sin z
tan z 
(19)
cot z 
Fungsi tan z dan sec z adalah fungsi analitik dimana-mana kecuali dititik singularitasnya
(bagian 20), yaitu z = (/2) + n (n = 0,  1,  2, …), dan ini merupakan pembuat nol
dari fungsi cos z. Demikian juga fungsi cot z dan csc z mempunyai titik singularitas di
pembuat nol sin z, yakni z = n (n = 0,  1,  2, …). Selanjutnya, dengan
mendeferensialkan bahagian kanan dari persamaan (19), diperoleh rumus diferensial
sebagai berikut :
d
tan z  sec 2 z ,
dz
d
sec z  sec z tan z ,
dz
(20)
d
cot z   csc 2 z
dz
d
csc z   csc z cot z
dz
Untuk menyelidiki sifat periodik dari fungsi trigonometri (19) dapat diselidiki dari
persamaan (13) dan (14). Sebagai contoh,
tan(z + ) = tan z.
(21)
LATIHAN
1.
(a). Uraikan secara rinci persamaan (2) dalam bagian 24 untuk menentukan
turunan sin z dan cos z.
(b). Misalkan fungsi f(z) adalah analitik dalam domain D. Pada saat kapan fungsi
sin f(z) dan cos f(z) analitik dalam domain D. Juga dengan menuliskan w =
f(z), maka tunjukkan bahwa
d
dw
d
dw
, dan
sin w  cos w
cos w   sin w
dz
dz
dz
dz
88
2.
Tunjukkan bahwa eiz = cos z + i sin z untuk setiap bilangan kompleks z.
3.
Tunjukkan bahwa setiap rumus trigonometri pada persamaan (7), (8), dan (9)
bagian 24 diturunkan dari persamaan (5) dan (6) bagian 24.
4.
Gunakan sifat pada persamaan (7) bagian 24 untuk menunjukkan
(a). 1 + tan2z = sec2z
(b). 1 + cot2z = csc2z
5.
Turunkan rumus differensial pada persamaan (20) bagian 24.
6.
Dalam bagian 24, gunakan persamaan (11) dan (12) untuk menurukan persamaan
2
2
(15) dan (16) dari sin z dan cos z .
7.
Tunjukkan ketaksamaan berikut ini dengan menggunakan persamaan (15) dan (16)
2
2
dari sin z dan cos z ,
8.
(a). sin z  sin x
(b). cos z  cos x
(c). sinh y  sin z  cosh y
(c). sinh y  cos z  cosh y
a. Gunakan definisi (1) dalam bagian 24 dari sin z dan cos z untuk menunjukkan
2sin (z1 + z2) sin (z1 - z2) = cos 2z2 -cos 2z1
b. Dengan menggunakan bagian a, tunjukkan bahwa, jika cos z1 = cos z2 maka
paling sedikit salah satu dari bilangan z1 - z2 dan z1 + z2 merupkan kelipatan
dari 2.
9.
Tunjukkan bahwa fungsi sin z dan cos z tidak analitik dimana-mana untuk z.
10.
Gunakan sifat refleksi bagian 21 untuk menunjukkan bahwa, untuk semua z
a. sin z  sin z
11.
b. cos z  cos z
Dengan menggunakan persamaan (11) dan (12) bagian 24, tunjukkan secara
langsung soal nomor 10.
12.
Tunjukkan bahwa
 
(b). sin iz   sin i z 
(a). cosiz   cos i z untuk semua z
jika dan hanya jika z = ni (n = 0,  1,  2, …)
89
13.
Carilah semua nilai z yang memenuhi dari persamaan sinz = cosh4 dengan
menyamakan bagian real dan bagian imajiner sinz dan cosh4.
14.
Carilah semua nilai yang memenuhi persamaan cos z = 2.
25. FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik dari variabel kompleks didefinisikan
melalui pendefisian mereka pada variabel real, yakni,
(1)
sinh z =
e z  e z
,
2
cosh z =
e z  e z
.
2
Karena ez dan e-z adalah entire, maka dari persamaan (1) sinh z dan cosh z adalah entire.
Lebih dari itu,
(2)
d
sinh z  cosh z ,
dz
d
cosh z  sinh z .
dz
Karena (1) didefinisikan melalui fungsi eksponensial dan definisi bagian 24
sin z =
eiz  e iz
,
2i
cos z =
eiz  e iz
2
dari sin z dan cos z, maka fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik mempunyai
hubungan dengan fungsi sinus dan cosinus, yakni:
(3)
-i sinh (iz) = sin z,
cosh (iz) = cos z
(4)
-i sin (iz) = sinh z,
cos (iz) = cosh z
Disamping sifat-sifat di atas, fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik mempunyai
sifat sebagai berikut :
(5)
(6)
sinh (-z) = -sinh z,
cosh (-z) = cosh z
2
2
cosh z – sinh z = 1
(7)
sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2
(8)
cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2
(9)
sinh z = sinh x cos y + icosh x sin y
(10)
cosh z = cosh x cos y + isinh x sin y
90
2
(11)
sinh z = sinh2x + sin2y
(12)
cosh z = sinh2x + cos2y
2
dimana z = x + iy. Untuk membuktikan sifat-sifat di atas dapat dilakukan dengan
menggunakan definisi (1) dan sifat-sifat lain yang telah dibuktikan. Sebagai contoh akan
dibuktikan persamaan (11), dan selain itu dijadikan sebagai latihan.
2
Contoh. Buktikan bahwa sinh z = sinh2x + sin2y, dengan z = x + iy.
Dari persamaan (4) sinh z  sin iz  , yakni
2
(13)
2
sinh z  sin  y  ix  ,
2
2
dimana z = x + iy. Tetapi dari persamaan (15) bagian 24, diketahui bahwa
sin  x  iy   sin 2 x  sinh 2 y , akibatnya
2
sin  y  ix   sin 2  y   sinh 2 x = sinh2x + sin2y,
2
ini berarti persamaan (11) telah dibuktikan.
Dari sifat periodik sin z dan cos z, dan hubungannya dengan persamaan (4),
maka fungsi sinh z dan cosh z adalah fungsi periodik dengan periode 2i. Persamaan (4)
memberikan hasil bahwa
(14)
sinh z = 0 jika dan hanya jika z = ni (n = 0,  1,  2, …)
dan
(15)


cosh z = 0 jika dan hanya jika z =   n i (n = 0,  1,  2, …).
2


Tangen hiperbolik dari z didefinisikan dengan persamaan
(16)
tanh z 
sinh z
cosh z
dan analitik disetiap domain asalkan cosh z  0. Sedangkan fungsi cot h, sec h, dan csc h
didefisikan sebagai berikut :
coth z 
cosh z
sinh z
sec hz 
91
1
cosh z
csc hz 
1
.
sinh z
Selanjutnya, turunan dari fungsi tanhz, cothz, sechz, dan cschz diperoleh dari sifat-sifat
turunan seperti pada fungsi hiperbolik yang bernilai real, dan diperoleh :
(17)
d
tanh z  sec h 2 z ,
dz
d
coth z   csc h 2 z
dz
(18)
d
sec hz   sec hz tanh z ,
dz
d
csc hz   csc hz coth z
dz
LATIHAN
1. Buktikan turunan dari sinh z dan cosh z pada persamaan (2) bagian 25.
2.
Buktikan bahwa sinh2z = 2sinh z cosh z dengan menggunakan :
a. definisi (1), bagian 25, dari sinh z dan cosh z.
b. dari sifat sin 2z = 2sin z cos z
3. Tunjukkan bahwa persamaan (6) dan (8) bagian 25 diturunkan dari persamaan (7)
dan (6) bagian 24.
4. Tulis sinhz = sinh(x + iy) dan coshz = cosh(x+iy), tunjukkan persamaan (9) dan (10)
bagian 25 dengan menggunakan persamaan (7) dan (8) bagian 25.
5. Turunkan persamaan (12) bagian 25 untuk cosh z
2
6. Tunjukkan bahwa sinh x  cosh z  cosh x dengan menggunakan (a) persamaan
(12) bagian 25; (b) persamaan dalam latihan 8b bagian 24.
7. Tunjukkan bahwa
(a). sinh(z + i) = -sinhz
(b). cosh(z + i) = -coshz
(c). tanh (z + i) = tanhz.
8. Tunjukkan secara lengkap pembuat nol dari fungsi sinhz dan coshz yang dinyatakan
dalam persamaan (14) dan (15) bagian 25.
9. Gunakan hasil pada soal nomor 8 untuk menuntukan pembuat nol dan titik
singularitas dari fungsi tangen hiperbolik.
10. Turunkan rumus differensial persamaan (17) bagian 25.
11. Gunakan prinsip refleksi bagian 22 untuk menunjukkan bahwa, untuk setiap z,
(a). sinh z  sinh z
(b). cosh z  cosh z
92
12. Gunakan hasil pada soal nomor 11 untuk menunjukkan bahwa tanh z  tanh z
dititik-titik coshz  0.
13. Kapan fungsi sinh(ez) entire? Tulis bagian real melalui fungsi dari x dan y, dan
keadaan bagaimana fungsi tersebut harus harmonik dimana-mana.
14. Carilah semua nilai z yang memenuhi persamaan
1
2
(a). cos z =
(b). sinh z = i
(c). cosh z = -2.
26. FUNGSI LOGARITMA DAN CABANG-CABANGNYA
Salah satu motivasi untuk mendefinisikan fungsi logaritma adalah mencari penyelesaian
dari persamaan
(1)
ew = z
untuk w, dimana z adalah suatu bilangan kompleks tak nol. Dari sini, kita tulis z  rei
 
     dan w = u + iv, sehingga persamaan (1) menjadi
eu eiv  re i .
Maka dari kesamaan dari dua bilangan kompleks dalam eksponensial, diperoleh eu = r
dan v   +2n, dimana n suatu bilangan bulat. Karena persamaan eu = r mengakibatkan
u = ln r, dan persamaan (1) dipenuhi jika dan hanya jika w mempunyai satu dari nilai
w = ln r + i (  + 2n) (n = 0,  1,  2, …).
Jadi, jika kita tulis
(2)
log z = ln r + i (  + 2n) (n = 0,  1,  2, …),
kita mempunyai hubungan sederhana
(3)
elogz = z.
Persamaan (2) memberikan arti bahwa fungsi logaritma dari variabel kompleks z =rei
tak nol merupakan fungsi bernilai banyak.
93
Jika z bilangan kompleks tak nol, dengan bentuk eksponensial z =rei, maka 
mempunyai satu nilai dari nilai  =  + 2n (n = 0,  1,  2, …), dimana  = Arg z.
Persmaan (2) dapat ditulis menjadi
(4)
log z = ln r + i,
Jadi,
(5)
log z = ln z + i arg z (z  0).
Perlu ditekankan bahwa tidak selalu benar bahwa bagian kiri dari persamaan (3)
dengan urutan kebalikan dari fungsi logaritma dan eksponensial adalah sama dengan z.
Hal ini disebabkan oleh karena log (ez) mempunyai sejumlah tak hingga nilai untuk
setiap z yang diberikan. Tepatnya, dalam bagian 23,
ez  ex
dan
arg (ez) = y + 2n (n = 0,  1,  2, …)
dimana z = x + iy, dan dari persamaan (5) diperoleh
log (ez) = ln e z + i arg ez = x + i(y + 2n),
atau
(6)
log (ez) = z + i arg ez (n = 0,  1,  2, …)
Nilai utama dari log z adalah nilai yang termuat dalam persamaan (2) dimana n =
0 dan dinyatakan dengan Log z. Jadi
(7)
Log z = ln r + i  ,
atau
(8)
Log z = ln z + i Arg z (z  0).
Sebagai catatan,
log z = Log z + i2n (n = 0,  1,  2, …).
Fungsi Log z adalah jelas terdefinisi dengan baik dan mempunyai nilai tunggal pada saat
z  0. Hal ini diturunkan dari logaitma asli dalam kalkulus dimana z adalah bilangan
positif z = r. Dari sini, penulisan z = rei0 adalah tunggal, dalam persamaan (7)
Log z = ln r dan akibatnya Log r = ln r.
Contoh. Dari persamaan (2), diperoleh
94
log 1 = 2ni (n = 0,  1,  2, …)
dan
log (-1) = (2n + 1)i (n = 0,  1,  2, …).
Khususnya, Log 1 = 0 dan Log (-1) = i.
Jika kita memisalkan  sembarang bilangan real dan nilai  pada persamaan (4)
dibatasi pada interval  <  <  + 2, maka fungsi
(9)
(r>0,  <  <  + 2),
log z = ln r + i
dengan komponen-komponennnya
(10)
u(r,) = ln r dan v(r,) = ,
adalah bernilai tunggal dan kontinu dalam domain yang diberikan (lihat gambar 25).
Sebagai catatan, jika fungsi pada persamaan (9) kita definisikan pada sinar  = , maka
fungsi tersebut tidak kontinu disana. Jika z titik pada sinar, maka terdapat titik-titik
sembarang yang dekat ke z yang memberikan nilai dari v dekat dengan  dan juga titiktitik sedemikian sehingga v dekat dengan  + 2.
y

x
0
Gambar 25
Fungsi (9) tidak hanya kontinu tetapi juga analitik dalam domain r > 0,  <  < 
+ 2 dimana turunan parsial orde pertama dari u dan v adalah kontinu dan memenuhi
bentuk polar persaamaan C-R dari bagian 19.
1
ur  v ,
r
1
u  vr
r
95
Juga dari bagian 19,
d
1
1

log z  e  i ur  ivr   e  i   i 0   i ;
dz
r
 re
Jadi,
(11)
d
1
log z 
dz
z
z
 0,  arg z    2  .
d
1
Logz 
dz
z
 z  0,  Argz    .
Khususnya,
(12)
Suatu cabang dari fungsi bernilai banyak f adalah nilai tunggal F yang analitik
dalam suatu domain di setiap titik z yang memberikan satu nilai F(z) dari nilai-nilai f(z).
Dari sifat keanalitikannya, jelas bahwa kita dapat memilih secara acak dari nilai f. Untuk
setiap nilai  tetap, fungsi bernilai tunggal pada persamaan (9) adalah suatu cabang dari
fungsi bernilai banyak persamaan (4). Fungsi
(13)
Log z = ln r + i 
 z  0,     
adalah disebut cabang utama.
Suatu potongan cabang adalah bagian dari garis atau kurva yang telah dijelaskan
pada pendahuluan pendefisian suatu cabang F dari fungsi bernilai banyak f. Titik pada
potongan cabang untuk F adalah titik singular (bagian 20) dari F, dan setiap titik adalah
irisan dari semua potongan cabang dari f dan disebut titik cabang. Titik asal dan sinar 
=  dibuat dari potongan cabang untuk cabang (9) dari fungsi logaritma. Potongan
cabang untuk cabang utama (13) terdiri dari titik asal dan sinar  = . Titik asal
merupakan titik cabang dari fungsi logaritma yang bernilai banyak.
27. SIFAT-SIFAT FUNGSI LOGARITMA
Hubungan persamaan (3) dan (6) dalam bagian 26, semua sifat logaritma dari
bilangan real positif di bawah kedalam sifat analisis kompleks, dengan sedikit
modifikasi. Dalam bagian ini akan diturunkan beberapa sifat.
96
Jika z1 dan z2 menyatakan dua bilangan kompleks tak nol, maka jelas dapat
ditunjukkan bahwa
(1)
log (z1z2) = log z1 + log z2.
Pernyataan ini, diartikan sama dengan fungsi bernilai banyak pada pernyataan
(2)
arg (z1z2) = arg z1 + arg z2
yang telah dijelaskan pada bagian 6. Jadi, jika dua nilai dari tiga logaritma ditetapkan,
maka terdapat suatu nilai dari logaritma keempat sedemikian sehingga pernyataan (1)
benar.
Untuk menunjukkan persamaan (1) dapat digunakan persamaan (2) sebagai dasar
pembuktian. Karena z1 z2  z1 z2 dan nilai modulus adalah semua bilangan real positif,
serta dari definisi logaritma dalam kalkulus bahwa
ln z1 z2  ln z1  ln z2
juga dari persamaan (2), diperoleh bahwa
(3)
ln z1 z2  i arg z1 z 2   ln z1  i arg z1   ln z2  i arg z2  .
Persamaan (3) menunjukkan bahwa persamaan (1) telah dibuktikan.
Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa
(4)
log
z1
= log z1 - log z2
z2
Contoh. Ilustrikan persaman (1) dengan nilai z1 = z2 = -1. Jika nilai log z1 = i dan log
z2 = -i adalah ditentukan, maka persamaan (1) adalah jelas dipenuhi jika nilai log (z1z2)
= 0 adalah dipilih.
Juga dapat diselidiki jika nilai z1 = z2 = -1, bahwa
Log (z1z2) = 0
Log z1 + Log z2 = 2i.
Jadi pernyataan pada persamaan (1) tidak selalu benar jika log diganti dengan Log.
Demikian pula untuk persamaan (4).
Jika z suatu bilangan kompleks tak nol, maka
(5)
zn = enlogz
(n = 0,  1,  2, …)
97
untuk setiap nilai dari log z ditentukan. Jika n = 1, maka telah dijelaskan pada persamaan
(3) bagian 28. dan persamaan (5) jelas dipenuhi. Jika kita menuliskan z = rei pada
persamaan (5) maka kedua ruas akan diperoleh rnein.
Juga benar bahwa, jika z  0, maka
1
1

z n  exp log z  , (n = 1, 2, …)
n

(6)
Bentuk pada bagian kanan persamaan (6) memberikan n nilai yang berbeda, dan nilainilainya adalah merupakan nilai dari akar pangkat n dari z. Untuk membuktikan ini, tulis
z = r exp (i  ), dimana  adalah nilai utama dari arg z. Maka dari persamaan (2) bagian
(26), untuk log z, diperoleh
i   2k  
1

1
exp log z   exp  ln r 
 , k = = 0,  1,  2, …. Jadi,
n
n

n

   2k 
1

exp log z   n r expi 
 , (k = 0,  1,  2, …).
n 
n

n
(7)
Karena exp(i2k/n) mempunyai nilai yang berbeda jika k = 0, 1, 2, …, n-1, bagian
kanan persamaan (7) hanya mempunyai n nilai. Jadi bagian kanan persamaan (7)
1
merupakan akar pangkat n dari z (bagian 7), dan juga dapat ditulis z n . Untuk
menunjukan persamaan (6) jika bilangan bulat negatif dijadikan sebagai latihan.
LATIHAN
1.
Tunjukkan bahwa
(a). Log  ei   1 
2.

i
2
(b). Log 1  i  
1

ln 2  i
2
4
Tunjukkan bahwa, jika n = 0,  1,  2, …, maka:


1
1


(a). log e = 1 + 2ni (b). log i =  2n  i (c). log  1  3i  ln 2  2 n  i
2
3


3.
Tunjukkan bahwa
(a) Log(1+i)2 = 2 Log(1+i)
(b). Log (-1 + i)2  2 Log(-1 + i).
98
4.
Tunjukkan bahwa

9 

(a). log (i2) = 2 log i jika log z = ln r + i  r  0,   
;
4
4 

3
11 

(b). log (i2)  2 log i jika log z = ln r + i  r  0,
 

4
4 

5.
Tunjukkan bahwa
(a). Himpunan dari nilai log  i 2  adalah n  14  i (0,  1,  2, …) dan
 
1
log  i 2  = 12 log i .
 
1
(b). Himpunan nilai dari log (i2) tidak sama dengan himpunan dari 2 log i.
6.
Diberikan cabang log z = ln r + i (r>0,  <  <  + 2) dari fungsi logaritma
adalah analitik disetiap titik z pada domain yang diberikan. Carilah turunannya
dengan mendiferensialkan kedua sisi dari persamaan exp(logz) = z bagian 26 dan
aturan rantai.
7.
Carilah semua nilai yang memenuhi persamaan log z = (/2)i.
8.
Misalkan bahwa titik z terletak dalam strip (bidang)  < y<  + 2. Tunjukkan
bahwa jika cabang log z = ln r + i (r>0,  < y<  + 2) dari fungsi logaritma,
maka log (ez) = z.
9.
Tunjukkan bahwa, jika Re z1>0 dan Re z2>0, maka Log (z1z2) = Log z1 + Log z2
10.
Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan kompleks tak nol z1 dan z2
Log (z1z2) = Log z1 + Log z2 + 2Ni, dimana N mempunyai satu nilai dari 0,  .
11.
Turunkan persamaan (4) bagian 27, untuk log (z1/z2)
(a). dengan menggunakan kenyataan bahwa arg (z1/z2) = arg z1 – arg z2
(b). pertama tunjukkan bahwa log (1/z) = - log z (z0), selanjutnya log (1/z) dan
-log z mempunyai himpunan nilai yang sama, dan terakhir gunakan persmaan
(1) bagian 27 untuk log (z1z2).
12.
Dengan memilih nilai-nilai tak nol dari z1 dan z2, tunjukkan bahwa persamaan (4)
dalam bagian 27 untuk log (z1/z2) tidak selalu benar jika log diganti dengan Log.
99
13.
Tunjukkan bahwa
(a). fungsi Log (z-i) adalah analitik dimana-mana kecuali pada y = 1 (x0);
(b). fungsi
Log  z  4 
1 i
adalah analitik dimana-mana kecuali dititik-titik 
dan
2
z i
2
pada x  -4 untuk sumbu real.
14.
Tunjukkan dalam dua cara bahwa fungsi ln (x2 + y2) adalah harmonik dalam setiap
domain yang tidak memuat titik asal.
15.
Tunjukkan bahwa
Relog z  1 


1
2
ln  x  1  y 2 (z1).
2
Apakah fungsi ini memenuhi persamaan Laplace jika z  1?
28. EKSPONEN KOMPLEKS
Jika z  0 dan eksponen c adalah suatu bilangan kompleks, maka fungsi zc didefinisikan
dengan persamaan
zc = ec log z
(1)
dimana log z menyatakan fungsi logaritma bernilai banyak. Persamaan (1) merupakan
definisi dari zc dan ini telah dijelaskan dalam bagian 27 ketika c = n (n = 0,  1,  2, …)
dan c =
1
n
(n = 0,  1,  2, …). Jadi pendefinisian zc berdasarkan pada pemilihan c
seperti di atas.
Contoh. Pangkat dari z secara umum bernilai banyak, sebagai ilustrasi dapat dituliskan

1 

i  2i  exp 2i log i   exp 2i 2n  i   exp4n  1 
2 


dimana n = 0,  1,  2, …. Sebagai catatan dari sifat fungsi eksponensial adalah
1
1
 e  z , demikian juga dua himpunan dari bilangan c dan z  c adalah sama. Juga
z
e
z
kita dapat menuliskan
100
1
 z c
c
z
(2)
dan khususnya,
1
= exp4n  1  (n = 0,  1,  2, …).
i 2i
Jika z = rei dan  suatu bilangan real , cabang
(r>0,  <  <  + 2)
log z = ln r + i
dari fungsi logaritma adalah fungsi bernilai tunggal dan analitik dalam domain yang
diberikan. Jika cabang di atas digunakan, maka fungsi zc = exp (c log z) adalah fungsi
bernilai tunggal dan analitik dalam domain yang sama. Turunan dari suatu cabang dari zc
ada dan diperoleh
d c d
c
expc log z 
z  expc log z   expc log z   c
 c expc  1log z 
dz
dz
z
explog z 
bentuk terakhir dari penurunan di atas adalah fungsi bernilai tunggal czc-1, jika
didefinisikan pada domain r>0,  <  <  + 2. Jadi
(3)
z
d c
z  cz c 1
dz
 0 , α  arg z  α  2π  .
Nilai utama dari zc diperoleh jika log z diganti dengan Log z dalam definisi (1):
(4)
zc = ec Log z
Persamaan (4) juga mendefinisikan cabang utama dari fungsi zc pada domain
z
 0 ,    Argz  π .
Contoh 2. Nilai utama dari (-i)i adalah
   

expiLog  i   expi  i   exp .
2
  2 
2
Contoh 3. Cabang utama dari z 3 dapat ditulis
2 
2

2
 2 
exp Logz   exp ln r  i   3 r 2 exp i
.
3 
3

3
 3 
101
Adalah analitik dalam domain r  0 ,      π . Juga dapat ditunjukkan secara
langsung dengan menggunakan teorema dalam bagian 19.
Dari definisi (1), fungsi eksponensial dengan basis c, dimana c adalah konstanta
kompleks tak nol, dapat ditulis
cz = ezlogc.
(5)
Jika nilai dari log z adalah spesifik, cz adalah fungsi entire dari z. Kenyataannya,
d z d z log c
c  e
 e z log c log c ;
dz
dz
dan ini menunjukkan bahwa
d z
c  c z log c
dz
(6)
29. INVERS DARI FUNGSI TRIGONOMETRI DAN HIPERBOLIK
Invers dari fungsi trigonometri dan hiperbolik dapat dijelaskan dalam bentuk
logaritma.
Untuk mendefinisikan fungsi invers dari sinus sin-1z, kita tulis w = sin-1z dimana
z = sin w. Jadi w = sin-1z, jika
z
eiw  e  iw
.
2i
Persamaan ini kita rubah dalam bentuk persaman kuadrat eiw, yakni:
(eiw)2 – 2iz (eiw )– 1 = 0.
Penyelesaian eiw dapat dilihat pada latihan 8(a) bagian 7. Dan diperoleh
(1)


1
eiw  iz  1  z 2 2 ,
dimana 1  z 2 2 adalah fungsi yang mempunyai dua nilai dari z. Jika kedua ruas pada
1
persamaan (1) dilogaritmakan dan diketahui bahwa w = sin-1z, maka diperoleh
(2)


sin 1 z  i log iz  1  z 2 2  .


1
102
Contoh berikut mengilustrasikan bahwa sin-1 z adalah fungsi bernilai banyak dengan
sejumlah tak berhingga nilai untuk setiap titik z.
Contoh. Dari persamaan (2) diketahui bahwa


sin 1  i   i log 1  2 .
Tetapi








log 1  2  ln 1  2  2ni (n = 0,  1,  2, …)
dan
log 1  2  ln 2  1  2n  1i (n = 0,  1,  2, …)
Karena

maka bilangan,



ln 2  1  ln
1
  ln 1  2 ,
1 2
 1n ln1 

2  ni (n = 0,  1,  2, …)


merupakan himpunan nilai dari log 1  2 . Jadi
sin 1  i   n  i  1
n 1

ln 1  2

(n = 0,  1,  2, …).
Dengan teknik seperti yang digunakan pada persamaan (2) untuk sin-1z, dapat
ditunjukkan bahwa
(3)


cos 1 z  i log  z  i 1  z 2 2 


1
dan juga
(4)
tan 1 z 
i
iz
log
2
iz
Fungsi cos-1z dan tan-1z adalah juga bernilai banyak. Jika kita amati cabang dari akar
kuadrat dan fungsi logaritma yang digunakan, maka semua tiga fungsi invers di atas
berasal dari fungsi bernilai tunggal dan analitik sebab mereka adalah komposisi dari
fungsi analitik.
103
Turunan dari ketiga fungsi di atas dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.
Turunannya tergantung pada dua nilai yang dipilih untuk akar kuadrat:
(5)
d
1
sin 1 z 
dz
1  z2
(6)
d
1
cos 1 z 
dz
1  z2

,

1
2


1
2
Turunan dari yang terakhir adalah tidak ada, bagaimanapun, tergantung pada cara
bagaiamana membuat fungsi tersebut bernilai tunggal.
Invers dari fungsi hiperbolik dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan
invers fungsi trigonometri, dan diperoleh




(8)
sinh 1 z  log z  z 2  1 2  ,


(9)
cosh 1 z  log z  z 2  1 2 


1
1
dan
tanh 1 z 
(10)
1 1 z 
log
.
2 1 z 
Terakhir, notasi lain untuk fungsi invers adalah arc sinz, arc cos z, dan
seterusnya.
LATIHAN
1. Tunjukkan bahwa jika n = 0,  1,  2, …, maka
 

i

i
a. 1  i   exp   2n  exp ln 2  ,
 4

2

b.  1  e2 n 1i
1
2. Carilah nilai utama dari
a. ii ,


3i
e

b.   1  3i  ;
2

c. 1  i 
4i
3. Dengan menggunakan definisi (1) bagian 28 dari zc tunjukkan bahwa
104
 1  3i 
3
2
 2 2
4. Tunjukkan bahwa hasil dalam soal nomor 3 dapat ditulis dalam bentuk:

3
2






3
a.  1  3i    1  3i 2  dan yang dicari pertama adalah akar kuadrat dari


1
 1  3i

1
3 2
b.  1  3i    1  3i  dan yang dicari pertama adalah pangkat tiga dari


3
2
 1  3i
5. Tunjukkan bahwa nilai utama akar ke-n dari bilangan kompleks tak nol zo yang
1
didefinisikan pada bagian 7 adalah sama dengan nilai utama dari z0n yang
didefinisikan dalam bagian 28.
6. Tunjukkan bahwa jika z  0 dan a suatu bilangan real, maka z a  expa ln z   z .
a
7. Misalkan c = a + bi suatu bilangan kompleks, dimana c  0,  1,  2, … dan
diketahui ic adalah fungsi bernilai banyak. Bagaimana cara membatasi konstanta c
agar supaya nilai dari i c adalah semua sama?
8. Misalkan c, d, dan z adalah bilangan-bilangan kompleks, dimana z  0. Buktikan
bahwa jika semua pangkatnya adalah nilai utama, maka
(a).
1 c
z
zc
(b). (zc)n = zcn (n = 1, 2, …) (c). zczd = zc+d
9. Asumsikan bahwa f’(z) ada, carilah rumus turunan untuk
(d).
zc
 z cd
d
z
d f z 
c
dz
10. Carilah semua nilai dari :
(a). tan-1(2i)
(b). tan-1(1+i)
(c). cosh-1(-1)
(d). tanh-10.
11. Selesaikan persamaan sin z = 2 untuk z,
a. Dengan menyamakan bagian real dan imajiner kedua bagian.
b. Gunakan persamaan (2) bagian 9, untuk sin-1z.
105
12. Selesaikan persamaan cos z =
2 untuk z.
13. Turunkan rumus (5) bagian 29 untuk turunan dari sin-1z.
14. Turunkan rumus (4) bagian 29 untuk tan-1z
15. Turunkan rumus (7) bagian 29 untuk turunan dari tan-1z
16. Turunkan rumus (9) bagian 29 untuk cosh-1z
106