Matematika dan Statistika -

ISSN 1411-6669
Volume 12, Juni 2012
MAJALAH ILMIAH
Matematika dan Statistika
DITERBITKAN OLEH:

FMIPA – UNIVERSITAS JEMBER
Estimasi Parameter pada Standar....(14 – 23)
ESTIMASI PARAMETER PADA STANDAR CAPM
DENGAN METODE GMM
(Parameter Estimation in The CAPM Standard With GMM Method)
May Rauli Simamora, I Made Tirta, Dian Anggraeni
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
Abstact:
The main purpose of the regression analysis is to estimate the unknown
parameters in model. Method of moments, least squares, and maximum
likelihood are the methods frequently used to predict the parameters.
However, the violation assumptions of a linear model such as
heteroscedasticity and autocorrelation in the data encourage the development
of that three methods. GMM (Generalized Method of Moments) is one of the
popular estimation method in finance. This method only depends on the use of
the moment conditions. GMM is defined as the estimation method which
minimize the integrated quadratic form of moment conditions using weight
matrix. This research aims to estimate the parameters using GMM method and
applied in modern finance theory, CAPM (Capital Assets Pricing Model)
standard. Application of GMM method performed at 8 companies in the
mining sector in Indonesia. The estimator result is the systematic risk of each
company that is on the SML (Security Market Line) in order to obtain the
companies that can implement the CAPM standard.
Keywords: Generalized Method of Moments, Capital Assets Pricing Model.
I. PENDAHULUAN
Setiap investor pada umumnya menginginkan keuntungan dalam investasi yang
dilakukan. Model penetapan harga aset modal (Capital Assets Pricing Model-CAPM)
merupakan teori keuangan modern yang dapat mengukur hubungan resiko yang akan
diperoleh berdasarkan keuntungan yang diharapkan. Sektor industri pertambangan
merupakan sektor yang menarik untuk dikaji karena melonjaknya harga saham
pertambangan yang dipengaruhi kenaikan harga minyak mentah dunia. Dalam setiap
investasi terdapat ketidakpastian yang sering disebut juga resiko. Resiko yang menjadi
acuan para investor adalah resiko sistematis. Semakin tinggi resiko sistematis maka
semakin tinggi keuntungan yang diharapkan. Resiko sistematis inilah yang akan diduga
dengan metode pendugaan parameter.
Metode alternatif yang saat ini populer pada bidang keuangan adalah
metode GMM (Generalized Method of Moments). Metode ini dapat mengatasi berbagai
pelanggaran asumsi yang sering terjadi pada data dan hanya bergantung pada kondisi
momen yang digunakan. Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah
14
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika
Volume 12, Juni 2012
pendugaan parameter dengan metode GMM dan penerapannya pada standard CAPM
sehingga diperoleh perusahaan yang cukup wajar untuk investasi. Tujuan yang ingin
dicapai dari tulisan ini adalah menduga parameter dengan metode GMM dan menerapkan
metode GMM pada standard CAPM. Manfaat dari tulisan ini adalah memberikan
pengetahuan baru tentang metode alternatif GMM dan dapat dijadikan pertimbangan para
investor saat akan melakukan investasi di perusahaan-perusahaan pertambangan yang
terdaftar di Bursa Efek Indonesia
II. HASIL DAN PEMBAHASAN
2.1 Kajian Pustaka
Data deret berkala (time series) adalah sebuah kumpulan pengamatan terhadap
nilai-nilai sebuah variabel dari beberapa periode waktu yang berbeda. Dalam berbagai
studi empiris asumsi dasar yang digunakan pada data deret berkala adalah kestasioneran.
Secara sederhana, stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan
pada data.
Autokorelasi dan Heteroskedastisitas
Salah satu pelanggaran pada data deret berkala yang dapat mengakibatkan
estimator yang dihasilkan tidak lagi efisien adalah autokorelasi. Autokorelasi adalah
kondisi dimana galat pada periode waktu sekarang berkorelasi dengan galat pada periode
waktu sebelumnya. Pendeteksian autokorelasi pada data dilakukan dengan uji Durbin
Watson dengan formula
=
=2 (
1)
=1
pada periode kesebelumnya),
2
(waktu sekarang),
2
, dimana
1=
= nilai Durbin-Watson,
residual periode ke-
= residual
1 (satu periode
adalah banyaknya data.
Heteroskedastisitas adalah suatu kondisi dimana data mempunyai varians galat
yang tidak konstan atau tidak seragam. Varians disekitar garis regresi secara sederhana
tidak sama. Secara simbolis ditulis sebagai (
dari
2)
=
2
, yang berarti varians kondisional
tidak lagi konstan. Uji Breusch-Pagan sering digunakan untuk pendeteksian
heteroskedastisitas dengan formula
banyaknya pengamatan,
=
adalah mean, dan
1
=1 (
)2
=1 (
)2
adalah nilai
dimana
adalah
yang diestimasi dengan
least squares.
15
Estimasi Parameter pada Standar....(14 – 23)
Teori CAPM (Capital Assets Pricing Model)
Teori CAPM didasarkan pada teori portofolio Markowitz yang diukur sebagai
gambaran bahwa premi resiko yang tepat terhadap suatu aset yang mengasumsikan bahwa
pasar sekuritas adalah ideal. Tolak ukur yang dijadikan dalam memberikan evaluasi atas
kinerja investasi adalah garis SML yang menggambarkan semakin tinggi resiko sistematis
( 1 ) maka semakin tinggi keuntungan yang diharapkan oleh investor. Aset yang diberi
harga “wajar” adalah aset yang tingkat resiko sistematisnya berada pada garis SML, tidak
terlalu murah atau terlalu mahal.
Gambar 1. Garis Pasar Sekuritas (Security market line-SML)
Salah satu teori CAPM yang mengindikasikan tidak adanya keuntungan lain yang
diharapkan selain keuntungan yang diakibatkan dari perubahan pasar adalah standard
CAPM. Resiko lain ini disimbolkan dengan
persamaan yang digunakan adalah
0.
Pada standard CAPM
=
0
+
1
adalah return suatu saham individu pada periode waktu ke- ,
portofolio pasar,
dan
+
0
dianggap nol,
, dimana
adalah return
adalah tingkat suku bunga bebas resiko jangka pendek pemerintah
adalah vektor komponen kesalahan.
Estimasi GMM (Generalized Method of Moments)
Dalam analisis regresi, estimasi parameter merupakan tujuan penting untuk
mendapatkan estimator yang dalam CAPM merupakan resiko sistematis. Metode GMM
merupakan salah satu metode yang dapat mengatasi kondisi data dengan keberadaan
autokorelasi dan heteroskedastisitas. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Hansen
pada tahun 1982 yang didefinisikan sebagai metode estimasi parameter yang
meminimalkan bentuk kuadrat dari kondisi momen sampel yang terboboti matriks
secara simbolis dapat dituliskan sebagai:
16
,
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika
Volume 12, Juni 2012
= arg min ( )
dimana
( )=
( )
( ) dan
=
1
=1
(
adalah vektor variabel
instrumen). Untuk mendapatkan estimator yang optimal (tidak bias, konsisten dan efisien)
maka yang perlu dilakukan adalah mengestimasi matriks pembobot
dengan
memperhatikan sifat-sifat pada data. Apabila data secara kondisional mengalami
heteroskedastik maka diperlukan matriks HC (Heteroscedasticity Consistent) yang
nilainya minimum. Apabila data independen dan secara kondisional heteroskedastik maka
diperlukan matriks HAC (Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent) juga yang
minimum. Dalam menghitung matriks HAC kernel yang digunakan adalah kernel
Bartlett. Fungsi kernel yang cukup sederhana adalah Bartlett Kernel, dimana:
1
=
,
untuk
>0
untuk
0
=
0,
Estimasi GMM pada CAPM
Pada CAPM Chausse (2009) mengimplikasikan kondisi momen yang digunakan
1
( )=
adalah
. Jika standard CAPM berlaku, maka hanya terdapat
satu parameter yang diestimasi untuk setiap persamaan sehingga disebut model
teridentifikasi berlebih (Overidentified). Untuk mengetahui kevalidan model terhadap
data, perlu dilakukan uji identifikasi yaitu uji Jacobian yang telah dijelaskan oleh Nielsen
(2006). Uji Jacobian atau sering disebut uji J-Statistik ini mengacu pada nilai fungsi
tujuan estimasi GMM yang dievaluasi menggunakan estimator GMM efisien yaitu:
=
Artinya,
( ).
(jumlah pengamatan) dikali dengan bentuk kuadrat dari fungsi momen sampel,
dimana
dari
=
. Jika
adalah estimator efisien GMM dari
=
maka
= 0, dan jika
kondisi momen (dimensi vektor
(dimensi vektor
( )) dan
>
dan
maka
adalah estimasi konsisten
> 0, dimana
adalah jumlah
adalah jumlah parameter yang diestimasi
). Dalam kondisi keteraturan dan jika kondisi momen
( )=
adalah valid, maka untuk
2(
).
dimana adalah nilai uji J-statistik (Zivot, 2008).
17
Estimasi Parameter pada Standar....(14 – 23)
Jika
[
]
0 maka J-Statistik akan relatif besar untuk suatu variabel acak
Chi-Square dengan derajat bebas
dan hipotesis sebagai berikut.
0
: [
] = 0 (kondisi momen yang digunakan valid)
1
: [
]
0 (kondisi momen yang digunakan tidak valid).
Daerah penerimaan: Jika <
=
maka terima
2
,
0.
dan nilai P pada uji Jacobian tidak signifikan dengan
Hal ini berarti kondisi momen yang digunakan valid,
sehingga model dengan variabel instrumen dan kondisi momen yang digunakan sesuai
dengan data.
2.2 Analisis Data dan Hasil Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam analisis data dengan menggunakan
metode GMM dan bantuan program R 2.12.2 adalah sebagai berikut:
1. terlebih dahulu data diplot untuk melihat kestasioneran data deret waktu
2. pengujian data:
a. uji Autokorelasi dengan uji Durbin-Watson;
Pada penelitian ini akan diuji delapan kali sesuai jumlah perusahaan.
b. uji Heteroskedastik dengan uji Breush-Pagan.
3. penghitungan matriks varians HC dan HAC dengan kernel Bartlett.
4. pendugaan parameter:
a. pendugaan parameter dengan menggunakan matriks identitas sebagai pembobot;
b. pendugaan parameter dengan menggunakan matriks optimal yang telah dihitung
sebelumnya sampai parameter optimal.
5. pengujian standard CAPM terhadap data dilakukan dengan dua langkah, yaitu:
a. pengujian data untuk mendapatkan nilai intersepnya;
b. jika
0
= 0, maka digunakan model tanpa intersep.
Data yang digunakan dalam tulisan ini adalah data sekunder return saham 8
perusahaan manufaktur yang bergerak di sektor Pertambangan di Indonesia dari tanggal
28 April 2009 sampai 11 Mei 2011 sebanyak 500 data dan return pasar yang diambil dari
http://finance.yahoo.com/ dan data tingkat resiko bebas diambil dari http://www.bi.go.id/ .
Ringkasan data dengan menggunakan program R 2.12.2 dapat dilihat pada Tabel 1.
18
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika
Volume 12, Juni 2012
Tabel 1 Ringkasan data CAPM
No.
Variabel
1.
ADRO
Min.
-0,0800
Median
0,0012
Max
0,1282
Mean
0,0028
2.
ANTM
-0,1155
0,0000
0,1994
0,0015
3.
ELSA
-0,0895
0,0000
0,1911
0,0005
4.
INCO
-0,1172
0,0000
0,2013
0,0013
5.
ITMG
-0,0891
0,0000
0,1327
0,0019
6.
MEDC
-0,0833
0,0000
0,1496
0,0005
7.
8.
9.
10.
PTBA
TINS
Rm
Rf
-0,0711
-0,0913
-0,0421
0,0650
0,0000
0,0000
0,0021
0,0650
0,1466
0,1440
0,0726
0,0750
0,0021
0,0019
0,0018
0,0661
Identifikasi pertama yang dilakukan adalah melihat stasioneritas dari data dengan
memeriksa pola data time series. Hasil plot time series dari data dapat dilihat pada
Gambar 2.
Gambar 2. Plot data CAPM
Dari plot time series pada Gambar 2 dijelaskan bahwa secara keseluruhan data
cenderung konstan yang berarti data bersifat stasioner. Namun, perlu adanya pemeriksaan
terhadap galat pada data yang dilakukan dengan uji dua arah Durbin-Watson, yaitu:
19
Estimasi Parameter pada Standar....(14 – 23)
Tabel 2. Nilai uji Durbin-Watson dan nilai P
Kode
Saham
1.
ADRO
Nilai DW
(Durbin-Watson)
1,9170
2.
ANTM
1,8864
0,1014
Tidak ada autokorelasi
3.
ELSA
1,2731
<0,0022e-14
Autokorelasi positif
4.
INCO
1,6369
0,2373e-4
Autokorelasi positif
5.
ITMG
0,1546
<0,0022e-14
Autokorelasi positif
6.
MEDC
0,8860
<0,0022e-14
Autokorelasi positif
7.
PTBA
1,3040
0,3149e-14
Autokorelasi positif
8.
TINS
0,0449
<0,0022e-14
Autokorelasi positif
No.
Nilai P
Keterangan
0,1584
Tidak ada autokorelasi
Selanjutnya, Uji Breuch-Pagan dengan langkah awal yaitu mengestimasi model
dengan LS (least square) sehingga diperoleh nilai regresinya diperoleh hasil pada Tabel
3.
Tabel 3 Hasil pendeteksian heteroskedastisitas dengan uji Breuch-Pagan
1.
Kode
Saham
ADRO
FStatistik
1,1440
2.
ANTM
3.
No.
P-Value
Keterangan
0,3195
Terima
5,4710
0,0045
Tolak
0
ELSA
4,9630
0,0073
Tolak
0
4.
INCO
7,0200
0,0009
Tolak
0
5.
ITMG
23,3200
0,2080e-09
Tolak
0
6.
MEDC
1,3090
0,2710
Terima
7.
PTBA
4,2030
0,0155
Tolak
0
8.
TINS
8,8190
0,0002
Tolak
0
0
0
Berdasarkan pada diatas, dengan taraf signifikansi 5% terhadap 8 kode saham
terdapat 2 perusahaan yaitu ADRO dan MEDC dengan nilai P lebih dari 5% yang berarti
bahwa
0
diterima. Varians disekitar garis regresi secara sederhana adalah sama antar
nilai variabel bebasnya ( ) atau return portofolio.
Saham yang berdistribusi independen dan identik dimiliki ADRO sehingga
matriks pembobot yang digunakan adalah matriks identitas. Untuk data yang hanya
terdapat kondisi heteroskedastisitas dimiliki oleh saham ANTM sehingga matriks
pembobot yang digunakan adalah matriks HC (Heteroskedasticity Consistent). Hasil
estimasi matriks HC untuk perusahaan ANTM dapat dilihat pada Tabel 4.
20
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika
Volume 12, Juni 2012
Tabel 4. Hasil penghitungan varians HC (Heteroskedasticity Consistent )
Kode Saham
ANTM
Varians
2,5199e-04
Varians HC pada Tabel 4 sebesar 2,5199e-04 yang mendekati nilai nol atau kecil
sehingga estimator yang akan diperoleh sudah konsisten. Selanjutnya, kondisi dimana
data tidak independen dan heteroskedastik dimiliki oleh perusahaan ELSA, INCO, ITMG,
MEDC, PTBA dan TINS, matriks pembobot yang dipakai adalah matriks HAC
(Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent). Maka langkah yang diperlukan
adalah mengestimasi matriks pembobot dengan kernel Bartlett. Hasil yang diperoleh
dalam Tabel 5.
Tabel 5 Hasil perhitungan kernel dan varians HAC
Kode Saham
ELSA
INCO
ITMG
MEDC
PTBA
TINS
Kernel Bartlett
0,0010
0,0004
0,0666
0,0014
0,0004
0,7111
Bandwith chosen
1,8745
0,7819
3,0234
2,8855
2,2868
0,3957
Varians HAC
0,0013
0,0004
0,0536
0,0022
0,0005
0,6938
Dari Tabel 5 diperoleh bahwa varians HAC dan nilai kernel mendekati nol, yang
artinya varians minimum.
Dalam standard CAPM, intersep
parameter
0
0
diharapkan sama dengan nol. Hasil estimasi
dapat dilihat pada Tabel 6.
Tabel 6. Hasil estimasi parameter
1.
Kode
Saham
ADRO
0,0167
Kesalahan
Baku
5,5876e-03
2.
ANTM
0,0361
No.
Nilai t
Nilai P
2,9880
2,8050e-03
6,1644e-03
5,9072
3,4806e-09
6,3868e-01#
3.
ELSA
0,0037
7,8317e-03
4,6955
4.
INCO
0,0293
6,4747e-03
4,5266
5,9949e-06
5.
ITMG
-0,0704
6,3530e-03
-1,1093
1,3530e-28
6.
MEDC
0,0031
5,9426e-03
5,1776
6,0463e-01#
7.
PTBA
0,0101
4,9075e-03
2,0527
4,0102e-02
5,3035e-03
6,4257
1,3127e-10
8.
TINS
0,0341
Dari Tabel 6 dapat dilihat yang ditandai (#) memiliki nilai P lebih besar dari
tingkat signifikansi
= 0,05 yaitu pada saham ELSA sebesar 6,3868e-01 dan MEDC
sebesar 6,0463e-01, sehingga terima
0
bahwa intersep
0
tidak signifikan (dianggap
nol). Hal ini mengindikasikan standard CAPM berlaku pada perusahaan ELSA dan
21
Estimasi Parameter pada Standar....(14 – 23)
MEDC. Untuk itu perlu dilakukan estimasi terhadap kedua saham tersebut dengan model
tanpa intersep sehingga diperoleh nilai
1.
Hasil pendugaan parameter terhadap model
tanpa intersep dapat dilihat pada Tabel 7.
Tabel 7. Hasil estimasi parameter dengan model tanpa intersep
No.
Koefisien
( )
1,0217
1,0221
Kode Saham
1.
2.
ELSA
MEDC
Kesalahan Baku
0,0173
0,0158
Nilai t
Nilai P
58,9847
64,5953
0,0000
0,0000
1. untuk uji kesesuaian model, hasil yang diperoleh dengan menggunakan program R
dengan nilai uji-J sebesar 0,3323 dan nilai P sebesar 0,8469 (dapat dilihat pada
lampiran E)
2. angka sudah merupakan pembulatan sampai empat tempat desimal.
Nilai P untuk uji Jacobian tidak signifikan yang berarti terima
0
dimana dapat
disimpulkan bahwa kondisi momen yang digunakan valid dan model sudah sesuai dengan
data. Model untuk perusahaan dengan ELSA dan MEDC adalah (
1,0217
+
dan
(
)
= 1,0221
)
+
.
=
Resiko
sistematis yang dimiliki kedua perusahaan tersebut dapat digambarkan berada pada garis
pasar sekuritasnya pada Gambar 3.
Gambar 3. Garis pasar sekuritas (SML) dengan
0
=0
Berdasarkan Gambar 3, diperoleh bahwa perusahaan ELSA dan MEDC memiliki
keuntungan yang diharapkan hampir sama. Dengan demikian, sesuai implikasi dari
standard CAPM dimana saham ELSA dan MEDC berada disekitar garis pasar sekuritas
(SML) sehingga harga saham tersebut dapat dikatakan tidak terlalu mahal atau terlalu
murah
22
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika
Volume 12, Juni 2012
III. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang diperoleh maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. berdasarkan hasil identifikasi terhadap data, secara keseluruhan menunjukkan bahwa
metode GMM dapat dipergunakan terhadap data dengan kondisi ada autokorelasi
maupun heteroskedastisitas;
2. dari hasil estimasi dengan metode GMM diperoleh intersep
0
tidak signifikan
(dianggap nol) untuk perusahaan ELSA dan MEDC. Dengan demikian, standard
CAPM dapat diterapkan pada perusahaan ELSA dan MEDC untuk sampel perusahaan
pertambangan yang diambil. Model kedua perusahaan adalah sebagai berikut.
(
)
= 1,0217
+
(
)
= 1,0221
+
DAFTAR PUSTAKA
[1] Chausse, P. 2010. Computing Generalized Method of Moments and Generalized
Empirical Likelihood with R. Journal of Statistical Software, 34:1-35.
[2] Gujarati, D. N & Porter, D. C. Dasar-dasar Ekonometrika. Terjemahan oleh Eugenia
Mardanugraha,dkk. 2010. Jakarta: Salemba Empat.
[3] Husnan, S. & Pudjiastuti, E. 1998. Dasar-dasar Teori Portofolio dan Analisis
Sekuritas. Yogyakarta: Unit Penerbit dan Percetakan (UPP) AMP YKPN.
[4] Marcus, A. J., Bodie, Z., & Kane, A. 2008. Investasi. Jakarta: Salemba Empat.
[5] Nielsen, H.B. 2006. Generalized Method of Moments Estimation. Slovakia: Matej Bel
University.
[6] Tirta, I. M. 2009. Analisis Regresi dengan R. Jember: UPT Penerbitan Universitas
Jember.
[7] Zivot, E. 2008. Generalized Method of Moments.Washington: University of
Washington.
23