http://komangsuardika.blogspot.com 1 PERSAMAAN

PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU
Perbedaan pokok antara mekanika newton dan mekanika kuantum adalah cara
menggambarkannya. Dalam mekanika newton, masa depan partikel telah ditentukan oleh
kedudukan awal, momentum awal serta gaya-gaya yang beraksi padanya. Dalam dunia
makroskopik kuantitas ini semuanya dapat ditentukan dengan ketelitian yang cukup
sehingga mendapatkan ramalan mekanika yang cocok dengan pengamtan. Mekanika
kuantum juga menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tetapi prinsip
ketaktentuan menyarankan bahwa kuantitas yang teramati bersifat berbeda dalam kawasan
atomik. Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang karakteristik masa depan partikel
seperti pada mekanika newton tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan momentum
awal partikel tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup. Kuantitas yang dimaksud
dalam mekanika kuantum yaitu peluang. Sepintas kita bisa mengira bahwa mekanika
kuantum merupakan pengganti yang jelek dari mekanika newton, namun faktanya
mekanika newton tidak lain daripada versi aproksimasi dari mekanika kuantum. Kepastian
yang dinyatakan oleh mekanika newton hanya merupakan ilusi, dan kecocokan dengan
eksperimen timbul sebagai konsekuensi kenyataan bahwa benda makroskopik terdiri dari
banyak atom individual yang menyimpang dari kelakuan rat-rata tidak teramati.
Dalam mekanika kuantum ini, kuantitas yang diperlukan adalah fungsi gelombang
 dari benda itu sendiri. Walaupun  itu sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, namun
kuadrat besar mutlak 
2
yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat
berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu.
Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari  . Persoalan
dalam mekanika kuantum adalah untuk menentukan  untuk benda itu bila kebebasan
gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Karena  berbanding lurus dengan peluang P
2
untuk mendapatkan benda yang digambarkan oleh  , integral  ke seluruh ruang harus
2

berhingga dan benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika

2
dV  0 . Partikel itu

tidak ada, dan integralnya jelas tidak bisa  dan tetap berarti sesuatu  tidak bisa negatif
2
karena cara didefinisikannya, sehingga satu-satunya kemugkinann yang tertinggal adalah
suatu kuantitas yang berhingga agar  memang menggambarkan benda real. Untuk
http://komangsuardika.blogspot.com
1
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
mendapatkan parrtikel yang digambarkan oleh  , maka kita anggap  sama dengan
2

peluang p, sehingga diperoleh persamaan:

2

dV  1 , karena

 PdV  1
adalah suatu

pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat, dan jumlah
semua peluang yang mungkin harus tertentu. Fungsi gelombang yang memenuhi
persamaan (1) disebut ternormalisasi. Setiap fungsi gelombang yang bisa dipakai dapat
ternormalisasikan dengan mengalihkannya dengan tetapan yang sesuai. Disamping
ternormalisasi,  harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat
dan waktu tertentu, dan malar (kontinu). Peninjauan momentum memberi syarat bahwa
turunan parsial
  
,
,
harus berhingga, malar, dan berharga tunggal. Hanya fungsi
x y z
gelombang dengan sifat-sifat tersebut dapat menghasilkan hasil yang berarti fisis jika
dipakai dalam perhitungan. Jadi hanya fungsi gelombang yang berkelakuan baik yang bisa
dipakai sebagai representasi matematis dari benda nyata.
Persamaan Schrodinger yang merupakan pokok dalam mekanika kuantum serupa
dengan hukum gerak kedua persamaan pokok dalam mekanika newton, adalah persamaan
gelombang dalam variabel  . Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang  bersesuaian
dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang pada umumnya. Namun,  tidak
seperti y, bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas
kompleks. Karena itulah kita menganggap  dalam arah x dinyatakan oleh:
  Aei( t x / v)
……………………………………………….(1)
Jika  dalam persamaan (1) dengan 2 dan v dengan ,  maka kita peroleh:
  Ae2i ( t x /  )
……………………………………………….(2)
karena E  h  2 dan  
  Ae(i /  )( Et px)
h 2

, sehingga persamaan (2) menjadi:
p
p
……………………………………………… (3)
Persamaan (3) tersebut merupakan persamaan gelombang ekivalen dari partikel bebas yang
berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Fungsi gelombang 
yang diberikan dalam persamaan (3) hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas,
sedangkan pada situasi ini gerakan partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan.
Selanjutnya persamaan diferensial pokok untuk  dipecahkan secara khusus, persamaan
tersebutlah yang disebut dengan persamaan schrodinger. Salah satu cara untuk
http://komangsuardika.blogspot.com
2
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
memperoleh persamaan schrodinger adalah dengan mendiferensialkan persamaan (3) dua
kali terhadap x, sehingga menghasilkan:
 2
p2



x 2
2
……………………………………………… (4)
Dan sekali diturunkan terhadap t menghasilkan:

iE
 

t
……………………………………………….(5)
Untuk kelajuan yang kecil terhadap cahaya, energi total partikel E ialah jumalah dari
energi kinetik p2/2m dan energi potensial V, dengan V merupakan fungsi kedudukan x dan
waktu t:
E
p2
V
2m
……………………………………………….(6)
Fungsi V menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel. Dengan menjadikan kedua
suku
persamaan
E 
(6)
p2
 V
2m
dengan
fungsi
gelombang

yang
menghasilkan:
……………………………………………….(7)
Dari persamaan (4) dan (5), kita peroleh:
E  
 
i t
p 2    2

x 2
………………………………………………(8)
………………………………………………(9)
Dengan mensubstitusikan pernyataan E dan p 2  dalam persamaan (7), maka diperoleh:
i

 2  2

 V
t
2m x 2
……………………………………..(10)
Persamaan (10) tersebut merupakan persamaan Schrodinger yang bergantung waktu dalam
satu dimensi. Jika dalam 3 dimensi persamaan (10) dapat ditulis dalam bentuk:
i

 2  2  2  2

(


)  V
t
2m x 2 y 2 z 2
……………………..(11)
Di mana energi potensial partikel V yang merupakan fungsi dari x, y, z, dan t. Setiap
pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi
potensial V. Dengan mengetahui bentuk V, persamaan Schrodinger dapat dipecahkan
untuk mendapatkan fungsi gelombang partikel  , sehingga kerapatan peluang  2 dapat
ditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu.
http://komangsuardika.blogspot.com
3
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
Dalam hal ini persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang
partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus
partikel bebas (energi potensial v = konstan ) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang
mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [V=V(x,y,z,t)]
merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada suatu cara yang
membuktikan bahwa perluasan itu benar. Oleh karena itu, maka digunakan postulat bahwa
persamaan Schrodinger berlaku untuk memecahkan berbagai situasi
fisis dan
membandingkannya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang
terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak maka digunakan pendekatan lain.
Dalam kenyataannya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang
sanagat tepat mengenai eksperimen yang diperoleh. Terkait dengan hal itu, maka
persamaan (11) hanya bisa dipakai untuk persoalan non-relativistik karena persamaan itu
bersesuaian dengan eksperimen dalam batas-batas berlakunya. Namun, walaupun
demikian, persamaan Schrodinger ini tetap merupakan postulat yang sama seperti postulat
relativitas khusus atau mekanika statistik, yaitu tak ada satupun yang dapat diturunkan dari
beberapa prinsip lain, dan masing-masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau
kurang dari dat empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu.
KERAPATAN PELUANG
Rapat
peluang
yang
diasosiasikan
dengan
fungsi
gelombang
sebagai
r, t    * r, t r, t  , sedemikian rupa sehingga r, t d 3 x menyatakan besarnya
peluang menemukan partikel di dalam unsur volume d 3x di sekitar r pada saat t. untuk
r, t  yang telah ternormalkan berlaku r, t d 3 x  1 dengan integrasi meliputi seluruh
V
ruang V. persamaan
r, t d x  1
3
menunjukkan bahwa jika kita melacak kehadiran
V
partikel meliputi seluruh ruang maka peluang untuk mendapatkannya adalah 1, artinya kita
pasti menemukan partikel tersebut. Persamaan ini juga menunjukkan bahwa rapat peluang
global (dihitung meliputi seluruh ruang) bersifat konstan, tidak bergantung pada waktu. Ini
berarti bahwa rapat peluang global bersifat kekal. Jika rapat peluang ini dihitung secara
lokal yaitu meliputi ruang yang terbatas, maka
r, t    * r, t r, t 
http://komangsuardika.blogspot.com
……………………….(a)
4
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
kita
ambil
derivatifnya
terhadap
r, t 
r, t 
 * r, t 
 *

t
t
t
Menurut
persamaan
Scrodinger
waktu
t.
hasilnya
adalah
………………………..(b)

2 2
r, t 
,
 r, t   Vr, t r, t   i
2m
t
kedua
derivatif fungsi gelombang terhadap waktu di ruas kanan. Persamaan (b) tersebut masingmasing bernilai
r, t  i 2
i

 r, t   r, t r, t 
t
2m

………………………..(c)
dan
 * r, t   i 2 *
i

  r, t   Vr, t  * r, t 
t
2m

………………………..(d)
substitusi persamaan (d) dan (c) ke dalam persamaan (b) dan menghasilkan
r, t  i
i

 * 2    2  * 
   *   *
t
2m
2m


 

………..(e)
Dengan  menyatakan vektor operator yang dalam sistem koordinat Cartesian berbentuk
i



 j k
persamaan (e) dapat diubah menjadi:
x
y
z
r, t 
   Jr, t   0
t
……………………….(f)
Dengan vektor rapat arus peluang J(r,t) didefinisikan sebagai
Jr, t  


 *    *
i 2m

………………………(g)
Persamaan (f) jika diintegralkan secara lokal mengungkapkan hukum kekekalan peluang.
Dalam konteks persamaan (f)  sebagai rapat peluang dan J sebagai vektor rapat arus
peluang.
Jadi, sesuai dengan persamaan (f) maka rapat peluang lokal bergantung pada
waktu. Persamaan (f) dapat juga dimaknai sebagai hukum kekekalan rapat peluang secara
lokal.
NILAI HARAP DAN OPERATOR
Perubahan fungsi gelombang terhadap waktu telah dirumuskan, yaitu mengikuti
persamaan Schrödinger. Mengingat fungsi gelombang berkaitan erat dengan hasil
http://komangsuardika.blogspot.com
5
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
pengukuran, maka timbul pertanyaan tentang begaimana hasil pengukuran perubahan
terhadap waktu. Perlu dicatat bahwa hasil pengukuran harus diartikan sebagai nilai harap
(rerata) pengukuran. Hal ini disebabkan karena hasil pengukuran bersifat probabilistik
sehingga tidak mungkin bagi kita untuk menyelidiki perilaku hasil ukur secara individual.
Dengan menggunakan persamaan Schrödinger, kita akan menemukan jawaban atas
pertanyaan tadi. Selanjutnya, untuk penyederhanaan penulisan, kita definisikan:
Ĥ  
2 2
 V( x , t )
2m x 2
………………………………(1)
Dengan menggunakan definisi di atas, persamaan Schrödinger dapat ditulis dalam
bentuk:
Ĥ  i

, dengan Ψ merupakan penyingkatan dari Ψ(x,t).
t
Nilai harap pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan oleh fungsi
gelombang ternormalkan Ψ adalah,

Â


  Âdx
*
……………………………...(2)

Untuk mengetahui bagaimana nilai harap berubah terhadap waktu, dapat diambil
derivatif persamaan (2) terhadap waktu, yaitu
d
Â
dt




d
   * Âdx 

dt  

……………………………..(3)
Karena integrasi dilakukan terhadap x maka operator derivatif terhadap t dapat dimasukkan
ke dalam integran. Jadi ruas kanan persamaan (3) dapat diubah menjadi



 
d
   * Âdx     * Â dx

dt  
  t
……………………………..(4)
Dengan memperhatikan bahwa telah diubah derivatif biasa (d/dt) menjadi derivatif
parsial (/t). Hal ini harus dilakukan mengingat pengambilan derivatif dilakukan terhadap
t saja sedangkan Ψ, Ψ*, dan  pada umumnya merupakan fungsi x dan t. Selanjutnya,
dengan menggunakan aturan derivatif untuk perkalian dua fungsi atau lebih, integral di
ruas kanan persamaan (4) dapat diubah menjadi




 


 *
 *

* Â
*
t  Â dx   t Â dx   t dx   Â t dx …….(5)
http://komangsuardika.blogspot.com
6
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
Berdasarkan persamaan Schrödinger, derivatif fungsi gelombang pada suku
pertama dan suku terakhir ruas kanan persamaan (5) masing-masing dapat diganti dengan
persamaan:


t
1
i
Ĥ
…………………………....(6a)
dan
 
 *  1
1

  Ĥ    Ĥ
t
i
 i

*
*
…………………………….(6b)
Dengan mensubstitusi persamaan (6) ke dalam persamaan (5) menghasilkan




  


*
 *
1
1
* Â
*
t  Â dx   i  Ĥ Â dx   t  dx  i  ÂĤdx
 Ĥ  Âdx    ĤÂdx ,

Karena Ĥ hermitian maka berlaku
……..(7)

*
*

sehingga persamaan

terakhir dapat diubah menjadi:







 *
1
*
* Â
t  Â dx  i  ÂĤ  ĤÂ dx   t dx
…………….(8a)
Suku pertama ruas kanan persamaan (8a) menyatakan nilai harap bagi komutator
Â, Ĥ  ÂĤ  ĤÂ
dan suku kedua menyatakan nilai harap bagi Â / t . Dengan
demikian, persamaan (8a) dapat diubah lagi menjadi:
 t  Â dx  i


1
*
Â, Ĥ



Â
t
…………….(8b)

Substirusi persamaan (8b) ke persamaan (5) kemudian hasilnya disubstitusikan ke
persamaan (4) menghasilkan persamaan akhir rumusan perubahan nilai harap terhadap
waktu sebagai berikut.
d
Â
dt


 
1
Â, Ĥ
i


Â
t
…………….(9)

Persamaan (9) menunjukkan bahwa perubahan nilai harap hasil ukur besaran A terhadap
 
waktu bergantung pada dua hal, yaitu; terhadap nilai harap komutator Â, Ĥ dan terhadap
nilai harap derivatif  terhadap waktu. Kebergantungan terhadap fungsi gelombang
bersifat implisit dan baru nampak ketika menghitung
Â, Ĥ dan
Â / t . Persamaan (9)
sering disebut sebagai Persamaan Gerak Heisenberg.
http://komangsuardika.blogspot.com
7
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
Untuk mengetahui bagaimana nilai harap posisi dan momentum linier berubah
terhadap waktu dapat digunakan rumus umum sebagaimana dinyatakan dalam persamaan
(9).
a) Perubahan nilai harap posisi terhadap waktu
Berdasarkan persamaan (9), perubahan nilai harap posisi terhadap waktu mengikuti
hubungan:
d
X̂
dt


 
1
X̂, Ĥ
i


X̂
t
…………………………………..(10)

Komutator yang dibentuk oleh operator posisi dan hamiltonian adalah
X̂, Ĥ  X̂, 2P̂m  V(X̂)  X̂, 2P̂m   X̂, V(X̂)
2
2

Komutator

suku terakhir

………………….(11a)

merupakan operator
nol,
sebab
X̂, X̂  0
sehingga
X̂, V(X̂)  0 . Komutator suku pertama dapat diselesaikan sebagai berikut.


 
 
 P̂ 2 
1
1
iP̂
.
X̂, P̂ 2 
X̂, P̂ P̂  P̂ X̂, P̂ 
X̂,

2m
m
 2m  2m
 
Pada perhitungan tadi telah menggunakan persamaan X̂, P̂  i , persamaan (11a) dapat
diubah menjadi
X̂, Ĥ  imP̂
………………………………………...(11b)
Selanjutnya, karena X̂ secara eksplisit tidak bergantung waktu maka X̂ / t  0 sehingga
nilai harapnya juga nol; jadi X̂ / t  0 . Substitusi nilai ini dan persamaan (11b) ke
dalam persamaan (10) diperoleh persaman baru tentang perubahan nilai harap posisi
terhadap waktu sebagai berikut
d
X̂
dt


1 iP̂
i m


P̂
m
………………………………....(12)

b) Perubahan nilai harap momentum linier terhadap waktu
Berdasarkan persamaan (9), perubahann nilai harap momentum linier terhadap waktu
mengikuti hubungan
d
P̂
dt


 
1
P̂, Ĥ
i


P̂
t
…………………………………(13)

http://komangsuardika.blogspot.com
8
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
Komutator yang dibentuk oleh operator momentum linier dan hamiltonian adalah
P̂, Ĥ  P̂, 2P̂m  V(X̂)  P̂, 2P̂m   P̂, V(X̂)
2
2



………………..(14a)


 

Komutator suku pertama merupakan operator nol, sebab P̂, P̂  0 sehingga P̂, P̂ 2  0 .
Komutator suku terakhir dapat diselesaikan sebagai berikut.
Jika komutator tersebut dikerjakan pada sembarang fungsi gelombang Ψ (x),
sehingga operator X̂  x dan P̂  i / x , maka kita peroleh hubungan
P̂, V(X̂)  P̂V(X̂)  VX̂P̂  i x V(x) V(x)  i x  



 
V( x )
 V( x )
 i 
  V( x )
 V( x )

  i
x
x 
x
 x


Ini berarti bahwa P̂, V(X̂)  i
V( x )
x
Dengan demikian, persamaan (14a) menjadi
P̂, Ĥ  i Vx(x)
………………………………………(14b)
Selanjutnya, karena P̂ secara eksplisit tidak bergantung waktu maka P̂ / t  0 sehingga
nilai harapnya juga nol; jadi P̂ / t  0 . Substitusi nilai ini dan persamaan (14b) ke
dalam persamaan (13) diperoleh persaman baru tentang perubahan nilai harap momentum
terhadap waktu sebagai berikut
d
P̂
dt


1
dV( x )
dV( x )
 i

i
dx
dx
Persamaan (12) dapat diubah menjadi
……………………….(15)
P̂  m
d X̂
dt
. Jika setiap operator dalam
persamaan ini diganti dengan besaran fisik yang diwakilinya, maka akan didapatkan
hubungan
pm
p m
dx
dt
. Dalam fisika klasik, momentum linier didefinisikan sebagai
dx
, yang ternyata sangat mirip dengan yang didapatkan tadi.
dt
http://komangsuardika.blogspot.com
9
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
Sekarang jika diperhatikan persamaan (15), dalam fisika klasik terdapat hubungan
F
dp
(hukum II Newton) dan untuk gaya konservatif berlaku hubungan F = -dV/dx. Jadi
dt
dalam fisika klasik, khususnya untuk sistem konservatif, berlaku hubungan
dp
dV

dt
dx
……………………………………………….(16)
Jika dibandingkan antara persamaan (15) dan (16) maka dapat disimpulkan bahwa
persamaan (15) merupakan pernyataan hukum II newton dalam formulasi kuantum.
Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa terdapat kesepadanan antara fisika
kuantum dengan fisika klasik. Kesepadanan rumusan kuantum dan rumusan klasik tentang
hukum II newton ini dikenal sebagai Teorema Ehrenfest.
Dari persamaan yang dikemukakan oleh Schrödinger kemudian menimbulkan
beberapa pertanyaan antara lain, apakah persamaan Schrödinger menjamin tetap
berlakunya hukum kekekalan energi?
Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa hamiltonian (E K + EP)sistem
konservatif bersifat kekal. Dengan kata lain, hamiltonian sistem tidak berubah terhadap
waktu. Oleh sebab itu, untuk menguji apakah persamaan Schrödinger menjamin tetap
berlakunya hukum kekekalan energi atau tidak, dapat diselidiki bagaimana nilai harap
hamiltonian sistem berubah terhadap waktu.
Berdasarkan persamaan (9), perubahan nilai harap hamiltonan terhadap waktu
mengikuti formulasi dasar sebagai berikut.
d
Ĥ
dt


 
1
Ĥ, Ĥ
i


 
Ĥ
t
……………………………..(17)

Karena Ĥ, Ĥ  0 dan untuk sitem konservatif Ĥ / t  0 maka persamaan (17) menjadi
d
Ĥ
dt

 0 , atau Ĥ = konstan
……………………………..(18)
Persamaan (18) menunjukkan bahwa nilai harap hamiltonan sistem konservatif bersifat
kekal. Ini berarti bahwa persamaan Schrödinger menjamin tetap berlakunya hukum
kekelan energi (secara rata-rata).
http://komangsuardika.blogspot.com
10
PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU| http://komangsuardika.blogspot.com
DAFTAR PUSTAKA
Beiser, A.1992.Konsep Fisika Modern. Edisi ke-4, cetakan ke-2. Jakarta: Erlangga.
Halliday, Resnick. 1999. Fisika Jilid 2. Edisi ke-3. Jakarta: Erlangga
Kusminarto.1992.Pokok-Pokok Fisika Modern. Yogyakarta: Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada.
Sutopo. 2003. Pengantar Fisika Kunatum. Malang: Universitas Negeri Malang.
Santyasa, I W. 1994. Perkembangan Teori Kuantum Secara Historis.Makalah. Program
Studi Pendidikan Fisika STKIP Singaraja.
Krane, Kenneth. 1992. Fisika Modern. Jakarta: Universitas Indonesia.
http://komangsuardika.blogspot.com
11