suatu tinjauan terhadap polinomial siklotomik - Digilib

DAFTAR ISI
Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013
PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013
Tema: Pemanfaatan Sains dan Teknologi Nuklir di
Bidang Kesehatan, Lingkungan dan Industri untuk
Pembangunan Berkelanjutan
SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK
Euis Hartini1, Edi Kurniadi2
1,2
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Jalan Raya Bandung Sumedang KM 21 Jatinangor 45363
1
[email protected], [email protected]
ABSTRAK
SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK. Dalam makalah ini diteliti
polinomial siklotomik dan sifat-sifatnya. Lebih jauh diteliti juga penerapan polinomial siklotomik
dalam pembuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Selain melengkapkan bukti yang
telah dilakukan oleh Vladimir Dotseno, dalam laporan akhir ini juga diteliti reduksi polinomial
dalam polinomial siklotomik. Terakhir diaplikasikan juga polinomial siklotomik dalam pemecahan soalsoal olimpiade matematika.
Kata kunci : nol kompleks, akar pangkat ke n primitive satuan, redusi polinomial, generator grup siklik
ABSTRACT
A REVIEW TO POLYNOMIAL CYCLOTOMIC. In this paper, a research about polynomial
cyclotomic and its properties had been done. Further we discussed the applications of cyclotomic
polynomial in the proof of the Direchlet’s Theorem and the division ring. Besides give the complete
proof that has be done by Vladimir Dotseno, in this final report we did research reducible of
in
cyclotomic polynomial. Finally, we applied cyclotomic polynomial in problems solving of mathematics
olympiad.
Keywords: generator of cyclic group, reducible of polynomial, the primitive nth roof of unity, zeros
complex.
1.
problem solving soal IMO.
PENDAHULUAN
Titik kulminasi dari kajian teori grup, ring,
lapangan, konstruksi geometri, dan sejarah
matematika adalah polinomial siklotomik
[Gallian2010]. Polinomial ini berperan dalam
teori bilangan dan kombinatorik[Gallian and
Rusin1979]. Dua hal utama yang diteliti dalam
laporan akhir ini adalah menerapkan polinomial
siklotomik untuk membahas Teorema Dirichlet
dan ring pembagian
hingga.
Dalam
[Yimin1990] telah diperoleh sifat-sifat dasar
dari polinomial siklotomik dan aplikasi
polinomial siklotomik dalam pemecahan soalsoal International Mathematics Olympiad
(IMO).
Dalam makalah ini telah diberikan bukti
yang lebih detail dalam membutikan Teorema
Dirichlet dan
ring pembagian melalui
polinomial siklotomik dan contoh dalam
2. TINJAUAN PUSTAKA
Kompleks
1,
nol
dari
adalah:
.
Jadi, splitt field
atas
adalah
. Lapangan ini disebut perluasan
siklotomik akar pangkat ke atas
dan faktor
tak tereduksi dari
atas
disebut
polinomial siklotomik.
Polinomial siklotomik akar pangkat ke
didefinisikan sebagai
dengan
bergerak atas akar pangkat ke dari 1. Dalam
[Dotsenko2001] telah didapat bahwa polinomial
siklotomik mempunyai koefisien bilangan bulat
dan tak tereduksi atas bilangan bulat. Masalah
pertama yang muncul adalah memberikan suatu
588
Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013
PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013
Tema: Pemanfaatan Sains dan Teknologi Nuklir di
Bidang Kesehatan, Lingkungan dan Industri untuk
Pembangunan Berkelanjutan
tinjauan ulang Teorema Dirichlet untuk prim
yang menyatakan bahwa untuk
setiap bilangan bulat positif
senantiasa
terdapat
tak
hingga
banyaknya
prim
.
Selanjutnya masalah ke dua telah didapat
bahwa setiap ring tidak selalu komutatif. Dalam
hal
suatu ring pembagian hingga maka
faktanya
suatu lapangan yang tentunya
komutatif. Di sini diberikan bukti dua masalah
tersebut dari yang telah didapat oleh [Donsetko
2001] dengan lebih detail melalui polinomial
siklotomik.
bilangan bulat positif dan
nth roof of unity.
Maka
disebut primitive nth roof of unity jika
ord(
Lema 2 [Arnold2007] Misalkan bilangan
bulat positif dan
primitive nth root of unity,
maka
primitive nth roof of unity jika dan
hanya jika gcd(
Ilustrasi 2 Pandang polinomial
.
Nol kompleksnya adalah 1 dan -1. Dapat
ditunjukkan bahwa -1
hanya stu-satunya
primitive 2th roof of unity
2.1 Splitting Field dan Primitive nth roots of
unity
2.2 Polinomial Siklotomik dan Sifat-Sifatnya
Splitting field dari polinomial atas lapangan
bergantung tidak hanya pada polinomial tetapi
juga bergantung pada field. Oleh karena itu,
splitting field dari
atas adalah perluasan
field terkecil dari
dengan
split. Secara
formal permasalahan di atas dituangkan dalam
definisi berikut
Perhatikan
adalah pembangun
dari grup siklik yang berorder
di bawah
operasi perkalian. Dari Lema 2 diperoleh bahwa
pembangun
berbentuk
dengan
dan gcd(
.Polinomiall yang
semua nolnya adalah fungsi Euler’s Totient
[Yves2000] primitive nth roof of unity
mempunyai nama sendiri yang disebut dengan
polinomial siklotomik.
Definisi 1 [Gallian2010] Misalkan E suatu
extension field dari F dan misalkan f(x) F[x].
Kita katakan bahwa
split di E jika f(x)
dapat difaktorkan sebagai produk faktor linear
di E[x]. Kita sebut E splitting field untuk f(x)
atas F jika f(x) split atas E tapi tidak di subfield
proper dari E.
Definisi 5 [Gallian2010] Untuk sembarang
bilangan
bulat
positif
,
misalkan
menotasikan primitive nth roof
of unity. Polinomial siklotomik akar pangkat ke
adalah polinomial berbentuk
Pandang
polinomial
.
Dapat ditunjukkan
bahwa
split di dengan splitting field-nya
atas
adalah
. Hal yang serupa dapat
dilihat untuk
.
Ilustrasi
1
Ilustrasi 2
Siklotomik untuk
Definisi 2 [Yimin1990] Misalkan
bilangan bulat positif. Suatu bilangan kompleks
disebut nth root of unity jika
[Yimin1990]
2.2.1
Polinomial
Siklotomik
untuk
1
2
3
4
5
6
7
Lema 1 [Yimin1990] Misalkan bilangan
bulat positif dan nth roof of unity. Maka untuk
setiap bilangan bulat ,
jika dan hanya
jika ord( )|
4
Tabel
Tabel 2.2.1 Polinomial
Definisi 3 [Yimin1990] Misalkan
bilangan bulat positif dan
nth roof of unity.
Maka bilangan bulat positif terkecil k yang
memenuhi
disebut order dari
dan
dinotasikan dengan ord( )
Definisi
bahwa
Untuk mempermudah proses perhitungan
polinomial siklotomik, ada beberapa sifat
Misalkan
589
Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013
PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013
Tema: Pemanfaatan Sains dan Teknologi Nuklir di
Bidang Kesehatan, Lingkungan dan Industri untuk
Pembangunan Berkelanjutan
polinomial siklotomik sebagai berikut
minimalitas .
Hal yang serupa, terdapat
sedemikian sehingga
. Misalkan dan
bilangan bulat terbesar antara dan . Maka
koefisien dari
di
adalah
Teorema 1 [Gallian2010] Untuk setiap
bilangan bulat positif ,
dengan produk
bergerak untuk yang membagi .
Dengan
bilangan bulat. Koefisien
dapat dibagi oleh . Hal ini
kontradiksi dengan koefisien
dapat dibagi oleh
.
Ilustrasi 3 memberikan penjelasan terhadap
Teorema 1 di atas
,
dst
3.
BUKTI
Perhatikan
bahwa
kedua
polinomial tersebut monik. Cukup ditunjukkan
bahwa kedua polinomial tersebut mempunyai
nol yang sama dan multiplisitasnya sama dengan
3.1 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam
Pembuktian Teorema Dirichlet
Sebelum membahas aplikasi polinomial
siklotomik, berikut suatu teorema yang cukup
membantu dalam proses pembuktian Teorema
Dirichlet.Sifat-sifat teori bilangan dalam
[Shanks1973] digunakan untuk membantu
proses pembuktian.
1. Misalkan
. Maka
grup siklik dengan ord
dan
memuat semua nth roots of unity.
subgrup
dari
dan oleh karenanya
subgrup siklik
dari
. Menurut Teorema Dasar Grup Siklik
maka
membagi . Oleh karena itu,
muncul sebagai faktor
. Di sisi lain jika
faktor linear dari
pembagi
dari
, maka
karenanya,
. Jadi,
.
Teorema 2 [Yimin1990] Misalkan
bilangan bulat positif dan
sembarang
bilangan bulat. Maka setiap pembagi prim
dari
memenuhi
salah
satu
berikut
atau
BUKTI
untuk suatu
, oleh
faktor dari
Misalkan
dan
polinomial
dengan koefisien rasional. Jika semua koefisien
polinomial
bilangan bulat, maka demikian
halnya dengan koefisien dan
Lema
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
[Yimin1990]
Misalkan pembagi prim dari
.
karena
.
Misalkan
. Karena
maka
. Jadi,
.
Selanjutnya jika
maka
,
yaitu,
karena
.
Sekarang misalkan
. Karena
BUKTI Misalkan
dan
bilangan bulat
positif terkecil sedemikian sehingga
dan
polinomial dengan koefisien bilangan
bulat.
Misalkan
dengan
dan
dengan
dan
.
Maka
Maka terdapat pembagi
sedemikian sehingga
dan
. Akibatnya
Karena
koefisien
Andaikan
prim dari
maka semua
dapat dibagii oleh
.
dan misalkan pembagi
. Maka ada bilangan bulat
sedemikian sehingga
. Oleh
karenanya, jika
maka
dan jika
maka
untuk semua
yang mengakibatkan
.
Hal yang terakhir ini kontradiksi dengan
.
dari
Tetapi
Teorema 3 (Dirichlet) [Yimin1990] Untuk
setiap bilangan bulat positif
, terdapat tak
hingga banyaknya bilangan prim
yang
memenuhi
BUKTI Untuk
bukti trivial.
Sekarang pandang untuk
. Andaikan ada
sebanyak hingga bilangan prim
yang
590
Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013
PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013
Tema: Pemanfaatan Sains dan Teknologi Nuklir di
Bidang Kesehatan, Lingkungan dan Industri untuk
Pembangunan Berkelanjutan
memenuh
. Misalkan produk
dari prim-prim tersebut dan semua prim tersebut
adalah bentuk penguraian dari . Diperoleh
. Misalkan suatu bilangan positif yang
cukup besar sedemikian sehingga
dan misalkan
pembagi prim dari
.
Karena membagai
, tidak membagi
, sehingga
dan
. Hal ini
kontradiksi dengan Teorema 2.
3.3 Aplikasi Polinomial Siklotomik dalam
Problem Solving Olimpiade Matematika
Aplikasi lain dari polinomial siklotomik
adalah problem solving dalam soal-soal IMO.
Berikut beberapa contoh aplikasi polinomial
siklotomik dalam problem solving soal IMO
Problem (IMO Shortlist 2006) Temukan
semua bilangan bulat yang merupakan solusi
3.2 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam
Pembuktian Ring Pembagian Hingga
SOLUSI Persamaan di atas ekuivalen
dengan
Masalah berikutnya adalah aplikasi
polinomial siklotomik dalam ring pembagian
hingga yang dituangkan dalam teorema berikut
Dari Teorema 4, diperoleh bahwa setiap
pembagi prim
memenuhi
atau
. Hal ini mengakibatkan setiap
pembagi dari
salahsatunya dapat dibagi oleh
atau
kongruen terhadap 1 modulo 7. Jadi,
atau
, yaitu
atau
. Jika
maka
demikian
juga
maka
. Hal ini
kontradiksi. Selanjutnya jika
maka
, juga
suatu kontradiksi. Oleh karena itu, persamaan
tersebut tidak mempunyai solusi bilangan bulat.
Teorema 4 [Dotsenko2001] Setiap division
ring hingga komutatif
BUKTI Tujuan kita harus membuktikan
bahwa
. Misalkan
. Karena
ruang vektor atas
maka
dengan dimensi dari ruang vektor ini. Karena
division ring maka
grup. Kita
peroleh
Setiap Centraliser
seperti conjugacy
class, dengan nol di dalamnya membentuk
subring
yang memuat
, yaitu ruang
vektor atas
.
Misalkan
dimensi ruang vektor tersebut
dengan
. Kita punya
Dapat ditunjukkan bahwa
4. KESIMPULAN
Polinomial siklotomik dapat diaplikasikan
untuk membuktikan Teorema Dirichlet dan ring
pembagian hingga. Selain itu, sifat-sifat
polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk
problem solving IMO. Kajian lebih jauh dapat
diteliti tentang aplikasi polinomial siklotomik
dalam konstruksi
regular dalam
Teorema Gauss.
bilangan
bulat jika dan hanya jika
membagi .
Polinomial
dan
koprim.
Demikian juga dengan
dapat dibagi oleh
produknya. Jadi persamaan di atas semua
sukunya kecuali
dapat dibagi oleh
.
Jadi,
dapat dibagi oleh
. Tetapi
yang terakhir tidak mungkin terjadi untuk
:
untuk semua root of unity
.
Demikian
juga,
.
Yang
menunjukkan bahwa
.
5. UCAPAN TERIMAKASIH
Kami mengucapkan terima kasih kepada
Jurusan Matematika FMIPA Unpad yang telah
mendanai penelitian swadana ini tahun anggran
2012.
591
Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013
PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013
6.
Tema: Pemanfaatan Sains dan Teknologi Nuklir di
Bidang Kesehatan, Lingkungan dan Industri untuk
Pembangunan Berkelanjutan
Discrete mathematics 27 (hlm. 245-259).
5. Mathlinks, IMO Shortlist 2006, N5. (Online),
(http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?
p=780855, diakses 1 Desember 2012).
6. SHANKS. 1993. Solved and Unsolved
Problems in Number Theory, 4th ed.
Chelsea, New York.
7. YIMIN GE. 1990. Elementary Properties
of Cyclotomic Polynomials, Mathematics
Magazine.
8. YVES. 2000. Cyclotomic polynomials and
prime numbers, Mathematics Magazine .
DAFTAR PUSTAKA
1. ARNOLD, ANDEW. 2007. Algorithms for
Computing
Cyclotomic
Polynomials..
University of British Columbia. (Online),
(www.cecm.sfu.ca/CAG/theses/arnold.pdf,
diakses 1 Desember 2012).
2. DOTSENKO, VLADIMIR. 2001. Two
Application of Cyclotomic polynomials,
Mathematics Magazine.
3. GALLIAN. 2010. Contemporery Abstract
Algebra, Seventh ed.
4. GALLIAN and RUSIN. 1979 Cyclotomic
Polynomials and Nonstandard Dice,
592