Himpunan

Himpunan
Oleh :
Devie Rosa Anamisa
Pengertian



Kumpulan dari objek-objek yang berbeda
Digunakan untuk mengelompokkan sejumlah objek.
Objek-Objek dalam Himpunan dapat berupa:
–
–
–

Elemen
Unsur
Anggota
Contoh : A= {1,2,3,4}
–
Menggambarkan himpunan A terdiri dari 4
anggota/unsur/elemen yaitu 1,2,3, dan 4.


Jika sebuah himpunan berukuran besar atau
tak terbatas, bisa digambarkan dengan
mendaftar sifat yang diperlukan untuk
menjadi anggota.
Contoh:
B = { x|x bil. Bulat genap positif}
Karakteristik Himpunan

Well-defined
–
–
Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika
secara definitif dapat dinyatakan apakah suatu
objek merupakan elemen atau bukan elemen dari
himpunan tersebut.
Misal :


S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakan
himpunan yang well-defined sebab tidak dapat
dinyatakan apakah 5 Є S, ataukah 5 Є S.
S ={empat bil. Asli pertama}, maka elemen-elemen S
dapat disebutkan secara definitif, yakni 1,2,3 dan 4.
Ekspresi Himpunan




Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan
menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar
elemen-elemennya.
Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari
atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai
{2,3,5}, atau {x|x bilangan prima ≤ 5}
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen,
dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka
dapat dinotasikan a∈S
Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki
elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong,
dan dinotasikan sebagai Ф.
Cara Penyajian Himpunan

Enumerasi Elemen
–
–
–
Artinya menuliskan semua elemen himpunan
yang bersangkutan, diantara 2 buah tanda kurung
kerawal
Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan
menggunakan huruf kapital maupun dengan
menggunakan simbol simbol lainnya
Contoh:

Himp. A berisi 4 buah bil. Asli pertama dapat ditulis
sebagai : A = {1,2,3,4}

Simbol-simbol baku
–
Terdapat sejumlah simbol-simbol baku yang biasa
digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering
digunakan antara lain:






–
P=
N=
Z=
Q=
R=
C=
himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
himpunan bilangan rasional
himpunan bilangan riil
himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan
bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Notasi Pembentuk Himpunan
–
–
Notasi : {x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:




Bagian dikiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan
Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga.
Bagian dikanan tanda’|’ menunjukkan syarat
kenaggotaan himpunan
Setiap tanda’,’ didalam syarat keanggotaan dibaca
sebagai dan.
–
Contoh :

A adalah himpunan bilangan bulat posistif yang kecil
dari 5, dinayatkan sebagai:
–
A={x|x adalah bilangan bulat positif yang kecil dari 5}
– A={x|xЄP, x<5}
– A={1,2,3,4}

B adalah himpunan bil. Genap positif yang lebih kecil
atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai:
–
B={x|x adalah himpunan genap positif lebih kecil atau
sama dari 8}
– B={x|x/2 Є P, 2 ≤ x ≤ 8}
– B={2,4,6,8}

Diagram Venn
–
–
–
Menyajikan himpunan secara grafis
Didalam diagram venn himpunan semesta (U) digambarkan
sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya
digambarkan sebagai lingkaran didalam segi empat
tersebut.
Misal : U={1,2,...,7,8}, A={1,2,3,5}, B={2,5,6,8}

Relasi Himpunan
Himpunan Bagian
–

Sejati dan Tak Sejati
–
–

Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari
himpunan A dan dinotasikan ”B⊆A” atau ”A⊇B”, jika setiap elemen B
merupakan elemen A.
Untuk setiap himpunan A, A dan Ф keduanya merupakan himpunan
bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian tak sejati (improper
subset), sedangkan himpunan bagian lainnya disebut himpunan bagian
sejati (proper subset)
Misalkan S ={a,b,c}, maka S memiliki 8 macam himpunan bagian yakni
Ф, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Himpunan Sama
–
–
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A=B) jika dan hanya
jika A⊆B dan B⊆A, atau A=B↔ A⊆B dan B⊆A.
Contoh : Himpunan A={1,2,3,4} dan B={3,2,4,1} adalah himpunan yang
sama
Kardinalitas




A merupakan himpunan yang elemenelemennya berhingga banyaknya.
Jumlah elemen A disebut kardinal dari
himpunan A
Notasi : n(A) atau |A|
Contoh :
–
B={x|x merupakan bil. Prima yang lebih kecil dari
20}, maka B={2,3,5,7,11,13,17,19}, n(B)=8
Himpunan Kosong



Himpunan yang tidak memiliki satupun
elemen atau himpunan dengan kardinal =0
disebut himpunan kosong
Notasi : Ф atau { }
Contoh :
–
–
E = {x|x<x}, maka n(E)=0
P={orang indonesia yang pernah ke bulan}, maka
n(P)=0
Himpunan Yang Ekiuvalen

Himpunan A dikatakan ekiuvalen dengan
himpunan B
–


Jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan
tersebut sama.
Notasi : A~B ↔ |A| = |B|
Contoh :
–
Jika A ={1,3,5,7} dan B={a,b,c,d}, maka A~B
Himpunan Saling Lepas



Dua himpunan A dan B dikatakan saling
lepas (Disjoint) jika keduanya tidak memiliki
elemen yang sama.
Notasi : A ⁄⁄ B
Contoh: A={x|x Є P, x <8} dan B {20,30,...}
maka A ⁄⁄ B.
Himpunan Kuasa




Disebut powerset
Suatu himpunan A yang elemen merupakan
semua himpunan bagian dari A, termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi: P(A) atau 2^A
Contoh: A ={1,2} maka
P(A)={{ },{1},{2},{1,2}}
n(A)=4
Operasi Terhadap Himpunan

Irisan (intersection)
–
–
Adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan
elemen dari himpunan A dan himpunan B.
Notasi : A ∩ B = { x | x Є A dan x Є B}

Gabungan (union)
–
–
Adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan
anggota himpunan A atau himpunan B
Notasi : AUB = {x|xЄA atau xЄB}

Komplemen (-)
–
–
Adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
elemen U yang bukan himpunan A dan bukan himpunan B.
Notasi : Â = { x | x Є U dan x Є A dan x Є B}

Selisih (A-C)
–
–
Adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
elemen A dan bukan elemen C.
Notasi : A –C = {x|xЄA dan x ЄC}=A ∩Ĉ

Beda Setangkup (Symmetric Difference)
–
–
Adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada
himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.
Notasi : A Θ B = (A U B) – (A ∩ B)= (A-B) U (B-A)

Perkalian Kartesian
–
–
–
Himpunan yang elemennya semua pasangan
berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk
dengan komponen pertama dari himpunan A dan
kedua dari himpunan B.
Notasi : A x B = {(a, b)| a Є A dan b Є B}
Misal : C ={1,2,3} dan D ={a,b} maka
C x D ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
Sifat-sifat operasi Himpunan

Hukum identitas :
–
–

–

AUФ=A
A∩U=A
Hukum komplemen :
–

–
–

AUÂ=U
AUÂ=Ф
Hukum Involusi = (Ā) A
Hukum Null
Hukum Idempoten
–
–

A∩Ф=Ф
AUU=U
AUA=A
A∩A=A
Hukum Penyerapan
–
–
A U (A ∩ B) = A
A ∩ (A U B) = A
Hukum demorgan : (AUC) = Ā ∩ Ĉ
Soal
1.
Jika A={1,3,5} dan B={4,5,6}, maka:
a.
b.
c.
d.
2.
3.
AUB
A∩B
A–B
B–A
A={a,b,c} maka berapa P(A)!
Jika x ={1,2,3} dan y ={a,b} maka perkalian
kartesiannya:
a.
b.
c.
d.
x.y
y.x
y.y
|x|.|y|
4. Jika A={1,4,7,10},B={1,2,3,4,5}, C={2,4,6,8}
a. A ∩ B U C
b. B ∩ U
c. (AUB) - (C-B)
d. A ∩ (B U C)
5. A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil import
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa
universitas tertentu, maka (E ∩ A) U (E ∩B)!
6. Jika A = {(x, y) | x + y=7,x,y Є R}
B = {(x, y) | x - y=3,x,y Є R}
maka A x B x C !
7. A ={1,2}, B={a,b}, C={α,β}
maka A x B x C!