05. Statistika - wahyudisetiawan2

KONSEP DASAR
PROBABILITAS
Pokok Bahasan ke-5
1
2
Pengantar :
 Banyak kejadian dalam kehidupan seharihari yang sulit diketahui dengan pasti,
terutama kejadian yang akan datang.
 Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak
pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta
yang ada untuk menuju derajat kepastian
atau derajat keyakinan bahwa sesuatu
akan terjadi.
 Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan
dari munculnya hasil percobaan statistik
disebut Probabilitas (Peluang), yang
dinyatakan dengan P.
3
Konsep dan definisi dasar
 Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala
kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.
 Ruang sampel adalah himpunan seluruh
kemungkinan outcome dari suatu
eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan
dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan
n(S).
 Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari
outcome dalam suatu ruang sampel.
4
Contoh :
 Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring
satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi
sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring
yang baik dan R untuk sikring yang rusak.
 Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas
pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB,
BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang
sampel S adalah n(S) = 23 = 8.
 Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring
yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah
outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.
5
Definisi probabilitas
 Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n
cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n
cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk
muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A),
dapat dituliskan :
n( A) m
P( A) 

n( S ) n
6
Sifat-sifat probabilitas kejadian A
:
 0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas
kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1
 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A
tidak terjadi (himpunan kosong), maka
probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat
dikatakan bahwa kejadian A mustahil
untuk terjadi.
 P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A,
maka probabilitas kejadian A adalah 1.
Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti
terjadi.
7
Contoh (1):
 Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah
probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu
Muka?
Jawab :
 Misal M = Muka , B = Belakang
 Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S =
{MM, MB, BM, BB}
 Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka
adalah A = {MM, MB, BM}
Jadi,
 Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu
Muka adalah
P( A) 
n( A) 3

n( S ) 4
8
Contoh (2):
 Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4
coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat
suatu pemilihan acak dari salah satu kembang
gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan
: (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.
Jawab :
 Misal, M = mint , C = coffee , T = coklatn( M ) 6
(a). Probabilitas mendapatkan mintP(=M )  n( S )  13
(b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =
n(C  T ) n(C )  n(T )  n(C  T ) 4  3  0 7
P(C  T ) 



n( S )
n( S )
13
13
Probabilitas kejadian majemuk (1):
9
 Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S,
maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah
kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau
pada keduanya.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Probabilitas kejadian majemuk (2):
10
 Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel
S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C
adalah :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)
 P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C )
11
Contoh :
 Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah
2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9.
Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah
probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari
kedua pelajaran tersebut?
Jawab :
 Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah
kejadian lulus bahasa inggris, maka :
Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah
:
P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B)
= 2/3
+ 4/9 – 1/4
= 31/36
12
Contoh:
 Sebuah sistem sembarang seperti terlihat pada gambar
di bawah tersusun atas tiga tingkat. Sistem ini akan
bekerja dengan baik jika ketiga tingkatnya berjalan
dengan baik. Misal seluruh unit dalam setiap tingkat
saling bebas dan masing-masing berjalan baik.
Diketahui P(A) = 0,7; P(B) = 0,7 ; P(C ) = 0,9 ; P(D) = 0,8 ;
P(E) = 0,6 ; P(F) = 0,6 ; dan P(G) = 0,6. Hitunglah
probabilitas sistem berjalan dengan baik.
Jawab:
13
 P(T1) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
= P(A) + P(B) – P(A).P(B)
= 0,7 + 0,7 – (0,7)(0,7) = 0,91
 P(T2) = P(C  D) = P(C).P(D)
= (0,9)(0,8) = 0,72
 P(T3) = P(EF G)
= P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) + P(EF G)
= P(E) + P(F) + P(G) – P(E).P(F) – P(E).P(G) – P(F).P(G) + P(E).P(F).P(G)
= 0,6 + 0,6 + 0,6 – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) + (0,6)(0,6) (0,6)
= 0,936
 Jadi,
P(sistem berjalan baik) = P(T1  T2  T3) = P(T1).P( T2).P( T3)
= (0,91).(0,72).(0,963) = 0,613.
Artinya sistem tersebut secara keseluruhan memiliki 61,3% kemungkinan
dapat berjalan dengan baik.
Dua kejadian saling lepas
(disjoint events atau mutually
exclusive):
14
Bila A dan B dua kejadian saling
lepas, maka berlaku :
P( A  B)  P( A)  P( B)

Bila A, B, dan C tiga kejadian saling
lepas, maka berlaku :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
15
Contoh :
 Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11
bila sepasang dadu dilemparkan?
Jawab :
 Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6),
(6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}
 Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6),
(6,5)}
 Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11
adalah :
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
= 6/36 + 2/36 – 0
= 8/36
Dua kejadian saling
komplementer:
16
Bila A dan A’ dua kejadian dalam S
yang saling komplementer, maka
berlaku :
P( A' )  1  P( A)
17
Contoh:
 Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya
muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua
dadu yang tidak sama.
Jawab :
 Misal A
= kejadian munculnya muka dua dadu yang sama
= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
maka P(A) = 6/36
 Sehingga,
Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’)
adalah:
P(A’) = 1 – P(A)
= 1 – 6/36
= 30/36
Dua kejadian saling bebas
(independent):
18
 Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak
saling mempengaruhi.
 Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S
dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak
mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B
dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi
probabilitas terjadinya kejadian A.
 Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :
P( A  B)  P( A) . P( B)
19
Contoh:

Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka
dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?
Jawab :

Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}

Misalkan,
A
= kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½
= {(m,m), (m,b)}
B = kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½
= {(m,m), (b,m)}
AB
= kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2
= {(m,m)}

 P(A  B) = ¼
Bila A dan B saling bebas berlaku :
P(A  B)
¼
= ½ . ½
¼
=
Jadi, A dan B saling bebas.
¼
= P(A). P(B)
Probabilitas bersyarat (conditional
probability):
20
 Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat
kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau
diketahui terjadi.
 Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas
dimana B terjadi karena A terjadi”
P( A  B)
P( B A) 
,
P( A)
jika P( A)  0
21
Contoh (1):
 Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5
diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak
satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan
yang pertama ke dalam kotak. Berapakah
peluang kedua sekering itu rusak?
 Jawab :
Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak
B = kejadian sekering kedua rusak
Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B)
P(A  B) = P(A). P(BA)
= 5/20 . 4/19
= 1/19
22
Contoh (2):
 Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk
mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa
jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh
informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30
wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa
strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.
 Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa
probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery?
 Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa
probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk?
 Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai
pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?
 Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai
pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah
wanita?
Jawab:
23
Responsen
J
S
Jumlah
R
20
40
60
W
30
10
40
Jumlah
50
50
100
Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi
rasa jeruk.
Jadi,
 Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia
menyukai pasta gigi rasa strawbery
adalah
40
P( S  R)
40
P( S R) 

P( R)

60
100 
 0.67
60
100
Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia
menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah 30
P( J W ) 
P( J  W )
30
 100 
 0.75
40
P(W )
40
100
 Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa
jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah
20
P( R J ) 
P( R  J )
20
 100 
 0.40
50
P( J )
50
100
 Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa
strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah
10
P(W S ) 
P(W  S )
10
 100 
 0.20
50
P( S )
50
100
Aturan Bayes :
24
 Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas
dalam ruang sampel S.
 B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.
S
B
A1
A2
A3
25
probabilitas kejadian B adalah :
P(B)
= P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)
=
3
 P( B A ).P( A )
i 1
i
i
disebut Hukum Probabilitas Total
26
Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An
kejadian saling lepas dalam ruang
sampel S dan B kejadian lain yang
sembarang dalam S, maka probabilitas
kejadian bersyarat AiB dirumuskan
sebagai berikut :
P( B Ai ).P( Ai )
P( B  Ai )
P( Ai B) 
 n
P( B)
 P( B Ai ).P( Ai )
i 1
disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).
27
Contoh:
 Misalkan ada tiga kotak masing-masing
berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah,
kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih,
dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan
mata tertutup Anda diminta mengambil
satu kotak secara acak dan kemudian
mengambil 1 bola secara acak dari kotak
yang terambil itu..
 Berapakah peluang bola yang terambil
berwarna merah?
 Berapakah peluang bola tersebut terambil
dari kotak 2?
28
Jawab
P(M )  P(1).P(M 1)  P(2).P(M 2)  P(3).P(M 3)
 P(bola yang terambil berwarna merah) =
1 2 1 1 1
2 1 3
 .  .  .0 
  0.5
3 2 3 2 3
6
6
 P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =
P(2 M ) 
P(2).P( M 2)
P( M )
1 .1
1
1
3
2

 6   0.33
3
3
3
6
6
29
Soal 1:
 Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5
bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak,
tentukanlah probabilitas terpilihnya bola :
 Merah
 Tidak biru
 Merah atau putih
Soal 2:
30
 Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok,
diketahui : Sarjana teknik pria 1 orang, Sarjana teknik
wanita 3 orang, , dan Sarjana ekonomi pria 2 orang,
dan Sarjana ekonomi wanita 4 orang
Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk
menjadi manajer pemasaran.
 Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa
manajer adalah seorang wanita?
 Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa
manajer adalah seorang sarjana teknik?
 Hitunglah P(AB).
 Hitunglah P(AB).
Soal 3:
31
 Ada 3 kotak yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola
merah dan putih, seperti yang dituliskan dalam tabel di bawah
ini
Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak
yang terpilih diambil 1 bola juga secara acak. Tiap kotak
mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih.
 Berapa peluang bahwa bola itu merah ?
 Berapa peluang bahwa bola itu putih ?
 Bila bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut
dari kotak 1?
 Bila bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut
dari kotak 2?
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 3 Jumlah
Bola
merah
5
7
8
20
Bola putih
4
3
9
16
Jumlah
9
10
17
36
32
Soal 4
 Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi sub-sistem
yang saling berkaitan. Skema penyederhaan sistem
tersebut terlihat dalam gambar di bawah. Terlihat bahwa
A harus berfungsi dan sekurangnya salah satu dari B harus
berfungsi agar sistem mekanik itu bekerja baik. Diasumsikan
bahwa komponen-komponen B bekerja dengan tidak
bergantung satu sama lain dan juga pada komponen A.
Probabilitas komponen berfungsi baik adalah untuk A = 0.9
dan masing-masing B = 0.8. Hitunglah probabilitas sistem
mekanik tersebut berfungsi dengan baik.
B1
Input
A
Output
B2
33
Soal 5
 Mesin produksi dari PT Sukses Jaya ada 2. Kapasitas
produksi mesin pertama adalah 30% dan mesin
kedua adalah 70%. 40% dari produksi mesin
pertama menggunakan komponen lokal dan
sisanya menggunakan komponen impor.
Sedangkan 50% dari mesin kedua menggunakan
komponen lokal dan sisanya menggunakan
komponen impor. Apabila dipilih secara random
sebuah produksi, berapa probabilitas:
 Produk yang terambil menggunakan komponen lokal
 Bila diketahui produk yang terambil menggunakan
komponen lokal, berapa probabilitas produk tersebut
dari mesin pertama.