Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model

I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan (financial market) yang
terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market). Pada pasar
uang terjadi jual beli aset keuangan dalam jangka pendek, sedangkan untuk pasar
modal terjadi jual beli aset keuangan untuk jangka panjang. Pasar modal terdiri atas
pasar obligasi, pasar saham dan pasar untuk derivatif (Bodie et al. 2006).
Hull (2003) menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang
nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa produk
derivatif antara lain: kontrak berjangka (future contract), kontrak forward dan
kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli atau
menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrak
forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa datang
pada harga yang disepakati.
Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua
pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset
tertentu pada harga dan periode waktu tertentu (Niwiga 2005). Terdapat dua jenis
opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan
hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada
harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Sedangkan opsi put
memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah
tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Untuk
bisa menggunakan hak tersebut maka pemegang opsi wajib menyerahkan sejumlah
uang kepada penerbit opsi yang disebut sebagai premi opsi. Penggunaan hak untuk
menjual atau membeli aset dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi.
Berdasarkan waktu eksekusi maka terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan
opsi Amerika. Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo,
sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan jatuh
tempo (Hull 2003).
Pada awal pembukaan perdagangan opsi, harga opsi ditentukan oleh penerbit
opsi dengan mempertimbangkan nilai kewajaran dari harga saham dan kemungkinan-
2
kemungkinan adanya kenaikan serta penurunan harga saham. Sehingga tidak ada
formula yang baku terhadap penentuan harga opsi.
Pada tahun 1973, Fisher Black, Myron Scholes (Hull 2003) berhasil
menentukan solusi analitik dari suatu persamaan Black-Scholes-Merton. Solusi
analitik tersebut dikenal sebagai formula Black-Scholes. Formula Black-Scholes itu
menyatakan
harga opsi call Eropa. Sedangkan Harga opsi put Eropa dapat
ditentukan melalui kesetaraan antara put dan call yang sering disebut sebagai put call
parity.
Di samping adanya penelitian untuk menentukan solusi analitik harga opsi,
juga dikembangkan pendekatan numerik untuk penentuan harga opsi. Hull dan White
(1990) menyatakan bahwa dua pendekatan numerik yang sering dilakukan untuk
menentukan nilai suatu derivatif adalah dengan menggunakan metode beda hingga
dan metode lattice (binomial dan trinomial).
Metode binomial untuk kali pertama dikembangkan secara simultan oleh Cox,
Ross dan Rubinstein (1979) atau CRR serta Rendlemen dan Bartter (1979) dengan
mengasumsikan bahwa dalam suatu interval waktu, harga saham akan naik sebesar
faktor u (up) dan akan turun sebesar faktor d (down) karena dipengaruhi oleh faktor
suku bunga. Selanjutnya CRR mempertimbangkan bahwa pergerakan harga saham
juga dipengaruhi faktor volatilitas. Jarrow dan Rudd (1983) (JR) memperbaiki model
binomial pada penentuan penaksiran. Sedangkan Tian (1993) menggunakan model
binomial dan trinomial pada penilaian dari opsi eksotik. Penilaian dan perbaikan
metode binomial senantiasa dilakukan oleh para ahli dari waktu ke waktu.
Metode binomial pada umumnya dipergunakan untuk menentukan nilai opsi
terutama yang tidak bisa diturunkan secara analitik, di antaranya opsi Amerika.
Metode binomial terdiri atas beberapa model yaitu model CRR, JR, Tian, PeizerPratt 1 (PP1), dan Peizer-Pratt 2 (PP2). Dengan aplikasi Teorema Limit Pusat (CLT=
Central Limit Theorem) dibuktikan bahwa model-model tersebut konvergen ke
solusi Black-Scholes ketika tahapan waktu antar perdagangan mendekati nol. Untuk
mengetahui
numeriknya.
sifat-sifat
kekonvergenannya,
maka
perlu
dilihat
pendekatan
3
Berdasarkan uraian di atas, maka perlu
kekonvergenannya, serta perlu dibandingkan
diketahui perilaku dan kecepatan
akurasi tiap-tiap model terhadap
harga opsi Eropa.
1.2
Rumusan Masalah
Dari latar belakang tersebut di atas, rumusan masalah dapat dituliskan sebagai
berikut:
1 Model-model binomial untuk penentuan harga opsi akan konvergen ke solusi
Black-Scholes. Bagaimana tingkah laku dan kecepatan kekonvergenan dari tiaptiap model binomial tersebut?
2 Bagaimana perbandingan akurasi dari tiap-tiap model binomial tersebut bila
dibuktikan secara numerik?
1.3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah
sebagai berikut:
1 Mengeksplorasi perilaku dan kecepatan kekonvergenan dari
model-model
binomial.
2 Membandingkan akurasi beberapa model binomial untuk menentukan harga opsi
Eropa secara numerik.
1.4
Ruang Lingkup Penelitian
Ruang lingkup penelitian ini adalah sebagai berikut:
1 Model penentuan harga opsi Black-Scholes untuk opsi tipe Eropa.
2 Model penentuan harga opsi dengan metode binomial.
3 Pola kekonvergenan dari metode binomial.
4 Kecepatan serta derajat kekonvergenan model binomial.
5 Akurasi model-model binomial yang diukur dengan besarnya RMS.
1.5
Sistematika Pembahasan
Dalam memahami masalah kekonvergenan model binomial untuk menentukan
harga opsi, dibahas beberapa konsep dasar yaitu: pengertian opsi dan hal-hal yang
berhubungan dengan opsi, persamaan Black-Scholes untuk harga opsi, pengertian
4
model binomial, penurunan formula metode binomial dengan suku bunga diskret dan
kontinu, yang akan dibahas pada bagian dua tesis ini.
Pada bagian tiga akan dipaparkan tentang perbandingan perkembangan harga
saham
dengan waktu kontinu (solusi Black-Scholes) dan perkembangan harga
saham dengan waktu diskret (binomial). Tiga model binomial, yaitu model CRR,
JR, dan Tian akan dibandingkan dalam perilaku kekonvergenan dan kecepatan
kekonvergenan. Beberapa definisi dan teorema tentang
kekonvergenan, derajat
kekonvergenan dan kecepatan kekonvergenan akan ditunjukkan pada bagian ini.
Selanjutnya akan dipaparkan model binomial lain untuk memperbaiki sifat
kekonvergenan.
Pada bagian keempat akan dilakukan perhitungan harga opsi dengan lima macam
model, serta akan dibandingkan akurasi
harga opsi yang diperoleh dari masing-
masing model dengan cara menghitung error-relatif. Pada bagian kelima akan
dituliskan tentang kesimpulan dan saran.