Sesi 3.indd

X
matematika WAJIB
PERSAMAAN LINEAR NILAI MUTLAK SATU VARIABEL
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami definisi nilai mutlak.
2.
Memahami sifat-sifat nilai mutlak.
3.
Menyelesaikan persamaan linear nilai mutlak satu variabel.
4.
Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
persamaan linear nilai mutlak satu variabel.
A.
DEFINISI NILAI MUTLAK
Beberapa perhitungan suatu besaran terkadang menghasilkan hasil yang negatif,
sedangkan sifat besaran tersebut tidak mungkin negatif, seperti panjang, luas, volume,
dan lain-lain. Untuk mengatasi hal tersebut, dapat digunakan konsep nilai mutlak. Nilai
mutlak adalah bentuk operasi dalam matematika untuk mendapatkan nilai positif dari
suatu besaran. Nilai mutlak dari x dinotasikan |x|, dapat didefinisikan sebagai berikut.
 x, x ≥ 0
x
− x , x < 0
1
Kela
s
K-13
Contoh Soal 1
Tentukan nilai dari nilai mutlak berikut.
1.
|–4|
3.
2
3
|x –2|
4.
|1 – 2x|
2.
Pembahasan:
1.
Oleh karena –4 < 0 maka |–4| = –(–4) = 4.
2.
Oleh karena
3.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
2
2 2
> 0 maka
= .
3
3 3
x − 2 = x − 2, x − 2 ≥ 0
= x − 2, x ≥ 2
x − 2 = −( x − 2), x − 2 < 0
= 2 − x, x < 2
4.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
1− 2 x = 1− 2 x , 1− 2 x ≥ 0
= 1 − 2 x , − 2 x ≥ −1
1
= 1− 2 x , x ≤
2
1 − 2 x = −(1 − 2 x ), 1 − 2 x < 0
= 2 x − 1, − 2 x < −1
1
= 2 x − 1, x >
2
B.
SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK
Sifat-sifat nilai mutlak yaitu sebagai berikut.
1.
|a| ≥ 0
2.
|a| = 0 ↔ a = 0
3.
|ab| = |a||b|
4.
a
a
= ,b≠0
b
b
2
5.
|a| = |–a|
6.
|a ± b| = |b ± a|
7.
8.
C.
a = a2 |a|2 = a2
MENYELESAIKAN PERSAMAAN NILAI MUTLAK SATU VARIABEL
Persamaan nilai mutlak satu variabel adalah persamaan linear satu variabel yang
variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Penyelesaian persamaan nilai mutlak satu
variabel dapat dilakukan dengan menggunakan definisi dan sifat-sifat nilai mutlak yang
telah kamu pelajari sebelumnya. Perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal 2
Tentukan solusi dari persamaan |2x| = 6 untuk x ∈ R!
Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat |ab| = |a||b|, diperoleh:
2x = 6
2 x =6
2 x =6
x =3
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
x ≥ 0 → | x |= x = 3
x < 0 → | x |= −x = 3
x = −3
Jadi, solusi dari persamaan |2x| = 6 untuk x ∈ R adalah –3 dan 3.
Contoh Soal 3
Tentukan solusi dari persamaan
Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat
x
= 3 untuk x ∈ R!
4
a
a
= , diperoleh:
b
b
3
x
=3
4
x
4
=3
x
=3
4
x = 12
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
x ≥ 0 → | x |= x = 12
x < 0 → | x |= − x = 12
x = −12
Jadi, solusi dari persamaan
x
= 3 untuk x ∈ R adalah –12 dan 12.
4
Contoh Soal 4
Tentukan solusi dari persamaan |x – 4| = 6 untuk x ∈ R!
Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, bentuk |x – 4| dapat diubah menjadi:
x − 4 = x − 4, x − 4 ≥ 0
= x − 4, x ≥ 4
x − 4 = −( x − 4), x − 4 < 0
= 4 − x, x < 4
Akibatnya,
Untuk x ≥ 4, |x – 4| = 6
x–4=6
x = 10
Untuk x < 4, |x – 4| = 6
4–x=6
–x = 2
x = –2
Jadi, solusi dari persamaan |x – 4| = 6 untuk x ∈ R adalah –2 dan 10.
4
Super "Solusi Quipper"
Untuk bentuk |f(x)| = a → f(x) = ± a
Super "Solusi Quipper"
Solusi dari |x – 4| = 6 untuk x ∈ R adalah sebagai berikut.
 x − 4 = 6 → x = 10

x − 4 = ± 6
 x − 4 = −6 → x = −2

Contoh Soal 5
Tentukan solusi dari persamaan nilai mutlak |5 – 3y| = 7 untuk y ∈ R!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat nilai mutlak, didapat |5 – 3y| = |3y – 5|, maka:
|3y – 5| = 3y – 5, y ≥
5
3
|3y - 5| = 5 – 3y, y <
5
3
Untuk y ≥
3y – 5 = 7
5
:
3
3y = 12
y=4
Untuk y <
5 – 3y = 7
5
:
3
–3y = 2
2
3
2
Jadi, solusi dari persamaan nilai mutlak |5 – 3y| = 7 untuk y ∈ R adalah – dan 4.
3
y=–
5
Super "Solusi Quipper"
Solusi dari |3y – 5| = 7 untuk y ∈ R:

 3y − 5 = 7 → y = 4

3y − 5 = ± 7 

2
3 y − 5 = −7 → y = −
3

Contoh Soal 6
Tentukan solusi dari persamaan |2x +1| = |x – 3| untuk x ∈ R!
Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
1

 2 x +1, x ≥ − 2
2 x +1 
−2x − 1, x < − 1

2
 x − 3, x ≥ 3
x −3 
3 − x , x < 3
1
Untuk x < − :
2
–2x – 1 = 3 – x
–x = 4
x = –4
1
Untuk − ≤ x < 3:
2
2x + 1 = 3 – x
3x = 2
x=
2
3
Untuk x ≥ 3:
2x + 1 = x – 3
x = –4 (tidak memenuhi karena x ≥ 3)
6
 2
Jadi, solusi dari persamaan |2x +1| = |x – 3| untuk x ∈ R adalah −4,  .
 3
Super "Solusi Quipper"
Solusi dari persamaan |2x +1| = |x – 3| untuk x ∈ R:
2x + 1 = ±(x – 3)
❶ 2x + 1 = x – 3
x = –4
❷ 2x + 1 = 3 – x
3x = 2
2
x=
3
Contoh Soal 7
Tentukan solusi dari persamaan nilai mutlak
Pembahasan:
3x − 1 3
=
2− x
2
6 x − 2 = 6 − 3x
Dengan cara SUPER, diperoleh:
Super "Solusi Quipper"
3x − 1 3
=
2
2− x
6 x − 2 = 6 − 3x
6x – 2 = ± (6 – 3x)
❶ 6x – 2 = 6 – 3x
9x = 8
8
x=
9
Super "Solusi Quipper"
❷ 6x – 2 = 3x – 6
3x = –4
4
x=–
3
7
3x − 1 3
= , x ≠ 2!
2
2− x
Jadi, solusi dari persamaan nilai mutlak
8
3x − 1 3
4
= , x ≠ 2 adalah – dan .
9
2− x
2
3
Contoh Soal 8
Tentukan solusi dari persamaan nilai mutlak |x| + |x + 3| = 6 untuk x ∈ R!
Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
 x, x ≥ 0
x
− x , x < 0
 x + 3, x ≥ −3
x +3 
− x − 3, x < −3
Untuk x < –3:
–x + (–x – 3) = 6
–2x = 9
9
2
Untuk –3 ≤ x < 0:
x=–
–x + x + 3 = 6
3 = 6 (pernyataan salah)
Untuk x ≥ 0:
x+x+3=6
2x = 3
3
2
9
3
Jadi, solusi dari persamaan nilai mutlak |x| + |x + 3| = 6 untuk x ∈ R adalah – dan .
2
2
x=
Contoh Soal 9
Tentukan solusi dari |3x + 2| + |x – 3| = 6 – x untuk x ∈ R!
Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
2

 3 x + 2, x ≥ − 3
 x − 3, x ≥ 3
dan x − 3 = 
3x + 2 = 
3 − x , x < 3
−3 x − 2, x < − 2

3
8
Jika dibagi dalam garis bilangan, maka akan diperoleh:
|3x + 2|
–3x – 2
3x + 2
3x + 2
|x – 3|
3 – x
3 – x
x–3
–
2
3
3
x
2
Untuk daerah x < – :
3
3x + 2 + x − 3 = 6 − x
−3 x − 2 + ( 3 − x ) = 6 − x
−4 x +1= 6 − x
−3 x = 5
2
5
x = − {memenuhikarena ada pada domain x < − }
3
3
Untuk daerah –
2
≤ x < 3:
3
3x + 2 + x − 3 = 6 − x
3x + 2 + (3 − x ) = 6 − x
2x + 5 = 6 − x
3x = 1
2
1
x = {memenuhi karena ada pada domain − ≤ x < 3}
3
3
Untuk daerah x ≥ 3:
3x + 2 + x − 3 = 6 − x
3x + 2 + x − 3 = 6 − x
3 x + 2 + ( x − 3) = 6 − x
3 x + 2 + ( x − 3) = 6 − x
4 x − 1= 6 − x
4 x − 1= 6 − x
5x = 7
5x = 7
7
x = 7 {tidak memenuhi karena tidak ada pada domain x ≥ 3}
x = 5 {tidak memenuhi karena tidak ada pada domain x ≥ 3}
5
5
1
Jadi, solusi dari |3x + 2| + |x – 3| = 6 – x untuk x ∈ R adalah – dan .
3
3
9
Contoh Soal 10
Tentukan solusi dari persamaan nilai mutlak |3x + 1| + |2x –3| – |x – 5| = 17 untuk x ∈ R!
Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
1

 3 x +1, x ≥ − 3
3 x +1 = 
−3 x − 1, x < − 1

3
3

2 x − 3, x ≥ 2
2x - 3 = 
3 − 2 x , x < 3

2
x
−
5,
x
≥
5

x −5 = 
5 − x , x < 5
Jika dibagi dalam garis bilangan, maka akan diperoleh:
–3x – 1
3x + 1
3x + 1
3x + 1
3 – 2x 3 – 2x
2x – 3
2x – 3
5 – x
5 – x 5 – x x–5
1
– 3
3
2
5
x
1
Untuk x < – :
3
–3x – 1 + 3 – 2x – (5 – x) = 17
–4x – 3 = 17
–4x = 20
1
x = –5 (memenuhi karena ada pada domain x < – )
3
1
3
≤x< :
3
2
3x + 1 + 3 – 2x – (5 – x) = 17
Untuk –
2x – 1 = 17
2x = 18
x = 9 (tidak memenuhi karena tidak ada pada domain –
10
1
3
≤x< )
3
2
3
≤ x < 5:
2
3x + 1 + 2x – 3 – (5 – x) = 17
Untuk
6x – 7 = 17
6x = 24
x = 4 (memenuhi karena ada pada domain
3
≤ x < 5)
2
Untuk x ≥ 5:
3x + 1 + 2x – 3 – (x – 5) = 17
4x + 3 = 17
4x = 14
x=
7
(tidak memenuhi karena tidak ada pada domain x ≥ 5)
2
Jadi, solusi dari persamaan nilai mutlak |3x + 1| + |2x –3| – |x – 5| = 17 untuk x ∈ R adalah
–5 dan 4.
D. APLIKASI NILAI MUTLAK
a.
Jarak Titik ke Garis
Jarak titik (x0, y0) pada garis ax + by + c = 0 dapat dinyatakan sebagai berikut.
Jarak =
ax + by + c
a2 + b 2
Contoh Soal 11
Tentukan jarak titik (2, 1) ke garis 3x – 4y – 12 = 0!
Pembahasan
Misalkan (x0, y0) = (2, 1), maka jarak titik (2, 1) ke garis 3x – 4y – 12 = 0 adalah
Jarak =
=
3(2) − 4(1) − 12
32 + ( −4)2
−10
5
= −2
=2
11
Jadi, jarak titik (2, 1) ke garis 3x – 4y – 12 = 0 adalah 2 satuan panjang.
b.
Soal Selisih
Selisih dua besaran A dan B dapat dinyatakan dengan |A – B| atau |B – A|.
Contoh Soal 12
Temperatur di suatu kota sebelah utara pada bulan Januari diperkirakan 32oC. Namun
pada kenyataannya, temperaturnya dapat mencapai 5oC lebih tinggi atau lebih rendah.
Tentukan batas maksimum dan minimum temperatur di kota tersebut!
Pembahasan:
Misal T adalah temperatur di kota tersebut saat ini.
Oleh karena temperaturnya dapat mencapai 5oC lebih tinggi atau lebih rendah, maka
selisih temperaturnya adalah 5oC. Dengan demikian, diperoleh:
|T – 32| = 5
Dengan cara SUPER, didapatkan:
Super "Solusi Quipper"
❶ T − 32o C = 5o C
Tmaks = 37o C
o
o
❷ T − 32 C = −5 C
Tmin = 27o C
Jadi, batas maksimum dan minimum temperatur di kota tersebut berturut-turut adalah
37°C dan 27°C.
12