matriks - Mas`ud Effendi

MATRIKS
Matematika
FTP – UB
Mas’ud Effendi
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Transpos Suatu Matriks
• Jika sebuah matriks disalingtukarkan antara
baris dan kolomnya, maka matriks baru yang
terbentuk disebut transpos dari matriks aslinya.
Sebagi contoh:
 4 6
 4 7 2
A   7 9  then AT  

6
9
5


 2 5


Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Matriks Khusus
• Matriks bujursangkar
– Matriks dengan orde m x m
– Matriks bujursangkar dikatakan simetrik jika aij=aji 
1
A=AT
2 5 


2

5

8
9 
9
4 

– Matriks bujursangkar dikatakan simetrik-miring jika
aij= -aji  A=-AT  0
2 5


 2

 5

0
9

9 

0 
Matematika
Matriks Khusus
• Matriks diagonal
– Matriks bujursangkar yang semua elemennya nol
kecuali elemen yang berada pada diagonal utamanya
5


0

0

0 0 
2 0 
0

7 
Matematika
Matriks Khusus
• Matriks satuan/identitas (I)
– Matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal
utamanya semuanya satu
– Hasil kali antara A dengan I akan menghasilkan A
A.I=A=I.A
1

I   0

0

0 0 
1 0 

0 1 
Matematika
Matriks Khusus
• Matriks nol
– Matriks yang semua elemennya adalah nol
dan dinyatakan dengan 0
0

0   0

0

0 0 
0 0 
0

0 
– Maka A.0=0
– Tetapi jika A.B=0, kita tidak dapat
mengatakan A=0 atau B=0
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar
• Determinan yang memiliki elemen yang sama dengan
elemen matriksnya
5 2 1
5 2 1


 0 6 3   0 6 3  150
8 4 7
8 4 7


• Determinan matriks bujursangkar memiliki nilai yang
sama seperti nilai determinan matriks transposnya
5 0 8
5 2 1 5 0 8

 

 0 6 3    2 6 4   2 6 4  150
8 4 7 1 3 7
1 3 7

 

• Matriks yang determinannya nol disebut matriks singular
Matematika
Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar
• Kofaktor
– Jika A=(aij) adalah suatu matriks bujursangkar, setiap
elemen menghasilkan kofaktor, minor dari elemen
dalam determinan beserta ‘tanda tempatnya’
5 2 1
5 2 1


A   0 6 3   det A  A  0 6 3  150
8 4 7
8 4 7


kofaktor
5  (42  12)  30
2  (0  24)  24
Matematika
Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar
• Adjoin suatu matriks bujursangkar
– Misal matriks bujursangkar C dibentuk dari
matriks bujursangkar A dimana elemenelemen C secara respektif merupakan
kofaktor dari elemen A, maka:
A   aij  and Aij is the cofactor of aij then C   Aij 


– Transpos dari C disebut adjoin A, dinotasikan
adj A.
Matematika
Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Invers Suatu Matriks Bujursangkar
• Jika setiap elemen adjoin matriks bujursangkar
A dibagi dengan determinan A, yaitu |A|, maka
matriks yang dihasilkan disebut invers A dan
dinyatakan dengan A-1.

1
A 
1
adjA 

det A
• Note: jika det A=0 maka invers tidak ada
Matematika
Invers Suatu Matriks Bujursangkar
Matematika
Invers Suatu Matriks Bujursangkar
• Hasil kali suatu matriks bujursangkar
dengan inversnya, dengan urutan
manapun faktor-faktornya ditulis, ialah
matriks satuan dengan orde matriks yang
sama:
-1
-1
A.A = A .A = I
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Set n persamaan linier simultan dengan n
bilangan tidak diketahui
a11x1  a12 x2  a13 x3   a1n xn  b1
a21x1  a22 x2  a23 x3   a2n xn  b2
an1x1  an2 x2  an3 x3 
 ann xn  b1
• Dapat ditulis dalam bentuk matriks:
 a11
a
 21


 an1
a12
a13
a22
a23
an2
an3
a1n  x1   b1 
 b 
a2n 
x
2
    2  that is A.x = b
   

  

ann  xn   bn 
Matematika
Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Karena:
A.x = b then
A1.Ax = A1.b that is
I.x = A1.b and I.x = x
• Solusi:
x = A1.b
Matematika
Penyelesaian Set Persamaan
Linier
Matematika
Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Metode eliminasi Gauss untuk penyelesaian set
persamaan linier
• Diberikan:  a a a
a  x  b
11
a
 21


 an1
12
13
a22
a23
an2
an3
1n
a2n 



ann 



 1
x2   b2 
 
  
  
xn   bn 
1
• Buat matriks augmen B, dimana:
 a11

a
B   21


 an1

a12
a22
a13
a23
a1n
a2n
an2
an3
ann
Matematika
b1 

b2 


bn 

Penyelesaian Set Persamaan
Linier
Eliminasi elemen-elemen selain a11 dari kolom
pertama dengan mengurangkan a21/a11 kali
baris pertama dari baris kedua dan a31/a11 kali
baris pertama dari baris ketiga, dst
Matriks baru yang terbentuk:
 a11 a12

 0 c22


 0 cn2

a13
c23
a1n
c2n
cn3
cnn
Matematika
b1 

d2 


dn 

Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Proses ini kemudian diulangi untuk
mengeliminasi ci2 dari baris yang ketiga dan
yang berikutnya sampai diperoleh matriks dalam
bentuk berikut:
 a11

 0
 0

 0

a1,n2
pn3,n2
0
0
a1,n1
pn2,n1
pn1,n1
0
a1n
pn2,n
pn1,n
pnn
Matematika
b1 

q2 


qn 

Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Matriks segitiga yang telah terbentuk dari
matriks augmen, kita pisahkan kolom kanan
kembali ke posisi semula
 a11
 0

 0

 0
a1,n2
a1,n1
pn3,n2
0
pn2,n1
pn1,n1
0
0
a1n  x1   b1 
 q 
pn2,n 
x
2
    2 
pn1,n    
   
pnn 
 xn   qn 
• Hasil ini memberikan solusi :
pnn xn  qn so xn 
qn
pnn
Matematika
Penyelesaian Set Persamaan
Linier
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Persamaan dalam bentuk:
A.x  x
• Dimana A adalah matriks bujursangkar
dan  adalah bilangan (skalar) yang punya
solusi non-trivial, yakni (x  0), untuk x
disebut vektor-eigen atau vektor
karakterisik A.
• Nilai  disebut nilai-eigen, nilai
karakteristik atau akar laten dari matriks A.
Matematika
Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Dinyatakan sebagai set persamaan yang
terpisah:
 a11
a
 21


 an1
a12
a13
a22
a23
an2
an3
a1n  x1 
 x1 

x 
a2n 
x
 2     2 
 
 
 
 
ann 
x
 n 
 xn 
• yakni
Matematika
Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi:
 a11 
 a
 21


 an1
• sehingga:
a12
a13
a22 
a23
an2
an3
 x1   0 
 0
a2n 
x
 2    
   
   
ann  
 xn   0 
a1n
 AI .x  0
• Yang berarti, solusi non-trivial:
A  I  0
Determinan karakteristik A
Matematika
Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Nilai-eigen
– Untuk mencari nilai-eigen dari:
4
A 
3
1
2 
– Selesaikan persamaan karakteristik |A-λI|=0:
4
1
3
2
0
– sehingga: ( 1)(  5)  0
– Nilai-eigen 1 1; 2  5
Matematika
Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Vektor-eigen
– Untuk mencari vektor-eigen dari
– Selesaikan persamaan A.x  x
– Untuk nilai-eigen  = 1 dan  = 5
4
A 
3
1
2 
For  =1
 4 1   x1   x1 
 k 

1
and
so
x


3
x
giving
eigenvector
 3 2  x   x 
 3k 
2
1
2
2

   


For  =5
 x1 
 4 1   x1 
k 

5
and
so
x

x
giving
eigenvector
x 
 3 2  x 
k 
2
1
2
2

 
 
 
Matematika
Hasil Pembelajaran
•
•
•
•
•
•
•
Memperoleh transpos suatu matriks
Mengenali jenis-jenis matriks khusus
Memperoleh determinan, kofaktor, dan adjoin matriks bujursangkar
Memperoleh invers matriks non-singular
Menggunakan matriks untuk menyelesaikan set persamaan linier
dengan matriks invers
Menggunakan metode eliminasi Gauss unntuk menyelesaikan set
persamaan linier
Menentukan nilai-eigen dan vektor-eigen
Matematika
Referensi
• Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika
Teknik. Erlangga. Jakarta
Matematika