Sebaran asimtotik penduga turunan pertama dan

 LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam
kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat
diprediksi secara tepat tetapi kita dapat
mengetahui semua kemungkinan hasil yang
muncul disebut percobaan acak.
Definisi 1 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan
dinotasikan dengan Ω .
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari
ruang contoh Ω .
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika
irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
(φ) .
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan
yang
anggotanya terdiri dari himpunan bagian dari
ruang contoh Ω , yang memenuhi syarat
berikut :
1.
.
, maka A c
.
2. Jika A
∞
3.
Jika A 1 , A 2,…
, maka
U
Ai
.
i =1
(Hogg et al. 2005)
Definisi 5 (Ukuran Peluang)
Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu
percobaan dan
adalah medan- σ pada Ω .
Suatu fungsi Ρ yang memetakan unsur-unsur
ke himpunan bilangan nyata , atau Ρ :
→
disebut ukuran peluang jika :
1. Ρ tak negatif, yaitu untuk setiap A ∈ ,
Ρ( A) ≥ 0 .
2.
Ρ bersifat aditif tak hingga, yaitu jika
dengan A ∩ A = φ, j ≠ k,
A 1, A 2,…
k
j
( )
∞
∞
n=1
n=1
maka Ρ U An = ∑ Ρ( A ) .
3.
Ρ bernorma satu, yaitu
n
Ρ(Ω) = 1.
Pasangan (Ω, ,Ρ) disebut ruang ukuran
peluang atau ruang probabilitas.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 6 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas
jika :
Ρ( A ∩ B) = Ρ( A)Ρ(B) .
{
Secara umum, himpunan kejadian Ai ; i ∈ I
}
dikatakan saling bebas jika :
( )
Ρ I Ai = ∏ Ρ( Ai )
i∈J
i∈J
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 7 (Peubah acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu
percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi
pada Ω yang memetakan setiap unsur
ω ∈Ω ke satu dan hanya satu bilangan real
X (ω) disebut peubah acak.
Ruang dari
bilangan real
X
adalah himpunan bagian
= { x : x = X (ω), ω ∈ Ω} .
(Hogg et al. 2005)
Suatu peubah acak dilambangkan dengan
huruf kapital, misalnya X , Y , Z ,sedangkan
nilai dari peubah acak dilambangkan dengan
huruf kecil seperti x, y, z .
Definisi 8 (Peubah acak diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika semua
himpunan nilai dari peubah acak tersebut
merupakan himpunan tercacah.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Fungsi sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan
ruang . Misalkan kejadian A = (−∞, x] ∈
, maka peluang dari kejadian A adalah
Ρ( X ≤ x ) = FX ( x ) .
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari
peubah acak X .
(Hogg et al. 2005)
3
Definisi 10 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak
0,1 yang
diskret X adalah fungsi :
diberikan oleh :
p X ( x) = Ρ( X = x) .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 11 (Peubah acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak
Poisson dengan parameter λ , λ > 0, jika
fungsi massa peluangnya diberikan oleh
k
−λ λ
p X (k ) = e
,
k!
untuk k = 0,1, ...
(Ross 2007)
Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson)
Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang
saling bebas dan memiliki sebaran Poisson
dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2 ,
maka X + Y adalah peubah acak bersebaran
Poisson dengan parameter λ1 + λ2 .
(Taylor and Karlin 1984)
Bukti : Lihat Lampiran 1.
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka
momen ke- k atau mk dari peubah acak X
adalah
k
mk = Ε( X ).
(Hogg et al. 2005)
Definisi 15 (Momen pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka
momen pusat ke- k atau σ k dari peubah acak
X adalah
k
σ k = Ε(( X − Ε( X )) ).
(Hogg et al. 2005)
Nilai harapan dari peubah acak X juga
merupakan momen pertama dari X . Nilai
harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah
acak X dengan nilai harapannya disebut
ragam dari X . Ragam merupakan momen
pusat ke-2 dari peubah acak X .
Definisi 16 (Fungsi Indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi
indikator dari A adalah suatu fungsi
Ι Α : Ω → [0,1] , yang diberikan oleh :
Ι Α (ω ) =
Momen Peubah Acak
Definisi 12 (Nilai harapan)
Misalkan X adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang p X ( x ) . Nilai
harapan dari X , dinotasikan dengan Ε( X ) ,
adalah
Ε ( X ) = ∑ xp X ( x ),
∀x
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 13 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang p X ( x ) dan
Ε( X ) . Ragam dari X ,
Var( X ) atau σ X2 ,
dinotasikan dengan
nilai harapan
adalah
2
2
2
σ X = Ε (( X − Ε ( X )) ) = ∑ ( x − Ε ( X )) p X ( x ) .
x
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Momen ke-k)
{
1, jika ω ∈ A
0, jika ω ∉ A
.
(Grimmet and Stirzaker 1992)
Dengan fungsi indikator
menyatakan hal berikut :
Ε(Ι A ) = Ρ( A) .
kita
dapat
Kekonvergenan Peubah Acak
Definisi 17 (Kekonvergenan dalam
sebaran)
, ,…,
adalah peubah acak
Misalkan
pada suatu ruang peluang Ω, , P . Suatu
dikatakan konvergen
barisan peubah acak
dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis
, untuk
∞, jika
x
P
P
untuk
∞, untuk semua titik x dimana
P
adalah
fungsi sebaran
kontinu.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Penduga
4
Definisi 18 (Statistik)
Statistik merupakan suatu fungsi dari satu
atau lebih peubah acak yang tidak tergantung
pada satu atau beberapa parameter yang
nilainya tidak diketahui.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 19 (Penduga)
Misalkan X1, X2,..., Xn adalah contoh acak.
Suatu
statistik
U ( X1, X2 ,..., X n )
yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter
Definisi 23 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X = {X (t ), t ∈T} adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang state X (t ).
(Ross 2007)
Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks
T,
X (t) adalah suatu peubah acak. Kita
sering menginterpretasikan t sebagai waktu
g(θ ) , dikatakan sebagai penduga (estimator)
bagi g(θ ) , dilambangkan dengan gˆ (θ ) .
dan X (t) sebagai state (keadaan) dari proses
pada waktu t .
X1 = x1, X2 = x2,..., Xn = xn ,
maka nilai U ( x1, x2 ,..., xn ) disebut sebagai
nilai dugaan (estimator) bagi g(θ ) .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 24 (Proses stokastik waktu
kontinu)
Suatu proses stokastik X disebut proses
stokastik dengan waktu kontinu jika T
adalah suatu interval.
(Ross 2007)
Definisi 20 (Penduga Tak Bias)
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya
Definisi 25 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
Bilamana
nilai
sama dengan parameter
g(θ ) , yaitu
Ε[U(X1, X2,..., Xn)] = g(θ) , disebut penduga
tak bias bagi g(θ ) . Apabila sebaliknya,
penduga di atas disebut berbias.
lim Ε[U(X1, X2,..., Xn)] = g(θ) ,
(ii) Jika
n→∞
maka U( X1, X2,..., Xn) disebut sebagai
penduga tak bias asimtotik bagi g(θ ) .
(Hogg et al. 2005)
Definsi 21 (Penduga konsisten)
Suatu penduga yang konvergen
dalam
peluang ke parameter g(θ ) , disebut penduga
konsisten bagi g(θ ) .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 22 (MSE suatu penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu
U bagi parameter
penduga
didefinisikan sebagai
g(θ )
2
2
MSE(U ) = Ε(U − g(θ )) = (Bias(U )) + Var(U )
dengan Bias(U) = ΕU − g(θ ) .
Proses Poisson Periodik
{X (t), t ∈T} disebut memiliki inkremen
bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ... < tn ,
peubah
acak
X (t1) − X (t0 ), X (t2 ) − X (t1),..., X (tn ) − X (tn−1)
adalah bebas.
(Ross 2007)
Berdasarkan definisi di atas, maka suatu
proses stokastik dengan waktu kontinu X
disebut memiliki inkremen bebas jika proses
berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah
bebas.
Definisi 26 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
X = {X (t ), t ∈T}
disebut
memiliki
inkremen stasioner
jika X(t +s) −X(t)
memiliki sebaran yang sama untuk semua
nilai t .
(Ross 2007)
Berdasarkan definisi di atas, maka suatu
proses stokastik dengan waktu kontinu X
disebut memiliki inkremen stasioner jika
sebaran dari perubahan nilai antara
sembarang dua titik hanya tergantung pada
jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak
tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.
5
Definisi 27 (Proses Pencacahan)
Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut
proses pencacahan jika N(t) menyatakan
banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai
waktu t .
(Ross 2007)
Dari definisi tersebut, maka suatu proses
pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat berikut :
N(t) ≥ 0 untuk semua t ∈[0, ∞) .
(ii) Nilai N(t) adalah integer.
( ) dengan
(iii) Jika s < t maka N(s) ≤Nt
(i)
s, t ∈ [0, ∞).
(iv) Untuk s < t maka N(t) − N(s) sama
dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada interval (s, t ] .
Definisi 28 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0}
disebut proses Poisson dengan laju λ , λ > 0 ,
jika dipenuhi tiga syarat berikut :
(i) N (0) = 0 .
(ii) Proses tersebut memiliki inkremen
bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang
interval waktu dengan panjang t ,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai
harapan λt . Sehingga untuk semua
t, s > 0 ,
− λt
k
(λ t )
e
,
Ρ ( N (t + s ) − N ( s ) = k ) =
k!
k = 0,1, ...
(Ross 2007)
Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses
Poisson memiliki inkremen yang stasioner.
Dari syarat ini juga dapat diperoleh :
Ε( N (t )) = λ t .
Definisi 29 (Proses Poisson tak homogen)
Suatu proses Poisson {N(t), t ≥ 0} disebut
proses Poisson tak homogen jika laju pada
sembarang waktu t merupakan fungsi tak
konstan dari t yaitu λ (t ) .
Definisi 30 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak
homogen X dengan fungsi intensitas λ
pada titik
fungsi λ di s .
adalah
λ(s)
yaitu nilai
(Cressie 1993)
Definisi 31 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi λ disebut periodik jika
λ(s + kτ ) = λ(s)
untuk semua
dan
. Konstanta
terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas
disebut periode dari fungsi λ tersebut.
(Browder 1996)
Definisi 32 (Proses Poisson Periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses
Poisson
tak homogen yang
fungsi
intensitasnya adalah fungsi periodik.
(Mangku 2001)
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 33 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan
lokal jika untuk sembarang himpunan Borel
terbatas B kita peroleh
μ ( B) = ∫B λ ( s)ds < ∞.
(Dudley 1989)
ο (.) )
Ο(.) dan ο(.)
Definisi 34 ( Ο(.) dan
Simbol-simbol
merupakan
cara untuk membandingkan besarnya dua
fungsi u( x) dan v(x) dengan x menuju
suatu limit L .
(i) Notasi u(x) =Ο(v(x)), x →L, menyatakan
bahwa
u ( x)
v( x)
terbatas, untuk x → L .
(ii) Notasi u(x) =ο(v(x)), x →L, menyatakan
bahwa
u ( x)
v( x)
→ 0 , untuk x → L .
(Serfling 1980)
Definisi 35 (Titik Lebesque)
Kita katakan s adalah titik Lebesque dari
jika berlaku
λ
1 h
lim
∫ λ ( s + x) − λ ( s ) dx = 0.
h→0 2h −h
(Wheeden and Zygmund 1977)
Lema 2 (Formula Young dari Teorema
Taylor)
6
Misalkan g memiliki turunan ke- n yang
berhingga pada suatu titik x . Maka
n g ( k ) ( x)
n
k
g ( y ) = g ( x) + ∑
( y − x) + ο y − x ,
k =1 k !
(
)
untuk y → x .
(Serfling 1980)
Bukti : Lihat Serfling 1980.
Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai
harapan
μ dan ragam σ 2 , maka untuk
setiap k > 0
(
)
Ρ X −μ ≥ k ≤
σ
k
2
2 .
(Ross 2007)
Bukti : Lihat Lampiran 2.
Lema 4 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan 1, 2,..., n adalah suatu contoh
acak dari suatu distribusi yang mempunyai
nilai-harapan µ dan variance σ2. Maka peubah
acak
Yn = ∑1n X i − nμ / nσ = n ( X n − μ ) / σ
konvergen ke sebaran normal dengan nilaiharapan nol dan ragam 1. (Hogg and Craig 2005)
(
)
Bukti : Lihat Hogg and Craig 2005