Bab 2 Matriks

cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
Bab 2
Matriks
Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier.
Matriks merupakan representasi dari kumpulan besaran. Vektor yang
telah dibahas pada BAB terdahulu merupakan contoh matriks karena vektor dapat direpresentasikan sebagai kumpulan bilangan (yaitu komponenkomponennya). Secara umum dapatlah diartikan bahwa matriks adalah kumpulan besaran-besaran yang disusun dalam bentuk persegi (rectangular ).
2.1
Notasi
Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan
kolom:
1 5 −2
A=
(2.1)
−3 0 6
Pada contoh tersebut di atas, matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom. Matriks tersebut mempunyai 2 × 3 = 6 buah komponen. Komponen-komponen
tersebut diacu berdasarkan posisinya pada matriks. Misalnya, komponen baris pertama kolom pertama dari matriks A (dituliskan sebagai A11 atau a11 )
adalah 1. Sedangkan komponen baris kedua kolom ketiga dari matriks A
(dituliskan sebagai A23 atau a23 ) adalah 6. Untuk lebih lengkapnya:
a11 = 1; a12 = 5; a13 = −2
a21 = −3; a22 = 0; a23 = 6
Jadi komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A dinyatakan dengan Aij
atau aij .
17
18
2.2
BAB 2. MATRIKS
Transpose
Transpose suatu matriks A (ditulis sebagai AT ) diperoleh dengan menuliskan
baris matriks A menjadi kolom, sedangkan kolom matriks A menjadi baris.
Misalkan untuk matriks A sebagaimana persamaan 2.1, maka transposenya
adalah


1 −3
0 
(2.2)
AT =  5
−2 6
Dengan demikian dapat dinyatakan
(AT )ij = Aji
2.3
(2.3)
Determinan Matriks
Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya dinamakan
matriks bujursangkar (square matrix ). Untuk suatu matriks bujursangkar
terdapat suatu bilangan yang penting yang merupakan properti matriks tersebut yaitu yang dinamakan determinan. Misalkan suatu matriks bujursangkar 2 × 2 berikut
a b
A=
c d
maka determinannya adalah
a b
detA = c d
= ad − bc
(2.4)
Persamaan 2.4 adalah ungkapan untuk memperoleh determinan matriks 2×2.
Berikut ini akan diuraikan cara mencari determinan matriks dengan orde
yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diperkenalkan lebih dulu tentang minor
dan cofactor dari suatu komponen (elemen) matriks.
Minor dari suatu komponen
Misalkan untuk matriks bujursangkar 3 × 3 sebagai berikut


a b c
A= d e f 
g h i
(2.5)
Bila baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A tersebut dibuang maka matriks
A menjadi matriks 2 × 2 yang determinannya disebut minor dari aij dan
19
2.3. DETERMINAN MATRIKS
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
dinyatakan dengan Mij . Jadi misalnya untuk matriks A seperti pada 2.5,
maka minor dari a11 adalah
e f = ei − hf
M11 = (2.6)
h i demikian pula halnya minor dari a32 adalah
a c = af − cd
M32 = d f (2.7)
Cofactor dari suatu komponen
Cofactor dari suatu komponen aij diperoleh dengan cara
cofactor dari aij = Cij = (−1)i+j Mij
(2.8)
dengan Mij adalah minor sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya.
Determinan matriks menggunakan cofactor
Determinan matriks (terutama yang mempunyai orde lebih dari 2) dapat
diperoleh dengan menggunakan cofactor. Caranya adalah dengan mengalikan
setiap elemen pada salah satu baris atau kolom dengan cofactor nya kemudian
hasilnya dijumlahkan. Untuk lebih jelasnya kembali pada matriks A pada
persamaan 2.5. Dengan menggunakan elemen pada baris pertama, maka
dapat dinyatakan
detA = a (C11 ) + b (C12 ) + c (C13 )
= a(−1)1+1 M11 + b(−1)1+2 M12 + c(−1)1+3 M13
e f d f d e = a
− b
+ c
h i g i g h (2.9)
= a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg)
Beberapa sifat penting terkait determinan
Beberapa sifat penting yang terkait determinan matriks di antaranya adalah:
• Jika semua elemen pada satu baris (atau pada satu kolom) dari suatu
matriks dikalikan dengan bilangan k, maka determinannya juga dikalikan dengan k.
• Nilai determinan suatu matriks sama dengan nol jika
20
BAB 2. MATRIKS
1. semua elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom) sama
dengan nol, atau
2. dua baris (atau dua kolom) elemen-elemennya identik, atau
3. dua baris (atau dua kolom) elemen-elemennya proporsional (sebanding)
• Jika dua baris (atau dua kolom) dari suatu matriks dipertukarkan,
maka nilai determinannya berubah tanda
• Determinan suatu matriks tidak berubah jika
1. baris dituliskan menjadi kolom dan kolom dituliskan menjadi baris, atau
2. setiap elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom) ditambahkan dengan k kali elemen pada baris (atau kolom) yang lain.
Aturan Cramer
Penyelesaian sistem persamaan linier dapat dilakukan juga dengan menggunakan determinan. Cara ini disebut Aturan Cramer (Cramer’s Rule).
Misalkan dua buah persamaan yang dinyatakan dengan
a1 x + b 1 y = c 1
a2 x + b 2 y = c 2
dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 dan c2 adalah bilangan. Jika persamaan pertama dikalikan dengan b2 sementara persamaan kedua dikalikan dengan b1 kemudian
keduanya dikurangkan, maka dapat diperoleh nilai x, yaitu
x=
c 1 b2 − c2 b1
a1 b2 − a2 b1
cara yang serupa juga dapat dilakukan untuk memperoleh nilai y, yaitu
y=
a1 c 2 − a2 c 1
a1 b2 − a2 b1
artinya solusi untuk x dan y dapat dituliskan
triks:
c1 b1 c2 b2 ,
x = y=
a1 b 1 a2 b 2 dalam bentuk determinan ma
a1 c 1 a2 c 2 (2.10)
a1 b 1 a2 b 2 Secara umum dapat dituliskan langkahnya sebagai berikut:
21
2.4. MATRIKS IDENTITAS
• Tuliskan persamaan linier dalam bentuk standar dengan urutan variabel yang sama
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
• Tuliskan koefisien-koefisien variabelnya dalam bentuk matriks dan hitung determinan matriksnya. Determinan matriks koefisien (sebut sebagai D) ini akan menjadi penyebut dalam penghitungan nilai variabelvariabel yang dicari
• Pembilang untuk nilai x diperoleh dengan mengganti elemen koefisien
variabel x pada matriks koefisien dengan konstanta ruas kanan persamaan yang sesuai. Pembilang untuk nilai x diperoleh dengan mengganti elemen koefisien variabel x pada matriks koefisien dengan konstanta
ruas kanan persamaan yang sesuai
Jadi untuk persamaan yang melibatkan tiga variabel sebagai berikut
a1 x + b 1 y + c 1 z = d 1
a2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
a3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
maka diperoleh
d b c a d c a b d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x = d2 b2 c2 , y = a2 d2 c2 , z = a2 b2 d2 (2.11)
D
D
D
d 3 b3 c3 a3 d 3 c 3 a3 b 3 d 3 a1 b 1 c 1 dengan D = a2 b2 c2 .
a3 b 3 c 3 2.4
Matriks Identitas
Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks bujursangkar dengan
semua elemen sama dengan nol kecuali elemen pada diagonal utama sama
dengan 1. Matriks identitas atau matriks satuan umumnya dilambangkan
dengan I. Contohnya adalah sebagai berikut

1 0 0
I= 0 1 0 
0 0 1

(2.12)
22
BAB 2. MATRIKS
2.5
Reduksi Baris
Perhatikan kumpulan persamaan linier berikut ini
2x
−z = 2
6x +5y +3z = 7
2x −y
=4
(2.13)
Kumpulan persamaan tersebut dapat disusun menjadi bentuk matriks yang
terdiri dari koefisien masing-masing variabelnya. Kolom pertama berisi koefisien dari variabel x, kolom kedua berisi koefisien variabel y, kolom ketiga berisi koefisien dari variabel z dan kolom keempat berisi ruas kanan
persamaan-persamaan tersebut. Matriks yang dimaksud adalah


2 0 −1 2
 6 5
3 7 
2 −1 0 4
Hal ini berarti terdapat kesetaraan antara kumpulan persamaan linier dengan
matriks koefisien-koefisien variabelnya. Apa yang dilakukan pada kumpulan
persamaan linier tersebut dapat juga diterapkan pada matriks yang berkaitan.
Dengan sifat kesetaraan tersebut dapat dilakukan metode reduksi baris
untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut. Berikut adalah contohnya
• Karena persamaan linier dapat dieliminasi dengan persamaan lain, maka bila persamaan kedua dikurangi tiga kali persamaan pertama:


2x
−z = 2
2 0 −1 2
5y +6z = 1 ⇐⇒  0 5
6 1 
2x −y
=4
2 −1 0 4
• Kurangi persamaan ketiga dengan persamaan pertama:


2x
−z = 2
2 0 −1 2
5y +6z = 1 ⇐⇒  0 5
6 1 
−y +z = 2
0 −1 1 2
• Susunan persamaan-persamaan tersebut dapat dipertukarkan satu sama lain. Bila persamaan kedua dan ketiga dipertukarkan akan diperoleh


2 0 −1 2
2x
−z = 2
−y +z = 2 ⇐⇒  0 −1 1 2 
0 5
6 1
5y +6z = 1
23
2.6. OPERASI MATRIKS
• Tambahkan persamaan ketiga dengan lima

2x
−z = 2
2

−y +z = 2 ⇐⇒
0
11z = 11
0
• Bagi persamaan ketiga dengan 11:
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
2x
kali persamaan kedua:

0 −1 2
−1 1 2 
0 11 11


2 0 −1 2
−z = 2
−y +z = 2 ⇐⇒  0 −1 1 2 
z =1
0 0
1 1
• Kurangi persamaan kedua dengan ketiga, kemudian hasilnya dikalikan
dengan −1:


2x
−z = 2
2 0 −1 2
y
= −1 ⇐⇒  0 1 0 −1 
z
=1
0 0 1
1
• Tambahkan persamaan satu dengan persamaan tiga, kemudian hasilnya
dibagi dengan dua:


1 0 0 23
x
= 32
y
= −1 ⇐⇒  0 1 0 −1 
z =1
0 0 1 1
Dari tahapan tersebut akhirnya diperoleh nilai x, y dan z yang memenuhi
persamaan linier di atas, yaitu x = 32 , y = −1 dan z = 1.
Cara penyelesaian persamaan linier dengan mengaitkannya dalam bentuk matriks tersebut disebut metode reduksi baris atau dikenal juga sebagai
eliminasi Gauss (Gaussian elimination).
2.6
Operasi Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika elemen-elemen pada posisi yang sama
nilainya sama. Jadi jika matriks A = B, hal ini berarti bahwa aij = bij .
Misalnya persamaan matriks berikut ini
x r u
2 1 −5
=
y s v
3 −7 0
maka berarti diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut
x = 2; r = 1; u = −5; y = 3; s = −7; v = 0
24
2.6.1
BAB 2. MATRIKS
Penjumlahan dan Pengurangan
Matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangi adalah matriks-matriks dengan ukuran yang sama. Penjumlahan atau pengurangan matriks secara
sederhana adalah penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen pada posisi yang sama. Artinya dapat dinyatakan
Cij = (A + B)ij = aij + bij
(2.14)
1 5 −2
−1 3 0
Misalkan A =
dan B =
maka hasil penjum−3 0 6
2 1 2
0 8 −2
lahan keduanya adalah A+B =
sedangkan pengurangannya
−1 1 8
2
2 −2
adalah A − B =
.
−5 −1 4
2.6.2
Perkalian dengan bilangan
Bila suatu matriks dikalikan dengan bilangan, maka diperoleh matriks dengan ukuran yang sama. Komponen-komponen matriks asal dikalikan dengan bilangan skalar pengali tersebut
Misalkan A =
2.6.3
1 5 −2
−3 0 6
(cA)ij = caij
2 10 −4
maka 2A =
−6 0 12
(2.15)
Perkalian Matriks
Ada dua macam perkalian matriks. Yang pertama yang lebih sering dijumpai disebut sebagai inner product dan yang kedua adalah direct product.
Inner Product
Dua buah matriks dapat dikalikan (inner product) jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Matriks hasilnya
mempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah baris matriks pertama
dan mempunyai jumlah kolomyang sama
dengan jumlah kolom
matriks
kea b
e f
dua. Misalnya matriks A =
dan matriks B =
maka
c d
g h
hasil kali keduanya adalah
a b
e f
AB =
c d
g h
(2.16)
ae + bg af + bh
=
ce + dg cf + dh
25
2.6. OPERASI MATRIKS
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
Secara umum AB tidak sama dengan BA, yang berarti perkalian matriks
(inner product) tidak bersifat komutatif.
Direct Product
Direct product dikenal juga sebagai direct tensor atau Kronecker product. Jika A adalah matriks m × m dan B adalah matriks n × n, maka direct product
antara keduanya dilambangkan dengan C = A ⊗ B dengan C adalah matriks
yang berukuran mn × mn.
A danB masing-masing
adalah matriks 2 × 2 dengan A =
Misalkan
a b
e f
dan B =
, maka direct product antar keduanya adalah
c d
g h
A⊗B=
a b
c d

ae af
 ag ah
=
 ce cf
cg ch
⊗
be
bg
de
dg
e f
g h

bf
bh 

df 
dh
(2.17)
Direct product akan banyak dijumpai dalam persoalan mekanika kuantum.
2.6.4
Invers Matriks
Invers dari suatu matriks A dinyatakan dengan A−1 , sedemikian sehingga
bila matriks A dikalikan (inner product) dengan inersnya atau sebaliknya
maka hasilnya adalah matriks satuan atau matriks identitas
AA−1 = A−1 A = 1 = I
(2.18)
Hanya matriks bujursangkar saja yang mempunyai invers, namun tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers. Matriks yang memiliki invers
dinamakan invertible, sedangkan yang tidak memiliki invers dinamakan singular. Invers dari suatu matriks dapat diperoleh dengan cara:
A−1 =
1
CT
det A
(2.19)
dengan Cij adalah cofactor dari
 aij .

1
0 −1
0  dengan menggunakan persaMisalkan suatu matriks A =  −2 3
1 −3 2
maan 2.9 dapat diperoleh bahwa det A = 3. Kemudian cofactor dari setiap
26
BAB 2. MATRIKS
elemen matriks A dapat diperoleh sebagai berikut:
−2 0 3 0 = 4; C13 = −2
= 6;
C12 = − C11 = 1
−3 2 1 2
0 −1 1 −1 1
C21 = − = 3;
C22 = = 3;
C23 = − 1
1 2
1 2
1 −1 0 −1 = 2; C33 = 1
= 3; C32 = − C31 = −2
−2 0 3 0 maka

6
 4
3

3 = 3;
−3 0 = 3;
−3 0 =3
3 
6 4 3
diperoleh matriks C berbentuk C =  3 3 3 , kemudian CT =
3 2 3

3 3
3 2 . Jadi invers dari matriks A adalah
3 3
1
CT
det
A


6 3 3
1
4 3 2 
=
3
3 3 3
A−1 =
(2.20)
Dapat ditunjukkan bahwa AA−1 = A−1 A = I.
Cara lainnya yang dapat digunakan adalah metode inversi Gauss-Jordan
yang prinsipnya mirip dengan cara reduksi baris. Berikut akan diberikan
contohnya.
• Tuliskan matriks A (sebelah kiri) dan pasangannya (sebelah kanan)
yang berupa matriks identitas, pada akhir proses matriks sebelah kiri
akan menjadi matriks identitas sementara matriks sebelah kanan menjadi A−1 :




1
0 −1
1 0 0
 −2 3
 0 1 0 
0 
1 −3 2
0 0 1
• Kalikan tiap baris dengan bilangan tertentu agar didapat kolom pertama matriks sebelah kiri sama dengan 1:




1 0 −1
1 0 0
 1 −3 0 
 0 −1 0 
2
2
1 −3 2
0 0 1
27
2.7. MATRIKS TRANSFORMASI
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
• baris kedua dan baris ketiga masing-masing dikurangi baris pertama:




1
0 0
1 0 −1
 −1 − 1 0 
 0 −3 1 
2
2
0 −3 3
−1 0 1
• Kalikan baris kedua

1
 0
0
dengan − 32 :

0 −1
1 − 32 
−3 3


0 0
 2 1 0 
3
3
−1 0 1
1
• Tambahkan baris ketiga dengan tiga kali baris kedua:




1 0 0
1 0 −1
 2 1 0 
 0 1 −2 
3
3
3
0 0 1
1 1 1
• Tambahkan baris kedua dengan


1 0 −1
 0 1 0 
0 0 1
2
3
kali baris ketiga:


1 0 0
 4 1 2 
3
3
1 1 1
• Tambahkan baris pertama dengan baris ketiga:




1 0 0
2 1 1
 0 1 0 
 4 1 2 
3
3
1 1 1
0 0 1
Sehingga diperoleh bahwa A−1
diperoleh sebelumnya.
2.7

2 1 1
=  43 1 32  sebagaimana yang telah
1 1 1

Matriks Transformasi
Perhatikan persamaan linier berikut ini
x0 = ax + by
y 0 = cx + dy
(2.21)
28
BAB 2. MATRIKS
(x′,y′)
(x,y)
r′′
r
Gambar 2.1: Transformasi vektor r menjadi r0 seperti yang dinyatakan
dengan persamaan 2.22.
dengan a, b, c dan d adalah bilangan. Persamaan tersebut menyatakan bahwa
untuk setiap nilai x dan y, dapat diperoleh nilai pasangannya yaitu x0 dan
y 0 . Persamaan 2.21 tersebut dapat dituliskan dalam bentuk operasi matriks
yaitu
0 x
a b
x
=
0
y
y
c d
(2.22)
0
r = Mr
a b
dengan M =
menyatakan matriks yang mengubah titik (atau vekc d
tor) (x, y) menjadi titik (atau vektor) (x0 , y 0 ). Karenanya matriks M tersebut
dinamakan matriks transformasi.
2.7.1
Transformasi vektor
Persamaan 2.22 dapat diilustrasikan sebagaimana Gambar 2.1. Artinya persamaan 2.22 menggambarkan transformasi suatu vektor (dengan sistem koordinat yang tetap). Jika transformasi ini hanya merotasi vektor (panjang
vektor tidak berubah) dengan sudut rotasi sebesar θ, maka dapat dituliskan
0 x
x
cos θ − sin θ
(2.23)
=
y
sin θ cos θ
y0
29
2.7. MATRIKS TRANSFORMASI
Y
Y′
A
y
X′
r = r′′
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
y′
x′
X
x
Gambar 2.2: Transformasi sumbu koordinat (rotasi) seperti yang dinyatakan
dengan persamaan 2.22.
2.7.2
Rotasi sumbu koordinat 2 D
Transformasi yang dinyatakan dengan persamaan 2.22 juga dapat dipandang
sebagai transformasi sumbu koordinat (dengan vektor yang tetap) sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 2.2.
Pada Gambar 2.2, sumbu koordinat XY dirotasi sehingga menjadi sumbu
koordinat baru X 0 Y 0 . Suatu titik A yang koordinatnya (x, y) dalam sistem
koordinat XY bila dinyatakan dalam sistem koordinat X 0 Y 0 koordinatnya
menjadi (x0 , y 0 ). Posisi titik A dinyatakan dengan vektor r dalam sistem
koordinat XY dan dinyatakan dengan vektor r0 dalam sistem koordinat X 0 Y 0 .
Dapat dinyatakan bahwa r = xi + yj dan r0 = x0 i0 + y 0 j0 .
Jika vektor-vektor satuan dalam arah sumbu X,Y ,X 0 dan Y 0 berturutturut adalah i, j, i0 dan j0 serta sudut rotasi sumbu koordinat adalah θ, maka
dapat dinyatakan
x0 = r · i0 = x cos θ + y sin θ
y 0 = r · j0 = −x sin θ + y cos θ
sehingga dapat dituliskan dalam bentuk
x0
y0
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
(2.24)
30
BAB 2. MATRIKS
Dua contoh transformasi di atas yaitu yang dinyatakan dengan persamaan
2.23 dan persamaan 2.24 merupakan contoh yang disebut transformasi ortogonal karena kedua transformasi tersebut tidak mengubah panjang vektor.
2.8
Diagonalisasi Matriks
Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang elemen selaian pada diagonal utamanya sama dengan nol. Diagonalisasi matriks adalah proses membuat suatu matriks bujursangkar menjadi matriks diagonal.
2.8.1
Eigen Value Problem: Nilai Eigen dan Vektor
Eigen
Seringkali dijumpai persoalan fisis yang dinyatakan dengan persamaan berikut
Mr = λr
(2.25)
dengan M adalah matriks bujursangkar dan r adalah suatu vektor sedangkan λ adalah bilangan. Persamaan 2.25 menggambarkan suatu vektor r yang
ditransformasikan dengan matriks M dan hasilnya adalah suatu vektor baru
yang dapat dinyatakan dengan suatu bilangan tertentu dikalikan dengan vektor asalnya. Artinya transformasi seperti ini membuat vektor r menjadi lebih
panjang atau lebih pendek namun dengan arah yang tetap ataupun berlawanan. Dengan kata lain vektor baru sejajar dengan vektor asal. Persoalan
yang dirumuskan dengan persamaan 2.25 tersebut dikenal sebagai Persoalan
Nilai Eigen (Eigen Value Problem).
Bilangan λ dikenal sebagai nilai eigen (eigen value) sedangkan vektor r
dinamakan vektor eigen (eigen vector ) dari matriks transformasi M.
Berikut ini akan diuraikan cara untuk mencari nilai eigen dan vektor
eigen dari suatu transformasi. Misalkan
yang dinyatakan
suatu transformasi
5 −2
dengan matriks transformasi M =
. Dengan transformasi ini
−2 2
x
suatu vektor yang dinyatakan dengan
menjadi suatu vektor lain yaitu
y
x
λ
. Dengan notasi matriks, tranformasi tersebut dapat dinyatakan
y
sebagai berikut
5 −2
x
x
=λ
(2.26)
−2 2
y
y
31
2.8. DIAGONALISASI MATRIKS
Persamaan matriks tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan linier
menjadi
5x − 2y = λx
−2x + 2y = λy
(2.27)
(5 − λ)x − 2y = 0
−2x + (2 − λ)y = 0
(2.28)
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
atau
dan bila disusun kembali dalam bentuk matriks
5 − λ −2
x
=0
−2 2 − λ
y
(2.29)
Persamaan tersebut adalah persamaan homogen yang solusinya dapat diperoleh (untuk x dan y selain 0) jika determinan matriksnya sama dengan 0.
Dengan demikian berarti
5 − λ −2 (2.30)
−2 2 − λ = 0
Persamaan tersebut disebut persamaan karakteristik matriks M. Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat dalam λ
(5 − λ)(2 − λ) − 4 = 0
λ2 − 7λ + 6 = 0
(2.31)
yang memberikan
λ=1
atau
λ=6
(2.32)
Kedua nilai λ yang diperoleh pada persamaan 2.32 adalah nilai eigen dari
matriks M.
Bila nilai eigen yang diperoleh tersebut disubstitusi ke persamaan 2.28
maka diperoleh
untuk λ = 1 → 2x − y = 0
untuk λ = 6 → x + 2y = 0
(2.33)
Kembali ke ungkapan operasi matriks seperti yang dinyatakan dengan
persamaan 2.25, vektor eigen yang berkaitan dengan matriks M adalah vektor r sedemikian sehingga hasil transformasinya menmberikan vektor yang
sejajar dengan r. Untuk nilai eigen λ = 1 kondisi tersebut dipenuhi oleh
32
BAB 2. MATRIKS
2x−y=0
y
6r
r
r
x
x+2y=0
Gambar 2.3: Vektor-vektor eigen untuk matriks M.
vektor yang dinyatakan dengan persamaan garis 2x − y = 0 atau y = 2x.
Vektor-vektor yang memenuhi syarat ini tak hingga banyaknya (misalnya
adalah vektor i + 2j, vektor 2i + 4j, vektor −i − 2j dan sebagainya) namun kesemuanya mempunyai vektor satuan yang dapat dinyatakan dengan
rˆ1 = √15 (i+2j). Untuk nilai eigen λ = 6 kondisi tersebut dipenuhi oleh vektor
yang dinyatakan dengan persamaan garis x + 2y = 0 atau y = − 21 x, artinya
vektor satuannya adalah rˆ2 = √15 (−2i + j). Kedua vektor eigen tersebut
ditunjukkan dalam Gambar 2.3.
Terlihat bahwa dengan nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperoleh
maka persoalan nilai eigen untuk kasus ini dapat dinyatakan kembali yaitu
(misalnya dengan mengambil vektor i + 2j dan −2i + j):
2.8.2
5 −2
−2 2
5 −2
−2 2
1
2
=
1
2
=1
1
2
dan
−2
−12
−2
=
=6
1
6
1
Proses diagonalisasi matriks
Bila persamaan 2.28 dituliskan kembali dengan menggunakan kedua nilai
eigen, masing-masing dihubungkan dengan variabel (x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ) maka
33
2.8. DIAGONALISASI MATRIKS
diperoleh empat buah persamaan-persamaan berikut:
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
5x1 − 2y1 = x1 ,
−2x1 + 2y1 = y1 ,
5x2 − 2y2 = 6x2
−2x2 + 2y2 = 6y2
(2.34)
Keempat persamaan-persamaan tersebut dapat disusun dalam bentuk suatu
perkalian matriks sebagai berikut
1 0
x1 x2
x1 x2
5 −2
(2.35)
=
0 6
y1 y2
−2 2
y1 y2
(x1 , y1 ) memenuhi persamaan 2x1 −y1 = 0 dan (x2 , y2 ) memenuhi persamaan
x2 + 2y2 = 0 sehingga dapat dinyatakan
1
x1 = √ ,
5
2
y1 = √ ,
5
sehingga dapat dituliskan
!
√1
√2
−
5 −2
5
5
=
√2
√1
−2 2
5
5
2
x2 = − √ ,
5
√1
5
√2
5
− √25
√1
5
1
y2 = √
5
!
1 0
0 6
(2.36)
(2.37)
MC=CD
terlihat bahwa matriks C adalah matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor
eigen dari matriks M sedangkan matriks D adalah matriks yang dibentuk
oleh nilai-nilai eigen dari matriks M. Bila matriks C adalah invertible, maka
dapat diperoleh inversnya sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya,
sehingga diperoleh
√ 1√
2
5
−1
5
5
√
√5
C =
− 52 5 15 5
kemudian bila persamaan 2.37 dikalikan dengan C−1 maka diperoleh
C−1 M C = C−1 C D
=D
(2.38)
Persamaan 2.38 menunjukkan bahwa suatu transformasi tertentu mengubah
matriks M menjadi suatu matriks diagonal. Transformasi tersebut direpresentasikan dengan matriks C yang ternyata berkaitan dengan vektor-vektor
eigen dari matriks M. Proses tersebut dinamakan diagonalisasi matriks
karena mentransformasikan suatu matriks menjadi berbentuk matriks diagonal.
Dengan demikian proses diagonalisasi suatu matriks M dapat dirangkumkan sebagai berikut:
34
BAB 2. MATRIKS
..
Y′
r=r′′
Y
R=R′′
X′
θ
X
Gambar 2.4: Interpretasi matriks diagonal.
• Cari nilai-nilai eigen dan fungsi eigen matriks M
• Bentuk matriks C dari vektor-vektor eigen, ingat bahwa vektor-vektor
tersebut perlu dinyatakan dalam bentuk vektor normal
• Cari invers dari matriks C
• Lakukan transformasi C−1 M C untuk memperoleh matriks diagonal
yang diinginkan.
Untuk memahami makna matriks D, perhatikan Gambar 2.4. Pada gambar tersebut sumbu koordinat XY dirotasi dengan sudut θ sehingga menjadi
sumbu koordinat X 0 Y 0 . Vektor R dan r adalah dua vektor dalam sistem koordinat XY . Kedua vektor tersebut adalah R0 dan r0 bila dinyatakan dalam
sistem koordinat X 0 Y 0 . Telah dijelaskan sebelumnya bahwa rotasi sumbu
koordinat dapat dinyatakan menggunakan matriks transformasi. Dalam hal
ini, suatu titik (x0 , y 0 ) dalam sistem koordinat X 0 Y 0 bila dinyatakan dalam
sistem koordinat XY adalah
x = x0 cos θ − y 0 sin θ
y = x0 sin θ + y 0 cos θ
(2.39)
atau dapat dinyatakan
0
r = Cr ,
dengan C =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
(2.40)
2.8. DIAGONALISASI MATRIKS
35
Karena ungkapan tersebut berlaku untuk sembarang vektor lainnya, maka
untuk R dapat pula dinyatakan dalam bentuk yang sama
R = CR0
(2.41)
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
Kemudian misalkan matriks M adalah menyatakan transformasi yang mengubah vektor r menjadi vektor R (ini merupakan transformasi dalam sistem
koordinat XY ), hal ini berarti
R = Mr
(2.42)
Dengan membandingkan kedua persamaan tersebut diperoleh
CR0 = Mr =⇒ R0 = C−1 Mr =⇒ R0 = C−1 MCr0
(2.43)
Hal ini berarti matriks C−1 M C mentransformasikan vektor r0 menjadi vektor R0 (dalam sistem koordinat X 0 Y 0 ).
Jika matriks D ≡ C−1 M C berbentuk matriks diagonal, hal ini berarti
matriks C dibentuk dari vektor-vektor eigen matriks M sebagaimana yang
telah ditunjukkan sebelumnya.
2.8.3
Aplikasi diagonalisasi matriks
Sumbu utama suatu objek
Suatu irisan kerucut dinyatakan dengan persamaan
Ax2 + 2Hxy + By 2 = K
dengan A, H, B dan K adalah konstanta. Bila disusun dalam bentuk perkalian matriks, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
A H
x
x y
=K
H K
y
x
x y M
=K
y
Ingin ditentukan sumbu-sumbu utama irisan kerucut tersebut sedemikian
sehingga persamaannya menjadi lebih sederhana. Hal ini dilakukan dengan
mendiagonalisasi matriks M, dengan kata lain mencari nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks M. Lebih spesifik, misalkan A, H, B dan K masing-masing
adalah 5, −2, 2 dan 30, sehingga persamaan irisan kerucut yang ditinjau
adalah
5x2 − 4xy + 2y 2 = 30
36
BAB 2. MATRIKS
5 −2
yang berarti M =
. Pada bagian terdahulu matriks ini telah
−2 2
dicari nilai eigen dan vektor eigennya. Telah diperoleh bahwa
C−1 M C = C−1 C D
1 0
=D=
0 6
Maka persamaan irisan kerucut tersebut bila dinyatakan relatif terhadap
sumbu-sumbu utamanya adalah
0 1 0
x
0
0
x y
= x02 + 6y 02 = 30
(2.44)
0 6
y0
Matriks C yang merupakan matriks vektor
! eigen yang berkaitan dengan
2
√1
√
− 5
5
. Bila matriks ini dibandingktransformasi ini adalah C =
√2
√1
5
5
an dengan matriks rotasi sumbu koordinat (persamaan 2.24), maka dapat
diperoleh
1
θ = arccos √
5
0 0
Hal ini berarti sumbu utama x y diperoleh dengan merotasi sumbu xy dengan sudut rotasi sebesar θ.
Karakteristik vibrasi sistem pegas-massa
Tinjau persoalan dinamika suatu sistem yang terdiri dari dua buah benda
titik bermassa m dan tiga buah pegas identik dengan konstanta pegas k
seperti yang digambarkan dalam Gambar 2.5.
Misalkan x dan y menyatakan posisi sesaat dari masing-masing benda
titik relatif terhadap posisi setimbangnya. Energi potensial sistem ini adalah
energi potensial pegas total, yaitu
1
1
1
V = kx2 + (x − y)2 + ky 2 = k(x2 − xy + y 2 )
2
2
2
(2.45)
Persamaan gerak benda dapat diperoleh dari turunan energi potensial tersebut (yang menyatakan gaya yang bekerja pada benda), yaitu
∂V
= −2kx + ky
∂x
∂V
Fy = may = −
= kx − 2ky
∂y
Fx = max = −
37
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
2.8. DIAGONALISASI MATRIKS
y
x
Gambar 2.5: Sistem tiga pegas dengan dua benda titik.
Persamaan differensial tersebut mempunyai bentuk solusi berupa fungsi harmonik (lebih lengkap tentang solusi persamaan differensial akan dibahas pada
BAB 8), dapat dituliskan kembali menjadi
−mω 2 x = −2kx + ky
−mω 2 y = kx − 2ky
Dalam notasi matriks, persamaan tersebut dituliskan sebagai
λ
x
y
=
2 −1
−1 2
x
y
, dengan λ =
mω 2
k
yang merupakan persoalan nilai eigen (eigen value problem). Nilai eigen dari
matriks yang bersangkutan adalah
2 − λ −1
−1 2 − λ
=0
=⇒ λ = 1 atau λ = 3
Dengan demikian diperoleh frekuensi modus normal sistem yaitu yang ber-
38
BAB 2. MATRIKS
kaitan dengan nilai-nilai eigen tersebut, yaitu
r
k
m
r
3k
λ = 3 −→ ω2 =
m
λ = 1 −→ ω1 =
Vektor eigen yang berkaitan adalah
untuk λ = 1 → y = x
untuk λ = 3 → y = −x
Hal ini berarti pada frekuensi ω1 (di mana diperoleh y = x), kedua benda
bergerak osilasi dalam arah yang sama bersamaan (yaitu sama-sama ke kiri
kemudian sama-sama ke kanan), sedangkan pada frekuensi ω2 (di mana diperoleh y = −x), simpangan kedua benda saling berlawanan (saat yang satu
bergerak ke kiri yang lain bergerak ke kanan).