Barisan dan Deret

Barisan
Barisan Tak Hingga
Kekonvergenan barisan tak hingga
Sifat – sifat barisan
Barisan Monoton
19/02/2016
Matematika 2
1
Barisan Tak Hingga
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan
−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.
Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam
bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku
ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana
daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga
adalah
an
n1
Matematika 2
2
Barisan Tak Hingga
Contoh − contoh barisan
Barisan
2, 4, 6, 8, ...
Bisa dituliskan dengan rumus
Barisan
1 2 3 4
, , , , ...
3 4 5 6
2n

n1

Bisa dituliskan dengan rumus
 n 


2

n

n1
Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba
–coba.
19/02/2016
Matematika 2
3
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila
lim
aL
n

 n
atau




0

N

0

n

N
,
a

L

n
{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga
untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara
an
dan
L akan kurang epsilon}
19/02/2016
Matematika 2
4
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 1
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

2
 n 


n1n1
Jawaban
Karena
2
n
lim

n


n
1

 n 
 divergen
maka 
n

1

n1
2
19/02/2016
Matematika 2
5
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

n 
 n
 e n1
2
Jawaban
Karena
n2 
lim
 merupakan bentuk tak tentu maka untuk
n
n

e 
menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
f
n

L
f
x
Lmaka lim
Misal a
 ,bila lim
fn
n
n


x


untuk x  R.
19/02/2016
Matematika 2
6
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Jawaban (lanjutan)
2
x
Jadi f x
dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka
x
e
x2
2x
2
lim x  lim
limx0
x
x e
x
e
x

e
n2
0 .
Berdasarkan teorema maka lim
n
n

e
Karena nilai limitnya menuju 0, maka

n 
 n
 e n1
2
Konvergen menuju 0.
19/02/2016
Matematika 2
7
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 3
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

1

cos
n



n


n
1
Jawaban
Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda
akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap
cos
n
tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan
tandanya +. Nilai lim
n


1
maksimal bernilai 1. Sedangkan lim 0akibatnya untuk n nilai
n

1
n
, .cos
n akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.
n
19/02/2016
Matematika 2
8
Sifat – sifat barisan
Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu
konstanta, maka
kk
1. lim
n


k
a

k
lim
a
2. lim
n
n


n

n


a

b

lim
a

lim
b
3. lim
n n n
n n
n
n








a
b

lim
a
lim
b
4. lim
nn
n
n

nn n




lim
a
a
n
n

 n

,lim
b

0
5. lim
n


n

n
b
lim
b
n
n

n
19/02/2016
Matematika 2
9
Barisan Monoton
Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan
menjadi 4 macam :
1. Monoton naik bila
2. Monoton turun bila
an an1
an an1
3. Monoton tidak turun bila
4. Monoton tidak naik bila
19/02/2016
an an1
an an1
Matematika 2
10
Deret Tak Hingga
Deret tak hingga merupakan jumlahan dariann1yaitu a1+a2+…+an .

Notasi deret tak hingga adalah


n1
an .
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan
barisan jumlahan parsial yaitu ,
lim S n
n
,dimana :
S1 a1
S

a

a
2
1
2
S

a

a

a
3
1
2
3

S

a

a

a

...

a
n
1
2
3
n
Dan
19/02/2016


S

S
,
S
,
...,
S
,
....
n
1
2
k
n

1
Matematika 2
11
Deret Tak Hingga
Contoh

Selidiki apakah deret
1 1 
 

k
k

1


k
1

konvergen ?
Jawaban
1 n
S

1
 
n
n

1n

1
n
Karena lim
S

lim

1 , maka
n

 n
n


n

1


k1
1 1

k k1
adalah deret
konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu
deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.
19/02/2016
Matematika 2
12
Deret Suku Positif
Sebuah
disebut deret suku positif, bila semua suku-
sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang
sering digunakan :
1. Deret geometri
2. Deret harmonis
3. Deret-p
Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
19/02/2016
Matematika 2
13
Deret Suku Positif
Deret geometri

Bentuk umum :
a
r
a

a
r

a
r

a
r

...

a
r
....

k

1
2 3
n

1
k

1
Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :
2
3
n

1
S

a

a
r

a
r

a
r

...

a
r
n
2 3
n

1 n
r
S

a
r

a
r

a
r

...

a
r

a
r
n
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa
sehingga
a1r
untuk r  1. Kekonvergenan dari deret geometri
1r
.S

n
n
bergantung pada nilai r.
19/02/2016
Matematika 2
14
Deret Suku Positif
Deret geometri(lanjutan)
Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret
geometri :
–Bila r = 1, maka Sn= na sehingga lim
, sehingga deret
na


n


divergen
a
, sehingga deret konvergen ke
n 
1 r
–Bila | r | >1, maka lim
, sehingga deret divergen
rn

n
–Bila | r |<1, maka lim r  0
n


19/02/2016
Matematika 2
15
Deret Suku Positif
Deret harmonis
Bentuk umum :

1

n 1 n
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari
Sn nya, yaitu
1
1
1
1
1
1
1 1
S

1








....

n
2
3
4
5
6
7
8 n
1
1
1
1
1
1
1
1 1







1









....


....
 




2
3
4
5
6
7
8
9 16






19/02/2016
Matematika 2
16
Deret Suku Positif
Deret harmonis (lanjutan)
1
1
1
1
1
1
1
1 1






S

1









....


...






n
2
2
4
4
8
8
8
8
16
16






1111111 1

1








....

2222222 2
n
1
2
n
Karena, maka lim
. Sehingga deret harmonis divergen.
1


n

 2
19/02/2016
Matematika 2
17
Kedivergenan
Deret Tak Hingga

Bila
deret
 an
n 1
konvergen,
maka lim
.
a
0
n
n


kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah
Bila lim
,maka deret
a
0
n
n



 a n akan divergen.
n 1
Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,
maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
19/02/2016
Matematika 2
18
Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Contoh
Periksa apakah

n

konvergen ?
2
n

1
n1
Jawaban
n
1
1
lim
a

lim

lim
 0
n
1
2
n

1
n

 n


n
2
2
n

Jadi
19/02/2016
n

n12n1
divergen
Matematika 2
19
Uji Deret Positif
1. Uji integral
2. Uji Banding
3. Uji Banding limit
4. Uji Rasio
5. Uji Akar
19/02/2016
Matematika 2
20
Uji Deret Positif
Uji integral

Misal  a n
merupakan deret suku positif dan monoton turun,
n 1
 , maka integral tak wajar dari f(x)
dimana a



f
n
n

B
n
adalah

b
1
1
.



x
dx

lim
f
x
dx
f

b


Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak
ada, maka deret divergen.
Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret
konvergen.
19/02/2016
Matematika 2
21
Deret Suku Positif
Contoh 1: Uji Integral Deret–p

Bentuk umum :
1
 p
n1 n
Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga
merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan
bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa
deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
1
n
Misal a
 p
fn
n
1
.
p
x
maka f x
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1
sampai .
19/02/2016
Matematika 2
22
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Integral tak wajar dari f(x) adalah
 1
b 1
1pb
1

p
x
b
1
dx

lim
dx

lim

lim

 p
 p

b


1

p
1

p1

p
b




1 x
1x
1 b
Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar
tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen.
Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga
akan divergen.
19/02/2016
Matematika 2
23
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :
– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
– Bila 0 p<1, maka
divergen
1

p
b
1
lim 
,sehingga deret
b


1

p1

p
– Bila p>1, maka
,
1

p
1
1
1
b
1


lim

lim 
p

1
p 1
p

1
1

p1

p b


b




p

1
b
sehingga deret konvergen.
19/02/2016
Matematika 2
24
Uji Deret Positif
Contoh 2

Tentukan kekonvergenan deret

n2
1
n lnn
Jawaban
Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji
integral yaitu :
1
Misal a
, maka



f
n

n
n
ln
n
Perhitungan integral tak wajar :


2
19/02/2016
1
f(x)
xln
x
b
1
1
b
dx lim
dx



lim
ln
ln
x

2
b

 xln
x
xlnx
b



2
Matematika 2
25
Uji Deret Positif
Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral

tak wajarnya divergen. Sehingga deret
n2
divergen.
19/02/2016

Matematika 2
1
n lnn
juga
26
Uji Deret Positif
Uji Banding
Bila untuk n  N, berlaku bn  an maka


a. Bila  bn
konvergen, maka  an juga konvergen
b. Bila  an
divergen, maka  bn
n 1

n 1
n 1

juga divergen
n 1
Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan
suatu
deret,
bila
menggunakan
sifat
a
maka
deret
pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.
Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat divergen.
19/02/2016
Matematika 2
27
Uji Deret Positif
Contoh 1
Uji kekonvergenan


Jawaban
n1
1
n2
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih
yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.
Dapat dipilh 
1

n1 3 n
Karena
sebagai deret pembanding.
1
1 dan

n

2 3n


n1
1
3 n
merupakan deret
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen
19/02/2016
Matematika 2
28
Uji Deret Positif
Contoh 2

3
Uji kekonvergenan  n2 5
n1
Jawaban

3
Dengan uji banding, digunakan deret pembanding  2

n1 n
3
3
3
 2. Karena  2 merupakan deret
dimana
2
n 5 n
n1 n

konvergen, maka 
n1
19/02/2016
,
3
juga konvergen.
2
n 5
Matematika 2
29
Uji Deret Positif
Contoh 3
tg 1n
n2

Uji kekonvergenan

n 1
Jawaban
1
Karena untuk n  , tg n 


n1
n
digunakan adalah 
2
2

, maka deret pembanding yang
2
1
 

tg
n
2
2
.Karena
dan


2
2
2
n

merupakan deret konvergen, maka

n 1
19/02/2016
Matematika 2
n
n1
n
tg 1n
juga konvergen
2
n
30
Uji Deret Positif
Uji Banding Limit


Misal  an dan  bn
, merupakan deret suku positif dan
n 1
n1
, liman berlaku
L
n
b
n
– Bila 0 < L <  , maka kedua deret bersama-sama konvergen
atau bersama-sama divergen

– Bila L = 0, dan  bn adalah deret konvergen, maka
n 1

 an.
n1
juga konvergen
– Bila L =  dan

 bn
n 1

adalah deret divergen maka
 an.
n1
juga divergen
19/02/2016
Matematika 2
31
Uji Deret Positif
Contoh 1

2
n
Uji kekonvergenan deret  3 2
n
n
3
n

15
Jawaban

2
 1
n
 dan
Deret pembanding yang digunakan adalah  3
n
n n
n

15

15

diketahui sebagai deret divergen ( sebagai  bn ).
3
n 1
5
n
L

lim

1 dan deret pembandingnya
.
3 2
n


5
n

n

3
2

n
divergen, maka 
.
juga divergen.
3
2
n
n
3
n

15
Karena
19/02/2016
Matematika 2
32
Uji Deret Positif
Contoh 2
Uji kekonvergenan deret


i1
1
n2 5
Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah 
n

1
1

1
 dan
2
n

1 n
n
diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).
2
2
n
n
Karena
.
L

lim

lim

1
2
2
n


n


n

1
n

5
pembandingnya divergen, maka kedua deret
dan deret
bersama-sama
divergen .
19/02/2016
Matematika 2
33
Uji Deret Positif
Uji Rasio

Misal  an
a
n

a
n
merupakan deret suku positif dan limn1
n1
maka berlaku
– Bila <1, maka deret konvergen
– Bila >1, maka deret divergen
– Bila =1, maka uji gagal
19/02/2016
Matematika 2
34
Uji Deret Positif
Contoh
Uji kekonvergenan deret


i 1
Jawaban
n2
n!

2
2
(
n

1
)
n
!
(
n

1
)
lim

lim

0
Dengan uji rasio diperoleh 
2
2
n


n


(
n

1
)
!
n
(
n

1
)
n
2
n
Karena  = 0 < 1 , maka  n
konvergen.
i 1 n !
19/02/2016
Matematika 2
35
Uji Deret Positif
Uji Akar

Misal  an
n1
n
lim
a
merupakan deret suku positif dan r
,
n
n


maka berlaku

– Bila r < 1, maka deret  an konvergen
n1

– Bila r > 1, maka deret  an divergen
n1
– Bila r = 1, maka uji gagal
19/02/2016
Matematika 2
36
Uji Deret Positif
Contoh

Uji kekonvergenan deret
2n
en

i 1
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh
2
r

1 , maka
Karena
e
19/02/2016
n
2
2
n
rlim

n e
n

 e
n
2n
i 1
n

e
Matematika 2
konvergen.
37
Uji Deret Positif
Panduan Pemilihan uji deret
Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka
dapat dipilih uji banding atau uji banding limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan
atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n
Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –
sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral
19/02/2016
Matematika 2
38
Deret Ganti Tanda
Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk
menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret
yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk
.a
dengan

a

a

a

... an> 0 untuk semua n dilakukan uji
1
2
3
4
tersendiri.
Notasi deret ganti tanda adalah

(1) an .
n1
i1
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
a.
b.
19/02/2016
0

a
a
n

1
n
lim
a
0
n

atau .
n
(

1
)
 an
i1
(monoton tak naik)
n


Matematika 2
39
Deret Ganti Tanda
Contoh

Tentukan kekonvergenan deret

3
n

1 n



1



n
n

1
n

1
Jawaban


3
n

1 n



1

merupakan deret ganti tanda


n
n

1
n

1
n3
a

dengan rumus suku ke–nnya adalah n
.
nn1
Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :
a.
.n
0

a
a
n

1
lim
a
0
n
b. Nilai n


19/02/2016
Matematika 2
40
Deret Ganti Tanda
a.
n

4
n

3
0


n
n
n
n


1

2

1


a
n

4n
n

1
n

1


1


n
a
n

1
n

2

3
n
2


a
n
n

4
n

4
n
n

1



1
2




a
n

2
n

3
n

5
n

6
n
b.
an1
1
Karena
jadi {an} adalah monoton tak naik.
an
n

3
lim
a

lim 
0
n
n

 n




n
n

1
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
19/02/2016
Matematika 2
41
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat

Deret
a

a

a

a

dikatakan konvergen

n
1
2
3

n

1
mutlak, bila deret mutlak

n 1
an  a1  a2  | a3 | konvergen
(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila  a n

divergen, maka  .an juga divergen.
n1
n 1


n 1
n1
Kovergen bersyarat terjadi bila  a n konvergen tetapi  an
divergen.
19/02/2016
Matematika 2
42
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 1
cos
n
konvergen mutlak atau bersyarat ?
3
n
n1

Tentukan apakah 
Jawaban
cos
n

Deret mutlaknya adalah
. Dengan menggunakan uji
3
 1
n
n
1

banding, dimana deret pembandingnya adalah  3
maka
n 1 n
cos
n

1
diperoleh bahwa
 3untuk semua nilai n.
3
 cos
 1
n
n
n

Karena  3 merupakan deret konvergen, maka
3
n
n 1 n
 cos
n

1
n konvergen mutlak.
juga konvergen. Sehingga 
n1
19/02/2016
n3
Matematika 2
43
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 2

2n
Tentukan apakah 1
konvergen mutlak atau
n!
n
1
bersyarat ?
Jawaban
n

2n
Deret mutlaknya adalah 
.
n

1
n
!
n1
2
n
!
2


lim

lim

Dengan uji rasio diperoleh
.0
n
n
!2 n

1
n

1
n




 2n
Karena =0<1, maka 
konvergen.
n1 n !

2n
Sehingga 1
n!
n
1
19/02/2016
n
konvergen mutlak.
Matematika 2
44
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 3

n



1

Tentukan apakah
n
1
Jawaban
1
n konvergen mutlak atau bersyarat ?

1
yang merupakan deret divergen.

n 1 n
Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
Deret mutlaknya adalah
a.
(monoton tak naik)
0

a
a
n

1
n
Diperoleh
bahwa
benar
1 1
0
 deret
 ganti tandanya konvergen.
b.
Jadi
n1 n
1tandanya konvergen sedangkan deret
Karena
deret
ganti
lim
a

lim

0
n
n


n


n
mutlaknya divergen maka
konvergen bersyarat .
19/02/2016
Matematika 2
45
Uji rasio untuk
kekonvergenan mutlak

an1
Misal  an deret dengan suku tak nol dan rlim
,
n
 a
n1
n
tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :
•
•
•

 an konvergen mutlak
Bila r<1, maka
 n1
Bila r>1, maka  an
divergen
n1
Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)
Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
19/02/2016
Matematika 2
46
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 1

3
nn
1 n
Tentukan apakah 
n1
divergen?

konvergen mutlak atau
e
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
3n
n


1
e
n13
r
limn
lim 3

1
3
n

 e
n n
 ne
1
Karena r  1, maka
e
19/02/2016

3
nn
1 n
 
n1
Matematika 2
e
1

e
konvergen mutlak.
47
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 2

Tentukan apakah 1nn! konvergen mutlak atau divergen?
n
2
n

1
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
n
n
!2

1
n1

rlimn

lim


1
n
! n
n

2

 2

!
nn


Karena r > 1, maka 1 n divergen .
n1
19/02/2016
2
Matematika 2
48
Deret Pangkat
Bentuk umum :


an x n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...

an x  b   a0  a1 x  b   a2 x  b   ...  an x  b   ...
n 0

n 0
n
2
n
Contoh deret pangkat

1.

n 0

2.
   1
n 0

3.

n 0
19/02/2016
x n  1  x  x 2  ...  x n  ...
n
x 2n
x2 x4 x6
 1     ...
2 n !
2! 4! 6!
 x  1n
1 x  1 x  1
 

 ...
n2
2
4
5
2
Matematika 2
49
Deret Pangkat
Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,
yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan
nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak,
yaitu pada saat r < 1.

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret  an xn

 disebut interval kekonvergenan.
b
maupun a
nx
n
n0
n

0
Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki
ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –
masing deret.
19/02/2016
Matematika 2
50
Deret Pangkat
Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :

Selang konvergensi untuk deret
•
•
•
 an xn
n0
Deret konvergen hanya di x = 0
Deret konvergen mutlak di x  R
Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau
ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret
•
•
•
19/02/2016
anxb
n
n

0
Deret konvergen hanya di x = b
Deret konvergen mutlak di x  R
Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)
atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Matematika 2
51
Deret Pangkat
Contoh 1

n
x
Tentukan interval kekonvergenan deret 
n 0 n !
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1
x
n
!
r
lim
n
n


!x
n

1
x
lim 0
n
n
1
Deret akan konvergen untuk semua nilai x
Atau x R
19/02/2016
Matematika 2
52
Deret Pangkat
Contoh 2

Tentukan interval kekonvergenan deret  n! xn
n0
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1

! limx n1
x
n

1
r
lim
n
n

n

n
! x
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0
19/02/2016
Matematika 2
53
Deret Pangkat
Contoh 3
n

x
n
Tentukan interval kekonvergenan deret 

 n
1

3
n

1
n

0
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1 n


x
3
n

1
xn

1 x
r

lim
lim
 .11
n

1
n
3n

2 3
n


n


 x
3
n

2
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah –3 < x < 3.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
19/02/2016
Matematika 2
54
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai
berikut :

1
 Deret ini
n0 n 1
diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

1
n 1  dengan
• Saat x = 3  deretnya menjadi 
n
1
n

0
uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.
n

x
n
Jadi interval kekonvergenan deret 
adalah

 n
1

3
n

1
n

0
•
Saat x = -3  deretnya menjadi 

3

x

3
19/02/2016
Matematika 2
55
Deret Pangkat
Contoh 4

Tentukan interval kekonvergenan deret
x5n

n1
n2
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1 2
2


x

5
n
n
r

lim 2

lim
x

52

x

5
.1

1
n
n




 n
n

1
x

5


n
2
n

1
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah 4 < x < 6.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
19/02/2016
Matematika 2
56
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai
berikut :
•
1n
Saat x = 4  deretnya menjadi

1
.
2
n0 n
n1
1
n2
 karena
konvergen maka deret ganti tandanya juga
konvergen.
•

.

Saat x = 6  deretnya menjadi

n 1
1
n2
yang merupakan
deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret
19/02/2016

n1
4x
6
Matematika 2
x5n
2
n
adalah
57
Operasi-operasi
deret pangkat
1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,
pembagian, dan substitusi
2. Turunan deret :
 n

n

1
D
a
x

na
x

x
n 
n
n

0

1

n
3. Integral deret :



n
n
n

1
n
n
n
n

0
n

0
n

0
a
a
x
dx

a
x
dx

x

C




n

1
19/02/2016
Matematika 2
58
Deret Pangkat

Deret geometri
an = 1 .
x
n 1
n
adalah contoh deret pangkat x dengan
Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,
maka diperoleh
1
23

1

x

x

x

...
1

x
x 1
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi
yang memuat x.
1
23

1

u

u

u

...
1

u
19/02/2016
Matematika 2
u 1
59
Deret Pangkat
Contoh 1
Nyatakan
Jawaban
1
1 x
dalam deret pangkat
1
1

x
1

x 1


x
x
1
Dengan menggunakan deret geometri
1
1
23


1

x

x

x

... x 1
x
1

x 1

19/02/2016
Matematika 2
60
Deret Pangkat
Contoh 2
Nyatakan
x
1 x
dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan jawaban sebelumnya


x
x
2
3
2
3
4


x
1

x

x

x

...

x

x

x

x

...


1

x
1


x
19/02/2016
Matematika 2
61
Deret Pangkat
Contoh 3
1x
Nyatakan ln
 dalam deret pangkat
1x
Jawaban
1

x






ln

ln
1

x

ln
1

x
 
1

x


1
1
1
2
3
2
3


ln
1

x


dx


1

x

x

x

...
dx


x

x

x

.
 
1

x
2
3
1
1
1
2
3
2
3


ln
1

x

dx

1

x

x

x

...
dx

x

x

x

..
 
1

x
2
3
Jadi
1

x
2
2


3
5




ln

ln
1

x

ln
1

x

2
x

x

x

...


1

x
3
5




19/02/2016
Matematika 2


62
Deret Pangkat
Contoh 4
Nyatakan
1
1 x
2
dalam deret pangkat
Jawaban
1
1 x2
adalah turunan dari 
1
1 x
sehingga
1


d

2
3
1 
d
1

x

x

x

... 23
1

x






1

2
x

3
x

4
x

..
2
dx

1

x dx

19/02/2016
Matematika 2

63
Deret Taylor dan Maclaurin
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat
digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,
2
3








f
x

a

a
x

b

a
x

b

a
x

b

0
1 2
3
dimana nilai-nilai a0,a1,a2,…
diperoleh dari penurunan f(x) di
x = b sampai turunan ke-n, yaitu
a0  f b
a1  f
a2 

b
f ''  b 
'
2!

an 
19/02/2016
f
n
b 
n!
Matematika 2
64
Deret Taylor dan Maclaurin
Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
'
'
'
'
'



f
b
2 f
3
'







 b


f
x

f
b

f
b
x

b
 
x

b
x

b
2
!
3
!
n


f
b
n



 
x

b
n
!
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial
taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial
taylor, dinamakan deret taylor.
Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,
yaitu
19/02/2016
'
'
'
'
'
n






f
0
f
0
0
2
3 f
n






f
x

f
0

f
0
x

x

x



x
2
! 3
!
n
!
'
Matematika 2
65
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 1
ex
Perderetkan fx
Jawaban
ke dalam deret maclaurin
x




f
x

e

f
0

1
'
x
'




f
x

e

f
0

1

'
'
x
'
'




f
x

e

f
0

1
'
'
'
x
'
'
'




f
x

e

f
0

1
n
x
n




f
x

e

f
0

1
23
n
x
x 
x

1

x





,
x



Sehingga e
2
!3
! n
n
!

0
x
19/02/2016
Matematika 2
66
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 2
2
x

1
Perderetkan f
ke dalam deret Maclaurin / Taylor
x
e
Jawaban
Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa
23
n

x
x
x
e

1

x





,
x



2
!3
! n
n
!

0
x

Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh
perderetannya adalah
2
3




2
x

1
2
x

1


e
1

2
x

1
  

2
x

1
2
!
19/02/2016
Matematika 2
3
!
67
Deret Taylor dan Maclaurin
Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam
deret Maclaurin
3
5
7
2
n

1
 x
x
x
x
n


sin
x

x







1
,
x




3
!
5
!
7
! n
2
n

1
!

0 

2
4
6
2
n
 x
x
x
x
n

 ,
cos
x

1







1
x




2
!
4
!
6
! n
2
n
!

0 
2
3
4 n

1
x
x
x
x
n



,
ln
1

x

x







1

1

x

1

2
3
4

1
n

0 n
3
5
7  2
n

1
x
x
x
n

1 x

 ,
tan
x

x







1

1

x

1

3
5
7
n

1
n

0 2


1
234
n

1

x

x

x

x


x
,x

1
1

x
n

0
19/02/2016
Matematika 2
68
Deret Taylor dan Maclaurin
Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau
maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat
seperti pada bagian sebelumnya, misal :
7
 x3 x5 x
dx   
2 4 6
 3
! 5
! 7
!


d
Sin
x
x
x x


Cosx 

1



dx
2
! 4
!6
!
dx

1
tan x 
1
2
4
6
dx

1

x

x

x


dx

2
1x
3 5 7
x
xx

x



357
19/02/2016
Matematika 2
69
Soal Latihan
A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1.

3.
5.
19/02/2016


 n  2.
 2 
2n 1n1
 n
n

sin


2
n

1
2


n

1
n1 4.
ln
 2 
 n n1


1
n
  2 


2
n1





n
e cos
nn

1
6.
n

2 
n
 
 n ! n1
Matematika 2
70
Soal Latihan
A (Lanjutan)
7.


 n


n

2

n1
e2n2en 8.
 2n

e

6

n1


9.
19/02/2016
n

 1 

1



n




n1

e 
 n
 2 n1
n
11.

n 
10.
 n 
 4 n1
n n
n

1
12.
Matematika 2
71
Soal Latihan
A (Lanjutan)
13.


 n


1 1 14.


1 2 

n
1


n

1

100n 
 2n 
 e n1
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?
1.

ln n

n1 n

3.
19/02/2016

2.
n
 3
n 5n 4.
n
13
1

n1 n n1
 3n1

3
n1n 6
Matematika 2
72
Soal Latihan
B. (lanjutan)
 60n
5. 
n1 n!

6.

7.
8.
cos
n
 3
n1 n
10.
n!2 2n

!
n1 2n2


9.
19/02/2016
lnn
 2n
n1 e
n1


5n 2n

n!
n1

1
n
e
Matematika 2
73
Soal Latihan
B. (lanjutan)
2
 5sin
n
11.

n!
n1


13.
n4!

n

12.
n1 4!n!4
1
tan
n
 3
n
n1

1

1814.

n5
n

12
1
n1n1



15.
19/02/2016
n
 5
n1 n 2
16.
n

1
Matematika 2
3
n
2
74
Soal Latihan
B. (lanjutan)
17.

1 e
n 
n

18.
n
1


19.
3
n
1n
1
n
 
n
1
e

1
 2
n1 3n n
20.


21.
19/02/2016
n
1
 n 
n1 3
2
cos
n5
 5
22.
n
n
1
3
n1
Matematika 2
1
6n2n
75
Soal Latihan
B. (lanjutan)
n
 3n2
 24.
23.

n1 2n1


n1
1
n5
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan

konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

1.
2.
19/02/2016

1
n

1

4n
n1
n5

1
3.
3n
n

1

n

2

3
n

1


1

n
1


n

1
n
ncos
n
 2
n
1 n 1

4.
Matematika 2
76
Soal Latihan
D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut
1.
1nxn


n0
n!

4.
n
n
n

1
x3n
 n
19/02/2016
n0
2

xn
ln n
n

1
nx
2
n

0
n1


3.

n2

x

1
n

1
5.



1


2.

6.
n! n
 nx
n0 2
Matematika 2
77
Soal Latihan
D. (Lanjutan)

2 3 4
x
x x
7. x
8.


2 34
2
3




x

3
x

3


1

x

3
  

2 4 6
x
x x
1


 

9.
10.
2
! 4
! 6
!
2
3





1
2
x

3
4
x

3
8
x

3
 



3 4
5
6
2
!
3
!
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
1.
19/02/2016

fx
ln
x
2.
e3x
fx
Matematika 2
78
Soal Latihan
E. (Lanjutan)
3.
xe
fx
5.
 1 2 6.
fx
1

4x
x
4.
1
fx
1x


f
x

x
ln
1

x

7.
2
f
x
sin
x
8.
x2
f x
13x
9.
1

3
x

fx
e


f
x
x
ln
3
x
19/02/2016
10.
Matematika 2
79