menyatakan bahwa nilai aset mengikuti Gerak Brown Ge

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Penelitian Terdahulu
Black dan Scholes (1973) menyatakan bahwa nilai aset mengikuti Gerak
Brown Geometri, dengan drift 𝜇 (ekpektasi dari return) dan volatilias 𝜎 (deviasi
standar dari return). Berawal dari teori tersebut, mulai banyak dilakukan
penelitian terkait implementasi kalkulus stokastik pada instrumen–instrumen
dunia finansial terkait pemodelan harga saham. Beberapa penilitian yang telah
dilakukan antara lain :
1. Perhitungan Harga Opsi Eropa dengan Metode Gerak Brown Geometri
(Pradhitya, 2012).
Dalam penelitian tersebut, dibahas cara menentukan harga opsi Eropa
dengan menggunakan metode Gerak Brown Geomoteri.
2. Penerapan Kalkulus Stokastik pada Model Opsi (Nizaruddin, 2011).
Dalam penelitian tersebut, melalui penerapan teori-teori kalkulus stokastik
dibahas model persamaan harga yang diturunkan dari nilai aset suatu
perusahaan.
3. Aproksimasi PDS Harga Saham Menggunakan Metode Numerik PDS
Implisit (Noorbaity & Aisiyah, 2012)
Dalam penelitian tersebut, diteliti perbandingan keakuratan metode
numerik implisit dan metode numerik eksplisit dalam menentukan solusi
aproksimasi PDS pergerakan harga saham.
6
7
2.2
Landasan Teori
Pada subbagian ini akan dibahas mengenai pemodelan matematika harga
saham dan analisis pembentukan portofolio optimal. Untuk membentuk model
matematika harga saham terlebih dahulu akan dibahas mengenai proses stokastik,
Gerak Brown Geometri, dan Persamaan Diferensial Stokastik. Pembahasan
selanjutnya adalah mengenai teori portofolio optimal dan analisis pembentukan
portfolio optimal dengan model Markowitz.
2.2.1
1.
Proses Stokastik
Proses Stokastik
Definisi 2.1 (Taylor & Kalin, 1998)
Proses stokastik {𝑋𝑡 ; 𝑡 𝜖𝑇} adalah himpunan variabel random yang
disusun dalam kelas–kelas dan merupakan fungsi dari parameter waktu ( t
).
Himpuan 𝑇 disebut himpunan indeks dari suatu proses stokastik. Jika
himpunan 𝑇 adalah himpunan terhitung 𝑡 𝜖 [0, 𝑇], maka proses stokastik
dikatakan sebagai proses stokastik waktu diskret dan dinyatakan dalam
bentuk {𝑋𝑛 ; 𝑛 = 0,1,2, … }. Jika himpunan 𝑇 adalah suatu interval waktu
𝑡 𝜖 [0, ∞), maka proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu
kontinu dan dinyatakan dalam bentuk {𝑋𝑡 ; 𝑡 ≥ 0}.
Indeks 𝑡 sering dipresentasikan sebagai waktu dan hasilnya 𝑋𝑡 , dinyatakan
sebagai state dari proses pada waktu 𝑡. Dalam suatu proses stokastik,
8
himpunan dari semua nilai yang mungkin dari variabel random
𝑋𝑡 didefinisikan sebagai ruang keadaan (state space) proses stokastik.
Berdasarkan ruang parameter (waktu) dan ruang keadaannya, secara
umum proses stokastik diklasifikasikan menjadi empat jenis, yaitu :
2.
a.
Proses stokastik dengan state space diskret dan waktu diskret
b.
Proses stokastik dengan state space kontinu dan waktu diskret
c.
Proses stokastik dengan state space diskret dan waktu kontinu
d.
Proses stokastik dengan state space kontinu dan waktu kontinu
Proses Markov
Proses Markov merupakan salah satu tipe proses stokastik yang
menyatakan bahwa hanya nilai saat ini (present value) dari suatu variabel
yang relevan untuk memprediksi nilai masa depan. Keadaan nilai masa
lalu dari suatu variabel baik sejarah maupun bagaimana cara memperoleh
nilai tersebut dianggap tidak relevan untuk memprediksi nilai pada masa
mendatang.
Definisi 2.2 (Taylor & Kalin, 1998)
Proses
markov
{𝑋𝑡 }
adalah
proses
stokastik
dengan
sifat,
𝑃 𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛 +1 𝑋0 = 𝑥0 , 𝑋1 = 𝑥1 , … , 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛 +1 |𝑋𝑛 =
𝑥𝑛 ) untuk semua nilai 𝑥0 , … , 𝑥𝑛 +1 dan sebarang n, serta 𝑥0 , … , 𝑥𝑛 +1 𝜖 𝛺
(state space ).
Proses Markov dapat diaplikasikan untuk sistem diskret maupun sistem
kontinu. Sistem diskret ialah sistem dengan perubahan kondisi (state)
9
yang dapat diamati atau terjadi secara diskret, sedangkan jika dalam suatu
sistem yang kondisi (state) berubah secara kontinu (berkelanjutan), maka
sistem tersebut disebut sistem kontinu. Dalam aplikasi proses Markov,
kondisi yang dimungkinkan terjadi pada sistem harus dapat diidentifikasi
dengan jelas. Kemungkian kondisi yang dimaksud, misalnya beroperasi
atau gagal, naik atau turun, dan sebagainya.
2.2.2
Gerak Brown
Gerak Brown adalah suatu fenomena yang ditemukan pertama kali oleh
ahli botani Robert Brown pada tahun 1827 yakni ketika serbuk sari bunga
dilarutkan ke dalam air maka dengan pengamatan mikroskopis tampak bahwa
partikel serbuk sari bunga membentuk gerakan acak di dalam air. Barulah pada
tahun 1923 Norbert Wiener menyempurnakan teori Gerak Brown dengan
mendefinisikan ukuran peluang dan menggunakan konsep integral sebagai
pondasi matematika dari analisis stokastik proses Gerak Brown. Oleh karena itu,
Gerak Brown sering juga disebut Proses Wiener (Wikipedia, 2013).
Gerak Brown selanjutnya menjadi objek kajian yang berkembang pesat di
dalam matematika dari aspek teori maupun aplikasinya. Salah satu aplikasinya
ialah Gerak Brown digunakan sebagai model untuk dinamika acak dari
pergerakan harga pada pasar saham, yang kemudian melahirkan teori integral
stokastik dan Persamaan Diferensial Stokastik.
Merujuk dari Dmouj (2006) dan Roberts (2009), berikut definisi dan
variasi Gerak Brown:
10
1.
Gerak Brown (Proses Wiener)
Gerak Brown adalah salah satu proses Markov dengan state space kontinu
dan waktu kontinu.
Definisi 2.3 Suatu proses stokastik {𝑊𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown jika
memenuhi sifat-sifat berikut :
i.
𝑊𝑡 adalah fungsi kontinu dalam 𝑡
ii.
𝑊0 = 0
iii.
Setiap perubahan 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 adalah berdistribusi normal dengan
mean nol dan varians 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠) untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
iv.
Untuk
setiap
0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 ≤ 𝑇; 𝑊𝑡 −
𝑊𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑊𝑣 − 𝑊𝑢 adalah variabel acak yang saling bebas
2.
Gerak Brown Standar
Suatu Gerak Brown dengan 𝜇 = 0 dan 𝜎 2 = 1, disebut Gerak Brown
standar (baku).
Definisi 2.4 Suatu proses stokastik {𝑊𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown
standar jika memenuhi sifat – sifat berikut :
i.
𝑊𝑡 adalah fungsi kontinu dalam 𝑡
ii.
𝑊0 = 0
iii.
Setiap perubahan 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 adalah berdistribusi normal dengan
mean nol dan varians 𝑡 − 𝑠 untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
11
iv.
Untuk
setiap
0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 ≤ 𝑇; 𝑊𝑡 −
𝑊𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑊𝑣 − 𝑊𝑢 adalah variabel acak yang saling bebas
3.
Gerak Brown Geometri
Gerak Brown Geometri dikenal juga sebagai Gerak Brown Eksponensial.
Definisi 2.5 Diberikan proses Gerak Brown 𝑋𝑡 = 𝜇 ∗ 𝑡 + 𝜎𝐵𝑡 ; 𝑡 ≥ 0
1
dengan parameter drift 𝜇 ∗ = 𝜇 − 2 𝜎 2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛 𝜎 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑡
adalah proses Gerak Brown yang dimulai pada 𝐵0 = 0. Proses stokastik
{𝑍𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown Geometri jika 𝑋𝑡 = ln 𝑍𝑡 .
Secara ekuivalen, 𝑍𝑡 adalah Gerak Brown Geometri yang dimulai pada
𝑍0 = 𝑧 , jika
𝑍𝑡 = 𝑧𝑒 𝑋𝑡 = 𝑧𝑒
1
𝜇 − 𝜎 2 𝑡+𝜎𝐵𝑡
2
Gerak Brown Geometri memiliki distribusi lognormal dan diketahui
bahwa Gerak Brown merupakan salah satu proses Markov, maka akan
ditunjukkan Gerak Brown Geometri sebagai variasi Gerak Brown
memenuhi sifat proses Markov.
Diberikan Gerak Brown Geometri 𝑍𝑡 = 𝑍𝑜 𝑒 𝑋𝑡 . Ambil 𝑡 = 𝑡 + ℎ, sehingga
diperoleh :
𝑍𝑡+ℎ = 𝑍0 𝑒 𝑋𝑡+ℎ
= 𝑍0 𝑒 𝑋𝑡 +𝑋𝑡+ℎ −𝑋𝑡
12
= 𝑍0 𝑒 𝑋𝑡 𝑒 𝑋𝑡+ℎ −𝑋𝑡
= 𝑍𝑡 𝑒 𝑋 𝑡+ℎ −𝑋𝑡
2.2.3
Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan diferensial tidak hanya berlaku pada model yang bersifat
deterministik, namun berlaku pula pada model yang bersifat stokastik. Persamaan
diferensial pada model yang bersifat stokastik disebut Persamaan Diferensial
Stokastik (PDS).
Definisi 2.6 (Kloeden & Platen, 1992)
Misalkan {𝑋𝑡 ; 𝑡 ≥ 0} merupakan suatu proses stokastik dan 𝑊𝑡 adalah
proses Gerak Brown, maka persamaan yang didefinisikan :
𝑑𝑋𝑡 = 𝐹 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐺 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑊𝑡 .
(2.1)
disebut Persamaan Diferensial Stokastik dengan 𝐹 𝑋𝑡 , 𝑡 disebut koefisien drift
dan 𝐺 𝑋𝑡 , 𝑡 disebut koefisien difusi.
2.2.4
Persamaan Diferensial Stokastik Multidimensi
Pada kasus multidimensi, 𝑿𝒕 , 𝑭, dan 𝑾𝒕 pada persamaan (2.1) adalah
suatu vektor, sedangkan 𝐺 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑚 dengan 𝑛 menyatakan
jumlah variabel pada model, 𝑚 menyatakan dimensi dari proses Wiener, dan
jumlah 𝑛 tidak harus sama dengan 𝑚. Dengan demikian, Persamaan Diferensial
Stokastik Multidimensi memiliki bentuk sebagai berikut:
𝑑𝑿𝑡 = 𝑭𝑿𝑡 𝑇 𝑑𝑡 + 𝑮𝑑𝑾𝒕 𝑿𝑡 𝑇 .
(2.2)
13
Perhatikan bahwa 𝑾𝒕 adalah proses wiener m-dimensi. Persamaan (2.2) dapat
dinyatakan dalam persamaan matriks sebagai berikut :
𝑑𝑋1
𝑋1
𝑋
𝑑𝑋2
= 2
⋮
⋮
𝑋𝑛
𝑑𝑋𝑛
𝑇
𝑔11
𝐹1
𝑔
𝐹2
𝑑𝑡 + 21
⋮
⋮
𝑔𝑛1
𝐹𝑛
𝑔12
𝑔22
⋮
𝑔𝑛2
⋯ 𝑔1𝑚
⋯ 𝑔2𝑚
⋱
⋮
… 𝑔𝑛𝑚
𝑑𝑊1
𝑑𝑊2
⋮
𝑑𝑊𝑚
atau dapat dirumuskan menjadi :
𝑚
𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑊𝑡𝑗
𝑑𝑋𝑖 = 𝐹𝑖 𝑑𝑡 +
𝑋𝑖
(2.3)
𝑗 =1
untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Terdapat
beberapa
contoh
kasus
dalam
bidang
finansial
yang
membutuhkan implementasi dari Persamaan Diferensial Stokastik Multidimensi,
yaitu:
a.
Penilaian suatu portofolio yang bergantung pada beberapa aset.
b.
Pemodelan saham tunggal dengan volatilitas saham diasumsikan bersifat
stokastik.
c.
2.2.5
1.
Pemodelan pergerakan tingkat suku bunga.
Formula Itô
Proses Itô
Definisi 2.7 (Luenberger, 1998)
Suatu proses 𝑋𝑡 mengikuti proses Itô, jika
14
𝑑𝑋𝑡 = 𝑎 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑍𝑡
(2.4)
dengan parameter 𝑎 dan 𝑏 merupakan suatu fungsi dari nilai–nilai
peubah 𝑋𝑡 dan 𝑡. Sedangkan 𝑑𝑍𝑡 merupakan Gerak Brown (Proses
Wiener).
2.
Lemma Itô
Lemma 2.1 (Lemma Itô) Misalkan diberikan sebuah fungsi 𝐺 dari 𝑋𝑡 dan
𝑡 atau ditulis 𝐺(𝑋𝑡 , 𝑡) yang merupakan fungsi kontinu dan diferensiabel.
𝑋𝑡 adalah proses Itô yang didefinisikan sebagai berikut
𝑑𝑋𝑡 = 𝑎 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏 𝑋𝑡 , 𝑡 𝑑𝑊𝑡
dengan 𝑊𝑡 merupakan proses Gerak Brown standar, maka 𝐺(𝑋𝑡 , 𝑡)
mempunyai bentuk diferensial stokastik sebagai berikut :
𝑑𝐺(𝑋𝑡 , 𝑡) =
𝜕𝐺
𝜕𝑡
+ 𝑎 𝑋𝑡 , 𝑡
𝜕𝐺
𝜕𝑋𝑡
1
2
+ 𝑏(𝑋𝑡 , 𝑡)2
𝜕2𝐺
𝜕𝑋𝑡 2
𝑑𝑡 + 𝑏 𝑋𝑡 , 𝑡
𝜕𝐺
𝜕𝑋𝑡
𝑑𝑊𝑡
(2.5)
Persamaan (2.5) disebut sebagai rumus atau Formula Itô.
2.2.6
Model Harga Saham
Ketika investor yang bersikap rasional mengetahui adanya informasi baru
yang akan memengaruhi harga saham saat ini, maka investor akan cepat bereaksi
terhadap informasi tersebut, sehingga harga saham yang terbentuk akan
mencerminkan informasi yang tersedia secara cepat dan harga saham bergerak ke
tingkat harga yang sesuai dengan harga saham saat ini. Berdasarkan hal tersebut
15
harga saham dikatakan bergerak secara acak (random) dan diasumsikan mengikuti
proses Markov.
Proses Markov merupakan salah satu tipe dari proses stokastik. Pada
umumnya, proses stokastik tersebut terbagi menjadi empat kelas berdasarkan
ruang keadaan (state space) dan parameternya. Pada pemodelan pergerakan harga
saham, waktu yang dibutuhkan dalam mengamati pergerakan tersebut merupakan
suatu interval waktu. Misalkan akan diamati pergerakan harga saham X dalam
rentang periode Januari 2010-Januari 2011. Oleh karena itu, pergerakan harga
saham dikatakan memiliki waktu kontinu. Sedangkan dilihat dari perubahan
kondisi atau dalam hal ini berupa perubahan harga sahamnya, perubahan tersebut
cenderung memiliki pola yang tidak terduga dan dapat berubah secara acak pada
selang waktu tertentu (bersifat kontinu).
Misalkan 𝑆𝑡 adalah harga saham pada saat 𝑡 dan 𝜇 merupakan ekspektasi
tingkat pengembalian (return) saham per satuan waktu, maka besar pengembalian
saham yang diharapkan dari harga saham 𝑆𝑡 adalah sebesar 𝜇𝑆𝑡 . Jika perubahan
waktu 𝑡 dinyatakan sebagai ∆𝑡, maka ekspektasi perubahan (pergerakan) harga
saham untuk selang waktu ∆𝑡 dinyatakan sebagai berikut :
∆𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 ∆𝑡.
Pada kenyataannya, pergerakan harga saham juga dipengaruhi oleh suatu
volatilitas saham.
Volatilitas saham merupakan suatu gambaran dari
ketidakpastian mengenai pengembalian saham, sehingga deviasi standar dari
pengembalian saham per satuan waktu yang biasa dinyatakan dengan 𝜎, dapat
16
dikatakan sebagai volatilitas saham. Diasumsikan varians dari volatilitas saham
per satuan waktu adalah konstan atau dengan kata lain deviasi standar dari
pengembalian saham per satuan waktu dianggap sebanding dengan harga saham.
Dengan demikian, model pergerakan harga saham yang sesuai adalah :
∆𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 ∆𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 ∆𝑊𝑡 .
Jika mengambil lim∆𝑡→0 ∆𝑆𝑡 , maka diperoleh :
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
𝑑𝑆𝑡
𝑆𝑡
= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 .
(2.6)
dengan 𝑊𝑡 adalah Gerak Brown yang dimulai pada 𝑊0 = 0, 𝜇 dan 𝜎 merupakan
suatu bilangan konstan.
Selanjutnya dilakukan pengintegralan terhadap persamaan (2.6).
𝑡 𝑑𝑆𝑡
𝑡−1 𝑆𝑡
=
𝑡
(𝜇𝑑𝑡
𝑡−1
t
𝑑[ln St ]t−1
= 𝜇𝑡
𝑡
𝑡−1
+ 𝜎𝑑𝑊𝑡 )
+
ln 𝑆𝑡 − ln 𝑆𝑡−1 = 𝜇𝑑𝑡 +
𝑡
𝜎𝑑𝑊𝑡
𝑡−1
(2.7)
𝑡
𝜎𝑑𝑊𝑡
𝑡−1
(2.8)
Karena pada ruas kanan terdapat unsur stokastik berupa Proses Wiener, maka
tidak dapat diselesaikan dengan integral hitung biasa. Untuk menyelesaikan
persamaan (2.6) digunakan penerapan dari Lemma 2.1 (Lemma Itô).
17
Misalkan diberikan 𝐺 suatu fungsi dari 𝑆𝑡 yaitu 𝐺 = ln 𝑆𝑡 , dengan 𝑆𝑡 adalah
proses Itô yang didefinisikan sebagai persamaan (2.6), yaitu :
𝑑𝑆𝑡
= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡
𝑆𝑡
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 .
Berdasarkan Lemma 2.1 (Lemma Itô), maka diperoleh :
𝑑(𝑙𝑛 𝑆𝑡 )
𝑡
𝑡−1
𝑑(ln 𝑆𝑡 )
= 0 + 𝜇𝑆𝑡
𝑡
𝑡−1
1 1 2 2
1
+ 𝜎 𝑆𝑡 − 2
𝑆𝑡 2
𝑆𝑡
𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡
1
𝑑𝑊𝑡
𝑆𝑡
1
= 𝜇 − 𝜎 2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡
2
1
ln 𝑆𝑡 − ln 𝑆𝑡−1 = 𝜇 − 2 𝜎 2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡
1
ln 𝑆𝑡 = ln 𝑆𝑡−1 + 𝜇 − 2 𝜎 2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡
(2.9)
1
𝑆𝑡 = 𝑆𝑡−1 𝑒
𝜇 − 𝜎 2 𝑑𝑡+𝜎𝑑 𝑊𝑡
2
.
(2.10)
Solusi (2.10) mengimplikasikan bahwa harga saham pada periode mendatang
mengikuti model Gerak Brown Geometri, sehingga harga saham akan selalu
bernilai positif.
2.2.7
Model Pasar Modal Multidimensi
Teori–teori kalkulus stokastik pada pemodelan pergerakan harga saham
yang telah dijelaskan sebelumnya melibatkan hanya satu sekuritas (saham).
Penerapan teori tersebut dapat dikembangkan untuk keuangan yang tergantung
18
pada beberapa aset. Keadaan pasar modal yang demikian disebut pasar modal
multidimensi, contohnya portofolio saham. Dalam pemodelan pergerakan harga nsaham, diasumsikan pergerakan harga dari masing–masing saham dapat
dimodelkan sebagai Persamaan Diferensial Stokastik atau dengan kata lain
pergerakan harga sahamnya mengikuti model Gerak Brown Geometri. Sehingga,
model pergerakan harga n-saham dirumuskan dalam suatu Persamaan Diferensial
Stokastik Multidimensi.
Berikut contoh kasus untuk model pasar modal dua dimensi. Diberikan
suatu portofolio yang terdiri dari dua saham yaitu saham A dan saham B, dengan
pergerakan harga dari masing–masing saham dapat dimodelkan sebagai
Persamaan Diferensial Stokastik. Sebut 𝑆𝑡1 adalah harga saham A pada saat 𝑡 , 𝜇1
merupakan ekspektasi tingkat pengembalian saham A per satuan waktu, dan 𝜎1
menyatakan deviasi standar dari pengembalian saham A per satuan waktu,
kemudian 𝑆𝑡2 adalah harga saham B pada saat 𝑡 , 𝜇2 merupakan ekspektasi tingkat
pengembalian saham B per satuan waktu, serta 𝜎2 menyatakan deviasi standar dari
pengembalian saham B per satuan waktu.
Perubahan harga saham A dan saham B dapat dinyatakan dalam suatu
Persamaan Diferensial Stokastik, sehingga model pergerakan harga dari kedua
saham tersebut dapat dimodelkan sebagai Persamaan Diferensial Stokastik dua
Dimensi sebagai berikut :
𝑑𝑺𝑡 = (𝝁𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑾𝑡 )𝑺𝑡 𝑇
(2.11)
19
dengan
𝑺𝑡 =
𝜇1
𝜎11
𝑆𝑡1
2 , 𝝁 = 𝜇2 , 𝝈 = 𝜎21
𝑆𝑡
𝜎12
𝜎22 ,
dan
𝑾𝑡 =
𝑊1
.
𝑊2
Dalam
pemodelan ini, matriks 𝝈 disebut sebagai matriks varians-kovarians dengan 𝜎11
menyatakan varians dari saham A, 𝜎22 adalah varians dari saham B, dan 𝜎12 =
𝜎21 menyatakan kovarians antara saham A dan saham B. Nilai varians yang
dinyatakan dengan notasi 𝜎11 juga bisa dinotasikan dengan 𝜎12 .
Persamaan (2.11) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1 𝑆𝑡1 𝑑𝑡 + 𝜎11 𝑑𝑊1 + 𝜎12 𝑑𝑊2 𝑆𝑡1 ,
(2.12)
𝑑𝑆𝑡2 = 𝜇2 𝑆𝑡2 𝑑𝑡 + 𝜎21 𝑑𝑊1 + 𝜎22 𝑑𝑊2 𝑆𝑡2 .
(2.13)
Akan diuraikan penyelesain PDS dari persamaan (2.12).
Perhatikan bahwa persamaan (2.12) juga dapat dinyatakan dalam persamaan
berikut :
𝑑𝑆𝑡1
= 𝜇1 𝑑𝑡 + 𝜎11 𝑑𝑊1 + 𝜎12 𝑑𝑊2
𝑆𝑡1
𝑑𝑆𝑡1
= 𝜇1 𝑑𝑡 +
𝑆𝑡1
2
𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗 .
(2.14)
𝑗 =1
Selanjutnya akan dilakukan pengintegralan terhadap persamaan (2.14).
𝑡 𝑑𝑆 𝑡1
𝑡−1 𝑆𝑡1
=
𝑡
(𝜇 𝑑𝑡
𝑡−1 1
t
𝑑[ln St1 ]t−1
= 𝜇1 𝑡
𝑡
𝑡−1
+
+
2
𝑗 =1 𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗
𝑡
𝑡−1
)
2
𝑗 =1 𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗
20
1
ln 𝑆𝑡1 − ln 𝑆𝑡−1
= 𝜇1 𝑑𝑡 +
𝑡
𝑡−1
2
𝑗 =1 𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗 .
(2.15)
Karena pada ruas kanan terdapat unsur stokastik berupa Proses Wiener, maka
tidak dapat diselesaikan dengan integral hitung biasa. Untuk menyelesaikan
persamaan (2.14) digunakan penerapan dari Lemma 2.1 (Lemma Itô).
Misalkan diberikan 𝐺 suatu fungsi dari 𝑆𝑡1 yaitu 𝐺 = ln 𝑆𝑡1 , dengan 𝑆𝑡1 adalah
proses Itô yang didefinisikan sebagai persamaan (2.12), yaitu :
𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1 𝑆𝑡1 𝑑𝑡 + 𝜎11 𝑑𝑊1 + 𝜎12 𝑑𝑊2 𝑆𝑡1
2
𝑑𝑆𝑡1
=
𝜇1 𝑆𝑡1 𝑑𝑡
𝜎1𝑗 𝑆𝑡1 𝑑𝑊𝑗 .
+
𝑗 =1
Berdasarkan Lemma 2.1 (Lemma Itô), maka diperoleh :
𝑑(ln 𝑆𝑡1 )
𝑡
𝑡−1
1 1
𝜇1 1 +
𝑆𝑡 2
=
𝑑(ln
ln 𝑆𝑡1
−
𝑆𝑡1 ) 𝑡𝑡−1
1
ln 𝑆𝑡−1
2
𝜎1𝑗
𝑆𝑡1
1
− 1
𝑆𝑡
2
𝑗 =1
1
= 𝜇1 −
2
1
= 𝜇1 −
2
ln 𝑆𝑡1 =
2
1
ln 𝑆𝑡−1
2
𝜎1𝑗 𝑆𝑡1
𝑑𝑡 +
2
𝑗 =1
2
2
2
𝜎1𝑗
𝑑𝑡 +
𝑗 =1
𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗
𝑗 =1
2
2
𝜎1𝑗
2
𝑑𝑡 +
𝑗 =1
1
+ 𝜇1 −
2
𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗
𝑗 =1
2
2
𝜎1𝑗
𝑗 =1
2
𝑑𝑡 +
𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗
𝑗 =1
1
𝑑𝑊𝑗
𝑆𝑡1
21
1
𝑆𝑡1 = 𝑆𝑡−1
𝑒𝑥𝑝
1
𝜇1 −
2
2
2
𝜎1𝑗
2
𝑑𝑡 +
𝑗 =1
𝜎1𝑗 𝑑𝑊𝑗 .
(2.16)
𝑗 =1
Solusi (2.16) mengimplikasikan bahwa harga saham di periode mendatang
mengikuti model Gerak Brown Geometri Dua Dimensi sehingga harga saham
akan selalu bernilai positif. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh solusi serupa
untuk persamaan (2.13).
Persamaan Diferensial Stokastik Multidimensi di atas merupakan bentuk
PDS Multidimensi secara umum. Selain bentuk umum tersebut, PDS
Multidimensi memiliki bentuk lain yang disebut separable variable. Kasus
multidimensi yang dapat diterapkan dalam bentuk separable variable adalah jika
pada kasus tersebut dikatakan bahwa tidak terdapat korelasi antara variabel satu
dan lainnya atau dalam kasus pemodelan saham, dikatakan tidak terdapat korelasi
antara saham satu dan lainnya.
Jika dalam pemodelan dua harga saham di atas dikatakan tidak terdapat
korelasi antara saham satu dan lainnya, maka nilai kovarians saham adalah 0 dan
matriks varians-kovarians yang terbentuk adalah sebagai berikut:
𝝈=
𝜎12
0
0
.
𝜎22
Selanjutnya dengan menggunakan contoh serupa dengan pemodelan
pergerakan dua harga saham dalam bentuk PDS Multidimensi secara umum di
atas, akan dibentuk model PDS pergerakan harga dua saham dalam bentuk
22
separable variable dan penyelesaian eksak dari separable variable dari model
yang terbentuk.
Model pergerakan harga dua saham dapat dimodelkan sebagai Persamaan
Diferensial Stokastik Dua Dimensi sebagai berikut :
𝑑𝑺𝑡 = (𝝁𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑾𝑡 )𝑺𝑡 𝑇
dengan
𝑺𝑡 =
𝜇1
𝑆𝑡1
𝜎11
2 , 𝝁 = 𝜇2 , 𝝈 =
0
𝑆𝑡
0
,
𝜎22
(2.17)
dan
𝑾𝑡 =
𝑊1
.
𝑊2
Dalam
pemodelan ini, matriks 𝝈 disebut sebagai matriks varians-kovarians dengan 𝜎11
menyatakan varians dari saham A, 𝜎22 adalah varians dari saham B, dan 𝜎12 =
𝜎21 menyatakan kovarians antara saham A dan saham B dengan nilai kovarians
saham adalah 0 (tidak terdapat korelasi antar saham A dan B). Nilai varians yang
dinyatakan dengan notasi 𝜎11 juga bisa dinotasikan dengan 𝜎12 .
Persamaan (2.17) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1 𝑆𝑡1 𝑑𝑡 + 𝜎11 𝑑𝑊1 + 0 𝑑𝑊2 𝑆𝑡1
= 𝜇1 𝑆𝑡1 𝑑𝑡 + 𝜎11 𝑑𝑊1 𝑆𝑡1
= 𝑆𝑡1 𝜇1 𝑑𝑡 + 𝜎11 𝑑𝑊1 .
(2.18)
𝑑𝑆𝑡2 = 𝜇2 𝑆𝑡2 𝑑𝑡 + 0 𝑑𝑊1 + 𝜎22 𝑑𝑊2 𝑆𝑡1
= 𝜇2 𝑆𝑡2 𝑑𝑡 + 𝜎22 𝑑𝑊2 𝑆𝑡2
= 𝑆𝑡2 𝜇2 𝑑𝑡 + 𝜎22 𝑑𝑊2 .
(2.19)
23
Atau secara umum dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut :
𝑑𝑆𝑡𝑖 = 𝜇𝑖 𝑑𝑡 + 𝜎𝑖2 𝑑𝑊𝑖 𝑆𝑡𝑖
(2.20)
untuk 𝑖 = 1,2 dan 𝜎𝑖𝑖 = 𝜎𝑖2 .
Akan diuraikan penyelesaian PDS dari persamaan (2.18).
Perhatikan bahwa persamaan (2.18) juga dapat dinyatakan dalam persamaan
berikut :
𝑑𝑆𝑡1
2
1 = 𝜇1 𝑑𝑡 + 𝜎1 𝑑𝑊1 .
𝑆𝑡
(2.21)
Selanjutnya akan dilakukan pengintegralan terhadap persamaan (2.21).
𝑡
𝑡−1
𝑑𝑆𝑡1
=
𝑆𝑡1
𝑡
(𝜇1 𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑑𝑊1 )
𝑡−1
𝑡
𝑑 ln 𝑆𝑡1
𝑡
𝑡−1
= 𝜇1 𝑡
𝑡
𝑡−1
𝜎12 𝑑𝑊1
+
𝑡−1
𝑡
1
ln 𝑆𝑡1 − ln 𝑆𝑡−1
= 𝜇1 𝑑𝑡 +
𝜎12 𝑑𝑊1 .
(2.22)
𝑡−1
Karena pada ruas kanan terdapat unsur stokastik berupa Gerak Brown (Proses
Wiener), maka tidak dapat diselesaikan dengan integral hitung biasa. Untuk
menyelesaikan persamaan (2.21) digunakan penerapan dari Lemma 2.1 (Lemma
Itô).
24
Misalkan diberikan 𝐺 suatu fungsi dari 𝑆𝑡1 yaitu 𝐺 = ln 𝑆𝑡1 , dengan 𝑆𝑡1 adalah
proses Itô yang didefinisikan sebagai persamaan (2.18), yaitu :
𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1 𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑑𝑊1 𝑆𝑡1
𝑑𝑆𝑡1 = 𝜇1 𝑆𝑡1 𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑆𝑡1 𝑑𝑊1 .
Berdasarkan Lemma 2.1 (Lemma Itô), maka diperoleh :
𝑑 (ln 𝑆𝑡1 )
𝑡
𝑡−1
𝑑(ln 𝑆𝑡1 )
= 𝜇1 𝑆𝑡1
𝑡
𝑡−1
1 1 2
+ 𝜎
𝑆𝑡1 2 1
= 𝜇1 −
1
ln 𝑆𝑡1 − ln 𝑆𝑡−1
= 𝜇1 −
1 2
𝜎
2 1
1 2
𝜎
2 1
2
1
ln 𝑆𝑡1 = ln 𝑆𝑡−1
+ 𝜇1 −
1
𝑆𝑡1 = 𝑆𝑡−1
𝑒𝑥𝑝
𝜇1 −
2
2
𝑆𝑡1
2
−
1
𝑆𝑡1
2
𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑆𝑡1
1
𝑑𝑊1
𝑆𝑡1
𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑑𝑊1
𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑑𝑊1
1 2
𝜎
2 1
2
𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑑𝑊1
1 2
𝜎
2 1
2
𝑑𝑡 + 𝜎12 𝑑𝑊1 .
(2.23)
Solusi (2.23) mengimplikasikan bahwa harga saham pada periode mendatang
mengikuti model Gerak Brown Geometri sehingga harga saham akan selalu
bernilai positif. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh solusi serupa untuk
persamaan (2.19).
Pemodelan serupa dapat diterapkan pada pasar modal dengan 𝑛 ≥ 2
saham. Namun pada penelitian ini, model pergerakan harga saham yang akan
dibentuk ialah pergerakan dari tiga buah saham.
25
2.2.8 Run Test
Uji keacakan (Run Test) merupakan analisis uji yang digunakan untuk
melihat apakah observasi (sampel) diambil secara acak (random).
Run Test
dilakukan untuk data yang didapatkan secara berurutan. Suatu sampel dikatakan
acak jika antar suatu periode t dengan periode sebelumnya (𝑡 − 1) pada sampel
tidak saling berkorelasi. Oleh karena itu, uji ini juga dapat digunakan untuk
melihat apakah terdapat korelasi antar residual (masalah autokorelasi) yang dilihat
berdasarkan keacakan pada sampel.
Data yang digunakan pada Run Test dapat berbentuk kualitatif seperti data
laki-laki dan perempuan atau data kuantitatif. Pada dasarnya Run Test akan
membagi data menjadi dua kelompok. Pada data kuantitaif pembagian dua
kelompok data dapat dilakukan berdasarkan nilai median data, sehingga akan
diperoleh data yang yang lebih kecil dari nilai median dan data yang lebih besar
dari nilai median. Setiap kelompoknya akan direpresentasikan dalam suatu simbol
(kode). Sebuah deretan simbol (kode) yang sama disebut satu Run (R)
(Bagdonavicius et al., 2011).
Sebagi contoh, berikut adalah urutan jenis antrian tiket berdasarkan jenis
kelamin :
11222211221121
Simbol 1 menyatakan pria dan kode 2 menyatakan perempuan. Dengan demikian
deretan simbol di atas terdiri dari tujuh Run, yakni Run 1 terdiri dari dua simbol 1,
Run 2 terdiri dari empat simbol 2, Run 3 terdiri dari dua simbol 1, dan seterusnya
26
hingga Run 7. Diketahui pula bahwa terdapat tujuh data bersimbol 1 (𝑛1 = 7) dan
tujuh data bersimbol 2 (𝑛2 = 7). Adapun hipotesis pada uji ini ialah:
𝐻0 : Data pengamatan acak (random)
𝐻1 : Data pengamatan tidak acak (random)
Untuk sampel kecil (𝑛1 ≤ 20 atau 𝑛2 ≤ 20), maka tolak 𝐻0 , jika 𝑅 ≤
𝑅𝑏𝑎𝑤𝑎 ℎ atau 𝑅 ≥ 𝑅𝑎𝑡𝑎𝑠 dari tabel nilai kritis untuk R dengan 𝑛1 dan 𝑛2 (tabel F).
Jika nilai R berada diantara nilai 𝑅𝑏𝑎𝑤𝑎 ℎ dan 𝑅𝑎𝑡𝑎𝑠 , maka terima 𝐻0 .
Untuk sampel besar (𝑛1 > 20 atau 𝑛2 > 20), distribusi sampel R
mendekati distribusi normal Z . Jika nilai 𝑍ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝑍𝛼 , maka tolak 𝐻0 . Berikut
rumus yang digunakan untuk menghitung nilai 𝑍ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 pada Run Test :
𝑍ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =
𝑅 − (2𝑛1 𝑛2 )/(𝑛1 + 𝑛2 ) + 1
.
(2.24)
2𝑛1 𝑛2 (2𝑛1 𝑛2 − 𝑛1 − 𝑛2 )
𝑛1 + 𝑛2 2 (𝑛1 + 𝑛2 − 1)
2.2.9
Teori Portofolio Optimal
Investasi di pasar modal menjanjikan tingkat pengembalian (return) yang
tinggi, namun dengan semakin tinggi tingkat pengembalian yang dihasilkan maka
tingkat risikonya juga akan semakin besar. Oleh karena itu, hal yang harus
diperhatikan oleh investor adalah bagaimana investasi dapat menghasilkan tingkat
pengembalian optimal pada tingkat risiko yang minimal. Dalam memaksimalkan
tingkat pengembalian dan meminimalkan risiko, investor dapat melakukan
diversifikasi. Diversifikasi dapat diwujudkan dengan cara mengombinasikan
berbagai pilihan saham dalam investasinya (membentuk portofolio saham
optimal) (Husnan, 2003).
27
Konsep dasar yang dinyatakan dalam portofolio optimal adalah bagaimana
mengalokasikan sejumlah dana tertentu pada berbagai jenis investasi yang akan
menghasilkan keuntungan yang optimal (Bierman dan Smidt, 2007). Portofolio
optimal merupakan pilihan dari berbagai sekuritas dari portofolio efisien.
Portofolio yang efisien (efficient portfolio) didefinisikan sebagai portofolio yang
memberikan tingkat pengembalian terbesar (maksimum) dengan resiko tertentu
atau memberikan risiko terkecil dengan tingkat pengembalian tertentu.
Portofolio yang efisien ini dapat ditentukan dengan memilih tingkat
pengembalian tertentu dan kemudian meminimumkan risikonya atau menentukan
tingkat resiko tertentu dan kemudian memaksimumkan tingkat pengembaliannya.
Investor yang rasional akan memilih portofolio optimal ini karena merupakan
portofolio yang dibentuk dengan mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu
tingkat pengembalian atau risiko portofolio.
2.2.10 Teori Portofolio Markowitz
Pada awal 1950-an, seorang ekonom Amerika Serikat, Harry Max
Markowitz, mengembangkan suatu teori portofolio yang dikenal dengan Teori
Portofolio Markowitz. Teori Portofolio Markowitz menggunakan pengukuran
statistik dasar untuk mengembangkan suatu rencana portofolio, yaitu expected
return, standar deviasi, dan korelasi antar return. Teori ini memformulasikan
keberadaan unsur tingkat pengembalian (return) dan risiko dalam suatu investasi,
dengan
unsur
risiko
dapat
diminimalkan
melalui
diversivikasi
dan
28
mengombinasikan berbagai instrumen investasi ke dalam portofolio (Markowitz,
1959).
Teori Portofolio Markowitz didasarkan atas pendekatan mean (rata-rata)
dan
variance
(varians),
dengan
mean
merupakan
pengukuran
tingkat
pengembalian dan varian merupakan pengukuran tingkat risiko. Oleh karena itu,
teori ini disebut juga sebagai Mean – Variance Model. Pembentukan portofolio
optimal dengan pendekatan Teori Portofolio Markowitz didasarkan pada
preferensi investor terhadap return yang diharapkan dan risiko masing–masing
pilihan portofolio. Asumsi bahwa preferensi investor hanya didasarkan pada
tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dan risiko, secara
implisit menganggap bahwa investor mempunyai fungsi utilitas yang sama.
Penentuan portofolio optimal dengan menggunakan Teori Portofolio
Markowitz dilakukan dengan langkah – langkah sebagai berikut (Husnan, 2003):
1.
Menghitung return masing – masing saham. Return saham dapat dihitung
dengan menggunakan persamaan berikut:
𝑟𝑡 =
𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1
𝑆𝑡−1
(2.25)
dengan 𝑟𝑡 menyatakan return harga saham pada waktu 𝑡, 𝑆𝑡 menyatakan harga
saham pada waktu 𝑡, dan 𝑆𝑡−1 menyatakan harga saham pada waktu 𝑡 − 1.
2.
Menghitung expected return saham (𝜇). Nilai 𝜇 dapat dihitung dengan
menggunakan persamaan berikut:
𝑛
𝜇=
𝑡=1
𝑟𝑡
𝑛
(2.26)
29
dengan 𝑛 menyatakan waktu (periode) pengamatan.
3.
Menghitung risiko (varians dan deviasi standar saham). Ukuran penyebaran
ini dimaksudkan untuk mengetahui seberapa jauh kemungkinan nilai yang
akan diperoleh menyimpang dari nilai yang diharapkan. Varians saham ialah
nilai pangkat dua dari deviasi standar saham, sedangkan deviasi standar
saham direpresentasikan sebagai volatilitas saham. Varians dan deviasi
standar dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
𝑛
𝜎2 =
𝑡=1
4.
𝑟𝑡 − 𝜇
𝑛
𝑛
2
𝑑𝑎𝑛 𝜎 =
𝑡=1
𝑟𝑡 − 𝜇
𝑛
2
.
(2.27)
Menghitung kovarians antar dua saham dalam portofolio. Rumus yang
digunakan untuk menghitung kovarian adalah sebagai berikut:
𝜎𝑋𝑌
1
=
𝑛
𝑛
𝑋𝑡 − 𝜇𝑋 𝑌𝑡 − 𝜇𝑌
(2.28)
𝑡=1
dengan 𝜎𝑋𝑌 menyatakan kovarians antara saham 𝑋 dan saham 𝑌, 𝑋𝑡 , 𝑌𝑡
menyatakan return harga saham X dan return harga saham Y pada waktu t,
dan 𝜇𝑋 , 𝜇𝑌 menyatakan expected return saham X , expected return saham Y.
5.
Menghitung koefisien korelasi antar saham dalam portofolio. Besar kecilnya
koefisien korelasi akan berpengaruh terhadap risiko portofolio. Rumus yang
digunakan untuk menghitung koefisien korelasi antar saham adalah sebagai
berikut:
30
𝜌𝑋𝑌
1
𝑛
𝜎𝑋𝑌
=
=
𝜎𝑋 𝜎𝑌
𝑛
𝑡=1
𝑋𝑡 − 𝜇𝑋 𝑌𝑡 − 𝜇𝑌
𝑋𝑡 − 𝜇𝑋
𝑛
𝑛
𝑡=1
2
𝑛
𝑡=1
𝑌𝑡 − 𝜇𝑌
𝑛
2
(2.29)
dengan 𝜌𝑋𝑌 menyatakan koefisien korelasi antara saham X dan saham Y , 𝜎𝑋𝑌
menyatakan kovarians antara saham X dan saham Y dan 𝜎𝑋 , 𝜎𝑌 menyatakan
deviasi standar saham X, deviasi standar saham Y.
6.
Menghitung expected return dari portofolio saham. Untuk menghitung
tingkat pengembalian yang diharapkan dari portofolio (expected return
portofolio) digunakan persamaan berikut:
n
𝐸(𝑅𝑝 ) =
wi μi
(2.30)
i=1
dengan 𝐸(𝑅𝑝 ) menyatakan tingkat pengembalian portofolio , wi menyatakan
proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ke-i, dan μi menyatakan
tingkat pengembalian saham ke-i.
7. Menghitung risiko dari portofolio saham. Untung menghitung risiko
portofolio digunakan persamaan sebagai berikut:
𝑛
𝜎𝑝2
𝑛
𝑤𝑖2 𝜎𝑖2
=
𝑖=1
𝑛
+
𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝜎𝑖𝑗 .
(2.31)
𝑖=1 𝑗 =1
𝑖≠𝑗
Pada pembentukan portofolio optimal dengan model Markowitz,
portofolio optimal yang terbentuk merupakan pilihan dari bebagai sekuritas dari
portofolio efisien. Kumpulan portofolio efisien Markowitz terletak pada garis
batas (efficient frontier) serangkaian portofolio yang memiliki pengembalian
maksimal untuk tingkat pengembalian tertentu. Inti dari efficient frontier
31
Markowitz adalah bagaimana mengalokasikan dana ke masing–masing saham
dalam portofolio untuk mencari titik optimal portofolio. Alokasi dana yang
diberikan pada masing–masing saham akan berpengaruh terhadap tingkat
pengembalian saham dan tingkat risiko yang dihasilkan. Investor dapat melakukan
sejumlah kombinasi alokasi dana pada masing – masing saham untuk memperoleh
sejumlah portofolio yang diinginkan.
Berdasarkan sejumlah portofolio yang telah dibentuk, dapat ditentukan
portofolio optimal dengan cara optimasi sebagai berikut:
Minimumkan
:
𝑤𝑖2 𝜎𝑖2 +
Dengan batasan :
1.
𝑤𝑖 = 1
2.
𝑤𝑖 𝜇𝑖 = 𝐸(𝑅𝑝 )
3.
𝑤𝑖 ≥ 0,
𝑖 = 1,2,3
𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝜎𝑖𝑗
(2.32)