bab06 - Website Staff UI

Bab 5. Probabilitas Diskrit
Tujuan Pembelajaran
• Mengidentifikasi dan menghitung distribusi
probabilitas teoritis variabel diskrit: distribusi
uniform, Bernoulli, binomial, negatif binomial,
geometrik, hipergeometrik, Poisson
• Menentukan statistik deskriptif : ukuran-ukuran
pemusatan, penyebaran kemencengan dan
keruncingan pada distribusi probabilitas teoritis
variabel diskrit
• Menggunakan beberapa pendekatan distribusi
teoritis variabel acak diskrit untuk memecahkan
masalah-masalah statistik yang berkaitan dengan
kajian keteknikan
Bab 5. Probabilitas Diskrit
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
•
Pendahuluan
Distribusi seragam (uniform)
Distribusi Bernoulli
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Geometrik
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Poisson
Bab 5. Probabilitas Diskrit
1. Pendahuluan
• Himpunan pasangan nilai-nilai variabel acak X
dengan probabilitas nilai-nilai variabel acak X, P(X
= x) disebut probabilitas X atau disingkat
distribusi X.
• Distribusi diskrit memiliki nilai variabel acak X
yang bernilai diskrit pada suatu waktu.
• Ada beberapa jenis distribusi diskrit yang biasa
digunakan yaitu distribusi seragam diskrit
(uniform distribution), Binomial, Hipergeometrik,
Distribusi Binomial Negatif dan Geometrik, dan
Poisson
Bab 5. Probabilitas Diskrit
2. Distribusi Seragam (Uniform)
Distribusi seragam (uniform distribution) diskrit adalah probabilitas
distribusi diskrit yang paling sederhana.
Bila variabel acak X mengambil nilai-nilai x1, x2,
… ,
xk dengan
probabilitas yang sama, maka probabilitas
distribusi diskrit diberikan oleh
f ( x; k ) 
1
,
k
x  x1 , x 2 , , x k
Mean dan variansi distribusi seragam diskrit f(x;k) masing-masing diberikan
oleh:
k

x
i 1
k
2
k
i
dan
 
2
 x
i 1
i
 
k
Bab 5. Probabilitas Diskrit
2. Distribusi Seragam (Uniform)
Contoh 1
Bila sebuah dadu dilemparkan, setiap unsur ruang contoh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} terjadi
dengan probabilitas 1/6. Sehingga kita mempunyai sebaran sevariansi dengan
1
f  x;6   ,
6
x  1, 2,3, 4,5, 6
kita dapatkan bahwa

1 2  3  4  5  6
 3,5
6
dan
1  3,5  2  3,5
2 
2
6
2
 ...   6  3,5 
2

35
12
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Bernoulli
• Suatu distribusi Bernoulli dibentuk
oleh suatu percobaan Bernoulli
(Bernoulli trial). Sebuah percobaan
Bernoulli harus memenuhi syarat:
– Keluaran (outcome) yang mungkin hanya
salah satu dari “sukses” atau “gagal”
– Jika probabilitas sukses p, maka
probabilitas gagal q = 1 – p
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Bernoulli
Dalam sebuah percobaan Bernoulli, dimana p adalah probabilitas “sukses” dan q
= 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel acak yang menyatakan
sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi
probabilitas sebagai berikut:
p

pB ( x; p )  (1  p )  q
0

x 1
x 0
x  0 atau 1
atau
pB ( x; p )  p x (1  p )1 x
; x  0,1
0  p 1
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Bernoulli
beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi
Bernoulli.
Mean (Nilai Harapan):
x  E( X )  p
Varians
 x2  p(1  p)  pq
Kemencengan (skewness)
1   32 
(1  p )
p
q p

2  2
p
(1  p )
p q
Keruncingan (kurtosis)
2   4 
1  6 p(1  p )
1  6 pq
3
3
p(1  p )
pq
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Bernoulli
Contoh 2
Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas
teknik biasanya membeli rapido untuk keperluan
menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis
rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan
yang tintanya harus diganti bersama dengan
cartridgenya. Data yang ada selama ini
menunjukkan bahwa 30% mahasiswa membeli
rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika
variabel acak X menyatakan mahasiswa yang
membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang,
maka dapat dibentuk distribusi probabilitas
sebagai berikut:
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Bernoulli
1 jika mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang
X 
0 jika mahasiswa membeli rapido yang cartridgenya harus diganti
p(1)  P ( X  1)  0,3
p(0)  P ( X  0)  1  0,3  0,7
p( x  0 atau 1)  P ( X  0 atau 1)  0
Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan satu parameter p =
0,3. Dinotasikan:
0,3 x  1

pB ( x;0,3)  0,7 x  0
0
x  0 atau 1

atau
pB ( x;0,3)   0,3 0,7
x
1 x
; x  0,1
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Binomial
• Distribusi binomial berasal dari percobaan
binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang
sebanyak n kali dan saling bebas. Secara langsung,
percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai
berikut:
– percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n
kali
– setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat
dikatagorikan sebagai gagal dan sukses
– probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan
ke percobaan lain
– percobaan yang berulang adalah saling bebas
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Binomial
Percobaan Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal
dengan probabilitas q = 1 – p. Maka distribusi probabilitas variabel acak binomial X,
jumlah sukses di dalam n percobaan diberikan oleh
n
b( x; n, p)    p xqn x ,
x  0,1,2,3,, n
 p
 
dimana
n
n!
  
 k  n  k !k!
. Ada kalanya perhitungan probabilitas distribusi binomial lebih mudah
dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat
paling tidak sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif PX  r  dinyatakan
sebagai:
P X  r   br; n, p  b r 1; n, p   bn; n, p 
n
  br;n,p
xr
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Binomial
Distribusi binomial memiliki rata-rata, variansi, standar deviasi, keofisien
kemiringan, dan koefisien keruncingan sebagai berikut:
  n p
a. mean
b. variansi
 2  n pq
c. standar deviasi
  npq
d. keofisien kemiringan
3 
e. koefisien keruncingan
4  3
q p
npq
1  6 pq
npq
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Binomial
Contoh 3
Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap uji-kejut
adalah ¾. Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan
bertahan.
Penyelesaian:
Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p=3/4 untuk masing-masing
dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan
1   4 3   1 
4! 32 27

b  x;3,         
. 4 
2
4
4
4
2!2!
4 128

     
2
2
Bab 5. Probabilitas Diskrit
3. Distribusi Binomial
Contoh 4
Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4.
Bila 15 orang diketahui terkena penyakit ini, berapakah probabilitas (a) paling tidak 10
selamat, (b) dari 3 sampai 8 selamat, dan (c) tepat 5 selamat?
Penyelesaian:
9
(a) P  X  10   1  P  X  10   1   b  x;15,
0, 4   1  0,9662  0, 0338
x 0
8
(b) P  3  X  8    b  x;15, 0, 4 
x 3
8
2
x 3
x 0
  b  x;15, 0, 4    b  x;15, 0, 4   0,9050  0, 0271  0,8779
5
4
x 0
x 0
(c) P  X  5   b  5;15, 0, 4    b  5;15, 0, 4    b  5;15, 0, 4 
 0, 4032  0, 2173  0,1859
Bab 5. Probabilitas Diskrit
4. Distribusi Binomial Negatif
• Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu
eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:
– Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang
saling bebas
– Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu
dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal
– Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas
gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan
(trial)
– Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan)
sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k
berupa bilangan bulat tertentu
• Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah
suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang
acak.
Bab 5. Probabilitas Diskrit
4. Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat
menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q =
1 – p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X, jumlah percobaan dimana
sukses ke-k terjadi diberikan oleh:
 x  1 k x  k

 p q ,
b x; k , p   
x  k , k  1, k  2,
 k  1
Bab 5. Probabilitas Diskrit
4. Distribusi Binomial Negatif
beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi binomial
negatif
Mean (Nilai Harapan):
x  E( X ) 
r (1  p )
p
Varians
 x2 
r (1  p)
p2
Kemencengan (skewness)
(2  p)2
1   
r (1  p)
2
3
Keruncingan (kurtosis)
3r (1  p )  p2  6(1  p )
2   4 
r (1  p )
Bab 5. Probabilitas Diskrit
4. Distribusi Binomial Negatif
Contoh 5
Carilah probabilitas bahwa seseorang yang melemparkan tiga koin akan mendapatkan
kepala semua atau ekor semua untuk kali ke dua pada pelemparan yang ke 5!
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sebaran binomial negatif dengan x = 5, k = 2, dan p = 1/4, kita
dapatkan
1   4 1   3 
4! 33
27
*
b  5; 2,         
. 5
4   1   4   4  1!3! 4
256

2
3
Bab 5. Probabilitas Diskrit
5. Distribusi Geometrik
Jika pada eksperimen binomial negatif, percobaan terus dilakukan sampai
diperolehnya sukses pertama (diperoleh hanya satu sukse, k = 1), maka eksperimen
itu disebut eksperimen geometrik.
Jika variabel acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sebuah sukes
tercapai maka dapat dibentuk distribusi probabilitas geometrik dengan menetapkan
harga r = 1 pada distribusi probabilitas binomial negatif. Dengan demikian dengan
fungsi probabilitas geometrik adalah:
pg ( x; p)  p(1  p)x  pq x
x  0,1,2,...
0  p 1
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi probabilitas binomial negatif di atas dapat
dinyatakan sebagai:
Fg ( x; p) 
x
x
 pnb (k; p)   p(1  p)k
k 0
k 0
x  0,1,2,...
0  p 1
Bab 5. Probabilitas Diskrit
5. Distribusi Geometrik
beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi geometrik
Mean (Nilai Harapan):
x  E( X ) 
1 p
p
Varians
 x2 
1 p
p2
Kemencengan (skewness)
(2  p)2
1   
1 p
2
3
Keruncingan (kurtosis)
2   4 
p2
9
(1  p )
Bab 5. Probabilitas Diskrit
5. Distribusi Geometrik
Contoh 6
Di dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa, secara rata-rata, 1 di dalam
setiap 100 barang adalah cacat. Berapakah probabilitas bahwa barang kelima yang diperiksa
merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sebaran geometri dengan x = 5 dan p = 0,01, kita peroleh
g  5;0, 01   0, 01 0,90   0, 0096
4
Bab 5. Probabilitas Diskrit
5. Distribusi Geometrik
Contoh 7
Pada saat ”waktu sibuk” sebuah papan sakelar telepon sangat mendekati kapasitasnya,
sehingga para penelpon mengalami kesulitan melakukan hubungan telepon. Mungkin
menarik untuk mengetahui jumlah upaya yang perlu untuk memperoleh sambungan.
Andaikan bahwa kita mengambil p = 0,05 sebagai probabilitas dari sebuah sambungan
selama waktu sibuk. Kita tertarik untuk mengetahui bahwa 5 kali upaya diperlukan untuk
suatu sambungan yang berhasil.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sebaran geometris dengan x = 5 dan p = 0,05 menghasilkan
P  X  x   g  5;0, 05    0, 05  0,95   0, 041
4
Bab 5. Probabilitas Diskrit
6. Distribusi Hipergeometrik
• Setiap percobaan statistik keluaran yang telah dihasilkan
obyeknya selalu dikembalikan, sehingga probabilitas setiap
percobaan peluang seluruh obyek memiliki probabilitas yang
sama. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka obyek
yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian
selanjutnya, dapat dikatakan obyek tersebut tidak
dikembalikan. Probabilitas kejadian suatu obyek dengan
tanpa dikembalikan disebut sebagai distribusi hipergeometik.
Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-sifat sebagai
berikut:
– sebuah pengambilan acak dengan ukuran n dipilih tanpa
pengembalian dari N obyek
– k dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k
diklasifikasikan sebagai gagal.
Bab 5. Probabilitas Diskrit
6. Distribusi Hipergeometrik
Distribusi probabilitas dari variabel acak hipergeometrik X, jumlah sukses
dalam sebuah pengambilan acak berukuran n yang dipilih dari N obyek
dimana k obyek sebagai sukses dan N – k obyek sebagai gagal diberikan oleh:
 k  N  k 
 

x  n  x 

hx; N , n, k  
N
 
n
Bab 5. Probabilitas Diskrit
6. Distribusi Hipergeometrik
beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik
Mean (Nilai Harapan):
x  E( X ) 
nM
N
Varians
 x2 
nM 
M  N  n 
1



N 
N 
 N 1 
Kemencengan (skewness)
 N  2M   N  2n   N  1

2
nM  N  M  N  n  N  2 
2
1  
2
3
2
Keruncingan (kurtosis)
2   4 
N 2  N  1 N  1

6N  N  1 N  n 
nM  N  n  n  2  N  3  M  N  n  n  2  N  3 
3  N  1 N 2  n  2   Nn 2  6n  N  n 

n  N  n  n  2  N  3 
Dimana M = k
Bab 5. Probabilitas Diskrit


Contoh 8
Sebuah komisi dengan anggota 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 ahli kimia dan
5 fisikawan. Carilah sebaran probabilitas untuk jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut
Penyelesaian:
Misalkan peubah acak X sebagai jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut. Kedua sifat
percobaan hipergeometri tersebut terpenuhi. Sehingga
 3  5 
  
0 5
1
P  X  0   h  0;8,5,3     
56
8
 
5
 3  5 
  
1 4
15
P  X  1  h 1;8,5,3     
56
8
 
 5
 3  5 
  
2 3
30
P  X  2   h  2;8,5,3     
56
8
 
5
Bab 5. Probabilitas Diskrit
6. Distribusi Hipergeometrik
 3  5 
  
3 2
10
P  X  3  h  3;8,5,3     
56
8
 
 5
Dalam bentuk tabel sebaran hipergeometri X adalah sebagai
berikut:
x
0
1
2
3
h(x;8,5,3)
1
56
15
56
30
56
10
56
Sebaran probabilitas tersebut dinyatakan dengan rumus
 3  5 
 

x  5  x 

h  x;8,5,3 
,
8
 
5
x  0,1, 2,3
Bab 5. Probabilitas Diskrit
6. Distribusi Hipergeometrik
Contoh 9
Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya tidak
lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan tersebut adalah memilih 5
komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila ditemukan suatu cacat.
Berapakah probabilitas bahwa tepat 1 cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat
dalam keseluruhan tumpukan itu?
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1 kita
dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi
 3  37 
  
1 4
h 1; 40,5,3      0,3011
 40 
 
5
Bab 5. Probabilitas Diskrit
6. Distribusi Hipergeometrik
Contoh 10
Sebuah pabrik ban mobil melaporkan bahwa diantara pengiriman 5000 ban ke sebuah
distributor lokal, 1000 ban sedikit cacat. Bila seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari
distributor tersebut, berapakah probabilitas bahwa tepat 3 diantaranya cacat?
Penyelesaian:
Karena N = 5000 relatif besar terhadap ukuran contoh n = 10, kita akan memperkirakan
probabilitas yang diinginkan dengan menggunakan sebaran binomial. Probabilitas
mendapatkan sebuah ban yang cacat adalah 0,2. Oleh sebab itu probabilitas mendapatkan
ban cacat adalah
h  3;5000,10,1000   3;10,0, 2
3
2
x 0
x 0
  b  x;10, 0, 2    b  x;10, 0, 2 
 0,8791  0, 6778  0, 2013
Bab 5. Probabilitas Diskrit
7. Distribusi Poisson
• Percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai-nilai numerik
suatu variabel acak X, jumlah keluaran yang terjadi selama
suatu selang waktu yang diketahui atau di dalam suatu
daerah (ruang) yang ditentukan disebut sebagai percobaan
Poisson. Sifat-sifat proses Poisson adalah:
– jumlah keluaran yang terjadi di dalam satu selang waktu
atau daerah yang ditentukan tidak tergantung dari
jumlah yang terjadi di dalam setiap selang waktu atau
daerah ruang yang tak berhubungan lainnya. Dapat
disimpulkan bahwa proses Poisson tidak memiliki memori
– probabilitas bahwa sebuah keluaran tunggal akan terjadi
selama suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu
daerah kecil sebanding dengan lama waktu atau ukuran
daerah itu dan tidak bergantung pada jumlah keluaran
yang terjadi di luar selang waktu atau daerah ini
– probabilitas bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi
di dalam suatu selang waktu yang singkat atau jatuh pada
suatu daerah yang kecil semacam itu dapat diabaikan
Bab 5. Probabilitas Diskrit
7. Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas variabel acak Poisson X, yang mewakili jumlah keluaran yang
terjadi di dalam suatu selang waktu yang diketahui atau daerah yang ditentukan yang
ditunjukkan oleh t diberikan oleh
e  t t 
px; t  
,
x  0,1,2,3,
x!
Dengan   t maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai
x
e    
px;   
,
x  0,1,2,3, 
x!
Distribusi Poisson adalah pendekatan yang baik untuk distribusi Binomial untuk n yang
x
besar dan p yang kecil sekali. Pendekatan distribusi Binomial sebagai distribusi Poisson
bila   np .
Bab 5. Probabilitas Diskrit
7. Distribusi Poisson
Besarnya mean, variansi, standar deviasi, koefisien kemiringan, dan koefisien keruncingan dari
distribusi Poisson diberikan oleh:
    np
a. mean
b. variansi
 2    np
c. standar deviasi
    np
d. koefisien kemiringan
 3 
e. koefisien keruncingan
4  3
1

1


1

 3
1

Bab 5. Probabilitas Diskrit
7. Distribusi Poisson
Contoh 11
Contoh yang mudah menggambarkan eksperimen Poison adalah pada peristiwa
emisi dari partikel radioaktif yang dideteksi dengan sebuah Geiger counter. Partikelpartikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Namun, jika kita hitung jumlah emisi
tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju rata-rata emisi partikel-partikel
perdetik dapat dihitung. Jika kemudian kita ingin memperkirakan probabilitas
banyaknya x partikel yang terdeteksi dalam selang satu detik, PP(X=x) atau pP(x),
fungsi probabilitas Poisson dapat dipakai. Sebagai contoh jika laju rata-rata adalah 
= 3 partikel perdetik, maka probabilitas banyaknya 5 partikel yang terdeteksi dalam
suatu pengukuran adalah:
35 e 3
pP ( x;  )  pP (5;3) 
 0,1008
5!
Bab 5. Probabilitas Diskrit
7. Distribusi Poisson
Contoh 12
Sepuluh adalah jumlah rata-rata kapal tangki minyak datang setiap hari di sebuah
banda tertentu. Fasilitas pada pelabuhan itu dapat menangani paling banyak 15 kapal tangki
per hari. Berapa probabilitas pada suatu hari yang diketahui tanker-tanker harus berbalik
arah?
Penyelesaian:
Misalkan X sebagai jumlah kapal tangki yang datang setiap hari. Kemudian, dengan
menggunakan tabel A.2, kita dapatkan
15
P  X  15   1  P  X  15   1   p  x;10   1  0,9513
x 0
 0, 0487
Bab 5. Probabilitas Diskrit
7. Distribusi Poisson
Contoh 13
Di dalam proses produksi dimana produk kaca dihasilkan, terjadi cacat atau
gelembung, yang kadang-kadang menyebabkan produk yang tidak diinginkan untuk
pemasaran. Diketahui bahwa, rata-rata, 1 dalam setiap 1000 barang yang dihasilkan ini
mempunyai satu gelembung atau lebih. Berapakah probabilitas sebuah contoh acak yang
berisi 8000 akan membuahkan kurang dari 7 barang mempunyai gelembung?
Penyelesaian:
Ini adalah sebuah percobaan binomial dengan n = 8000 dan p = 0,001. Karena p sangat
mendekati nol dan n sangat besar, kita akan memperkirakannya dengan sebaran Poisson
dengan menggunakan
  8000 0,001  8
Sehingga, bila X mewakili jumlah gelembung, kita dapatkan
6
6
x 0
x 0
P  X  7    b  x;8000, 0, 001   p  x;8   0,3134
Bab 5. Probabilitas Diskrit