Turunan Fungsi Implisit

Pertemuan VIII
KALKULUS I
3 SKS
Turunan Aljabar
Materi:
 Pengertian Turunan Fungsi Aljabar
 Rumus Turunan Fungsi Aljabar
 Turunan Berantai Fungsi Aljabar
 Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar
 Turunan Implisit
 Turunan multivariabel
Turunan Aljabar
Tujuan Perkuliahan:
Setelah mengikuti pertemuan ini,
mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan, rumus-rumus, dan
menghitung turunan fungsi aljabar.
Pengertian Turunan
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di x  x0
bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada
suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di
setiap titik pada selang tersebut.
Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju
pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan
marjinal (ekonomi), dll
Konsep Limit
 mengingat konsep limit karena konsep turunan
dijelaskan lewat limit suatu fungsi
 Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’
(dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang
bilangan c adalah:
f (c  h)  f (c )
f ' (c)  lim
h 0
h
 Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞
 Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f
terdiferensiasikan di c.
 Pencarian turunan disebut diferensiasi
Secara Grafis
pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:
Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah
grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar
dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah
beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur
yang melalui titik P dan Q adalah
mPQ 
f ( a  h)  f ( a )
h
Secara Grafis
Secara Grafis
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah
interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan
garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik
P(a,f(a)) adalah:
f ( a  h)  f ( a )
m  lim
h 0
h
Dengan catatan limitnya ada.
Contoh
Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan
garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan penjelasan di atas maka
Jadi turunan suatu
fungsi adalah kemiringan
garis singgung fungsi
tersebut pada titik tertentu.
Contoh
1. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4)
Penyelesaian:

f ( 4  h )  f ( 4)
13(4  h )  6  [13( 4)  6]
f ' ( 4)  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
13h
 lim
 lim 13  13
h 0 h
h 0
Contoh
2. Jika f(x)= x3 + 7x, Carilah f’(c)
Penyelesaian
f (c  h)  f (c)
f ' ( c )  lim
h 0
h
( c  h ) 3  7( c  h )  [ c 3  7 c ]
 lim
h 0
h
2
2
3
3c h  3ch  h  7h
 lim
h 0
h
2
2
2
 lim (3c  3ch  h  7)  3c  7

h 0

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
 Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta
untuk sembarang x, f’(x)= 0.
Bukti:
f ( x  h)  f ( x )
k k
f ( x)  lim
 lim
 lim 0  0
h 0
h 0
h 0
h
h
'
Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
 Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Bukti:
f ( x  h)  f ( x )
xhx
h
f ( x)  lim
 lim
 lim  1
h 0
h 0
h 0 h
h
h
'
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
 Teorema III (Aturan Pangkat)
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat
positif, maka f’(x) = nxn-1
Bukti:
n
n
f
(
x

h
)

f
(
x
)
(
x

h
)

x
f ' ( x )  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
n ( n  1) n 2 2
n
n 1
x  nx h 
x h  ...  nxhn 1  h n  x n
2
 lim
h 0
h
 n 1 n( n  1) n 2

h nx 
x h  ...  nxhn 2  h n 1 
2

 lim 
h 0
h
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali
suku pertama mempunyai h sebagai faktor,
sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit
nol bila h mendekati nol. Jadi
f ' ( x)  nx
Contoh:
f(x)=x2 maka f’(x) = 2x
n 1
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
 Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang
terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan
F(x) = k. f(x). Maka
f ( x  h)  f ( x)
k. f ( x  h)  k. f ( x)
F ( x )  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
f ( x  h)  f ( x)
f ( x  h)  f ( x)
 lim k
 k . lim
h 0
h 0
h
h
 k. f ' ( x)
Contoh:
F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
 Teorema V (Aturan Jumlah)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka (f+g)’(x) =
f’ (x) + g’ (x). Bukti:
Andaikan F ( x )  f ( x )  g ( x ), maka
F ( x )  lim
 f ( x  h )  g ( x  h )   f ( x )  g ( x )
h 0
h
 f ( x  h)  f ( x) g ( x  h)  g ( x) 
 lim 


h 0
h
h

f ( x  h)  f ( x)
g ( x  h)  g ( x)
 lim
 lim
h 0
h 0
h
h
 f ' ( x)  g ' ( x)
Contoh:
F(x)=x2+3x maka f’(x)=2x+3
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv)
 Teorema VI (Aturan Selisih)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x).
Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)
Contoh:
F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
 Teorema VII (Aturan Hasil Kali)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x).
Bukti:
Andaikan F ( x )  f ( x ). g ( x ), maka
F ( x  h)  F ( x)
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x) g ( x)
 lim
h 0
h 0
h
h
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h) g ( x)  f ( x  h) g ( x)  f ( x) g ( x)
 lim
h 0
h
g ( x  h)  g ( x)
f ( x  h)  f ( x) 

 lim  f ( x  h )
 g ( x)

h 0
h
h

g ( x  h)  g ( x)
f ( x  h)  f ( x)
 lim f ( x  h ). lim
 lim g ( x ). lim
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
 f ( x) g ' ( x)  g ( x) f ' ( x)
F ( x )  lim
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
Contoh :
F(x) = (x+2)(x-5)2
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
 Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, dengan g(x) = 0.
Maka
'
f
g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)
  ( x) 
2
g ( x)
g
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
MisalkanF ( x )  f ( x )
g ( x)
, maka
f ( x  h) f ( x)

F ( x  h)  F ( x)
g ( x  h) g ( x)
F ( x )  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
g ( x) f ( x  h)  f ( x) g ( x  h)
1
 lim

h 0
h
g ( x) g ( x  h)
 g ( x) f ( x  h)  g ( x) f ( x)  f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x  h)

1
 lim 


h 0
h
g
(
x
)
g
(
x

h
)




f ( x  h)  f ( x)
g ( x  h)  g ( x) 
1
 lim   g ( x )
 f ( x)


h 0
h
h
g
(
x
)
g
(
x

h
)



1
 g ( x ) f ' ( x )  f ( x ) g ' ( x )
g ( x) g ( x)
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
'
f
g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)
  ( x) 
2
g
g ( x)
 
Bedakan antara Turunan dan Diferensial !
Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = anda
menuliskan lambang turunan
Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial
Contoh:
Cari dy jika y = x3 - 3x+1
Jika kita mengetahui bagaimana menghitung
turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung
diferensial. Yaitu cukup menghitung turunan lalu
mengalikannya dengan dx
Dy = (3x2-3) dx
Hal ini karena dy = f’ (x) dx
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Jika y  (u) dan u  g(x) maka
dy du
y' 
.
du dx
Jika y  f(u), u  g(x), x  h(w), maka
dy du dx
y' 
. .
du dx dw
Contoh:
y = (3x+1)10
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Contoh:
1). y = (x2+3x+5)9
2x  1
2). y 
1 x
 x  2x 
3). y  

3
x


2
2
Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya
sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan
sampai turunan ke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f,
maka f’ juga merupakan suatu fungsi, f’ adalah turunan
pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada, turunan ini dinamakan
turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yang sama turunan
ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f’’, jika
turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n dari
fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1,
adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan
ke n dinyatakan dengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara
penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:
Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Contoh:
Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini:
f ( x)  x 3  3 x 2  8 x  2
Turunan Trigonometri
Turunan dari:
Sin x = cos x
Cos x = -sin x
Tan x = sec2 x
Sec x = sec x tan x
Cot x = -csc2 x
Csc x = -csc x cot x
Turunan Trigonometri
 Contoh:

1) y  sin( x  1)
2

2) y  sin cosx

2
3

3) y  cos ( x  1)
3
2
Turunan Fungsi Implisit
Andaikan kita menjumpai sebuah persamaan
sebagai berikut :
y 3 + 7y = x3
dan kita menginginkan untuk mencari turunannya,
maka hal seperti ini tentulah tidak dapat secara
gamblang (eksplisit) terselesaikan , akan tetapi kita
harus menggunakan cara tertentu, misalnya aturan
Rantai untuk dapat menyelesaikannya.
Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunan
fungsi Implisit.
Cara untuk mendapatkan turunan fungsi
Implisit, yaitu :
Jika tidak terlalu sulit, atau jika mungkin, y
dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, lalu
didiferensialkan terhadap x (sebagai perubah
bebasnya)
Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Contoh 1:
Tentukan turunan pertama dari
4x 2 y - 3y = x3 - 1
Fungsi Implisit tersebut diubah terlebih dahulu ke
dalam fungsi eksplisit menjadi :
4x 2 y - 3y = x3 - 1
atau y( 4x 2 - 3 ) = x3 -1
Turunan Fungsi Implisit lanjutan
 Atau:
x3  1
y 2
4x  3
 Setelah berubah menjadi fungsi eksplisit, maka
tinggal diturunkan sehingga menjadi
y' 
3x 2 .4 x 2  3  x 3  1.8 x
4 x
3
 3
2
(12x 4 - 9x 2 ) - (8x 4 - 8x)

16x 4 - 24x 2  9
4x 4 - 9x 2  8 x

16x 4 - 24x 2  9
Soal-soal latihan (i)
 Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah
ini:
1) f ( x) 
5x  2
2x2  5
2) f ( x)  ( x  1)( x  2)
3) f ( x)  x x  4
3
5
3
Soal-soal latihan (ii)
 Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah
ini:
1) y  u  3, u  x  2 x
5
4
2) y  u , u  v ( 4  2v ), v  x
2
3) Jika y  2 x  x dan x  3t  9 ,
2
dy
berapakah
ketika t  2
dt
2
Soal-soal latihan (iii)
 Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah
ini:
1) f ( x )  3x  4 x  x  2
4
2
2) g ( z )  5 z  2
3) f (t )  (t  2)
3/ 2
1
4
4) f ( x )  2 
2x
x
Pertemuan XI
KALKULUS I
3 SKS
Integral Tak Tentu
Jika diketahui F(x) = x2, maka turunannya adalah F’(x) = 2x
= f(x). Bila operasi dibalik yakni diketahui f(x) = 2x
dapatkah ditemukan F(x) sebagai anti turunan dari f(x)
sedemikian sehingga F’(x) = 2x = f(x)? Jawabannya adalah
DAPAT. Caranya adalah sebagai berikut:
F(x) = x2
sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 + 1 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 + 7 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 - 10 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
………… dan seterusnya sehingga dapat ditulis
F(x) = x2 + C untuk sembarang konstanta C.
Ini benar sebab F’(x) = 2x = f(x)
Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu.
Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari
f(x)=2x adalah F(x) = x2 + C berlaku untuk sembarang
konstanta C.
Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f
yang dirumuskan oleh f(x) = xn adalah
1 n 1
F ( x) 
x C
, n  1
n 1
Sebab turunannya F’(x) = x2 = f(x)
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk
integral (Leibniz)
F ( x )   f ( x )dx
 d [ F ( x)]  F ( x)  C
Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi
Dari definisi F ( x )   f ( x )dx , maka f(x) disebut integran
Sedang F(x) adalah hasil integrasi.
Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta
sembarang C maka
tentu
 f ( x)  F ( x)  C
disebut integral tak
adalah rumus dasar
1 n 1
 x dx  n  1 x  C , n  1 integral tak tentu
n
Teori I (Aturan Pangkat)
Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
r 1
x
 x dx  r  1  C
r
Contoh:
Berapa anti turunan dari f(x) = x4/3
, n  1
Teori II (Aturan Trigonometri)
 sin x dx  - cos x  C
 cos x dx  sin x  C
 sec x dx  tan x  C
 cos sec x dx  - cot x  C
 sec x tan x dx  sec x  C
 cos sec x cot x dx  - cossec x  C
2
2
Teori II (Aturan Trigonometri)
 tan x dx  - ln cos x  C  ln sec x  C
 cot x dx  ln sin x  C  - ln cossec x  C
 sec x dx  ln sec x  tan x  C
 cossec x dx  - ln cossec x  cot x  C
Teori III (Integral Tak Tentu - Linier)
Jika f dan g memiliki anti turunan (integral tak tentu) dan
andaikan k suatu konstanta, maka:
 kf ( x)dx  k  f(x)dx  C
[
f
(
x
)

g
(
x
)]
dx

f(x)dx

g(x)dx

C



[
f
(
x
)

g
(
x
)]
dx

f(x)dx

g(x)dx

C



Contoh:
Tentukan besarnya nilai integral berikut!
1.
 3x
2.
 u
2
3/ 2
 4x  dx
 3u  12 du
1

3.   2  t dt
t

Teori IV (Aturan Pangkat yang digeneralisir)
Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu
bilangan rasional yang bukan -1, maka:

g(x) 
 g ( x ) g ' ( x ) dx 
r 1
r
r 1
C
Contoh:
Selesaikan integral berikut!
1.
2.
3.
 x
4
 sin
 x
 3x  4x  3 dx
30
10
3
3
x cos x dx
 6x  6x  12 dx
5
2
2
x
 2
4.    3 x dx
 2

2
5.
 x
2
 4 2 x dx
10
Latihan
Selesaikan integral berikut!
1.
2.
 x
2
 x  1 dx
z  1 dz
 z
4.
2
2
3.
 x  dx
2
5.
 sin   cos  d

3y
2y 2  5
dy
Latihan
Selesaikan integral berikut!
1.
2.
3.
 2 x sin x dx
 x


2
 1cos x dx

3
t 4
dt
t
4.
5.


3
2x - 4 dx
18x
2
2x  8
3
dx
Integral Tentu
 Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang
tertutup [a, b]. Jika:

n
lim
P 0
 f ( xi)x
i 1
i
 Ada, maka f adalah terintegrasikan pada [a, b]
 Lebih lanjut
b
 f ( x)dx disebut integral tentu
a
(atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh
b
 f ( x)dx 
a
n
lim
P 0

 f ( xi)x
i 1
i
Berdasarkan definisi
Selesaikan integral berikut!
a
 f ( x)dx  0
b
a
 f ( x)dx   f ( x)dx,
a
a
2
2
6
6
2
 x dx  0
3
2
b
3
3
x
dx


x

 dx
ab
Teorema 1
Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan
anggaplah x sebagai sebuah titik (peubah) pada
(a, b). Maka:
x
d
f (t )dt  f ( x)

dx a
Teorema 2 (Sifat Perbandingan)
Jika f dan g terintegrasikan pada [a, b] dan jika
f(x)≤g (x) untuk semua x dalam [a, b], maka:
b
b
a
b
 f ( x)dx   g ( x)dx
Teorema 3 (Sifat Keterbatasan)
Jika f terintegrasikan pada selang [a, b] dan
m≤ f(x) ≤ M untuk semua x dalam [a, b], maka:
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
Teorema 4 (Kelinieran Integral Tentu)
Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a, b]
dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f+g
terintegrasikan dan
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Contoh soal
2
 ( x  1)dx
0
2
 (x
2
 1)dx
5

0

2
(
x
  x  1)dx
 x
 3 x  1 dx
2
0
1
1
 ( x  1)( x
 (3x  2)dx
2
2
3
2
2
x
sin
(
x
)
cos(
x
)dx

0
2
2
 /2

2
4
(sin x  cos x)dx
2

 1) dx
x
 3sin tdt
0
Latihan
Selesaikan integral berikut!
5
x5
1.  2
dx
x 4
-5
 2 /4
cos x
2. 
dx
x
 2 /9
/2
3.  cos x sinx dx
2
0
3
1
4. 
dt
2
-1 t  2 
 x
8
5.
1/3
1
x
4/3
 dx