Segitiga - WordPress.com

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
TAHUN 2015
Mata Kuliah
:
Kajian Matematika SMP
Dosen Pengampu
:
Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd
Semester/Kelas
:
3A3
Tanggal Pengumpulan
:
14 Desember 2015
Petunjuk:
1. Tuliskan nama dan NPM mahasiswa pada lembar yang tersedia.
2. Perhatikan secara cermat dan isilah titik-titik yang sesuai menurut Anda.
3. Berdo’alah sebelum dan sesudah mengerjakan.
Nama
:
..................................................
NPM
:
..................................................
1
SEGITIGA
A. Pengertian Segitiga
Dalam kehidupan sehari-hari, segitiga banyak manfaatnya. Pada gamba
disamping jembatan atau tiang listrik untuk transmisi tegangan tinggi dibuat
dengan konstruksi bentuk segitiga Dipilih berbentuk segitiga agar
konstruksinya kokoh.
Sebuah segitiga terbentuk apabila tiga titik yang tidak terletak pada satu
garis lurus saling dihubungkan. Hal ini berarti :
Segitiga adalah............................................................................................
............................................................................................................................
Gambar bangun ABC di samping adalah sebuah segitiga. Ketiga titik
segitiga tersebut, yaitu, AB, danC disebut titik sudut .AB, BC, dan AC disebut
............ Sisi-sisi dan sudut-sudut dalam segitiga
ABC disebut ............................................................
Notasi untuk segitiga ABC sering digunakan
............. Rincian tentang unsur-unsur
pada
gambar disamping dapat diterangkan sebagai
berikut.
Sisi BC yang berhadapan dengan ................ ditulis
Sisi AC yang berhadapan dengan ................ ditulis
Sisi AB yang berhadapan dengan ................ ditulis
B. Jenis-jenis segitiga
Penanaman sebuah segitiga bergantung dari cara peninjauan .Peninjauan
ini meliputi panjang sisi-sisinya, sudut-sudutnya ataupun gabungan keduanya
1. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya
Penanaman segitiga yang ditinjau dari panjang sisi-sisinya meliputi :
................................, .................................., dan ......................................
2
a. Segitiga sama kaki
Segitiga
sama
kaki
terbentuk
dari
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.Gambar
disamping
bahwa
segitiga sama kaki
memperlihatkan
merupakan ......... dari
merupakan .........., serta
merupakan .............. segitiga dan sering pula disebut sebagai
..................................... Sudut
D.
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa :
Segitiga sama kaki terbentuk dari .....................................................
............................................................................................................
b. Segitiga sama sisi
Segitiga
sama
sisi
adalah
.................................................................
.................................................................
c. Segitiga sembarang
segitiga
sembarang
adalah
.............................................................
.............................................................
.............................................................
3
Dari pernyataan diatas dapat pula
dinyatakan sebagai berikut :
Segitiga sembarang adalah ...............................................................
.......................................................
Ketiga jenis segitiga yang telah di kenal itu bila dituliskan
dalam teori himpunan akan diperoleh hubungans ebagai berikut.
Misal :
Maka .......................................................
2. Jenis segitiga di tinjau dari sudut-sudutnya
Pada topik sebelumnya kita telah mempelajari jenis
segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya. Sekarang akan
meninjau jenis segitiga berdasarkan ukuran sudut-sudutnya.
Apabila segiyiga ditinjau dari ukuran-ukuran sudut,
maka nama segitiga itu mengikuti nama ukuran sudutnya,
yaitu :
a.
a. ...................................................................................
...................................................................................
b. ...................................................................................
...................................................................................
c. ...................................................................................
...................................................................................
3. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisi dan besar sudutnya
Pada pembahasan yang lalu telah mengenal jenis segitiga ditinjau dari
panjang sisi-sisinya dan ditinjau dari besar sudut-sudutnya secara terpisah.
Jenis segitiga yang ditinjau dari panjang sisi-sisi dan besar sudutnya antara
lain :
a. Segitiga sama kaki
4
Segitiga sama kaki jika dikaitkan dengan besar sudut-sudutnya
yang mungkin terbentuk adalah :
b. Segitiga sama sisi
Segitiga sama sisi jika dikaitkan dengan besar sudut-sudutnya
adalah ..................................... Untuk segitiga sama sisi tidak ada
penamaan khusus seperti segitiga sama kaki.
c. Segitiga sembarang
Segitiga sembarang yang mungkin terbentuk jika dikaitkan dengan
besar sudut-sudutnya adalah :
C. Sifat-sifat segitiga
1. Segitiga siku-siku
Pada pembahasan terdahulu telah di ketahui bahwa segitiga siku-siku
dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang dengan
menarik
diagonalnya.
Perhatikan
gambar
disamping. Bidang ABCD adalah persegi panjang.
Dengan menarik diagonal AC, akan terbentuk
....................................................................................
....................................................................................
5
Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi siku-siku yang mengapit sudut
siku-siku dan satu sisi miring (hypotenusa).
Pada gambar diatas, ∆ABC mempunyai ciri-ciri :
AB dan BC sebagai sisi siku-siku, AC sebagai ..................... dan sudut
ABC atau sudut B adalah sudut siku-siku (=900)
Dalam sebuah segitiga siku-siku, ............................................................
.............................................................................
2. Segitiga sama kaki
Dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dapat
membentuk ......................................................................
........................................................................................
..........................................................................................
Perhatikan gambar disamping. Segitiga ABD dan
segitiga DBC adalah segitiga ..........................................
......................................... Sisi BD adalah ......................
................................. Jadi, segitiga ACD adalah segitiga
................ dengan sisi AD=DC.
Di dalam segitiga sama kaki terdapat :
a. Dua sisi yang sama panjang, sisi tersebut
sering disebut ........................
b. Dua sudut yang sama besar yaitu ...........
.............................................................................................
c. Satu sumbu simetri.
Segitiga sama kaki merupakan bangun simetri lipat dan
dapat menempati bingkainya dalam ..................... Dari gambar
disamping terlihat bahwa :

CD sebagai ..........................

A pindah ke B;B pindah ke A, dan C tetap.

AC pindah ke BC, maka AC=BC.

pindah ke
maka
.
6
3. Segitiga sama sisi
Tiga buah garis lurus yang sama panjang
dapat membentuk sebuah segitiga sama sisi
dengan cara mempertemukan setiap ujung garis
satu sama lainnya.
Gambar (i) disamping menunjukkan gambar
tiga garis lurus yang sama panjang yaitu
AB=BA=CA.
Apabila
ujung-ujung
ketiga
garis
tersebut
saling
dipertemukan, A dengan A,B dengan B, dan C dengan C, maka akan
terbentuk segitiga sama sisi ABC sepertu terlihat pada gambar (ii) di
samping.
Didalam segitiga sama sama sisi terdapat :
a. ..............................................
b. ..............................................
c. ..............................................
Dari gambar (ii) diatas terlihat bahwa AB=AC=BC;
garis putus-putus adalah ...................................................
Segitiga sama sisi merupakan bangun simetri lipat yang dapat
menempati bingkainya dengan ............. Hal itu diilustrasikan pada gambar
berikut.
7
D. Menggambar segitiga istimewa
Ada beberapa cara untuk menggambar segitiga istimewa diantaranya
dengan menggunakan busur derajat dan penggaris, koordinat cartesius, dan
jangka.
1. Menggunakan busur derajat dan penggaris
Segitiga siku-siku
Lukislah segitiga siku-siku menurut langkah-langkah berikut :
1. Lukislah garis lurus AB sebagai sisi pertama dari segitiga ABC
2. Buatlah
0
(dititik B) dengaan busur derajat dan ditandai
titik C.
3. Hubungkan titik A dan titik C.
Segitiga sama kaki
Untuk menggambar segitiga sama kaki PQR dengan menggunakan busur
derajat dan penggaris pada kertas polos dapat di tempuh dengan cara
berikut ini.
1. Lukislah sisi PQ.
2. Pada titik Q buatlah
menggunakan busur derajat dengan
ukuran sembarang (sudut ini bisa tumpul atau lancip sesuai dengan
ketentuan yang diberikan) dan tandai titik R.
3. Ukurlah sisi QR agar sama dengan sisi PQ.
4. Hubungkan titik P dan titik R tersebut.
8
Segitiga sama sisi
Lukislah segitiga sama sisi sesuai dengan langkah-langkah berikut :
1. Lukislah garis KL,
2. Pada titik L buatlah
0
dengan busur derajat dan tandai
titik M.
3. Ukurlah sisi LM agar sama dengan sisi KL.
4. Hubungkan titik K dengan titik M tersebut.
2. Menggunakan Koordinat Cartesius
Sebuah segitiga dapat digambarkan pada koordinat cartesius apabila
diketahui koordinat titik-titik sudutnya.
Contoh 1:
Lukislah segitiga ABC apabila A(-2,1), B(3,1), dan C(3,4). Segitiga
apakah segitiga ABC ?
9
Penyelesaian:
Segitiga ABC adalah ............................................
3. Menggunakan Jangka
Segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi lebih mudah digambar
dengan menggunakan jangka.
Berikut ini ada beberapa cara menggambar segitiga dengan
menggunakan jangka.
Segitiga sama kaki
Cara pertama:
1. Lukislah satu sudut dengan membuat dua garis lurus yang saling
berpotongan.
2. Dari titik sudut tersebut pergunakan jangka untuk mengukur panjang
kaki-kaki sudut tersebut.
3. Hubungkan titik potong kaki sudut dengan hasil putaran jangka.
10
Cara kedua:
1. Lukislah sisi segitiga yang ukurannya tidak sama dengan yang
lainnya.
2. Dari titik-titik ujung sisi tersebut, putar jangka sesuai dengan dasar
ukuran (jarak kaki jangka = kaki segitiga)
3. Hubungkan titik-titik ujung sisi tersebut dengan perpotongan hasil
putar jangka.
Segitiga sama sisi
1. Lukislah salah satu sisi segitiga berdasarkan dasar ukuran yang
tersedia.
2. Dari titik-titik ujung sisi tersebut, putar jangka (jarak kaki sama
dengan panjang sisi segitiga (1)).
11
3. Hubungkan titik-titik ujung sisi tersebut dengan perpotongan hasil
putaran jangka. (perhatikan gambar berikut)
E. Menggambar Segitiga Secara Umum
Sebuah segitiga dapat digambar atau dilukis jika diketahui:
i) Tiga sisinya sekaligus, atau
ii) Dua sisi dan satu sudut yang diapit sisi tersebut, atau
iii) Dua sudut dan satu sisi yang merupakan kaki sekutu kedua sudut yang
diketahui.
1. Menggambar segitiga jika diketahui ketiga sisinya
Misalkan kita akan melukis ABC dengan panjang ketiga sisinya
adalah AB = 3 cm, BC = 2 cm, dan AC = 4 cm.
Langkah-langkah:
1. Buatlah tiga ruas garis berukuran 3 cm, 2 cm, dan 4 cm sebagai dasar
ukuran.
2. Lukislah garis AB = 3 cm.
3. Ambillah jangka, buat kakinya berjarak 4 cm, putar jangka dari titik A.
4. Kemudian buat kaki jangka berjarak 2 cm, putar dari titik B.
5. Perpotongan kedua putaran jangka tadi tandai dengan titik C.
6. Hubungkan titik C dengan titik A dan titik B maka akan terjadi
segitiga ABC yang kita inginkan.
12
2. Menggambar segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang
diapitnya
Misalnya kita akan melukis PQR dengan P = 30 , PQ = 4 cm, dan
PR = 5 cm.
Langkah-langkahnya:
1. Lukislah dan ukur
P
menggunakan penggaris, jangka, dan
busur.
2. Ukur PQ = 4cm dan PR = 5 cm menggunakan penggaris.
3. Hubungkan titik R dan titik Q, maka akan terbentuk segitiga PQR yang
kita inginkan.
13
3. Menggambar segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi
persekutuan kedua sudut
Misalnya kita ingin melukis ABC dengan panjang AB = 5 cm,
CAB = 55 , dan sudut CBA = 65 .
Langkah-langkahnya:
1. Lukis garis AB yang panjangnya 5 cm.
2. Dengan menggunakan busur derajat buatlah pada titik A sudut yang
besarnya 55 dan pada titik B sudut besarnya 65 . Kedua kaki sudutsudut tersebut berpotongan dititik C.
F. Melukis Garis Tinggi, Garis Bagi, Garis Berat, dan Garis Sumbu Pada
Segitiga.
1. Melukis garis tinggi pada segitiga sembarang
Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dalam
segitiga yang tegak lurus pada sisi dihadapan sudut itu.
Cara melukis:
1. Lukis sebuah ABC sembarang.
2. Lukis busur dengan pusat A yang memotong garis BC dititik K dan
L.
3. Lukislah dua busur masing-masing berpusat di K dan L dengan
lebar jangka yang sama dan saling berpotongan.
4. Tarik garis dari titik A ke perpotongan dua busur tersebut hingga
memotong tegak lurus garis BC di D.
14
5. Dengan cara yang sama, kita dapat melukis garis tinggi dari B yang
tegak lurus AC dan garis tinggi dari C yang tegak lurus AB.
6. Garis-garis AD, BE, dan CF merupakan garis tinggi segitiga ABC.
Perlu diingat bahwa melukis garis tinggi pada segitiga merupakan
pengembangan melukis garis dari suatu titik di luar garis yang tegak lurus
garis tersebut.
2. Melukis garis bagi pada segitiga sembarang
Garis bagi adalah garis yang ditarik dari titik sudut dalam segitiga dan
membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar.
Cara melukis:
1. Lukis sebuah ABC sembarang.
2. Lukis busur dengan pusat A yang memotong garis AB dan AC di
titik K dan L.
3. Lukis dua busur dengan lebar jangka yang sama di pusat K dan L
sehingga saling berpotongan.
4. Tarik garis dari titik A ke perpotongan dua busur tersebut hingga
memotong garis BC di D.
5. Dengan cara yang sama kita dapat melukis garis bagi BE, dan CF.
15
3. Melukis garis berat pada segitiga sembarang
Garis berat adalah garis yang ditarik dari sebuah sudut dalam segitiga
dan membagi sisi yang di hadapan sudut itu menjadi dua bagian sama
panjang.
Cara melukis:
1. Lukis sebuah ABC sembarang.
2. Dengan pusat B dan C dan lebar jangka yang sama, lukis busur
lingkaran yang berpotongan dua kali. Hubungkan keduanya hingga
berpotongan dengan garis BC di titik D. D merupakan titik tengah
BC dan garis AD merupakan garis berat ABC.
3. Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan garis BE dan garis CF
yang merupakan garis berat ABC.
16
Garis-garis AD, BE, dan CF masing-masing adalah garis berat pada
ABC dengan pusat berat di titik R. Titik R sering disebut sebagai titik
berat ABC.
4. Melukis garis sumbu pada segitiga sembarang
Garis sumbu adalah garis yang tegak lurus dengan suatu sisi segitiga
dan membagi sisi tersebut menjadi dua bagian sama panjang.
Cara melukis:
1. Lukis sebuah ABC sembarang.
2. Dengan pusat B dan C dan lebar jangka yang sama, lukis busur
lingkaran yang berpotongan dua kali. Hubungkan keduanya hingga
memotong sisi BC dan salah satu sisi yang lain (dinamakan garis p)
garis p adalah garis sumbu pada sisi BC.
3. Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan garis q dan garis r yang
merupakan garis sumbu ABC.
4. Garis-garis p,q dan r merupakan garis
sumbu pada ABC.
G. Menghitung Besaran-Besaran Pada Segitiga
1. Jumlah sudut-sudut segitiga yang membentuk sudut lurus
Untuk menentukan jumlah sudut-sudut segitiga dapat dilakukan
dengan berbagai cara, yaitu mengukur masing-masing sudut dengan busur
derajat dan membentuk sudut lurus dari ketiga sudut segitiga tersebut.
17
Penekanan dalam topik ini adalah menentukan jumlah sudut-sudut segitiga
yang membentuk sudut lurus. Perhatikan gambar berikut ini!
Pada ABC dalam gambar di atas, garis AB diperpanjang hingga E.
Dari titik B ditarik garis yang sejajar dengan AC, yaitu BD. Apabila
ukuran
bahwa
BAC = a ,
ACB = c ,dan
ABC = b , maka dapat dilihat
DBE = ........................ (sudut sehadap), dan
DBC = ...............
(sudut dalam berseberangan). Pada gambar di atas terlihat bahwa ketiga
sudut
a , b dan c membentuk ...................... Karena jumlah sudut
pelurus adalah .......... maka
a + b
+ c
= ..........., atau dapat
disimpulkan bahwa jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga adalah ...........
2. Menghitung besar salah salah satu sudut pada segitiga jika dua sudut
lainnya diketahui
Untuk menghitung besar salah satu sudut pada segitiga jika dua sudut
lainnya diketahui yang perlu diingat adalah jumlah sudut-sudut dalam
suatu segitiga adalah 180.
Contoh:
Tentukan nilai x dari segitiga segitiga pada gambar berikut ini!
18
Penyelesaian:
3. Hubungan sudut dalam dan sudut luar pada segitiga
Perhatikan gambar di samping.
Pada
disebut
ABC, sudut A1, B1, dan C1
sudut
dalam dari
ABC,
sedangkan sudut A2, B2, dan C2
merupakan sudut luar
+
ABC.
= 180 . Sekarang kita
akan memperluas pembahasan tentang
hubungan sudut dalam dan sudut luar
pada segitiga.
Hal yang perlu diingat dalam menentukan hubungan ini adalah tentang
sudut berpelurus, yaitu
berpelurus dengan
bila
i)
berpelurus dengan
maka
atau
ii)
berpelurus dengan
maka
atau
iii)
berpelurus dengan
maka
atau
Dari keterangan tersebut dapat kita simpulkan
19
Besar sebuah sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah besar dua
sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut tersebut.
Contoh:
Perhatikan gambar di bawah. Hitinglah besar sudut luar
dan
!
Penyelesaian :
H. Keliling dan Luas Segitiga
1. Keliling segitiga
Sebuah segitiga mempunyai tiga sisi dan tiga sudut. Sisi yang terletak
di bawah disebut alas. Sudut yang berhadapan dengan alas disebut sudut
puncak, dan titik sudut puncak disebut titik puncak. Jarak terdekat antara
titik puncak dengan alas disebut tinggi
segitiga.
Perhatikan gambar di samping. Pada
segitiga ABC, AB sebagai alas segitiga, C
sebagai titik puncak, dan CD sebagai
20
tinggi segitiga.
Sisi di depan sudut A atau α adalah BC ditulis a.
Sisi di depan sudut B atau β adalah AC ditulis b.
Sisi di depan sudut C atau
adalah AB ditulis c.
Keliling segitiga sembarang adalah jumlah panjang ketiga sisinya.
Atau secara umum ditulis: Keliling (K) = a + b + c
Contoh:
Apabila sisi-sisi segitiga ABC adalah a = x cm, b = 2x cm, dan c =
4x cm serta keliling segitiga ABC = 28 cm, tentukan sisi-sisi segitiga ABC
tersebut!
Penyelesaian:
2. Luas Segitiga
Perhatikan gambar segitiga di
samping. AB adalah alas segitiga, C
adalah titik puncak, dan CD adalah
tinggi segitiga ABC.
Persegi
panjang
ABEF
mempunyai panjang AB atau EF sama
dengan p, dan lebar AF atau BE sama
21
dengan
, maka luas persegi panjang
ABEF =
.
Luas ABEF = luas
Karena
+ luas
+ luas
kongruen dengan
Luas ABEF = 2
luas
=2
(luas
+ luas
=2
luas
Maka luas
dan
+2
+ luas
.
kongruen dengan
luas
)
,
=
luas persegi panjang ABEF
=
Karena
alas segitiga ABC dan
ABC, maka luas
Luas segitiga =
=
alas
alas
tinggi segitiga
tinggi atau ditulis:
tinggi
Secara umum ditulis:
Catatan:
Alas dalam segitiga sering disimbolkan dengan huruf a dan tinggi
disimbolkan dengan huruf t serta luas dengan huruf L.
Contoh:
Segitiga KLM mempunyai titik-titik sudut K(-1,1), L(3,2), dan M(-1,4).
Tentukan luas
!
Penyelesaian:
Untuk menjawab soal ini, mula-mula kita gambarkan
pada kertas
berpetak.
22
Dari gambar tersebut diperoleh:
23