diferensial fungsi sederhana

DIFERENSIAL FUNGSI
SEDERHANA
Tujuan instruktusional khusus :
Diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep diferensial dan memanfaatkannya
dalam melakukan analisis bisnis dan ekonomi yang berkaitan dengan masalah
perubahan penentuan tingkat maksimum dan minimum.
Materi Pembahasan :
1. Elastisitas
2. Biaya Marjinal
3. Penerimaan Marjinal
4. Utilitas Marjinal
5. Produk Marjinal
6. Analisis Profit Maksimum
MATEMATIKA BISNIS
1
1. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan
sebagai:

Ey
y / y dy x
 lim
 *
x

0
Ex
x / x dx y
Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif
dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil
atau mendekati nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan
sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.
1. Elastisitas Permintaan
Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta disebabkan
karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara
persentase
perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.
Jika fungsi puritan dinyatakan dengan Qd = f (p) maka elastisitas permintaannya :
d 
%Qd EQd
(Qd / Q) dQd P

 lim

*
%P
EP P0 (P / P)
dP Qd
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat :

Elastis apabila  d > 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah
(secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada
persentase perubahan harganya.

Unitary elastis apabila  d = 1 yang artinya jika harga barang berubah
sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan
berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar
daripada persentase perubahan harganya.

Inelastis apabila
 d < 1 yang artinya jika harga barang berubah
sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan
berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih kecil
daripada persentase perubahan harganya.
MATEMATIKA BISNIS
2
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Q d = 25 –
3P². Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5.
Qd  25  3P 2  Qd ' 
d 
dQd
 6P
dP
dQd P
P
*
 6 P *
dP Qd
25  3P 2
 6(5) *
5
 3(elastis)
25  75
d = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukam P =5, harga naik (turun) sebesar
1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak
3%.
2. Elastisitas Penawaran
Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan disebabkan
karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase
perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan
harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas
penawarannya :
s 
%Qs EQs
(Qs / Q) dQs P

 lim

*
%P
EP P0 (P / P)
dP Qs
Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat :

Elastis apabila  s >1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah
(secara searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase
perubahan harganya.

Unitary elastis apabila  s
= 1 yang artinya jika harga berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah
(secara searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada
persentase perubahan harganya.
MATEMATIKA BISNIS
3

Inelastis apabila  s
<1 yang artinya jika harga
barang
berubah
sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan
berubah (secara searah dengan persentase yang lebih kecil daripada
persentase perubahan harganya.
Contoh :
Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan
Qs = -200 +7P²
Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.
Qs ' 
dQs
 14P
dP
s 
dQs P
*
 14P *
dP Qs
 14(10) *
P
 200  7 P
2
10
 2,8(elastis)
 200  700
 s = 2,8 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 10, harga naik (turun)
sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang)
sebanyak 2,8%.
3. Elastisitas Produksi
Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan
akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi
merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap
persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan
P = f (x), maka elastisitas produksinya :
p 
%P EP
(P / P) dP x

 lim

*
%x EX x0 (x / x) dX P
Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila
 p > 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya.
Unitary elastis apabila
 p =1 yang artinya jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya.
MATEMATIKA BISNIS
4
Inelastis apabila
 p < 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya.
Contoh :
Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan P = 6x² - x³
Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi
sebanyak 3 unit.
P  6x 2  x 3  P ' 
dP
 12 x  3x 2
dx
dP x
*  12 x  3x 2 * x
dx P
3
 (36  27) *
 1(unitary elastis)
54  27
p 
 p = 1 berarti bahwa apabila, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input
dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah
(berkurang) sebesar 1 %.
2. Biaya Marjinal
Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk
menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya marjinal
merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan
dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk,
maka biaya marjinalnya :
MC = c' =
dC
dQ
Contoh :
Biaya total
: C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4
Biaya Marjinal
: MC = C’ = dC/dQ = 3Q² - 6Q + 4
Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga
fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat.
MATEMATIKA BISNIS
5
C = Q³ -3 Q² + 4Q + 4
MC = C’ = 3Q² - 6Q + 4
(MC)’ = C” = 6Q - 6
MC minimum jika (MC)’ = 0
(MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1
Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1
C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6
3. Penerimaan Marjinal
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit
keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal
merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan
total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q
melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :
MR  R' 
dR
dQ
Contoh :
Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka
R= 16Q- 2 Q²
Penerimaan total : R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q²
Penerimaan marjinal :
MR = R’ = 16 – 4Q
Pada MR = 0, Q = 4
P= 16 – 2(4) = 8
R =16(4) – 2(4)² = 32
MATEMATIKA BISNIS
6
4. Utilitas Marjinal
Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu
unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal
merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total
dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan
jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :
MU = U' =
dU
dQ
Contoh :
U = f(Q) = 90Q – 5 Q²
MU = U’ = 90 – 10Q
U maksimum pada MU = 0
MU = 0; Q = 9
U maks = 90(9) – 5(9)²
= 810 – 405
= 405
5. Produk Marjinal
Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi
yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan
pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(x)
dimana P adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk
marjinalnya
MP  P' 
dP
dX
Contoh : Produksi total = P = f(x) = 9x² - x³
Produk marjinal = MP = P’ = 18x – 3x²
P maksimum pada P’ = 0 yakni pada X = 6 dengan P maks + 108.
P berada pada titik belok dan MP maks pada P” = (MP)’ = 0 ;
Yakni pada X = 3
MATEMATIKA BISNIS
7
6. Analisis Profit Maksimum
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan
pendekatan diferensial. Karena
penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya
(Cost, C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan/terjual
(Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan
(π). Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit):
1. π’ = 0
2. π’’ < 0, dimana π = R – C
Contoh
Diketahui:
R = – 2Q2 + 1000Q
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Ditanyakan:
a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?
b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?
c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum?
d. Berapa harga jual per unit
pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum?
e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
MATEMATIKA BISNIS
8
Penyelesaian:
a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000)
π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000
π’ = – 3Q2 + 114Q – 315
Agar keuntungan maksimum:
Syarat 1. π’ = 0
π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0
Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran)
Syarat 2. π’’ < 0,
Q1 = 3, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96
Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96 √
Karena syarat ke 2 untuk Q = 35 hasilnya < 0, maka tingkat produksi yang menghasilkan
keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit.
b. Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum:
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
C = 353 – 59.(352)+ 1315.(35) + 2000
C = 18.625
c. Besarnya pendapatan:
R = – 2Q2 + 1000Q
R = – 2.(352)+ 1000.(35)
R = 32.550
d. Harga jual per unit:
R = P.Q, maka P = R/Q
P = 32550/35 = 930/unit
e. Adapun besarnya keuntungan maksimum tersebut adalah:
π = - (35)3 + 57 (35)2 – 315 (35) – 2000 = 13.925
atau:
π=R–C
π = 32.550 – 18.625 = 13.925
MATEMATIKA BISNIS
9
Latihan
Diketahui:
1. R = – 26Q2 + 3300Q
C = Q3 – 2Q2 + 420Q + 750
2. P = – 0,2Q + 557
C = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000
3. P = – 3Q + 216
C = 0,08Q3 – 3Q2 + 120Q + 200
Ditanyakan:
a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?
b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?
c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum?
d. Berapa harga jual per unit
pada saat perusahaan mencapai keuntungan
maksimum?
e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
Daftar Pustaka:
1. Dumairy. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. 1999. Yogyakarta.
2. Dowling Edward. Matematika untuk Ekonomi. 1995. Jakarta
MATEMATIKA BISNIS
10