Matriks Kuasidefinit

 I PENDAHULUAN
menyelesaikan permasalahan-permasalahan
matematika khususnya pada bidang riset
operasi, salah satunya adalah mengaplikasikan
sifat-sifat matriks kuasidefinit pada metode
titik interior (interior-point method).
Semua bahasan materi tentang matriks
kuasidefinit
pada
karya
ilmiah
ini
direkonstruksi dari tulisan Robert J.
Vanderbei (1995) yang berjudul Symmetric
Quasidefinite Matrices.
1.1 Latar Belakang
Matriks merupakan istilah yang digunakan
untuk menunjukkan jajaran persegi panjang
dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan
mempunyai baris dan kolom. Salah satu jenis
matriks yang banyak digunakan adalah
matriks simetrik. Matriks simetrik adalah
matriks yang sama dengan transposnya yaitu
matriks yang kolom-kolomnya adalah barisbaris matriks itu sendiri.
Matriks yang dibahas pada tulisan ini
adalah matriks kuasidefinit yang dipartisi
menjadi empat blok dan memuat matriks
definit positif. Matriks ini mempunyai sifatsifat
yang
dapat
diterapkan
untuk
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk
membuktikan beberapa sifat dari matriks
kuasidefinit.
II LANDASAN TEORI
Maksud dari bab ini adalah mengingatkan
kembali tentang pengertian matriks, jenisjenis matriks dan memberikan penjelasan
tentang matriks definit positif dan semidefinit
positif serta beberapa sifatnya yang akan
berguna dalam memahami tulisan ini secara
keseluruhan.
1
, jika
1
dengan
1
det
,
1, … ,
adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan
dengan entri-entri dalam baris pertama dari .
2.1 Matriks dan Determinan
[Leon 2001]
Definisi 2.1 (Matriks)
Matriks merupakan kumpulan bilangan
yang disusun dalam bentuk persegi panjang
atau bujur sangkar dan setiap matriks akan
mempunyai baris dan kolom. Secara umum
matriks yang berukuran
dapat ditulis
dengan
adalah unsur
dengan
matriks pada baris ke- dan kolom ke- , dan
1,2, … , ;
1,2, … , . Matriks dapat
ditulis dalam bentuk:
Berikut ini akan diberikan pengertian
beberapa jenis matriks dan sifat-sifatnya yang
berhubungan dengan tulisan ini.
Definisi 2.3 (Matriks Transpos)
Transpos dari suatu matriks
berukuran
adalah matriks berukuran
, ditulis
yang diperoleh dengan mengganti
setiap baris dari
menjadi kolom dan
,
sebaliknya, sehingga jika
maka
.
[Leon 2001]
Teorema 2.1 (Beberapa Aturan Aljabar
pada Matriks Transpos)
1.
2.
3.
[Leon 2001]
Definisi 2.2 (Determinan)
Determinan dari suatu matriks
berukuran
, dinyatakan sebagai det
adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan
matriks dan didefinisikan sebagai berikut:
[bukti lihat Leon 2001]
, jika
det
2 Contoh 2.3:
Definisi 2.4 (Matriks Simetrik)
Suatu matriks berukuran
simetrik jika
.
disebut
invers
Contoh 2.1:
Misalkan matriks
Karena matriks
4 2
2
2 10
2 .
2 2
5
, maka matriks
adalah
Matriks
[Leon 2001]
2
3
2 4
3 1
dari
4
1
2
3
disebut matriks simetrik.
Definisi 2.5 (Matriks Satuan)
Matriks satuan adalah matriks
berukuran
dengan,
1, jika
0, jika
dan berlaku
matriks berukuran
untuk sembarang
.
[Leon 2001]
Definisi 2.6 (Matriks Permutasi)
Suatu matriks berukuran
disebut
matriks permutasi, jika pada setiap baris dan
kolomnya mempunyai tepat satu entri yang
benilai 1 (satu) dan entri yang lainnya bernilai
0 (nol).
[Horn & Johnson 1985]
Contoh 2.2:
0 1
1 0
0 0
matriks permutasi dan
1 1 1
0 1
1 0
2 2 2
0 0
3 3 3
2 2
1 1
3 3
adalah suatu permutasi
1 1 1
2 2 2 .
3 3 3
Matriks
1
0
4
1
0
.
1
Teorema 2.2 (Sifat Matriks Invers)
Jika
adalah suatu matriks yang
mempunyai invers (invertible), maka untuk
sembarang skalar taknol k, matriks
.
[Anton 2000]
Bukti:
Jika k adalah sembarang skalar taknol,
maka untuk membuktikan teorema di atas,
sesuai dengan Definisi 2.7 akan ditunjukkan
bahwa:
.
a.
.
0
0
1
0
0
1
2
1
3
dari
adalah suatu
1
2
3
1
2
3
1
2
3
baris matriks
Definisi 2.7 (Matriks Taksingular dan
Matriks Invers)
Suatu matriks
berukuran
dikatakan taksingular atau mempunyai invers
(invertible) jika terdapat matriks
sehingga
. Matriks
disebut sebagai
invers perkalian dari .
[Leon 2001]
karena
.
b.
.
.
Jadi terbukti bahwa
.
Teorema 2.3
Suatu matriks
berukuran
singular, jika dan hanya jika det
■
adalah
0.
[Leon 2001]
(bukti di Lampiran 1)
Karena implikasi suatu pernyataan setara
dengan kontraposisinya,
~
~ dan
~
~
maka
~
~ . Jadi pernyataan
pada Teorema 2.3 setara dengan pernyataan:
Suatu matriks
berukuran
taksingular, jika dan hanya jika det
adalah
0.
3 Teorema 2.4
Jika
adalah matriks taksingular, maka
merupakan matriks taksingular dan
.
[Anton 2000]
Bukti:
Sesuai dengan Definisi
ditunjukkan
Teorema 2.1 diperoleh:
•
2.7
akan
. Dari
.
■
Definisi 2.10 (Submatriks)
Suatu submatriks dari matriks
adalah
matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan/atau kolom dari . Perlu
diketahui bahwa sembarang matriks adalah
submatriks dari matriks itu sendiri, yaitu
dengan menghilangkan 0 (nol) baris dan 0
(nol) kolom.
[Harville 2008]
Contoh 2.6:
Misalkan diberikan matriks
•
Jadi terbukti bahwa
Definisi 2.8 (Matriks Segitiga)
Suatu matriks berukuran
disebut
matriks segitiga atas (upper triangular) jika
0 untuk
dan matriks segitiga
bawah (lower triangular) jika
0 untuk
.
disebut juga matriks segitiga
(triangular) jika matriks segitiga atas atau
matriks segitiga bawah.
[Leon 2001]
2 1 2 3
1 2 0 6 .
1 3 6 9
Jika baris kedua dari matriks
dihilangkan,
maka diperoleh submatriks
2
1
Jika baris kedua, kolom pertama dan kolom
ketiga dari matriks dihilangkan, maka akan
diperoleh submatriks
Contoh 2.4:
3 2
0 2
0 0
1
1
0 dan 6
1
0
0
2
5
1
3
0
0
0
keduanya adalah matriks segitiga. Yang
pertama adalah matriks segitiga atas dan yang
kedua adalah matriks segitiga bawah.
Definisi 2.9 (Matriks Diagonal)
Suatu matriks berukuran
matriks diagonal jika
0 untuk
disebut
.
[Leon 2001]
Contoh 2.5:
1
0
0
1
1
0
0
0 0
2 0
0 3
0
0
0
0 0
3 0
0 0
semuanya adalah matriks diagonal. Suatu
matriks diagonal adalah matriks segitiga atas
juga matriks segitiga bawah.
2.2 Submatriks
Berikut ini akan diberikan pengertian
tentang submatriks dan jenis-jenisnya yang
berhubungan dengan tulisan ini.
1 2 3
.
3 6 9
3
.
9
Definisi 2.11 (Submatriks Utama)
Misalkan
himpunan bagian dari
1, 2, … ,
dan
didefinisikan
sebagai matriks yang diperoleh dengan
menghilangkan baris dan kolom dari matriks
berukuran
yang letaknya merupakan
komplemen dari himpunan
pada . Maka
disebut submatriks utama (principal
submatrix) dari matriks . Jadi submatriks
diperoleh dengan menghilangkan
utama
| | baris dan kolom yang bersesuaian,
dengan | | adalah banyaknya elemen dari .
[Horn & Johnson 1985]
Contoh 2.7:
Misalkan matriks
4 2
2 10
2 2
2
2 .
5
Beberapa submatriks utama yang dimiliki
matriks adalah:
4 2
10
merupakan submatriks
utama
yang
diperoleh
dengan
menghilangkan baris dan kolom pertama
dan ketiga;
4
2
ii)
1,3
merupakan sub2
5
matriks utama yang diperoleh dengan
menghilangkan baris dan kolom kedua;
dan
4 2
2
iii)
1,2,3
2 10
2 merupakan
2 2
5
submatriks utama yang diperoleh dengan
menghilangkan 0 (nol) baris dan 0 (nol)
kolom.
i)
Definisi 2.12 (Submatriks Utama yang
Pertama)
Diberikan suatu matriks
berukuran
. Misalkan
adalah matriks yang
terbentuk dengan menghilangkan
baris
terakhir dan
kolom terakhir dari ,
maka
disebut submatriks utama yang
pertama (leading principal submatrix) dari
dengan yang berukuran
1
).
[Leon 2001]
Contoh 2.8:
Dari Contoh 2.7, submatriks utama
pertama dari matriks
adalah
4 2
4 2
; dan
2 10
2 10
2 2
yang
4 ;
2
2 .
5
Teorema 2.5
Jika semua submatriks utama yang
adalah matriks
pertama dari matriks
taksingular, maka terdapat matriks segitiga
bawah
dan
dengan entri-entri 1 pada
diagonal utama (unit lower triangular matrix)
dan matriks diagonal
yang memenuhi
.
[Golub & van Loan 1985]
10 20
25 40
50 61
0 0 10
1 0
0
4 1
0
0 0
5 0
0 1
1 1 2
0 1 0
0 0 1
dengan
1
2
3
1
1
2
0
1
4
0
1
0
0
0 ,
1
0
0 .
1
10
0
0
0 0
5 0
0 1
10
25
50
20
40 .
61
dan
Unsur-unsur matriks ,
dan
ditentukan
dengan eliminasi Gauss (Golub & van Loan
1985).
Matriks pada Contoh 2.9 bukan matriks
simetrik. Jika
matriks simetrik (dan
taksingular), maka Teorema 2.6 menjamin
bahwa matriks
.
Teorema 2.6
Jika
adalah matriks taksingular dan
simetrik yang memenuhi
, maka
.
[Golub & van Loan 1985]
Contoh 2.10:
Misalkan diberikan matriks simetrik
Contoh 2.9:
Misalkan diberikan matriks
10
20
30
1
2
3
(bukti di Lampiran 3)
(bukti di Lampiran 2)
10
20
30
Karena determinan submatriks utama yang
pertama dari matriks adalah
|10| 10 0;
det
10 10
50 0; dan
det
20 25
10 10 20
det
50 0, maka
20 25 40
30 50 61
semua submatriks utama yang pertama dari
matriks merupakan matriks taksingular. Jadi
matriks dapat difaktorisasi ke dalam bentuk
perkalian
sebagai berikut:
10 20
20 45
30 80
30
80 .
171
5 Karena det
50 0, maka
dapat
difaktorisasi ke dalam bentuk perkalian
sebagai berikut:
Teorema 2.7 (Determinan Matriks yang
Dipartisi)
Misalkan
adalah matriks segi yang
dipartisi menjadi
10
20
30
1
2
3
20 30
45 80
80 171
0 0 10
1 0
0
4 1
0
.
0 0
5 0
0 1
1 2 3
0 1 4
0 0 1
dan
Operasi-
Berikut ini akan dijelaskan tentang partisi
suatu matriks dan invers dari matriks yang
dipartisi.
Definisi 2.13 (Partisi Matriks)
Matriks dapat dipartisi menjadi matriksmatriks yang lebih kecil dengan cara
menggambar garis-garis horizontal antara
baris-baris dan garis-garis vertikal antara
kolom-kolom. Matriks-matriks yang lebih
kecil seringkali disebut blok.
[Leon 2001]
2
1
2
1
4
1
1
1
1
3
1
4
2
4
3
2
Jika garis-garis digambarkan antara baris
kedua dan baris ketiga, serta antara kolom
ketiga dan keempat, maka
akan terbagi
,
,
,
menjadi empat blok, yaitu
dan
.
1
2
4
2
dengan
2
1
2
1
1
2
1
3
4
2
dan
4
1
1
1
2 4
,
1 1
2
,
4
2
1
1
4
1
,
1
3
2
matriks berukuran
berukuran
. Jika
maka
det
det
dan
matriks
matriks taksingular,
det
.
[Zhang 1999]
(bukti lihat Lampiran 4)
2.3 Partisi
Matriks
Operasinya
Contoh 2.11:
Misalkan matriks
1
2
4
2
dengan
1
3
1
4
2
4
3
2
Teorema 2.8
Dipartisi)
(Invers
Misalkan
Matriks
yang
merupakan
matriks yang dipartisi dan mempunyai invers
yang juga merupakan matriks
matriks
yang dipartisi dengan bentuk
dengan , , dan adalah matriks segi.
Jika adalah submatriks utama dari matriks
, maka diperoleh:
,
,
,
.
[Zhang 1999]
(bukti di Lampiran 5)
Teorema 2.9
dan
Misalkan
adalah matriks taksingular, serta
dan
berturut-turut adalah matriks berukuran
dan
. Jika matriks
taksingular, maka
dengan
adalah himpunan matriks
bernilai real dan berukuran
.
[Zhang 1999]
(bukti di Lampiran 6)
2.4 Matriks Definit Positif dan Semidefinit
Positif
Berikut ini akan diberikan pengertian
tentang matriks definit positif dan semidefinit
positif serta beberapa sifatnya. Terlebih
dahulu akan dibahas pengertian bentuk
kuadrat.
6 Definisi 2.14 (Bentuk Kuadrat)
Suatu persamaan kuadrat dengan dua
variabel
dan
adalah suatu persamaan
berbentuk:
2
0. (1)
Persamaan (1) dapat ditulis ulang dalam
bentuk:
0.
(2)
Misalkan
Teorema 2.10
Misalkan
matriks simetrik berukuran
dan
adalah submatriks utama yang
pertama dari matriks dengan
1,2, … , ,
maka adalah matriks definit positif jika dan
0.
hanya jika det
[bukti lihat Horn & Johnson 1985]
Contoh 2.13:
Misalkan diberikan
4 2
2 10
2 2
dan
maka bentuk
2
dinamakan bentuk kuadrat yang berhubungan
dengan persamaan (1).
[Leon 2001]
Definisi 2.15 (Matriks Definit Positif dan
Semidefinit Positif)
Suatu matriks simetrik berukuran
disebut matriks definit positif, jika bentuk
kuadrat
0 untuk semua
taknol
dalam
. Jika bentuk kuadrat
0,
maka disebut matriks semidefinit positif.
matriks simetrik
2
2
5
dan submatriks utama yang pertama dari
matriks
seperti pada Contoh 2.8. Karena
determinan submatriks utama yang pertama
dari matriks adalah:
|4| 4 0;
i) det
4 2
ii) det
36 0; dan
2 10
4 2
2
108 0
iii) det
2 10
2
2 2
5
maka sesuai dengan Teorema 2.10, matriks
adalah matriks definit positif.
[Leon 2001]
Matriks-matriks definit positif mempunyai
beberapa sifat, di antaranya:
2
1
merupakan
1
2
matriks definit positif karena bentuk kuadrat
2
1
1
2
2
2
2
Teorema 2.11
1. Jika adalah matriks definit positif, maka
det
0.
2. Jika adalah matriks definit positif, maka
matriks taksingular.
[Leon 2001]
Contoh 2.12:
Matriks
0
0 .
1
1
Matriks
adalah matriks
1
1
semidefinit positif karena bentuk kuadrat
1
1
1
1
2
untuk
0
0.
1
3
Matriks
bukan matriks
3
1
definit atau semidefinit positif karena bentuk
1
3
kuadrat
3
1
6
4
dapat bernilai positif atau negatif.
Bukti:
1. Jika
adalah matriks definit positif maka
sesuai dengan Teorema 2.10, det
dengan
maka det
2. Karena det
0
1,2, … , . Karena
det
, jadi det
0.
0, maka terbukti matriks
definit positif adalah matriks taksingular.
■
Teorema 2.12 (Invers Matriks Definit
Positif)
Jika adalah matriks definit positif, maka
matriks definit positif.
[Horn & Johnson 1985]
7 Bukti:
Perhatikan persamaan
. Karena
matriks definit positif, maka
taksingular.
Jadi terdapat
yang merupakan
solusi persamaan tersebut. Maka bentuk
kuadrat
. Karena
adalah matriks definit
positif, maka
0 untuk
. Jadi
0, untuk
semua
di
semua
di .
juga
Untuk membuktikan bahwa
matriks simetrik, maka akan ditunjukkan
.
Dari Teorema 2.4,
dan
karena adalah matriks definit positif, maka
adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh
.
Jadi terbukti bahwa
matriks simetrik.
Oleh karena itu, terbukti bahwa
adalah
matriks definit positif.
■
Teorema 2.13
Jika matriks merupakan matriks definit
positif berukuran
dan matriks adalah
sembarang matriks berukuran
, maka
adalah matriks semidefinit
matriks
positif.
[Horn & Johnson 1985]
Bukti:
Karena
matriks definit positif, maka
0 untuk semua
di
.
Misalkan
matriks sembarang. Bentuk
adalah
kuadrat matriks
0 untuk
semua
di .
Karena dan sembarang maka terdapat
kemungkinan
. Oleh karena itu,
bentuk
kuadrat
0 untuk semua
di .
Untuk membuktikan bahwa
juga matriks simetrik, maka akan ditunjukkan
. Dari Teorema 2.1 diperoleh
, dan
karena adalah matriks definit positif, maka
adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh
dan terbukti matriks
merupakan matriks simetrik.
Jadi sesuai dengan Definisi 2.15,
adalah matriks semidefinit positif.
■
Teorema 2.14
Semua submatriks utama dari matriks
definit positif adalah matriks definit positif.
[Horn & Johnson 1985]
Bukti:
Misalkan
adalah submatriks utama
dari matriks definit positif
(Definisi 2.11)
dan misalkan
adalah vektor dengan entri
taknol yang berubah posisi menyesuaikan
pada
dan mempunyai entri nol
selainnya. Didefinisikan
sebagai vektor
yang diperoleh dari dengan menghilangkan
entri nol yang dimiliki oleh .
Untuk membuktikan submatriks utama
dari matriks definit positif
juga
merupakan matriks definit positif, sesuai
dengan Definisi 2.15 akan diperlihatkan
bahwa
0 untuk semua
taknol dalam .
Menurut definisi
, , dan
diperoleh
0
untuk taknol dalam
. Jadi terbukti bahwa
submatriks utama
dari matriks definit
positif
juga merupakan matriks definit
positif.
■
Contoh 2.14:
Misalkan
diberikan matriks definit
4 2
2
positif
2 10
2 dan submatriks
2 2
5
utama matriks pada Contoh 2.7, maka akan
diperlihatkan bahwa semua submatriks utama
juga merupakan matriks definit positif.
i) Submatriks utama berukuran 1
1
0
0
4 ,
1
1
maka
4
dan
1
1
,
1
0
4
0.
dengan
Terbukti
1
adalah matriks definit
positif. Dengan cara yang sama dapat
ditunjukkan bahwa
2 dan
3 juga
matriks definit positif (Lampiran 7).
ii) Submatriks utama berukuran 2
1,2
4 2
,
2 10
1,2
,
maka
1,2
1,2
2
0
1,2
dan
8 4
2
dengan
4 2
2 10
4
10
9
0
0 dan
0.
iii) Submatriks utama berukuran 3 3
4 2
2
Karena
1,2,3
2 10
2 ,
2 2
5
dan diketahui
adalah matriks definit
Terbukti
1,2 adalah matriks definit
positif. Dengan cara yang sama dapat
ditunjukkan bahwa
1,3 dan
2,3
juga matriks definit positif (Lampiran 7).
positif, maka
1,2,3
juga merupakan
matriks definit positif.
III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai
matriks kuasidefinit dan beberapa sifatnya
antara lain: matriks kuasidefinit merupakan
matriks taksingular; invers dari matriks
kuasidefinit merupakan matriks kuasidefinit;
dan matriks kuasidefinit merupakan matriks
strongly factorizable; yang merupakan inti
dari tulisan ini.
1
3
2
5
3
1
1
2
2
1
2
1
5
2
1
2
bukan merupakan matriks kuasidefinit karena
1
3
matriks
bukan matriks definit
3
1
positif (Contoh 2.12).
3.2 Sifat-sifat Matriks Kuasidefinit
3.1 Matriks Kuasidefinit
Definisi 3.1
Suatu matriks simetrik
dikatakan
kuasidefinit jika mempunyai bentuk:
(3)
dan
dengan
matriks definit positif dengan
adalah
,
0.
[Vanderbei 1995]
Contoh 3.1:
Misalkan diberikan matriks
2
1
2
1
2
2
2
2
4
4
5
2
2
7
2
4
5
2
10
2
2
7
2 .
2
5
merupakan matriks kuasidefinit dengan
2
1
matriks
matriks definit
1
2
positif
(Contoh
2.12)
dan
4 2
2
2 10
2 juga matriks definit
2 2
5
positif (Contoh 2.13). Sedangkan matriks
Berikut ini akan dijelaskan sifat-sifat dari
matriks kuasidefinit.
Teorema 3.1
Matriks
kuasidefinit
merupakan matriks taksingular.
[Vanderbei 1995]
Bukti:
Menurut Teorema 2.3, untuk membuktikan
bahwa
merupakan matriks taksingular
adalah
dengan
menunjukkan
bahwa
det
0.
Karena
adalah matriks definit positif
(oleh karena itu taksingular), maka –
matriks taksingular (Teorema 2.2). Sesuai
dengan Teorema 2.7 didapat
det
det
det
. (4)
Karena –
matriks taksingular, maka
sesuai dengan Teorema 2.3, det
0.
Begitu pula karena matriks
merupakan matriks definit positif (bukti lihat
Lampiran 8), maka det
0 (Teorema
2.11).