Sesi 4.indd

X
matematika PEMINATAN
SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami definisi dan solusi sistem persamaan kuadrat-kuadrat.
2.
Menentukan solusi sistem persamaan kuadrat-kuadrat, baik dengan teknik substitusi
aljabar atau teknik grafik.
3.
Menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sistem persamaan kuadrat-kuadrat.
A.
DEFINISI SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT
Sistem persamaan kuadrat-kuadrat adalah sistem persamaan yang terdiri dari dua buah
persamaan kuadrat. Bentuk umum sistem persamaan kuadrat-kuadrat adalah sebagai
berikut.
 y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0

2
 y = px + qx + r , p ≠ 0
dengan x dan y adalah variabel-variabel dalam sistem.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh sistem persamaan kuadrat-kuadrat berikut.
1.
 y = 2 x 2 − x − 1

2
 y = x − 1
2.
2
h = 2t + t − 4
2
t + t − h = 9
1
Kela
s
K13
B.
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT
Solusi sistem persamaan kuadrat-kuadrat adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi kedua
persamaan kuadrat dalam sistem.
(x0, y0) adalah solusi dari sistem persamaan y = ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r, jika:
 y 0 = ax 0 2 + bx 0 + c

2
 y 0 = px 0 + qx 0 + r
Banyaknya solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat adalah maksimal dua solusi.
Contoh Soal 1
Jika (2, 3) adalah salah satu solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat berikut, maka
nilai b dan c adalah ....
 y = x 2 + bx + 2

2
 y = c − x
Pembahasan:
Diketahui:
 y = x 2 + bx + 2

2
 y = c − x
(2, 3) adalah salah satu solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat tersebut. Ini berarti:
1. 22 + b ( 2 ) + 2 = 3
⇔ 2b + 6 = 3
⇔ 2b = −3
3
⇔b = −
2
2. c − ( 2 ) = 3
2
⇔c = 7
Jadi, nilai b = −
3
dan c = 7.
2
2
Contoh Soal 2
Jika (1, 4) adalah salah satu solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat berikut, maka
nilai 3m + n adalah ....
 x 2 + mx + n − 3 − y = 0

2
 y = x + 2mx + n
Pembahasan:
Diketahui:
2
 x + mx + n − 3 − y = 0

2
 y = x + 2mx + n
(1, 4) adalah salah satu solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat tersebut. Ini berarti:
1.
(1)
2
+ m (1) + n − 3 − 4 = 0
⇔m+n−6 = 0
⇔ m + n = 6 ... (1)
2.
(1)
2
+ 2m (1) + n = 4
⇔ 2m + n = 3 ... ( 2 )
Eliminasi variabel n pada persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh:
2m + n = 3
m + n = 6−
m = −3
Substitusikan nilai m ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
–3 + n = 6
n=9
Jadi, nilai dari 3m + n = 3(–3) + 9 = 0.
Untuk menentukan solusi sistem persamaan kuadrat-kuadrat, ada dua teknik yang dapat
digunakan, yaitu teknik subtitusi aljabar dan teknik grafik.
3
C.
TEKNIK SUBTITUSI ALJABAR
Langkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan kuadrat-kuadrat dengan teknik
substitusi aljabar adalah sebagai berikut.
1.
Ubah salah satu persamaan ke dalam bentuk umumnya.
2.
Substitusikan nilai y yang diperoleh dari langkah pertama ke persamaan lainnya.
3.
Sederhanakan persamaan pada langkah kedua hingga terbentuk persamaan
kuadrat.
4.
Gunakan teknik faktorisasi atau rumus kuadratis untuk menentukan nilai variabel
pada persamaan kuadrat.
5.
Substitusikan balik nilai variabel yang diperoleh ke salah satu persamaan untuk
menentukan nilai variabel lainnya.
Jika yang ditanyakan hanya banyaknya solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat,
maka setelah langkah ketiga, tentukan nilai diskriminannya. Banyaknya solusi sistem
persamaan kuadrat-kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya adalah sebagai berikut.
1.
Jika D > 0, maka sistem memiliki dua solusi (x, y).
2.
Jika D = 0, maka sistem hanya memiliki satu solusi (x, y).
3.
Jika D < 0, maka sistem tidak memiliki solusi real.
Contoh Soal 3
Solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat berikut adalah ....
 y = x 2
 2
 x + 2 x − 4 − y = 0
Pembahasan:
Misal:
y = x2
.... (1)
x + 2x – 4 – y = 0 ... (2)
2
Oleh karena persamaan (1) sudah dalam bentuk umumnya, maka substitusikan persamaan
tersebut ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
x2 + 2x − 4 − ( x2 ) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x=2
4
Substitusikan nilai x = 2 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
y = (2)2
⇔y=4
Jadi, solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat tersebut adalah (2, 4).
Contoh Soal 4
Jika (x0, y0) dan (x1, y1) dengan x0 < x1 adalah solusi dari sistem persamaan berikut, maka
nilai x1 – x0 – y1 + y0 adalah ....
2
 y = x − 6 x − 5

2
 y = 2 x − x +1
Pembahasan:
Misal:
y = x2 – 6x – 5 ... (1)
y = 2x2 – x + 1 ... (2)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
2 x 2 − x +1= x 2 − 6 x − 5
⇔ x2 + 5x + 6 = 0
⇔ ( x + 3 )( x + 2 ) = 0
⇔ x = −3 atau x = −2
Oleh karena x 0 < x1 , maka x 0 = −3 dan x1 = −2.
Dengan menggunakan persamaan (1), diperoleh:
1. Untuk x 0 = −3
y 0 = ( −3 ) − 6 ( −3 ) − 5
2
⇔ y 0 = 9 +18 − 5
⇔ y 0 = 22
2. Untuk x1 = −2
y1 = ( −2 ) − 6 ( −2 ) − 5
2
⇔ y1 = 4 +12 − 5
⇔ y1 = 11
5
Dengan demikian, diperoleh:
x1 – x0 – y1 + y0 = –2 – (–3) –11 + 22 = 12
Jadi, nilai x1 – x0 – y1 + y0 adalah 12.
Contoh Soal 5
Solusi dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat berikut adalah ....
 y = 2 x 2

2
 y = x + 4 x +1
Pembahasan:
Misal:
y = 2x2
... (1)
y = x2 + 4x + 1
... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
2x2 = x2 + 4x + 1
⇔ x2 – 4x – 1 = 0 ... (3)
Oleh karena persamaan (3) tidak bisa difaktorkan, maka gunakan rumus kuadratis.
Dari x2 – 4x – 1 = 0, diketahui nilai a = 1, b = –4, dan c = –1. Dengan demikian, diperoleh:
x1,2 =
=
−b ± b2 − 4 ac
2a
4±
( −4 )
2
− 4 (1)( −1)
2 (1)
4 ± 16 + 4
2
4 ± 20
=
2
4±2 5
=
2
=2± 5
=
6
Misal x1 = 2 + 5 dan x 2 = 2 − 5.
Substitusikan nilai x1 dan x2 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
1.
1. Untuk
Untuk xx11 =
=2
2+
+ 5
5
(
yy1 =
2 2+ 5
1 = 2 2+ 5
(
)
2
2
⇔
⇔ yy11 =
=2
2 9
9+
+4
4 5
5
)
⇔
⇔ yy11 =
= 18
18 +
+8
8 5
5
− 5
2.
5
2. Untuk
Untuk xx 22 =
=2
2−
(
yy 2 =
− 5
=2
2 2
2−
5
2
(
)
2
2
⇔ yy 2 =
−4
=2
2 9
9−
4 5
5
⇔
2
)
⇔ yy 2 =
−8
= 18
18 −
8 5
5
⇔
2
(
)
(
)
Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah 2 + 5,18 + 8 5 dan 2 − 5,18 − 8 5 .
Contoh Soal 6
 1 25 
Jika  ,  adalah satu-satunya solusi sistem persamaan berikut, maka nilai b dan c
2 4 
berturut-turut adalah ....
 y = 3 x 2 − bx + c

2
 y = − x + 3 x + 5
Pembahasan:
Misal:
y = 3x2 – bx + c
... (1)
y = –x2 + 3x + 5
... (2)
7
 1 25 
Oleh karena  ,  adalah solusi sistem persamaan tersebut, maka:
2 4 
2
25
 1
 1
3  − b   + c =
4
2
2
3 b
25
⇔ − +c =
4 2
4
⇔ 3 − 2b + 4 c = 25
⇔ −2b + 4 c = 22
⇔ −b + 2c = 11
⇔ b = 2c − 11 ...(3)
Selanjutnya, substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
3 x 2 − bx + c = − x 2 + 3 x + 5
⇔ 4 x 2 − (b + 3) x + c − 5 = 0
Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui nilai A = 4, B = –(b + 3), dan C = c – 5.
Oleh karena sistem persamaan kuadrat-kuadrat tersebut hanya memiliki satu solusi, maka:
D=0
⇔ B 2 − 4 AC = 0
⇔ ( − ( b + 3 ) ) − 4 ( 4 )( c − 5 ) = 0
2
⇔ b2 + 6b + 9 − 16c + 80 = 0
⇔ b2 + 6b − 16c + 89 = 0 ... ( 4 )
Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
( 2c − 11)
2
+ 6 ( 2c − 11) − 16c + 89 = 0
⇔ 4 c − 44 c +121+12c − 66 − 16c + 89 = 0
2
⇔ 4 c 2 − 48c +144 = 0
⇔ c 2 − 12c + 36 = 0
⇔ (c − 6) = 0
2
⇔c=6
Substitusikan nilai c = 6 ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
b = 2c – 11
⇔ b = 2(6) – 11
⇔ b = 12 – 11
⇔b=1
Jadi, nilai b dan c berturut-turut adalah 1 dan 6.
8
Contoh Soal 7
Jika sistem persamaan kuadrat-kuadrat berikut ini memiliki dua solusi yang berbeda,
maka nilai a adalah ....
2
 y = x − 6 x − 8

2
 y = 2 x − ax − 4
Pembahasan:
Misal:
y = x2 – 6x – 8
... (1)
y = 2x – ax – 4
... (2)
2
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
2x2 – ax – 4 = x2 – 6x – 8
⇔ x2 – (a – 6) x + 4 = 0
Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui nilai A = 1, B = –(a – 6), dan C = 4.
Agar sistem persamaan kuadrat-kuadrat memiliki dua solusi yang berbeda, maka:
D>0
⇔ B 2 − 4 AC > 0
⇔ ( − ( a − 6 ) ) − 4 (1)( 4 ) > 0
2
⇔ ( a − 6 ) − 42 > 0
2
⇔ ( a − 6 + 4 )( a − 6 − 4 ) > 0
⇔ ( a − 2 )( a − 10 ) > 0
Titik pembuat nol a = 2 dan a = 10.
Tempatkan titik pembuat nol dalam garis bilangan. Kemudian, tentukan tanda daerahnya.
Oleh karena tanda pertidaksamaannya “>”, maka bulatannya kosong dan titik pembuat
nol tidak termasuk solusi.
+
–
+
2
> a
10
Jadi, agar sistem persamaan tersebut memiliki dua solusi yang berbeda, maka nilai a
haruslah bilangan real yang memenuhi a < 2 atau a > 10.
9
D. TEKNIK GRAFIK
Salah satu cara lain untuk menentukan solusi sistem persamaan kuadrat-kuadrat adalah
dengan teknik grafik. Cara ini sangat efektif jika digunakan untuk sistem persamaan dengan
bilangan-bilangan yang berbentuk desimal atau terlalu besar. Dengan menggunakan
software seperti “Graphing Calculator”, menentukan solusi sistem persamaan menjadi
sangat mudah, yaitu hanya dengan melihat koordinat titik potong kedua grafik.
Contoh Soal 8
Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode grafik!
 y = 0, 001x 2 − 8

2
 y = x − 0, 002 x − 10,111
Pembahasan:
Misal:
y = 0,001x2 – 8
... (1)
y = x2 – 0,002x – 10,111 ... (2)
Jika kedua persamaan tersebut digambarkan dalam satu bidang koordinat, maka akan
diperoleh gambar seperti berikut.
y
–3
–2 –1
persamaan 2
O
–1
x
1 2 3
–2
–3
solusi 1
–4
–5
–6
–7
–8
solusi 2
persamaan 1
Jika diperbesar, solusi 1 memiliki koordinat (-1,452; -7,998) dan solusi 2 memiliki koordinat
(1,454; -7,998).
Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah (-1,452; -7,998) dan (1,454; -7,998).
10