RINGKASAN MATERI PENCERMINAN Definisi: Suatu pencerminan

RINGKASAN MATERI
PENCERMINAN
Definisi:
Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk
setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
a. jika P  s maka M s (P) = P
b. jika P  s maka M s (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP' . Pencerminan M pada
garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu
pencerminan / singkat cermin.
Teorema
Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.
Bukti:
Ms: V → V
I. Akan dibuktikan Ms surjektif.
 Ambil Sebarang X ' V  X '  Ms( X ) .
Menurut definisi jika X  S maka Ms( X )  X '  X
Jadi X ' V , X '  X  Ms( X ), X  S
 X ' V , X '  X  Ms( X ) dengan S sumbu XX’
Jadi Ms surjektif.
II. Akan dibuktikan Ms injektif.
 Kasus 1
Misalkan A1  A2
Untuk
A1  S maka Ms( A1 )  A1 '  A1 .
A2  S maka Ms( A2 )  A2 '  A2
Jadi A1 '  A2 '
 Kasus 2
Ambil A1  S , A2  S maka
i).
Ms ( A 1 )  A 1 '  A 1
ii). A2  Ms( A2 )  A2 ' , yakni S sumbu dari A2 A2 ' .
Karena A1  S dan A2  S maka A1 '  A2 '
 Kasus 3
Untuk A1  S , A2  S , A1  A2  A1 '  A2 '
Andaikan Ms( A1 )  Ms( A2 ) . Maka dipenuhi :
A1 A1 ' adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya A1 A1 '  S .
A2 A2 ' adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya A2 A2 '  S .
Andaikan A1  A2 , maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus
terhadap garis sumbu S yang melalui titik yang sama.
Artinya jika Ms( A1 )  Ms( A2 ) maka haruslah A1  A2 . Padahal diketahui A1  A2 .
Jadi haruslah A1  A2  Ms( A1 )  Ms( A2 ) .
Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu
transformasi.
Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ
dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).
Teorema:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
Jadi kalau A’ = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = A’B’.
Bukti:
Ambil Semarang A, B, A’, B’  V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan A’B’ = AB.
Kasus I
Jika A, B  S maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.
Jadi AB = A’B’  Ms(A)Ms(B) = AB.
Kasus II
S
A = A’
Jika A  S, B  S dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’
Akan ditunjukkan AB = A’B’
Perhatikan ABC & AB ' C
AC = AC (berimpit)
mABC  mACB' (karena siku-siku)
BC = B’C (karena S sumbu simetri)
Menurut teorema karena ABC & AB ' C mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka
ABC  AB' C .
Jadi AB = A’B’.
Kasus III
S
Jika A, B  S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.
A
Akan ditunjukkan AB = A’B’
A’
Perhatikan BDC & B ' DC .
DC = DC (berimpit)
mDCB  mDCB' (karena siku-siku)
BC = B’C (karena S sumbu simetri)
B
C
B’
Menurut teorema karena BDC & B' DC mempunyai sifat S Sd S yang sama maka
BDC  B' DC .
Jadi BD = B’D dan mBDC  mB ' DC .
Karena mBDC  mB' DC dan mADC  mA' DC (90 0)
mADB  90 0  mBDC
Maka mADB  90 0  mB' DC
mABD  mA' DB'
Perhatikan BAD & B' AD
AD = A’D (berimpit)
mADB  mA' DB (dari pernyataan 1)
DB = DB’ (diketahui)
Menurut teorema karena BAD & B' AD mempunyai sifat S Sd S yang sama maka
BAD  B ' AD .
Jadi AB = A’B’.
SOAL LATIHAN
1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B).
●
●
A
B
Mg(A) = B dan Mg(B) = A
2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan
B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!
Diket : A (1,3), B (-2,-1)
Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B
Y
Jawab :
Persamaan garis AB
y  y1
x  x1

y 2  y1 x2  x1
3
2
y 3
x 1

1  3  2 1
 3( y  3)  4( x  1)

1
-2 -1
-1
 3 y  9  4 x  4
 4x  3 y  5  0
Gradien m =
4
3
Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = -
3
4
(1,3)  ( 2,1) (1,2)
1

 ( ,1)
2
2
2
1
Persamaan garis yang melalui ( ,1) dengan m = 3 adalah
2
y – y1 = m (x – x1)
Titik tengah AB =
y–1=-
3
1
(x + )
4
2
1
X
y=-
3
3
x- +1
4
8
y=-
3
5
x+
4
8
8y + 6x – 5 = 0
6x - 8y – 5 = 0
Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0
3. Diketahui: g =
x, y  x  -3
Ditanya:
a. Mg(A), bila A(2,1).
b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .
c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.
B (-3,1) adalah titik tengah AA' ,
 x  x A ' y A  y A'   2  x A 1  y A ' 
Maka (-3,1) =  A
,
,


2
2
2 

  2
Jelas  6,2   ( 2  x A' ,2  y A ' )
 x A' , y A'    8,1
Jadi A’ = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7.
D(-3,7) adalah titik tengah AA' ,
 x  xC ' y C  y C '   xC  1 y C  7 
Maka (-3,7) =  C
,
,


2
2
2 

  2
Jelas  6,14  ( xC  1, yC  7)
 xC , yC    5,7
Jadi C = (-5,7)
c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .
 x p  x p' y p  y p' 

Jelas Q = (-3, yp) = 
,
2
2


  6,2 y p   ( x p  x p ' , y p  y p ' )
 x p , y p '    6  x p , y p 
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).
4. Diketahui g =
x, y  y  2
Ditanya:


a. Jika A = 3, 2 , tentukan A’ = Mg(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)
Jawab:


a. Persamaan garis yang melalui A 3, 2 dan tegak lurus g adalah x = 3.
Misal B (3,2) adalah titik tengah AA' ,
 x  x A ' y A  y A '   3  x A 2  y A' 
Maka (3,2) =  A
,
,


2
2
2

  2

Jelas 6,4   (3  x A' , 2  y A' )
 x A' , y A'   3,4 
2

Jadi A’ = (3, 4  2 )
b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.
Misal C(2,2) adalah titik tengah DD' ,
 x  x D ' y D  y D '   x D  2 y D  ( 4) 
Maka (2,2) =  D
,
,


2
2
2

  2

Jelas 4,4   ( x D  2, y D  4)
 x D , y D   2,8
Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .
 x p  x p' y p  y p' 

Jelas Q = (xQ, 2) = 
,
2
2


x p  x p' y p  y p '
,
)
2
2
 2 x p ,4   x p  x p ' , y p  y p ' 
 x p , 2   (
 x p , y p   x p ,4  y p 
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y).
5. Diketahui h =
x, y  y  x
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah
y  y1  m( x  x1 )
y  3  1( x  2)
y  x  2  3
y  x 1
Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya.
y=y
x = -x – 1
2x = -1
x=-
1
2
substitusikan x = diperoleh y = -
1
ke persamaan y = x
2
1
.
2
Jadi titik tengah AA' (-
1 1
,- ).
2 2
Jelas (-
1 1
,- ) titik tengah AA' , maka
2 2
 1 1   x A  x A' y A  y A'   2  x A  3  y A ' 
,
,


  ,   
2
2
2
 2 2 
  2

Jelas  1,1  (2  x A' ,3  y A' )
 x A' , y A'    3,2
Jadi A’ = (-3,2)
b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah
y  y1  m( x  x1 )
y  5  1( x  3)
y  x  3  5
y  x  2
Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi.
y=y
x = -x + 2
2x = 2
x=1
substitusikan x = 1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah BB' (1,1).
Jelas (1,1) titik tengah BB' , maka
1,1   x B  x B' , y B  y B '    x B  (3) , y B  5 

2
2


2
2

Jelas 2,2   ( x B  3, y B  5)
 x A' , y A'   5,3
Jadi A’ = (5,-3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah
y  y p  m( x  x p )
y  x  xp  yp
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .
 x p  x p' y p  y p' 

Jelas Q = (xQ, yQ) = 
,
2
2


 2 xQ ,2 yQ   ( x p  x p ' , y p  y p ' )
 x p ' , y p '   x p  2 x Q , y p  2 y Q 
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
6. Diketahui k =
Ditanya:
x, y  x  y  0
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis k  x  y  0  y   x
Jadi mk = -1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah
y  y1  m( x  x1 )
y  3  1( x  2)
y  x23
y  x5
Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi.
y=y
-x = x – 5
2x = 5
x=
5
2
substitusikan x =
diperoleh y = -
5
ke persamaan y = -x
2
5
.
2
Jadi titik potongnya (
5
5
,- )
2
2
5
5
Karena ( , - ) titik tengah AA' , maka
2
2
 5 5   x A  x A ' y A  y A'   2  x A'  3  y A' 
,
,


 2 , 2   
2
2
2

  2

Jelas 5,5  ( 2  x A ' ,3  y A' )
 x A' , y A'   3,2
Jadi A’ = (3,-2)
b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
y  y1  m( x  x1 )
y  5  1( x  3)
y  x 35
y  x8
Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi.
y=y
-x = x + 8
2x = -8
x = -4
substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x
diperoleh y = 4.
Jadi titik potongnya (-4,4).
Karena (-4,4) titik tengah BB' , maka
 4,4   x B  x B' , y B  y B'    x B  (3) , y B  5 

2
2


2
2

Jelas  8,8  ( x B  3, y B  5)
 x A' , y A'    5,3
Jadi A’ = (-5, 3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah
y  y p  m( x  x p )
y  x  xp  yp
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .
 x p  x p' y p  y p'
Jelas Q = (xQ, yQ) = 
,
2
2




 2 x Q ,2 y Q   ( x p  x p ' , y p  y p ' )
 x p ' , y p '   x p  2 x Q , y p  2 y Q 
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
7. Diketahui g =
x, y  x  y  1
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
Jawab:
a. Dipunyai g =
x, y  x  y  1, dari x + y = 1  y = 1 – x.
Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1
Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
y  y1  m( x  x1 )
y  0  1( x  0)
yx
Jadi h  y  x
Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu
y=y
1–x=x
2x = 1
x=
1
2
substitusikan x =
diperoleh y =
1
ke persamaan y = x
2
1
.
2
Jadi titik potongnya (
1 1
, )
2 2
1 1
Karena ( , ) titik tengah OO' , maka
2 2
 1 1   x 0  x 0' y 0  y 0 '   0  x 0' 0  y 0 ' 
,
,


 , 
2   2
2 
2 2  2
Jelas 1,1  ( x0' , y0 ' )
 x0' , y 0'   1,1
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
y  y1  m( x  x1 )
y  2  1( x  1)
y  x  2 1
y  x 1
Jadi h  y  x +1
Mencari perpotongan g dengan h.
y=y
1-x=x+1
2x = 0
x=0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 1.
Jadi titik potongnya (0,1).
Karena (0,1) titik tengah OO ' , maka
0,1   xo  xo' , y o  yo '    1  x B' , 2  y B ' 

2
2


2
2

Jelas 0.2   (1  xo ' ,2  y o ' )
 xo , y o'    1,0
Jadi A’ = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =
x, y  x  y  1
Karena Mg(P) = P, maka P  P( x, x  1)
Diperoleh x + y = 1 x  y  1  x  ( x  1)  1  x  0
Dan y = 0 + 1 = 1
Jadi Mg(P) = (0,1).
8. Diketahui g =
x, y  x - 3y  1  0, dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A
Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.
Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1
Jadi nilai k = 1.
9. Diketahui k =
x, y  ax - 3 y  1  0, B = (3,-1)
Tentukan a apabila Mk(B) = B!
Karena Mk(B) = B, maka
B = (3,-1) terletak pada garis k.
Diperoleh
a.3 – 3(-1) + 1 = 0
 3a +3 +1 = 0
 3a = - 4
4
 a=3
4
.
3
10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
Jadi nilai a = -
P = (x, y)  V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x 1-5, y1+3)
T(P2) = P2’ = (x 2-5, y2+3)
P1 P2 
P1 ' P2 ' 
x 2  x1 2   y 2  y1 2
x 2 ' x1 '2   y 2 ' y1 '2
P1 ' P2 ' 
( x 2  5)  ( x1  5)2  ( y 2  3)  ( y1  3)2
P1 ' P2 ' 
x 2  5  x1  52   y 2  3  y1  3)2
P1 ' P2 ' 
x 2  x1 2   y 2  y1 2
Maka P1‘P2’ = P1P2.
karena P1‘P2’ = P1P 2, maka T suatu isometri.