Determinan dan SPL - E

Determinan dan SPL
Determinan
DEFINISI
Permutasi suatu himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …., n} adalah
suatu susunan bilangan-bilangan bulat dalam suatu urutan tanpa
pengulangan
CONTOH
Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat
{1, 2, 3}
Permutasinya:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
CONTOH
Ada 24 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1,
2, 3, 4},
Permutasinya:
(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)
(2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1)
(3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 2, 1), (3, 4, 1, 2)
(4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 3, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 2)
Metode yang lebih mudah, yaitu dengan menggunakan pohon
permutasi:
Dari contoh diatas, ada 24 permuatasi dari {1, 2, 3, 4}.
Hasil tersebut merupakan perkalian dari posisi, yaitu posisi pertama
terdiri dari empat, posisi kedua terdiri dari tiga, posisi ketiga terdiri dari
dua dan posisi ke-empat hanya satu
atau dapat ditulis
permutasi - empat = 4.3.2.1 = 4! = 24
Untuk permutasi n bilangan yang berbeda, dapat dicari dengan cara
yang sama, yaitu
Pembalikan adalah suatu urutan bilangan besar mendahului bilangan
yang lebih kecil. Sedangkan jumlah pembalikan adalah banyaknya
bilangan yang lebih besar menadahuli bilangan yang lebih kecil.
Perhatikan contoh dibawah ini.
CONTOH
Hasil permutasi adalah (6, 1, 4, 3, 2, 5)
• bilangan 6, mendahului bilangan 1, 2,3,4, dan 5, sehingga ada 5
pembalikan.
• bilangan 5, tidak mendahului
• bilangan 4, mendahului 3,2,, sehingga ada 2 pembalikan
• bilangan 3, mendahului 2, sehingga ada satu pembalikan
• bilangan 2, tidak mendahului, begitu juga bilangan 1
Jadi jumlah pembalikannya adalah 5 + 2 + 1 = 8 pembalikan
DEFINISI
Jika dalam suatu permutasi terdapat jumlah pembalikan yang
genapmaka permutasi tersebut disebut permutasi genap, begitu juga
jika terjadi jumlah pembalikan yang ganjil maka disebut dengan
permutasi ganjil
CONTOH
Hasil permutasi tercantum dalam tabel berikut
Hasil kali dasar dari suatu matriks persegi yaitu perkalian dari semua
elemen matriks terhadap elemen matriks yang lain dengan mengikuti
aturan tertentu.
Jika matriks tersebut berukuran n x n, maka perkalian dasarnya terdiri
dari n elemen yaitu
a1_a2_ a3 … an_
Sedangkan banyaknya perkalian dasar adalah n! yaitu banyaknya
permutasi yang diisikan pada tanda setrip dan tanda positif atau negatif
tergantung dari hasil pembalikan, jika permutasi genap bertanda positif
dan sebaliknya permutasi ganjil betanda negatif.
DEFINISI
Pandang matriks A matriks persegi. Fungsi determinan A atau
biasanya disingkat dengan determinan A dinyatakan dengan
det(A) sebagai jumlahan hasil kali dasar beserta tanda dari A.
CONTOH
Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 2 x 2, misalkan
Matriks berukuran 3 x 3 :
CONTOH
Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 3 x 3, misalkan
Sehingga
Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 3 x 3, misalkan
SPL dengan Cramer
Gunakan aturan Carmer untuk menyelesaikan SPL berikut
x1 + x2 + x3 = 6
x1 + 2x1 + 3x3 = 14
x1 + 4x1 + 9x3 = 36
Karena ada tiga varibel bebas, maka ada matriks A, A1, A2 dan A3,
yaitu