pendahuluan - IPB Repository

1
PENDAHULUAN
1.
Latar Belakang
Pada saat ini ternyata, banyak ilmuwan
memandang bahwa Fisika Non Linier telah
menjadi salah satu tonggak mendasar dalam
memahami alam semesta. Padahal awalnya
tidak ada yang menduga sifat-sifat non linier
alam akan menghasilkan berbagai fenomena
alam yang menarik. Para ilmuwan dahulu
terkadang lebih senang melakukan linearisasi
untuk permasalahan yang dihadapi dan selalu
mengabaikan efek nonlinieritas ketika
menganalisis suatu masalah sehingga tidak
ada yang menyadari bahwa efek nonlinieritas
akan memberikan keluaran yang jauh berbeda
jika tidak diabaikan.
Soliton sebagai salah satu bagian riset
fisika nonlinier sebenarnya sudah mulai
diteliti sejak seratus lima puluh tahun yang
lalu, tetapi baru sekitar empat puluh tahu
belakangan ini benar-benar dikaji secara
mendalam. Soliton sekarang telah diterima
secara luas sebagai sebuah basis struktural
untuk memandang dan memahami kelakuan
dinamis dari sistem-sistem nonlinier yang
begitu kompleks perumusannya.
Soliton adalah sebuah gelombang
nonlinier yang memiliki sifat-sifat berikut
yaitu terlokalisasi dan merambat tanpa
perubahan bentuk dan kecepatan serta stabil
melawan proses tumbukan dan akan
mempertahankan identitasnya (bentuk). Sifat
pertama merupakan kondisi gelombang
soliter yang dikenal dalam hidrodinamika
sejak abad ke-19. Sifat yang kedua berarti
gelombang tersebut memiliki kelakuan
sebagai partikel. Dalam fisika modern,
akhiran “-on” biasanya digunakan untuk
menunjukkan kelas partikel, misalnya fonon
dan foton. Sifat soliton yang tampak sebagai
partikel memang menjadi salah satu bahan
yang menarik untuk dikaji akhir-akhir ini.
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Gambar 1 Ilustrasi Soliton
Kisah penemuan soliton sangatlah
menarik dan penting untuk diketahui.
Pengamatan pertama kali yang tervisualisasi
dengan baik dilakukan pada 1844 oleh
ilmuwan Skotlandia, John Scott-Russel [1]. Ia
mengamati gerak sebuah perahu dari
kudanya. Ketika perahu tiba-tiba berhenti,
timbullah gelombang air dengan sebuah
puncak yang bergerak menjauh dari perahu
tersebut. Ia lalu mengamati gerak gelombang
air tersebut dan terus mengikutinya hingga
sekitar 2 mil. Gelombang air tersebut nyaris
tidak berubah bentuk juga kecepatannya
hingga nanti akhirnya menghilang dari
pandangan karena masuk ke dalam
terowongan air. Sehingga istilah “gelombang
soliter” kemudian diberikan oleh Russel
untuk gelombang air yang diamatinya itu.
Keberadaan dari intensitas optik nondifraksi yang terlokalisir dalam bentuk
“Bright dan Dark” soliton spasial pada media
nonlinier optik sebenarnya sudah dikaji dan
dipelajari dalam kurun waktu 2 dekade
sebelumnya[2]. Diantara yang telah dipelajari
ada sebuah persamaan yaitu persamaan
nonlinier Schroedinger (NLS), persamaan ini
telah dibuktikan oleh Zakharov dan Shabat
(Z-S) pada tahun 1972 melalui metode
hamburan balik (Inverse Scattering), dimana
persamaan tersebut memiliki solusi yang
jumlahnya tidak berhingga (Unlimited),
dalam pengertiannya bahwa setiap kondisi
awal yang diberikan pasti memilki bentuk
tertutupnya yang eksak.
Salah satu contoh perluasan lebih lanjut
dari persamaan NLS untuk kasus perambatan
gelombang cahaya dalam medium pandu
gelombang planar dengan struktur periodik
dalam arah rambat diberikan oleh persamaan
yang akan dibahas pada skripsi ini yaitu
persamaan Soliton spasial sistem Optik
nonlinier yang bersifat periodik.
Dalam perkembangan Fisika Nonlinier
juga dikenal permasalahan tentang analisa
sistem dinamik. Dalam membahas dinamika
suatu sistem fisis dapat digambarkan oleh
suatu set persamaan diferensial biasa yang
merupakan fungsi satu variabel. Konsep
mengenai ruang fasa, titik kritis, serta
stabilitasnya merupakan masalah yang
fundamental dalam dinamika sistem[3]. Dan
pada skripsi kali ini akan diterangkan
stabilitas dan perilaku hasil solusi soliton
sistem optik nonlinier periodik menggunakan
pendekatan sistem dinamik yang dipadu
dengan pemahaman tentang integral dan
fungsi eliptikal.
2
Berawal dari apa yang telah disampaikan
sebelumnya, pada skripsi kali ini akan
dipelajari bagaimana perilaku trayektori
solusi soliton sistem optik periodik melalui
pendekatan analisis sistem dinamik yang
nantinya akan dipadu dengan fungsi
Jacobian Eliptik, sehingga nantinya bisa
dianalisa perilaku disekitar aliran trayektori.
2.
Tujuan Penelitian
Untuk mengetahui perilaku solusi soliton
periodik dengan cara menggunakan analisis
sistem dianamik, dimana dengan mengetahui
pola perilakunya, maka nantinya akan bisa
diketahui perilaku disekitar trayektori yang
ditunjukan oleh ketiga buah fungsi Jacobian
Eliptik untuk persamaan soliton periodik.
TINJAUAN PUSTAKA
1.
Soliton Dalam Fisika
Untuk mengetahui soliton secara fisis ada
beberapa pertanyaan yang mungkin sampai
sekarang menggelayuti pikiran banyak orang
yaitu bagaimana cara mengetahui sifat soliton
secara analitik? Mengapa soliton dapat
berkelakuan stabil layaknya sebuah partikel?
Dan apakah soliton hanya sebuah fenomena
spesifik dari persamaan Kdv saja?. Untuk
menjawab ketiga pertanyaan tersebut akan
dipaparkan secara bertahap beberapa langkah
tambahan setelah Zabusky dan Kruskal
melakukan perhitungan numeriknya.
Tinjau persamaan Kdv yang telah
mengalami penskalaan pada variabel bebas
dan variabel terikatnya:
ut − 6u u x + u xxx = 0 (1)
dari teori gelombang dapat diketahui bahwa
suku kedua dan ketiga masing-masing
menyatakan efek nonlinier dan dispersi. Suku
nonlinier menyebabkan sebuah perubahan
kecuraman pada bentuk gelombangnya,
sementara suku dispersi menyebabkan
gelombang dapat menyebar. “Kompetisi”
antara kedua suku tersebut menghasilkan
bentuk gelombang stasioner yang dikenal
sebagai gelombang soliter. Alasan lain
mengapa setiap gelombang soliter bersifat
stabil yaitu sifat persamaan Kdv yang
memilki besaran konservatif.
Sifat dinamis dari sistem dibatasi oleh
hukum kekekalan dari besaran tersebut.
Besaran yang konservatif dapat menjamin
parameter yang mengkarakterisasi soliton
untuk tidak bergantung pada waktu sehingga
soliton dapat bersifat stabil. Berdasarkan
pada tak hingga banyaknya besaran
konservatif (variabel medan memiliki derajat
kebebasan tak hingga), maka soliton dapat
eksis dalam jumlah yang sembarang.
Sifat-sifat dasar soliton dapat diinvestigasi
dengan metode hamburan balik (inverse
Scattering method). Secara ringkas solusi
persamaan Kdv yang diselesaikan dengan
metode hamburan balik yaitu:
∂
K ( x, x; t ) ∂x
dengan nilai fungsi dari:
u ( x, t ) = 2
K ( x , y; t ) + F ( x + y; t ) +
(2)
x
∫ K ( x, z; t ) F ( z + y; t ) dz = 0
(3)
∞
b ( k , t ) −ikx 1
F ( x; t ) = ∫ c ( t ) e +
∫ a ( k , 0) e
2π −∞
n =1
(4)
dimana persamaan (3) merupakan persamaan
Gelvan-Levitan. Secara khusus ketika
koefisien refleksi r ( k , 0 ) = b ( k , 0 ) / a ( k , 0 )
−∞
N
2
n
n0 x
bernilai nol (potensial tanpa refleksi, maka
barulah dapat dipecahkan persamaan Gelvan
Levitan dan nantinya dapat diperoleh solusi
N-soliton yang terkait dengan N keadaan
terikat. Dari pernyataan eksak solusi Nsoliton, dapat dibuktikan bahwa soliton stabil
melawan tumbukan sesamanya. Tumbukan
tersebut akan selalu dalam keadaan
berpasangan dan hanya menginduksi proses
pergeseran posisi dari soliton[4].
Permasalahan nilai awal dari persamaan
Kdv akhirnya telah dapat diselesaikan pada
masa itu. Dan lima tahun berikutnya (1972)
dengan jalan mengembangkan metode
hamburan balik, Zakharov dan Shabat [5]
berhasil memecahkan persamaan nonlinier
Schroedinger (NLS) yang berbentuk:
2
iψ t +ψ xx + 2 ψ ψ = 0 (5)
dan kemudian seorang ilmuwan bernama
Wadati memecahkan persamaan Kdv yang
termodifikasi [6,7], berikut persamaannya:
ut + 6u 2u x + u xxx = 0 (6)
dan akhirnya sampai sekarang lebih dari
seratus persamaan soliton yang telah dikenal.
2.
Analisa Sistem Dinamik.
Dalam membahas dinamika suatu sistem
fisis dapat digambarkan oleh suatu set
persamaan diferensial biasa yang merupakan
fungsi satu buah variabel, dan dalam hal ini
persamaan diferensial biasa yang digunakan
bersifat autonomous[3], yakni suatu set
persamaan yang di dalamnya tidak terdapat
hubungan ketergantungan terhadap variabel
secara eksplisit. Berikut PDB orde satu yang
dimaksud: