bab 2. teori potensial inkompresibel

BAB 2.
TEORI POTENSIAL
INKOMPRESIBEL
2.1. Garis Aliran, Stream Function, Sirkulasi, Vortisitas
Dalam bab ini akan dibahas teori yang mengawali ilmu termodinamika,
yaitu tentang medan atau aliran potensial. Mula-mula akan dikenalkan garis
aliran atau streamline, kemudian konsep stream function yang merupakan
pernyataan lain dari Hukum kekekalan massa fluida incompressible. ditambah
dengan konsep sirkulasi dan vortisitas. Vortisitas adalah komponen pusar dari
medan aliran. Di sini di definisikan bahwa medan potensial adalah medan
dengan vorisitas nol atau ir-rotasional, atau medan aliran dengan komponen
pusar. Ternyata hanya beberapa jenis aliran elementer yang termasuk dalam
medan potensial, yaitu aliran merata, source/sink, free-vortex dan doublet, yang
dari merekalah akan tersusun teori-teori terapan seperti conformal mapping,
metoda panel, teori airfoil Glauert dan sebagainya.
Tidak kalah penting di sini peran "Teori fungsi variabel kompleks", yang
masih diperkenalkan dalam operasi paling sederhana untuk memberikan
contoh-contoh pemakaiannya yang menawarkan kernudahan.
1)
Teori ini meliputi tinjauan
-
Aliran incompressible
-
Mengabaikan viskositas
-
2- dimensional

Kinematika fluida : deformasi, kecepatan, percepatan fluida.
-
Metoda Lagrangian
-
Metoda Eularian
2)
Definisi FLUX adalah kecepatan volume dari aliran lewat permukaan yang
ditinjau dapat dinyatakan pada :
3-dimensi
:
2- dimensi
:
fluks = ∫
fluks =∫
3)
Persamaan Kontinuitas (HKM)
Dalam suatu sistem aliran, Aliran massa
+
masuk
keluar
(
)
arah x :
:
:
(
)
(
+
)
Keluar dari elemen volumetrik neto =
arah y
=
arah z
=
(
(
)
(
(arah x)
)
)
aliran massa neto keluar dari V =
(
)+
(
masa fluida dalam elemen :

Perubahan masa fluida
:
-
)+
(
)
Jadi dengan demikian diperoleh persamaan kontinuitas di bawah ini
A.
Hukum Kekekalan masa (kontinuitas) :

Aliran tak mantap, tak mampat

Tiga dimensional
+
B.
Aliran mantap, compressible,
)+
)+
(
)+
=0:
3-dimensional
(
(
(
)+
(
)=0
(
)=0
C.
Aliran incompressible :  =
3-dimensional
+
+
+
+
+
∇
+
=0
+
+
2-dimensional
4)
-
Kartensian
-
Kutub (polar) :
:
Persamaan Garis Aliran
a.
+
+
=0
+
=0
Cartesian :
q = veltor kecepatan yang menyinggung garis aliran y(x)
q² = u² + v²
persamaan garis aliran : y = y(x)
kemiringan (slope)
y = y(x)
=
b.
Polar
:
r = r ()
Kemiringan di P :
=
CONTOH :
a.
Aliran merata :
u = U = kons tan
v = V = kons tan
+
=0
=
=
2−
persamaan garis aliran :
=
+
tan
tan
=0
b.
(i) V = 0
y = konstan
(ii) U = 0
x = konstan
u=x
v = -y
a.
+
b.
=
=0
→
2−
=− →
In y + In x = In konstan
+
=0
xy = konstan
persamaan garis adalah :
c.
source & sink :
r² = x² + y²
persamaan garis aliran :
r = 0 ; titik singular
m = strength of the source
Source
 kalau tanda dibalik m =negativ  sink
d.
forced - vortex :
persamaan garis aliran
rotasi benda padat
e.
free-vortex :
r2 = x2 +y2
sirkulasi
k>0
persamaan garis aliran
q0 ;
r
q ;
r0
STREAM FUNCTION:

:
(x, y)
flux yang melewati garis
Fluks antara A  B(B — B)
a.
Cartensian :
HKM (kontinuitas)

definisi stream function (11)
Menghapus keharusan untuk meyakinkan bahwa aliran adalah :
b.
Polar :

2-dimensi

Incompressible
CONTOH :
a.
Aliran merata :
b.
Source di O :
Stream line   = konstan.
c.
Free-vortex di O :
Logarithmis
Garis aliran = garis r konstan.
d.
Forced-vortex pusat di O :
Kuadratis
PRINSIP SUPERPOSISI :
Aliran 1
:
Aliran 2
:
Kalau
:
Maka
:
CONTOH :
a.
Pasangan SOURCE-SINK :
- Source & sink sama kuat (±m) di sumbu x berjarak a dari O
- Lingkaran-Iingkaran yang lewat ± m berpusat di sumbu y
b.
Doublet = pasangan SOURCES-SINK dengan
- Bila a kecil
konstan
ditahan dengan
=
- Iingkaran-Iingkaran yang lewat
O berpusat di sumbu y.
SIRKULASI
adalah
integral
garis
daripada
komponen
tangensial
mengelilingi kurva tertutup C (berlawanan dengan jarum jam.
VORTICITY :
vorticity
 vektor yang arahnya  bidang x-y
 sebagai gambaran :
vorticity  ROTASI
Aliran Irrotasional, Potensial Kecepatan
(singgung)
kecepatan
ALIRAN IRROTATIONAL :
Suatu medan yang bebas dari VORTICITY
Vorticity ()= 0 dimana-mana dalam medan tersebut
Contoh
a.
Aliran merata :
b.
Source atau sink (disekeliling)
c.
Free vortex (disekeliling)
Sirkulasi
Contoh :
a.
Aliran shear merata :
 Vorticity  0, bukan irrotational
 Aliran rotational
 Walaupun kecepatan sejajar
b.
Forced vortex :
memang seperti benda padat berputar 
dimanapun
-
Aliran rotational
Contoh : aliran irrotational
Aliran merata
Source, sink, doublet
Free vortex
VELOCITY POTENTIAL ()
tak tergantung lintasan (ACB atau AC'B)
berharga tunggal
berharga tunggal
(single valued)
 = potensial kecepatan (velocity potential)
selain dititik-titik singular
Agar single-valued  = 0, aliran irrotational
Aliran = POTENTIAL FLOW  = single-valued
Kalau tidak single-valued (multi-valued) :
- Tergantung pada lintasan yang dipilih
RINGKASAN :
Aliran potential (pengaruh viscos diabaikan)
Aliran yang invicid dan irrational ( = ∇
Syarat :

̅ = 0)
= vel. Potential single-valued
q² = u² + v²
atau :
syarat
irrotational
Aliran incompressible (2-dimensi) :
definisi Stream function :
irrotational
TEORI FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS :
Suatu fungsi
adalah analytic ( single-value) dalam suatu domain D bila  dan ada
dan memenuhi persamaan Cauhy-Riemann
Yang akibatnya  (x,y) dan  (x, y) adalah harmonik dalam D artinya
Polar :
CONTOH :
a)
Aliran merata : u=U,v=V
a. Source di O :
b. Free-vortex di 0 :
c. Doublet dengan kekuatan  = zam di O
2.2. Pemakaian Aljabar Bilangan Kompleks
Karena
:
vel. Potential () dan stream function ( )
Untuk aliran potential tak mampat
(∇
= 0 dan ∇)
Dapat menyusun fungsi analitis w(z)
POTENSIAL
KOMPLEKS
Dalam suatu domain D dalam bidang komplex.

Analisa  dan 
bisa menggunakan analisa variable komplek.
CONTOH : (potential kompleks)
a. Aliran merata :
b. Source di O :
c. Free-vortex di O :
d. Doublet di O :
Kalau w(z) — analitis (dalam suatu domain)
CONTOH :
a. Aliran merata
b. Source di O :
c. Free-vortex di O :
d. Doublet di O :
Aliran merata melewati benda :
 Aliran ideal (inviscid)
 Sama dengan — benda berjalan dengan kecepatan konstan melewati fluida diam.
 Simulasi diperoleh dengan kombinasi aliran merata + (doublet, source, sink,
vortex)
 Batasan (syarat-syarat) :
a) Jauh dari benda, pengaruh adanya tak dirasa
b) Tak ada aliran menembus batas benda
c) Tak ada "singularity" dalam daerah fluida
d) Jumlah "source" dan "sink" dalam benda = nol.
Contoh-contoh :
a.
Half body dari Rankine
b.
Rankine oval
ALIRAN LEWAT SILINDER :
Potential kompleks :
a.
Kekuatan doublet menentukan besarnya silinder : (terhadapV)
b. Usahakan lingkaran r = a suatu garis aliran
c.
Stream function pada lingkaran r = a
Misal :
d. Potensial kompleks

Kekuatan doublet

dilingkaran r = a
2.3. ALIRAN LEWAT SILINDER DENGAN SIRKULASI
Potential Kompleks:
Dengan adanya tambahan sirkulasi (vortex),  tidak nol lagi di lingkaran r =a, agar
tetap nol, dicari harga c.

dilingkaran

agar di r = a
potensial kompleks :
2.4
THEOREMA BLASIUS
Misal w(z) = potensial kompleks aliran dua dimensi invicid lewat benda. X dan Y
adalah komponen gays dalam arah x dan y. M adalah momen berlawanan
dengan arah jarum jam di z = 0, maka
C : kurva yang merupakan batas benda.
Contoh :
Artinya : X = 0, tidak ada drag di lembert paradox Y=
lift hasil dari Kutt
-
Joukowski. M = 0, lift ,
bekerja melalui gars lewat 0.
2.5
CONFORMAL MAPPING
Fungsi transformasi
Catatan :
o
potensial kompleks dibidang z adalah juga potensial kompleks dibidang
o
sources, sinks dan vortex tertransformasi ke sources, sinks dan vortex dengan
o
kecepatan kompleks W tertransformasi mengikuti mapping function di atas.
o
potential kecepatan (W)
kekuatan yang sama
2.6
TRANSFORMASI JOUKOWSKI
Jauh dari benda  aliran "free stream"
Modified Joukowski Transformation :
Kelemahan "Joukowski transformation" :
 sudut pada "trailing edge" (TE) harus nol (cusped).
Modifikasi :
untuk n=2 transformasi Joukowski.

Mirip dengan Joukowski tapi sudut "trailing edge" (TE) tertentu.